凸3-多面体剖分的极值性质

凸多胞体：极值结构与f-向量映射

Convex Polytopes: Extremal Constructions and f-Vector Shapes

这些课堂讲稿讨论了凸多胞体理论中两个密切相关的主题的一些当前方面：f-向量的形状和极值结构。第一堂课处理三维多面体;它包括一个完整的证明Koebe-Andreev-Thurston定理，使用变分原理由Bobenko & Springborn（2004）。在第二堂课中，我们研究了高维多面体的f-向量形状。第三堂课解释了一个令人惊讶的简单的2-单纯2-单纯4-多面体的构造，它具有对称的f-向量。第四堂课概述了4-多面体的f-向量锥的几何形状，从而确定了高"肥度"的4-多面体的存在性/构造是一个关键问题。在这个方向上，最后一堂课介绍了一个非常新的"多边形的投影积"的构造，其胖度达到9-\eps。

The Extremals of the Alexandrov-Fenchel Inequality for Convex Polytopes

The Alexandrov-Fenchel inequality, a far-reaching generalization of the classical isoperimetric inequality to arbitrary mixed volumes, lies at the heart of convex geometry. The characterization of its extremal bodies is a long-standing open problem that dates back to Alexandrov's original 1937 paper. The known extremals already form a very rich family, and even the fundamental conjectures on their general structure, due to Schneider, are incomplete. In this paper, we completely settle the extremals of the Alexandrov-Fenchel inequality for convex polytopes. In particular, we show that the extre…

S-hypersimplices, pulling triangulations, and monotone paths

An $S$-hypersimplex for $S \subseteq \{0,1, \dots,d\}$ is the convex hull of all $0/1$-vectors of length $d$ with coordinate sum in $S$. These polytopes generalize the classical hypersimplices as well as cubes, crosspolytopes, and halfcubes. In this paper we study faces and dissections of $S$-hypersimplices. Moreover, we show that monotone path polytopes of $S$-hypersimplices yield all types of multipermutahedra. In analogy to cubes, we also show that the number of simplices in a pulling triangulation of a halfcube is independent of the pulling order.

极对映多边形与多面体

Extremal antipodal polygons and polytopes

令$S$是圆上的一组$2n$点，使得对于每个点$p \in S$，其对极（相对于圆心镜像）点$p'$也属于$S$。一个尺寸为$n$的多边形$P$称为\emph{antipodal}，如果它恰好由$S$的每个对极对$(p,p')$的一个点组成。我们提供了一个完整的表征对映多边形最大化（最小化，分别）之间的所有对映多边形的$S$的面积。在此基础上，提出了一种计算极对映多边形的简单线性时间算法。此外，对映多边形的推广到更高的维度，我们表明，不存在类似的特征。

The positive tropical Grassmannian, the hypersimplex, and the m=2 amplituhedron

The study of the moment map from the Grassmannian to the hypersimplex, and the relation between torus orbits and matroid polytopes, dates back to the foundational 1987 work of Gelfand-Goresky-MacPherson-Serganova. On the other hand, the amplituhedron is a very new object, defined by Arkani-Hamed-Trnka in connection with scattering amplitudes in $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills theory. In this paper we discover a striking duality between the moment map $μ:Gr^{\geq0}_{k+1,n}\toΔ_{k+1,n}$ from the positive Grassmannian $Gr^{\geq0}_{k+1,n}$ to the hypersimplex, and the amplituhedron map $\tilde{Z}…

Hom-polytopes

Hom-polytopes

研究了两个多面体之间仿射映射的多面体--hom-polytopes。hom-polytope函子有一个左伴随--张量积多面体。与向量空间范畴的类比是有限的，正如我们通过一系列表现出各种极值性质的明确例子所说明的那样。hom-polytopes的主要挑战是确定它们的顶点。秩零定理的一个多面体类似物相当于理解顶点映射相对于它们的满射因子和内射因子的行为。这导致有趣的类满射映射。在最后两个部分中，我们关注两种相反的极端情况--当源和目标多面体都是多边形并且是通用的或规则的。

自由积、极值拟阵以及完美拟阵设计的推广

Free products, extremal matroids, and a generalization of perfect matroid designs

研究如何从拟阵\(M\)和\(M'\)在其多面体中的点得到自由积\(M\square M'\)在相应多面体中的点，证明若\(M\square M'\)极值则\(M\)和\(M'\)极值，反之不然，还确定一类拟阵及其中极值拟阵自由积为极值的充分条件。

以人工智能推进几何学：多面体的多智能体生成

Advancing Geometry with AI: Multi-agent Generation of Polytopes

本文提出一种高度并行的人工智能多智能体系统，用于自动生成高复杂度多面体，并在 Hirsch 猜想、k-neighbourly 问题和最长单调路径问题中生成匹配或超越已知最佳界的新示例，证明 AI 能有效推进几何学中极难问题的研究。

正规多面体的量子跳跃

Quantum jumps of normal polytopes

我们在R^d中所有正规多面体的集合上引入了一个偏序。这个偏序集NPol（d）是R^d中凸紧集的连续统的自然离散对应物，通过包含排序，并表现出非常丰富的组合结构。我们推导出NPol（d）中初等关系的各种算术界，称为“量子跳跃”。NPol（d）中极值对象的存在性是数论风味的挑战，导致有趣的正规多面体类：极小，极大，球形。NPol（5）中的极小元在20世纪90年代对正规多面体的各种覆盖定理的反证中起到了关键作用。在这里，我们报告的第一个例子的极大元在NPol（4）和NPol（5），发现的结合发展的理论，随机生成，和广泛的计算机搜索。

The Newton polytope of the discriminant of a quaternary cubic form

We determine the $166\,104$ extremal monomials of the discriminant of a quaternary cubic form. These are in bijection with $D$-equivalence classes of regular triangulations of the $3$-dilated tetrahedron. We describe how to compute these triangulations and their $D$-equivalence classes in order to arrive at our main result. The computation poses several challenges, such as dealing with the sheer amount of triangulations effectively, as well as devising a suitably fast algorithm for computation of a $D$-equivalence class.

布尔立方体中的章鱼：具有两两小交集的集族，第二部分

Octopuses in the Boolean cube: families with pairwise small intersections, part II

本文研究布尔立方体中多个集族两两交集大小受限时集族规模乘积的极值问题，在前期渐近结果基础上，进一步给出了极值集族的强结构性刻画。

通过最大化估值不变量来刻画某些 matroids

Characterizations of certain matroids by maximizing valuative invariants

本文通过最大化估值不变量刻画了若干 matroids，并证明了均匀 matroids 的直接和产生多面体顶点。

多重面体的凸包实现

Convex Hull Realizations of the Multiplihedra

本文给出了一个确定欧几里得空间极值点的简单算法，该空间的凸包是称为多重面体的序列中的第n个多面体。这就回答了多重面体是否可以实现为凸多胞体的问题。我们利用这种认识将岩濑和Mimura的A_n-映射方法与Boardman和Vogt的方法统一起来。我们包括一个审查的外观的第n个多重面体的各种n在研究高同伦交换性，（弱）n-范畴，A_无限范畴，变形理论，和模空间。我们还包括在这些领域以及相关研究中使用我们的实现的建议，包括丰富的范畴论和图形联想。