Ehrhart polynomials of convex polytopes with small volumes
Takayuki Hibi, Akihiro Higashitani, Yuuki Nagazawa
我们对体积小于或等于3/（d！）的d维整凸多胞体的所有可能的$delta$ -向量进行了分类。
We classify all the possible $delta$-vectors of d-dimensional integral convex polytopes whose volumes are less than or equal to 3/(d!).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Stanley's non-Ehrhart-positive order polytopes
我们说一个多胞形是Ehrhart正的，如果它的Ehrhart多项式中的所有系数都是正的。Stanley在Mathoverflow上提出了一个Ehrhart正性问题，他提供了一个非Ehrhart正序多面体的例子，其维数为$21$。斯坦利的例子来自一个特定的有序多面体家族。在本文中，我们研究了这个多面体家族上的Ehrhart正性问题。通过给出这类多面体的Ehrhart多项式系数的Bernolli数的显式表达式，确定了这类多面体的Ehrhart系数的符号.作为我们结果的结果，我们得出结论：对于任何正整数$d \ge 21,$，存在一个维数为$d$的有序多面体不是Ehrhart正的，对于任何正整数$\ell$，存在一个有序多面体，其Ehrhart多项式恰好具有$\ell$负系数，这回答了Hibi提出的一个问题.最后，我们讨论了Ehrhart多项式具有负系数的低维阶多面体的存在性。
Ehrhart quasi-polynomials of almost integral polytopes
本文研究几乎整数多胞体的Ehrhart拟多项式，揭示多胞体形状与拟多项式代数性质的关系，并证明格带状多胞体和中心对称格多胞体可由其有理平移的Ehrhart拟多项式刻画。
Ehrhart polynomials of cyclic polytopes
整凸多胞体的Ehrhart多项式计算该多胞体的膨胀中的格点的数目。在Math.CO/0402148中，作者证明了对于任意整参数循环多面体，其Ehrhart多项式等于其体积加上其下包络的Ehrhart多项式，并证明了当维数d = 2时的情形.在本文中，我们证明了任何维数的猜想。
A new class of magic positive Ehrhart polynomials of reflexive polytopes
本文构造了一类新的具有魔正Ehrhart多项式的自反多面体，证明Stasheff多面体满足该性质，并部分证明圈的对称边多面体对偶的魔正性。
A note on lattice-face polytopes and their Ehrhart polynomials
本文去掉了“格面多面体的Ehrhart多项式”一文中的一个不必要的限制，给出了格面多面体的一个新的定义，并证明了在新的定义下，格面多面体的Ehrhart多项式仍具有每个系数是原多面体投影的归一化体积的性质.此外，我们表明，新的家庭的格面多面体包含所有可能的组合类型的合理多面体。
Rational polytopes with Ehrhart coefficients of arbitrary period
E. Ehrhart指出，在一个有理多胞形的正整数$k$的膨胀中，整数格点的数量是$k$的准多项式函数--也就是说，一个“多项式”，其中的系数本身是$k$的周期函数。利用F. Liu在循环多面体的Ehrhart多项式的基础上，构造了任意维数的不一定凸的有理多面体，其中出现在Ehrhart拟多项式中的系数函数的周期取任意值.
2-levelness of Marked Poset Polytopes and the Ehrhart polynomial
本文研究了标记序多胞体、标记链多胞体和标记链-序多胞体的2-层次性，给出了完整刻画，并推导了标记序多胞体的Ehrhart多项式精确公式，该公式同样适用于相关多胞体。
On positivity of Ehrhart polynomials
Ehrhart发现，功能，计数的数目格点膨胀的一个整体多面体是一个多项式。我们称这个多项式的系数为Ehrhart系数，如果所有的Ehrhart系数都是正的，则说一个多面体是Ehrhart正的（这对所有整数多面体都不成立）。本文的主要目的是调查有趣的家庭多面体是已知的Ehrhart积极的，并讨论的原因，他们的Ehrhart积极如下。我们还包括具有负Ehrhart系数的多面体和被证明为Ehrhart正的多面体的例子，以及提出一些相关的问题。
Ehrhart polynomials of cyclic polytopes as averages of zonotope Ehrhart polynomials
本文证明循环多胞体的 Ehrhart 多项式可表示为格带形多胞体 Ehrhart 多项式的平均值，从而推出其魔幻正性、$h^\ast$-多项式实根性及 $h^\ast$-向量对数凹与单峰性。
Interpreting the Ehrhart coefficients of cross-polytopes
本文通过组合方法证明了交叉多面体的Ehrhart多项式具有正系数，并展示了其与着色排列的关系。
The distribution of roots of Ehrhart polynomials for the dual of root polytopes of type C
本文研究了维数为$d$的C型根多面体的对偶的Ehrhart多项式，记为$C_d^*$ .证明了$C_d^*$的Ehrhart多项式的根具有相同的实部$-1/2$，并证明了$C_d^*$对$d=1,2,\cdots$的Ehrhart多项式具有交错性.
