Mixing Convex Polytopes
Gabe Cunningham
抽象多面体的混合运算给出了构造两个多面体的最小公共覆盖的自然方法。在本文中，我们应用这种结构的规则凸多胞体，确定当混合再次是一个多胞体，并完全确定在每种情况下的混合结构。
The mixing operation for abstract polytopes gives a natural way to construct the minimal common cover of two polytopes. In this paper, we apply this construction to the regular convex polytopes, determining when the mix is again a polytope, and completely determining the structure of the mix in each case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Mixing Chiral Polytopes
一个秩为n的抽象多面体称为手征多面体，如果它的自同构群在旗上有两个轨道，使得相邻的旗属于不同的轨道。很难找到手性多面体的例子。一个“混合”的构造让我们结合多面体来构造新的规则和手征多面体。利用多胞形的手征群，我们可以给出两个多胞形的混合是手征的简单判据。
Ehrhart polynomials of convex polytopes with small volumes
我们对体积小于或等于3/（d！）的d维整凸多胞体的所有可能的$delta$ -向量进行了分类。
Convex hulls of face-vertex incident vectors of 3-colorable polytopes
计算了三面可着色凸多胞体的面顶点入射向量的凸包。我们发现每个这样的凸包都是一个具有$d+2$或$d+3$顶点的$d$ -多面体.利用Gale变换和Gale图，计算了它的组合结构.最后，给出了两个这样的凸包组合等价的一个充分必要条件。
Axioms for the g-vector of general convex polytopes
McMullen g-向量对简单凸多胞体是重要的。本文假设了其推广到一般凸多胞体的公理。它还表明，对于每一个维度d，一个规定的有限计算给出了扩展的g-向量的公式。用计算机对d=5进行了计算，并对结果进行了分析。这些图隐含了关于凸多胞体旗向量的新的线性不等式。这些公理的基础是一个假设的高阶同调扩展到中反常相交同调（零阶同调），它度量了低阶同调不具有环结构。
Residues formulae for volumes and Ehrhart polynomials of convex polytopes
在这些注释中，我们解释了凸多胞体的体积的留数公式，以及基于全留数概念的Ehrahrt多项式。我们将此方法应用于计算Chan-Robbins多面体的体积。最后的计算是基于系统$A_n$的总留数公式，类似于Morris恒等式。对于流动多胞体，总剩余量中变量的变量变换公式导出了混合体积函数的Ehrhart多项式的“好公式”。我们将其应用于Pitman-Stanley多面体。
Shifted symmetric $δ$-vectors of convex polytopes
如果对于每个$0 \leq i \leq [(d-1)/2]$的$δ_{d-i} = δ_{i+1}$，则称为$δ$ -向量$δ(\Pc)= (δ_0, δ_1, ..., δ_d)$移位对称.将研究具有移位对称$δ$ -向量的$(0,1)$ -多面体的自然家族。
On f-vectors of Minkowski additions of convex polytopes
给出了关于凸多胞体的Minkowski和的两类结果。第一个是关于一类特殊的多面体，我们称之为完美的中心和组合性质的Minkowski和自己的对偶。特别地，我们给出了一个完美中心多面体的面格的和的面格的一个特征。精确的面计数公式，然后获得完美中心单形和超立方体。第二类结果涉及多个多面体的Minkowski和的f-向量的紧上界。
Any Finite Group is the Group of Some Binary, Convex Polytope