Ehrhart polynomials of matroid polytopes and polymatroids
研究拟阵多面体、独立拟阵多面体和多拟阵的Ehrhart多项式的性质。在本文的前半部分，我们证明了固定秩的Ehrhart多项式是在多项式时间内可计算的。证明依赖于这些多面体的几何形状，以及一个新的精制分析托德多项式的评价。第二部分讨论了拟阵多面体的h^*-向量和Ehrhart多项式的系数的两个定理，并从理论和计算上证明了它们的正确性。
Order Polytopes of Dimension $\leq 13$ are Ehrhart Positive
本文证明了维度12或13的序聚类是Ehrhart正的，并验证了其h*多项式具有实根，解决了Liu和Tsuchiya提出的问题。
The Ehrhart $h^*$-polynomials of positroid polytopes
该研究针对正广面多胞形的Ehrhart $h^*$-多项式展开，给出了基于排列下降的任意正广面多胞形$h^*$-多项式显式公式，推广了此前针对超单纯形的相关结果。
Several properties of summatory Ehrhart polynomials and series of convex lattice polytopes
本文研究凸格点多面体的求和型 Ehrhart 多项式与级数，证明其基本性质，包括 Ehrhart-Macdonald 互反律的求和型类比。
The Ehrhart polynomial of the Birkhoff polytope
第n个Birkhoff多面体是所有双随机n × n矩阵的集合，也就是说，那些具有非负实系数的矩阵，其中每行和列之和为1。一个广泛的开放性问题涉及这些多面体的体积，这已被称为n至8。本文提出了一种新的复解析方法来计算Birkhoff多面体的Ehrhart多项式，即计算膨胀多面体中整数点的函数。对这个计数函数感兴趣的一个原因是，Ehrhart多项式的首项是--直到一个平凡的因子--多面体的体积。我们以计算机程序的形式实现了我们的方法，得到了第九Birkhoff多面体的Ehrhart多项式（以及体积）。
Ehrhart Series of Polytopes Related to Symmetric Doubly-Stochastic Matrices
在Ehrhart理论中，有理多胞形的$h^*$ -向量经常提供对多胞形的性质的洞察，否则可能被掩盖。作为一个例子，Birkhoff多面体，也被称为实双随机阵的多面体，有一个单峰$h^*$ -向量，但即使是小的修改多面体，同样的性质可以是非常困难的证明.本文研究了一类含有实双随机对称矩阵的多面体的$h^*$ -向量。
Ehrhart polynomials of lattice polytopes with normalized volumes $5$
一个完整的分类的$δ$ -向量的格多面体，其归一化体积是最多$4$是已知的。本文将对格多面体的所有$δ$ -向量进行分类，并给出其归一化体积$5$。
Local Euler-Maclaurin expansion of Barvinok valuations and Ehrhart coefficients of a rational polytope
我们扩展到Barvinok的估值欧拉-麦克劳林展开公式，我们以前获得的总和值的多项式的积分点的一个合理的多面体。这导致改进的Barvinok的多项式型算法计算相应的Ehrhart准多项式的最高系数。
The Ehrhart series of alcoved polytopes
本文提出通过 alcove 的特定壳化顺序计算任意 alcoved 多胞体的 Ehrhart 级数的方法，并揭示了 Early 的装饰有序集合划分与超单纯形 $\Delta_{2,n}$ 壳化顺序之间的关联。
Smooth Fano polytopes whose Ehrhart polynomial has a root with large real part
奇数圈的对称边多面体（del Pezzo多面体）被称为光滑法诺多面体。本文证明了如果圈的长度为127，则Ehrhart多项式有一个根的实部大于维数。因此，我们有一个光滑的Fano多面体，它是Ehrhart多项式根的两个代数的反例。
Ehrhart theory of symmetric edge polytopes via ribbon structures