对于任何给定的有限群，Schulte和Williams（2015）建立了一个凸多胞体的存在性，其组合自同构形成一个与给定群同构的群。本文给出了一个较强结果的较短证明：我们为给定的有限群构造的凸多面体是二元的，甚至是Naddef和Pulleyblank（1981）意义下的组合多面体;其骨架的直径至多为2;多面体的任何组合自同构都是由空间的某种等距诱导的;骨架的任何自同构都是组合自同构。
On the graph-connectivity of skeleta of convex polytopes
给定一个$d$维凸多面体$P$和不超过$d-1$的非负整数$k$，设$G_k (P)$表示$P$的$k$维面节点集上的简单图，其中两个这样的面相邻，如果存在一个包含这两个面的$P$的$(k+1)$维面.图$G_k (P)$同构于$P$的法向扇的$(d-k)$维骨架的对偶图。对于$k$和$d$的固定值，确定最大整数$m$，使得对于所有$d$维多面体$P$，$G_k (P)$是$m$-顶点连接的。这个结果推广了Balinski关于$d$ -维凸多面体的一维骨架的定理。
Several properties of summatory Ehrhart polynomials and series of convex lattice polytopes
本文研究凸格点多面体的求和型 Ehrhart 多项式与级数，证明其基本性质，包括 Ehrhart-Macdonald 互反律的求和型类比。
M-Representation of Polytopes
我们引入了多面体的M-表示，这使得计算线性变换、凸包和Minkowski和在多面体的维数上具有线性复杂度成为可能。当多面体是带形和多面体的凸包时，表示大小可以小于任何已知表示（V表示、H表示和Z表示）。我们还提供了M-表示的一个变体：链表示更紧凑，我们可以直接使用它来计算线性变换和凸包-对于链表示的所有其他操作，需要转换为M-表示。
A complete h-vector for convex polytopes
本文定义了凸多胞体的完全h-向量，它推广了已知的复曲面h-向量，并具有许多类似的性质。完整意味着它编码了整个标志向量。首先，我们定义了广义h-向量的概念，并陈述了一些性质。复曲面h-向量作为一个例子。然后，我们定义一个完整的广义h-向量，并再次状态属性。最后，我们证明了这个完整的h-向量和所有具有类似性质的向量有时会有负系数。大多数证据和进一步的调查将出现在其他地方。
Convex polytopes from fewer points
设$ES_{d}(n)$是最小整数，使得$\mathbb{R}^{d}$中任意一组处于一般位置的$ES_{d}(n)$点包含处于凸位置的$n$点。在1960年，Erdés和Szekeres证明了$ES_{2}(n) \geq 2^{n-2} + 1$成立，并著名地证明了它们的构造是最优的。Suk在2017年几乎解决了这个问题，他展示了$ES_{2}(n) \leq 2^{n+o(n)}$。本文证明了$$ES_{d}(n) = 2^{o(n)}$$对所有的$d \geq 3$都成立.特别地，这确立了，在更高维度中，为了确保在$n$顶点上存在凸多胞体，与平面中需要多少点相比，需要实质上更少的点。
Column convex matrices, $G$-cyclic orders, and flow polytopes
我们研究了由$\sum_{i\in I} z_{i}\leq 1$形式的不等式定义的多面体，其中的不等式可以被重排为一个包含列凸$\{0,1\}$ -矩阵的矩阵不等式，对于$I\subseteq [d]$和非负$z_i$.这些推广了斯坦利研究的多面体，以及Ayyer，Josuat-Vergès和Ramassamy的连续坐标多面体。我们证明了这些多面体和流多面体的有向无圈图$G$的哈密尔顿路径，我们称之为脊髓图之间的积分等价。我们表明，这些流多面体的体积是一组部分循环的顺序定义的图$G$的扩展的数量。作为一个特殊的情况下，我们恢复连续坐标多面体卷的结果。我们研究的组合学的$k$ -欧拉数，这是经典的欧拉数的推广，并出现作为一个特殊的家庭的脊椎图的流量多面体的体积。我们表明，他们的改进，Ramassamy的$k$ -Entringer数，可以实现为一个Kostant分拆函数的值，满足一个家庭的广义boustrophedon递归，并沿根方向的对数凹。最后，通过我们的主要积分等价和已知的连续坐标多面体的$h^*$ -多项式公式，我们给出了非嵌套脊图的流多面体的$h^*$ -多项式的一个组合公式.对于一般的脊椎图，我们提出了一个猜想的上，下界的$h^*$ -多项式。
Sign matrix polytopes from Young tableaux
受置换矩阵和交替符号矩阵的凸包多面体研究的启发，我们定义了几类新的多面体作为符号矩阵的凸包，它们是具有半标准Young图的双射{0，1，-1}-矩阵.我们调查这些多面体的各种属性，包括他们的不等式描述，顶点，刻面，和面格，以及连接到交替符号矩阵多面体和运输多面体。
Ehrhart polynomials of 3-dimensional simple integral convex polytopes
利用复曲面几何给出了三维简单积分凸多胞体的Ehrhart多项式的一个显式公式。
The equidistant dimension of some graphs of convex polytopes
本文研究凸多面体图的等距维数，给出了$T_n$、偶数$n$的$R''_n$和$S''_n$、奇数$n$的$S_n$的精确值，并为奇数$n$的$R''_n$和$S''_n$提供了下界。
Combinatorially two-orbit convex polytopes
任何组合自同构群在旗上有两个轨道的凸多胞体同构于欧几里德对称群在旗上有两个轨道的凸多胞体（等价地，同构于自同构群和对称群重合的凸多胞体）。因此，组合双轨道凸多胞体同构于已知的有限列表中的一个，所有这些都是三维的：立方八面体，二十面体，菱形十二面体或菱形三十面体。由凸多胞体构成的组合双轨道法向面对面镶嵌也是如此。
A short proof of rigidity of convex polytopes
给出了Dehn关于凸多胞体无穷小刚性定理的一个简化证明。我们的方法是基于Trushkina和Schramm的想法。
Classification of finite metric spaces and combinatorics of convex polytopes
本文描述了有限度量空间的集合与特殊对称凸多胞体集合之间的典范对应关系，并根据这些凸多胞体的组合结构，给出了度量空间的分类问题.
Betti numbers of the geometric spaces associated to nonrational simple convex polytopes
我们计算了与非有理简单凸多胞体相关联的几何空间的贝蒂数，发现它们与有理情形一样依赖于多胞体的组合类型.这表明起始多面体的组合特征在这些广义环面空间中被编码，就像它们在它们的有理对应空间中一样。
Classification of lattice-regular lattice convex polytopes
在本文中，对于任意维数n，我们给出了R^n中关于保持格的仿射变换群正则的格凸多胞体的完整列表。
Constructing Infinite Sets of Orthogonal Exponentials for Convex Polytopes
本文的目的是证明某些凸多胞体族的正交指数的存在性，并给出一个明确的构造，这些凸多胞体族包括单有理多胞体和满足其它非平凡条件的非单多胞体.我们还表明，通过考虑权函数，可以通过考虑超立方体的仿射变换的正交投影来构造具有正密度的正交指数的无限集合（即，地带性生境）。
Prescribing Symmetries and Automorphisms for Polytopes
研究了作为凸多胞体的组合自同构群或几何对称群出现的有限群。当$Γ$是凸$d$ -多胞形的组合自同构群$d\geq 3$的子群时，则存在与原多胞形相关的凸$d$ -多胞形的组合自同构群恰为$Γ$ .当$Γ$是凸$d$ -多面体的几何对称群$d\geq 3$的子群时，存在一个与原多面体相关的凸$d$ -多面体，其几何对称群和组合自同构群恰好为$Γ$ .这些破缺的结果表明，对每个偶数阶阿贝尔群$Γ$和$Γ$的对合$σ$，存在一个具有几何对称群$Γ$的中心对称凸多胞体，使得$σ$对应于中心对称.
The Complexity of Finding Small Triangulations of Convex 3-Polytopes
本文证明了对具有较少四面体的凸三维多面体求三角剖分问题是NP-困难的。我们讨论其他相关的复杂性结果。
Central limit theorems for random polytopes in a smooth convex set
设$K$是$\BBR^d$中体积为1的光滑凸集.根据均匀分布，在$K$中独立选取$n$随机点。这些点的凸包，用$K_n$表示，称为{ \it随机多面体}。证明了当$n$趋于无穷大时，$K_n$的几个关键泛函满足中心极限定理.