利用图的带状结构，我们构造了图的对称边多面体分解为幺模单形的方法。我们的解剖是可壳的，并且可以通过图论解释所得到的$h$ -向量的元素。本文给出了对称边多胞形的$h^*$ -向量的一种初等计算方法。
On the Relationship Between Ehrhart Unimodality and Ehrhart Positivity
对于一个给定的格多面体，Ehrhart理论领域中的两个基本问题是：（1）确定它的（Ehrhart）$h^\ast$ -多项式是否是单峰的;（2）确定它的Ehrhart多项式是否只有正系数。格多面体的前一个性质被称为Ehrhart单峰性，后一个性质被称为Ehrhart正性。这两个属性往往同时被证明是有趣的家庭格多面体，但他们通常是并行研究。为了回答在2017年MSRI几何和拓扑组合学学期介绍研讨会上提出的一个问题，本说明的目的是表明，在任何大于大于2的维度上，这两个属性之间没有一般意义。要做到这一点，我们调查这两个属性的家庭研究良好的晶格多面体，评估一个属性，以前只考虑其他。因此，每个现象的新的例子开发，其中一些提供了一个答案，在文献中的一个开放的问题。研究得很好的家庭格多面体考虑包括zonotopes，拟阵多面体，单纯的加权射影空间，空格单纯，光滑多面体，和$s$ -演讲厅单纯。
Residues formulae for volumes and Ehrhart polynomials of convex polytopes
在这些注释中，我们解释了凸多胞体的体积的留数公式，以及基于全留数概念的Ehrahrt多项式。我们将此方法应用于计算Chan-Robbins多面体的体积。最后的计算是基于系统$A_n$的总留数公式，类似于Morris恒等式。对于流动多胞体，总剩余量中变量的变量变换公式导出了混合体积函数的Ehrhart多项式的“好公式”。我们将其应用于Pitman-Stanley多面体。
Restricted Birkhoff polytopes and Ehrhart period collapse
本研究证明带最长递增子序列约束的受限Birkhoff多胞体的Ehrhart拟多项式为真实多项式，通过与Gelfand-Tsetlin多胞体的类Robinson-Schensted-Knuth对应分段线性双射实现，揭示多胞体格点计数性质。
Ehrhart-equivalent $\boldsymbol 3$-polytopes are equidecomposable
我们表明，如果两个格$3$ -多面体$P$和$P'$有相同的Ehrhart功能，那么他们是$\operatorname{GL}_3({\mathbb Z})$ -equidecomposable的，也就是说，他们可以被划分成相对开放的单$U_1,\dots, U_k$和$U'_1,\dots,U'_k$，使$U_i$和$U'_i$是单模等价的，为每个$i$。
Ehrhart polynomials of lattice-face polytopes
循环多胞形的Ehrhart多项式有一个简单的公式。本文的目的是表明，同样的公式适用于更一般的一类多面体，格面多面体。我们发展了一种将任意d维单形在一般位置分解为d！符号集，每个符号集对应于对称群中的一个置换，并将一般位置的多面体中的格点计数问题归结为这些特殊符号集中的格点计数问题.将此分解应用于格面单纯形，我们得到具有特殊性质的符号集，这些性质允许我们计算它们内部的格点数量。因此，我们能够得出所需的公式为Ehrhart多项式的格面多面体。
Higher integrality conditions, volumes and Ehrhart polynomials
如果一个多面体的所有顶点都是格点，那么这个多面体就是整数。已知整多胞形的Ehrhart多项式的常数项为1。在以前的工作中，我们表明，一个格面多面体的Ehrhart多项式的系数是体积的投影的多面体。通过引入$k$ -积分多面体的概念，推广了这两个结果，其中0-积分等价于积分.证明了$k$ -整多面体$P$的Ehrhart多项式具有如下性质：小于或等于$k$的次数系数由$P$的投影决定，较高次数系数由$P$的切片决定.证明的一个关键步骤是在一定的一般性条件下，一个多面体的体积等于该多面体的切片的体积之和。
Roots of Ehrhart Polynomials of Smooth Fano Polytopes