Möbius Polynomials of Face Posets of Convex Polytopes
莫比乌斯多项式是排序偏序集的不变量，与默比乌斯函数密切相关。本文研究了凸多胞体的面偏序集的Möbius多项式。我们提出的公式计算的面偏序集的金字塔或棱镜在现有的多面体，或胶合的两个或两个以上的多面体的原始多面体的莫比乌斯多项式。我们还提出了一般公式计算的面偏序集的单纯多面体和欧拉偏序集的$f$ -向量和一些额外的限制。
A complete $g$-vector for convex polytopes
定义了凸多胞体$X$的环面（中反常交同调）$g$ -向量的扩张.扩展的$g(X)$对$X$的整个标志向量$f(X)$进行编码，因此被称为完整的。我们发现，对于许多例子，$g_k(X)\geq 0$为大多数$k$（独立于$X$）。
Cutting convex polytopes by hyperplanes
切割一个多面体是一个非常自然的方法来产生新的有趣的多面体类。此外，探索原多面体的哪些代数性质和组合性质可以遗传给割取的子多面体也是很有启发的。本文主要研究了给定多胞形（整的和凸的）的所有可分离超平面，并研究了这类超平面的存在性和分类。证明了非单链有限偏序集的序和链多面体的可分离超平面的存在性;证明了Birkhoff多面体不存在可分离超平面。此外，我们还给出了单位立方体及其子多面体的完全分离超平面分类，以及序多面体和链多面体的部分分类结果。
Two-orbit convex polytopes and tilings
对对称群在旗上有两条轨道的凸多胞体进行了分类。它们只存在于二维或三维空间中，而唯一的组合自同构群也是双轨道的是立方八面体、二十面体和它们的正六面体。组合正则双轨道凸多胞体是确定的2n-凸多面体，其中n > 1。我们还利用对称群具有两个标志轨道的凸多胞体对欧几里得空间的面对面镶嵌进行了分类。有许多族，平铺一维、二维或三维。唯一的这种镶嵌也是组合双轨道的是三六边形平面镶嵌，菱形平面镶嵌，四面体-八面体蜂窝和菱形十二面体蜂窝。
On Convex Polytopes in the d-dimensional Space Containing and Avoiding Zero
本文的目的是建立d维空间中“含”零和“避”零的凸多胞体的个数之间的某些不等式，条件是它们的顶点集是空间中给定的有限集的子集.
Volume of convex polytopes equals mixed volume of simplices
本文给出了具有$m$顶点的凸多面体的归一化体积与$m$单形的混合体积相等的一个简单证明，从而表明单形的混合体积的计算这一看似限制性的问题至少与凸多胞体的体积的计算同样困难.
Extremal properties for dissections of convex 3-polytopes
凸d-多面体的剖分是将多面体划分为顶点在多面体的顶点之间的d-单形。三角剖分是具有附加性质的剖分，其所有单形的集合形成单纯复形。剖分的大小是它所包含的d-单形的数量。本文比较了最大三角剖分与最大剖分。我们还表现出较低和上界的3-多面体的解剖的大小和分析极值大小的三角形为特定的非单纯多面体：棱镜，反棱镜，阿基米德固体，和组合d-立方体。
Convex normality of rational polytopes with long edges
引入了有理多面体的凸正规性，并给出了一个维数一致的边格长下界，从而保证了这一性质。作为一个应用，我们证明了如果格d-多胞形P的每条边的格长至少为4d（d+1），则P是正规的.这对2007年提出的一个问题作出了肯定的回答。如果P是一个格单形，其边的格长至少为d（d+1），则P被格平行六面体覆盖。对于这里开发的方法，它是必要的，涉及合理的多面体，甚至应用到格多面体。
Integer decomposition property of free sums of convex polytopes
设$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^{d}$和$\mathcal{Q} \subset \mathbb{R}^e$分别是包含$\mathbb{R}^e$和$\mathbb{R}^{d}$原点的$d$和$e$的整凸多胞体.本文在一定的假设下，给出了$\mathcal{P}$与$\mathcal{Q}$的自由和具有整数分解性质的充要条件.
A classification of smooth convex 3-polytopes with at most 16 lattice points
我们给出了至多16个格点的光滑凸格3-多面体的一个分类，直至同构。共有103个不同的多面体满足这些标准。其中，99个是严格的凯莱多面体，其余4个是作为逆恒星细分的多面体。我们推导出一个分类，同构，所有光滑嵌入复曲面三倍在$\mathbb{P}^N$，其中$N\le 15$。我们总共有103个这样的嵌入。其中，99个是嵌入在$\mathbb{P}^N$中的投射丛，其余4个是这种复曲面三重的爆破。
Toric cohomological rigidity of simple convex polytopes
一个简单凸多胞体$P$是\emph{cohomologically rigid}，如果它的组合结构由$P$上的拟流形的上同调环决定。不是每个$P$都有这个性质，但是一些重要的多面体如单形或立方体是上同调刚性的。本文研究了多胞形的上同调刚性，并对几类新的多胞形，包括单形的乘积，建立了上同调刚性。$P$的上同调刚性与它的\emph{Stanley--Reisner ring}的\emph{bigraded Betti numbers}有关，后者是组合交换代数中的另一个重要不变量.
Arbitrarily Large Neighborly Families of Congruent Symmetric Convex 3-Polytopes
对于任意正整数n，我们在R^3中构造一族n个全等凸多面体，使得每对凸多面体相交于一个公共小平面。以前，最大的此类族仅包含八个多面体。我们的多面体是螺旋线上均匀分布的点的Voronoi区域（t，cos t，sin t）。通过一个简单的修改，我们可以确保族中的每个多面体都有一个点、一条线和一个对称面。我们还推广我们的建设更高的维度，并介绍了一个新的家庭循环多面体。
A Facet Enumeration Algorithm for Convex Polytopes
本文提出一种简单新颖的凸多面体面枚举算法，在Matlab中实现，并通过已知多面体测试验证其有效性和效率，且因对偶性可推广至顶点枚举。
Convex Polytopes: Extremal Constructions and f-Vector Shapes
这些课堂讲稿讨论了凸多胞体理论中两个密切相关的主题的一些当前方面：f-向量的形状和极值结构。第一堂课处理三维多面体;它包括一个完整的证明Koebe-Andreev-Thurston定理，使用变分原理由Bobenko & Springborn（2004）。在第二堂课中，我们研究了高维多面体的f-向量形状。第三堂课解释了一个令人惊讶的简单的2-单纯2-单纯4-多面体的构造，它具有对称的f-向量。第四堂课概述了4-多面体的f-向量锥的几何形状，从而确定了高"肥度"的4-多面体的存在性/构造是一个关键问题。在这个方向上，最后一堂课介绍了一个非常新的"多边形的投影积"的构造，其胖度达到9-\eps。
Polytopes with Preassigned Automorphism Groups
利用凸多胞体的拓扑复制证明了每个有限群都是同构于球面的面-面镶嵌的有限抽象多胞体的自同构群。我们还证明了这个抽象多面体可以实现为一个凸多胞体。
The maximum number of faces of the Minkowski sum of two convex polytopes
我们推导出两个$d$维凸多面体$P_1$和$P_2$的Minkowski和$P_1\oplus{}P_2$的最大$k$ -面数$0\le{}k\le{}d-1$的紧表达式，作为多面体顶点数的函数.对于偶数维$d\ge{}2$，当$P_1$和$P_2$是顶点集不相交的循环$d$ -多面体时，得到最大值.对于奇数维$d\ge{}3$，当$P_1$和$P_2$是$\lfloor\frac{d}{2}\rfloor$ -邻接$d$ -多面体时，其顶点集从两条不同的$d$维矩状曲线中适当选取，得到最大值.