V. Golyshev证明，对于任何维数至多为5的光滑多面体P，P的Ehrhart多项式的根$z\in\C$的实部等于-1/2。给出了一个初等的证明，并在每个维度上明确地描述了根。我们还提出的例子表明，这一结果不能扩展到六维。
Ehrhart polynomials, simplicial polytopes, magic squares and a conjecture of Stanley
本文证明了由行和计数给定大小n的幻方或等价地由双随机n × n矩阵的多胞形的Ehrhart多项式的母函数产生的某个非负整数对称序列等于单纯多胞形的h-向量，从而满足g-定理的条件。斯坦利（Stanley，1983）证实了这种序列的单峰性。几个概括。
Coefficients and Roots of Ehrhart Polynomials
凸格多胞形的Ehrhart多项式在多胞形的整数扩张中计数整数点。给出了Ehrhart多项式系数所满足的新的线性不等式，并将它们与已知的不等式联系起来。我们还研究了Ehrhart多项式的根。证明了对固定的d，C中存在包含d-多面体的Ehrhart多项式的所有根的有界区域，且这些多项式的所有实根都在[-d，[d/2]）中.相反，我们证明了当维数d不固定时，正实根可以是任意大的。最后，我们完成了循环多面体和0/1-多面体的Ehrhart多项式的实验研究。
On lattice path matroid polytopes: integer points and Ehrhart polynomial
本文研究了格路拟阵多胞形的伸缩中的整数点数。给出了格路拟阵图中多边形路点的一个刻划。此外，我们证明了格路拟阵多面体仿射等价于一族分配多面体。作为应用，我们得到了两个新的拟阵无限族，验证了De Loera等人的一个猜想。并给出了其中一个的Ehrhart多项式的显式公式。
Interlacing Ehrhart Polynomials of Reflexive Polytopes
Bump等人观察到一个特殊族中的Ehrhart多项式表现出类似于黎曼ζ函数的性质。Matsui等人将该构造推广到来自图的更大的自反多面体族。我们证明了几个证明，当这样的多项式在复平面的某一直线上有零点。我们主要的新方法是证明一个更强的属性，称为交错。
Ehrhart series, unimodality, and integrally closed reflexive polytopes
Ehrhart理论中一个有趣的公开问题是对具有单峰$h^*$ -向量的格多面体进行分类。虽然已经找到了各种充分条件，但必要条件仍然是一个挑战。在本文中，我们考虑整闭自反单纯形和讨论的操作，保持自反性，整闭包，单峰的$h^*$ -向量，提供一个解释为什么单峰发生在这种情况下。我们还讨论了失败的证明单峰在这种情况下使用弱Lefschetz元素。
Roots of Ehrhart polynomials arising from graphs
有几个多面体是由有限图产生的。特别地，对于边多面体和对称边多面体，Ehrhart多项式的穷举计算不仅支持Beck { \it et al.}的猜想。证明了$D$维多胞形的Ehrhart多项式的所有根$α$都满足$-D \le \Re(α) \le D - 1$，而且还揭示了每种类型多胞形的一些有趣现象。本文给出了两个新的证明：（1）$d$阶完全多部图的边多面体的Ehrhart多项式的根在$|z+\tfrac{d}{4}| \le \tfrac{d}{4}$圈内或为负整数;（2）$D$维Gorenstein Fano多面体的Ehrhart多项式的根在窄条$-\tfrac{D}{2} \leq \Re(α) \leq \tfrac{D}{2}-1$内.一些严格的结果，以支持他们以及为原来的猜想。用图形表示了每种多面体的Ehrhart多项式的根分布。
Ehrhart series of fractional stable set polytopes of finite graphs
具有$d$顶点的单图$G$的分数独立集稳定多面体${\rm FRAC}(G)$是有理多面体，它是对$G$的每条边$(i,j)$满足$x_i+x_j\le 1$的非负向量$(x_1,\ldots,x_d)$的集合。本文证明了：（i）格多面体$2 {\rm FRAC}(G)$的$δ$ -向量是交替递增的;（ii）${\rm FRAC}(G)$的Ehrhart环是Gorenstein的;（iii）${\rm FRAC}(G)$的Ehrhart级数的系数是对称的、单峰的，并且是由$2 {\rm FRAC}(G)$的$δ$ -向量计算的.
Ehrhart-Equivalence, Equidecomposability, and Unimodular Equivalence of Integral Polytopes
Ehrhart多项式是广泛研究的结构，它插值积分$n$ -多面体的膨胀的离散体积。然而，Ehrhart多项式的系数仍然没有被完全理解，并且不知道两个多面体何时具有等价的Ehrhart多项式。本文建立了Ehrhart-equivalence与其它等价形式之间的关系：$\mathbb{R}^n$中两个整数$n$ -多面体的$\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ -等可分解性和么模等价性.我们猜想任意两个Ehrhart-equivalent整$n$ -多面体$P,Q\subset\mathbb{R}^n$是$\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ -等分解为$\frac{1}{(n-1)!}$ -th么模单形的，从而推广了$n=1, 2, 3$的已知情况.我们还创建了一个算法来检查的任何两个积分$n$ -单纯形在$\mathbb{R}^n$的幺模等价。然后，我们发现并证明了一个新的单模等价的积分$2$ -单纯形和单模等价的$n$维金字塔之间的一一对应。最后，我们证明了在$\mathbb{R}^n$中存在积分$n$ -单形，它们对所有$n \ge 2$不是幺模等价的。
Ehrhart Theory of the Join of Two Lattice Polytopes
受两个格点多面体笛卡尔积研究的启发，本文研究两个格点多面体联合的Ehrhart理论，解决了美国数学研究所网站上的一个著名开放问题。
Integer point enumeration on independence polytopes and half-open hypersimplices
本文研究一致拟阵的独立拟阵多胞形的Ehrhart理论。证明了这类多面体存在一个正系数的Ehrhart多项式。为了做到这一点，我们证明，确实所有的半开超单是Ehrhart积极的，并瓷砖不相交我们的多面体使用它们。
Volumes and Ehrhart polynomials of flow polytopes
$A_n$型根系的Lidskii公式用Kostant分拆函数表示了具有非负整数网流的完全图的流多面体的体积和Ehrhart多项式。对于每一个整数多面体，体积是Ehrhart多项式的首项系数。Lidskii公式的美妙之处在于，它揭示了对于这些多面体，它的Ehrhart多项式函数可以从它的体积函数推导出来！Baldoni和Vergne推广了Lidskii关于任意图$G$和非负整数网流的流多面体的结果.虽然他们的公式是组合的性质，他们的证明是基于剩余计算。在本文中，我们构造规范的多面体细分的流多面体，我们用来证明Baldoni-Vergne-Lidskii公式。与这些公式的原始计算证明相比，我们的证明揭示了它们的几何和组合学。最后，我们展示枚举性质的Lidskii公式，通过我们的典型的多面体细分。
Computing parametric weighted Ehrhart polynomials of smooth polytopes
该研究证明整多面体形变时加权厄尔哈特与$h^*$-多项式系数是分段多项式函数，提出并在SageMath中实现了基于加权欧拉-麦克劳林公式的光滑多面体计算算法，并讨论了加权$h^*$-多项式系数符号的相关问题。
Ehrhart positivity for marked order polytopes
研究标定顺序聚类的Ehrhart正性，通过多项式系数非负性准则证明其多变量正性，扩展了Ferroni-Morales-Panova等人的研究成果，并验证了关于斜Gelfand-Tsetlin聚类和m-广义Pitman-Stanley聚类的Ehrhart正性猜想。
The unimodality of the Ehrhart $δ$-polynomial of the chain polytope of the zig-zag poset
本文证明了Kirillov提出的Z字形偏序集的链多胞形的Ehrhart $δ$ -多项式的单峰性。首先，基于Stanley的一个结果，我们证明了这个多项式与带有自然标号的zig-zag偏序集的$W$ -多项式是一致的。然后，它的单峰性直接来自Gasharov的一个结果，即秩为$1$或$2$的自然标号分次偏序集的$W$ -多项式是单峰的。
Multidimensional Ehrhart Reciprocity
在以前的论文（El。J. Combin。6（1999），R37），作者推广了Ehrhart关于扩张有理多面体中格点计数的思想：给定一个有理多面体，即一个具有有理顶点的多面体，我们用半空间的交来描述它，半空间决定了多面体的刻面。而不是仅仅一个单一的膨胀因子，我们允许不同的膨胀因子为这些方面的每一个。我们证明了，如果我们的多面体是一个单纯形，在这样的一个向量扩张的单纯形的内部和封闭的格点计数是满足Ehrhart-type互易律的拟多项式。这推广了有理多面体的经典互反律。在本文中，我们完成了这一结果的图片，推广到一般的合理多面体。作为推论，我们还推广了Stanley的一个互易定理.