A note on the diameter of convex polytope
这个简短的说明将由整数矩阵定义的凸多胞体的直径的上界的最近结果（Bonifas等人，On sub-determinants and the diameter of polyhedra，Discrete Computational Geometry，52，2014）扩展到由实矩阵定义的凸多胞体的直径的类似上界。并通过一个例子说明了新的界可能比Bonifas等人的界更好。
The PBW filtration and convex polytopes in type $\tt B$
研究了$\tt B_n$型李代数有限维不可约表示上的PBW滤子.我们证明了在几种情况下，包括所有的伴随表示的倍数和所有的不可约有限维表示的$\tt B_3$，存在一个正常的多面体，使这个多面体的格点参数化相应的相关联的分次空间的基础。从而得到了几类有利模和分次组合特征标公式。
Volumes of convex lattice polytopes and a question of V. I. Arnold
我们表明，由一个直接的建设，至少有$\exp\{cV^{(d-1)/(d+1)}\}$凸晶格多面体在$\mathbb{R}^d$的体积$V$是不同的意义上，他们都不能进行到另一个由一个晶格保持仿射变换。这是通过考虑其体积在$0$和$r^d/d!$之间的凸晶格多面体的族$\mathcal{P}^d(r)$（将在文本中定义）来实现的。也就是说，我们证明了，对于$P \in \mathcal{P}^d(r)$，$d!\mathrm{vol\;} P$采取所有可能的整数值之间的$cr^{d-1}$和$r^d$，其中$c>0$是一个常数，只依赖于$d$。
Edge-Graph Diameter Bounds for Convex Polytopes with Few Facets
证明了6维12面多面体的边图的直径至多为6，从而在d=6的情况下验证了Klee和Walkup的d步猜想.这意味着对于所有具有n-d \leq 6的对（d，n），具有n个刻面的d-多胞形的边图的直径以6为界，这证明了对于所有n-d \leq 6的Hirsch猜想。我们表明，这一结果表明，这一界的一个更一般的结构-所谓的拟阵多面体-减少到一个小数目的可满足性问题。
Approximation Depth of Convex Polytopes
本文在 Minkowski 和与并集的标准计算模型下，研究了凸多胞形按给定深度的逼近能力，证明了单纯形只能被平凡逼近，并将其表征为唯一的外可加凸体。
Convex Polytopes from Nested Posets
受图结合面体KG的启发，我们考虑了偏序集上的结合性和管的概念。这导致一个新的家庭简单的凸多胞体得到的迭代截断。这些推广图associahedra和nestohedra，甚至包括概念的cw-复合嵌套。然而，这些偏序集关联面体与广义置换面体完全属于不同的范畴。
Convex-normal (pairs of) polytopes
2012年，Gubeladze（Adv.数学。2012）引入了k-凸-正规多面体的概念，以表明其所有边都长于4d（d+1）的整数多面体具有整数分解性质。本文的第一部分证明了格多面体的k-凸正规性与（k+1）-凸正规性（k >= 3）没有区别，并将上界推广到2d（d+1）。在第二部分中，我们将定义推广到多面体对，并证明了对于有理多面体P和Q，其中P的正规扇是Q的正规扇的加细，如果P的每条边e_P至少是Q的相应边e_Q的d倍长，则（P+Q）\cap \Z^d =（P \cap \Z^d）+（Q \cap \Z^d）。
Face numbers of 4-Polytopes and 3-Spheres