Reconstruction of rational polytopes from the real-parameter Ehrhart function of its translates
当扩展Ehrhart格点枚举器$L_P(t)$以允许实膨胀参数$t$时，我们失去了当$t$被限制为整数时存在的整数平移下的不变性。本文研究了这种现象，特别是，它表明，全维$P$，不仅有无穷多个不同的功能$L_{P + w}(t)$（整数$w$），但理性$P$的这些功能的集合标识唯一的$P$。
Periods of Ehrhart coefficients of rational polytopes
研究有理多面体Ehrhart系数的周期性，通过构造多面体族来探索准多项式的周期特性。
Roots of Ehrhart polynomials of Gorenstein Fano polytopes
给定任意整数$k$和$d$，并有$0 \leq 2k \leq d$，我们构造了一个维数为$d$的Gorenstein Fano多面体$\Pc \subset \RR^d$，使得（i）它的Ehrhart多项式$i(\Pc, n)$有$d$不同的根;（ii）$i(\Pc, n)$恰好有$2k$虚根;（iii）$i(\Pc, n)$恰好有$d - 2k$实根;（iv）每个虚根的实部等于$- 1 / 2$ ;（v）所有的实根都属于开区间$(-1, 0)$。
Counting integer points of flow polytopes
Baldoni-Vergne体积和Ehrhart多项式公式的流动多面体是显着的至少在两个方面。一方面，这些公式是根据Kostant分拆函数，将流多面体连接到表示论中基本的经典向量分拆函数。另一方面，Ehrhart多项式可以从流动多胞体的体积函数中读出。后者是值得注意的，因为整数多面体的Ehrhart多项式的首项是它的体积！Baldoni和Vergne通过留数证明了这些公式。为了揭示这些公式的几何性质，第二作者和Morales给出了体积公式的完全几何证明和Ehrhart多项式公式的部分母函数证明。本文的目的是对流多面体的Ehrhart多项式公式提供一个完全的几何证明。
Transfer Matrices and Ehrhart Theory for Path and Cyclic Block Polytopes
研究变量分块的块多面体，对路径排列的块在长度和扩张方向进行转移矩阵枚举与埃尔哈特理论分析，给出相关公式，还研究了循环类似物，阐述了路径和循环多面体的一些性质及相关组合解释与开放问题。
The Minimum Period of the Ehrhart Quasi-polynomial of a Rational Polytope
若$P\subset \R^d$是有理多面体，则$i_P(n):=#(nP\cap \Z^d)$是$n$中的拟多项式，称为$P$的Ehrhart拟多项式。$i_P(n)$的周期必须除以$\LL(P)= \min \{n \in \Z_{> 0} \colon nP \text{is an integral polytope}\}$。已知很少有周期不完全是$\LL(P)$的例子。证明了对任意的$\LL$，存在一个二维三角形$P$使得$\LL(P)=\LL$，但使得$i_P(n)$的周期为1，即$i_P(n)$是$n$中的多项式.我们还刻画了所有多边形$P$，使$i_P(n)$是一个多项式。此外，我们还给出了T. Zaslavsky关于Ehrhart拟多项式的系数的周期。
Chainlink Polytopes and Ehrhart-Equivalence
本文提出 chainlink polytopes，基于 circular fence posets 的秩序列对称性，构造具有相同 Ehrhart 拟多项式的非同构有理多胞体对无限族，并证明 circular rank polynomials 的单峰性猜想。
The root distributions of Ehrhart polynomials of free sums of reflexive polytopes