本文讨论了四维凸多胞体和胞腔3-球面的f-向量和flag-向量。我们提出了两个重要的胖度和复杂度参数：当边和2-面的个数比顶点和小平面的个数多时，胖度F（P）：=（f_1+f_2-20）/（f_0+f_3-10）大;当每个小平面都有许多顶点，并且每个顶点都在许多小平面中时，复杂度C（P）：=（f_{03} -20）/（f_0+f_3-10）大。最近的研究结果表明，这些参数可能允许一个区分锥的f-或旗向量的-连接欧拉格的长度为5（组合对象），-强经常CW 3球（拓扑对象），-凸4-多面体（离散几何对象），和-理性凸4-多面体（其研究涉及算术方面）。进一步的进展将取决于凸4-多面体的更严格的f-向量不等式的推导。另一方面，我们将需要新的构造方法来产生有趣的多面体，这些多面体远非单纯或简单-例如，非常“胖”或“复杂”的4-多面体。在这个方向上，我将报告有关的建设（从联合工作与迈克尔Joswig，大卫Eppstein和格雷格Kuperberg），产量-强正规CW 3-球的任意大的脂肪，-凸4-多面体的脂肪大于5.048，和-合理凸4-多面体的脂肪大于5- 048。
Notes on Convex Sets, Polytopes, Polyhedra, Combinatorial Topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations
凸集、多面体、组合拓扑等基本数学工具在几何建模、网格划分、计算机视觉、医学成像、机器人等应用领域中有着广泛的应用。这份报告可以看作是一个教程和一套说明凸集，多面体，多面体，组合拓扑，Voronoi图和Delaunay三角剖分。它是为广大数学爱好者准备的。我对V-多面体和H-多面体的等价性以及V-多面体和H-多面体的等价性进行了相当全面的处理，这有点难。特别是，傅立叶-Motzkin消元法（一个版本的高斯消去法的不等式）进行了详细讨论。我还包括一些材料的射影空间，射影地图和极对偶w.r. t。一个非退化的二次曲面，以定义一个适当的概念“投影多面体”的基础上锥。据我们所知，这种射影多面体的概念是新的。我们还认为，我们的一些证明建立等价的V-多面体和H-多面体是新的。
Toric manifolds with degenerate dual variety and defect polytopes
在对偶射影空间中，对对偶簇不是超曲面的射影环面流形进行了分类。在环面几何和凸几何之间的标准字典下，它们对应于某些凸Delzant整数多面体P，我们称之为亏多面体。使用几何分类，我们给出了详细的描述，缺陷多面体，并证明了它们的特点是消失的组合不变量，表示为c（P）。我们进一步证明了一个相关的不变量，c*（P），是非负的，任何简单的凸整多面体。
The maximum number of faces of the Minkowski sum of three convex polytopes
我们导出了三个$d$ -维凸多面体$P_1$，$P_2$和$P_3$的Minkowski和的最大$k$ -面数$0\le k\le d-1$，$P_1+P_2+P_3$的紧表达式，作为多面体顶点数的函数，对于任何$d\ge 2$ .将三个多面体的Minkowski和表示为它们的Cayley多面体$\mathcal{C}$的一部分，计算$P_1+P_2+P_3$的$k$ -面的数目的问题减少到计算由包含来自每个$P_i$的至少一个顶点的面组成的$\mathcal{C}$的子集的$(k+2)$ -面的数目。在两个维度，我们的表达式减少到已知的结果，而在三个维度，紧接着利用已知的紧边界$r$ $d$ -多面体的面数，其中$r\ge d$我们的边界。对于$d\ge 4$，当$P_1$，$P_2$和$P_3$是$d$ -多面体时，其顶点集从三个不同的$d$ -维类矩曲线中适当选取，得到最大值.
Intersection Bodies of Polytopes: Translations and Convexity
本文研究多面体相交体在平移下的行为，引入仿射超平面配置证明边界多项式的扩展性，并完整刻画二维下相交体为凸的多边形及一般维度的部分刻画。
A geometric approach for the upper bound theorem for Minkowski sums of convex polytopes
我们推导出紧表达式的最大数目的$k$ -面，$0\le{}k\le{}d-1$，闵可夫斯基和，$P_1+...+P_r$，$r$凸$d$ -多面体$P_1,...,P_r$在$\mathbb{R}^d$，其中$d\ge{}2$和$r<d$，作为一个（递归定义的）函数的顶点数的多面体。我们的结果与Adiprasito和Sanyal最近证明的结果一致。与Adiprasito和Sanyal使用组合交换代数工具的方法相反，我们的方法是纯几何的，并使用基本概念，如$f$ -和$h$ -向量微积分和壳，并推广了[15]和[14]中用于证明两个和三个凸多面体的Minkowski和的$f$ -向量上界的方法。我们的方法背后的关键思想是将Minkowski和$P_1+...+P_r$表示为被加数的Cayley多胞形$\mathcal{C}$的一部分;对$P_1+...+P_r$的$k$ -面进行绑定简化为对包含来自每个$r$多胞形的顶点的$\mathcal{C}$的$(k+r-1)$ -面的子集进行绑定。我们结束我们的文件与草图的明确的建设，建立了紧密的上界。
From affine to barycentric coordinates in polytopes
本文提出一种基于仿射空间和凸集代数处理及重心代数的方法，通过将有限维凸多胞体分解为同维单纯形并集，在多胞体中生成稀疏重心坐标。
The Extremals of the Alexandrov-Fenchel Inequality for Convex Polytopes
Alexandrov-Fenchel不等式是经典的等周不等式在任意混合体积上的广泛推广，是凸几何的核心。它的极端体的特征是一个长期存在的开放问题，可以追溯到亚历山德罗夫1937年的原始论文。已知的极值已经形成了一个非常丰富的家族，甚至由于施耐德的贡献，关于它们的一般结构的主猜测也是不完整的。本文完全解决了关于凸多胞体的Alexandrov-Fenchel不等式的极值问题。特别是，我们表明，极值产生于三个不同的机制的组合：翻译，支持和维度。这些机制的表征需要发展各种各样的技术，揭示了新的光的几何混合体积的非光滑凸体。我们的主要结果进一步扩展超出多面体在许多方面，包括设置quermassintegrals的任意凸体。作为我们的主要结果的一个应用，我们解决了斯坦利的一个问题，在偏序集的组合学中出现的某些对数凹序列的极值行为。
Tropical Convexity
在热带几何的背景下引入了凸性和凸多胞体的概念。热带多面体的组合类型被证明是在双射与两个单形的产品定期三角剖分。系统发育树的应用进行了讨论。本文中的定理29和推论30把热带多面体与内射壳联系起来是不正确的。参见http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-09/vol-09-eng.html上的勘误表。
Convex hulls of spheres and convex hulls of convex polytopes lying on parallel hyperplanes
给定一组$Σ$的领域在$\mathbb{E}^d$，与$d\ge{}3$和$d$奇数，有一个固定数量的$m$不同的半径$ρ_1,ρ_2,...,ρ_m$，我们表明，最坏情况下的组合复杂性的凸包$CH_d(Σ)$的$Σ$是$Θ(\sum_{1\le{}i\ne{}j\le{}m}n_in_j^{\lfloor\frac{d}{2}\rfloor})$，其中$n_i$是在$Σ$与半径$ρ_i$的领域的数量。为了证明下界，我们在$\mathbb{E}^d$中构造了一组$Θ(n_1+n_2)$球，其中$d\ge{}3$为奇数，其中$n_i$球具有半径$ρ_i$，$i=1,2$和$ρ_2\neρ_1$，使得它们的凸包具有组合复杂性$Ω(n_1n_2^{\lfloor\frac{d}{2}\rfloor}+n_2n_1^{\lfloor\frac{d}{2}\rfloor})$。我们的建设，然后推广到的情况下，球体有$m\ge{}3$不同的半径。对于上界，我们减少了球凸包问题的最坏情况下的组合复杂性的计算问题的一组$m$ $d$ -维凸多面体躺在$m$平行超平面在$\mathbb{E}^{d+1}$，其中$d\ge{}3$奇数，这是一个独立的问题。更确切地说，我们表明，最坏情况下的组合复杂性的凸包的一组$\{\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2,...,\mathcal{P}…
Polyhedral realizations of crystal bases and convex-geometric Demazure operators
本文的主要研究对象是某个有理凸多胞体，它的格点给出了一个最高权晶体基的多面体实现。这也与旗形变体的牛顿-奥肯科夫体相同，并且它给出了复曲面退化。在本文中，我们证明了这类多面体的一个特定的类是由Kiritchenko的Demazure算子的多面体。这意味着这类多面体都是格多面体。作为应用，我们给出了相应复曲面簇为GorensteinFano的一个充分条件.
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