本文研究了一类自反多面体自由和的Ehrhart多项式的根分布。研究了$A_d^\vee$或$A_d$的自由和的Ehrhart多项式的根位于复平面$\mathbb{C}$上的标准线$\mathrm{Re}(z)=-\frac{1}{2}$上的情形，其中$A_d$表示维数为$d$的A型根多面体，$A_d^\vee$表示其极对偶.例如，证明了具有$\min\{m,n\} \leq 1$的$A_m^\vee \oplus A_n^\vee$或对于任何$n$的$m+n \leq 7$、$A_2^\vee \oplus (A_1^\vee)^{\oplus n}$和$A_3^\vee \oplus (A_1^\vee)^{\oplus n}$满足该性质。我们还进行了计算实验的其他类型的自由和的$A_n^\vee$的或$A_n$的。
Techniques in equivariant Ehrhart theory
等变Ehrhart理论将格点计数的研究推广到也可以解释在线性群作用下多面体的对称性。我们提出了一个目录的技术与应用在这一领域，包括zonotopal分解，对称三角剖分，组合解释的$h^\ast$ -多项式，和证书（非）存在不变的非退化超曲面。我们将这些方法应用到几个家庭的例子，包括超单形，轨道多面体，图形zonotopes，扩大图书馆的多面体，他们的等变Ehrhart理论是已知的。
Ehrhart polynomials of 3-dimensional simple integral convex polytopes
利用复曲面几何给出了三维简单积分凸多胞体的Ehrhart多项式的一个显式公式。
Reconstruction of symmetric convex bodies from Ehrhart-like data
在以前的论文中，我们展示了如何使用Ehrhart函数$L_P(s)$（由$L_P(s) = \#(sP \cap \mathbb Z^d)$定义）来重建多面体$P$。更具体地说，我们证明了，对于有理多面体$P$和$Q$，如果$L_{P + w}(s) = L_{Q + w}(s)$对所有整数向量$w$，那么$P = Q$。在本文中，我们证明了相同的结果，但假设$P$和$Q$是对称的凸体，而不是有理多面体。
Machine Learning the Dimension of a Polytope
我们使用机器学习直接从其Ehrhart级数预测格多面体的维数。这是非常有效的，几乎达到100%的准确性。我们还使用机器学习从其Ehrhart系列中恢复晶格多面体的体积，并从其Ehrhart系列中恢复有理多面体的维数，体积和准周期。在每种情况下，我们都达到了非常高的精度，我们提出了数学解释为什么会这样。
Ehrhart Limits
引入Ehrhart极限的定义，即一个整系数形式幂级数是Ehrhart $h^*$ -多项式序列的形式幂级数环中的极限.我们确定了各种各样的例子序列的多面体，产生Ehrhart限制，重点是自反多面体和单纯形。
On a Conjecture Concerning the Roots of Ehrhart Polynomials of Symmetric Edge Polytopes from Complete Multipartite Graphs
本文针对完全多部图对称边多胞体Ehrhart多项式根的猜想，沿用已有方法验证了若干新类，并指出原方法可能不足以证明一般情形。
A finite calculus approach to Ehrhart polynomials
有理多面体是$\R^d$中具有有理坐标的有限点集的凸包。给定一个有理多面体$P \subseteq \R^d$，埃赫哈特证明，对于$t\in\Z_{\ge 0}$，功能$#(tP \cap \Z^d)$同意与准多项式$L_P(t)$，所谓的埃赫哈特准多项式。Ehrhart拟多项式可以看作是一个多面体体积的离散形式。我们用这个类比来推导埃赫哈特定理的一个新证明。这个证明也使我们能够快速证明其他两个事实埃赫哈特准多项式：麦克马伦定理的周期性的个别系数的准多项式和埃赫哈特-麦克唐纳定理的互易性。
The equivariant Ehrhart theory of polytopes with order-two symmetries
我们研究了在二阶群的非平凡作用下不变的多面体族的等变Ehrhart理论。本文研究了一类等变$H^*$ -多项式既有效又无效的多面体，特别是圈的对称边多面体和有理交叉多面体。后者提供了一个反例的有效性猜想，如果要求的顶点的多面体有整数坐标放松，以允许合理的坐标。此外，我们还给出了一个反例，其Ehrhart函数的周期为1，并且与格多面体的Ehrhart函数重合。
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