The Complexity of Finding Small Triangulations of Convex 3-Polytopes
Alexander Below, Jesús A. De Loera, Jürgen Richter-Gebert
本文证明了对具有较少四面体的凸三维多面体求三角剖分问题是NP-困难的。我们讨论其他相关的复杂性结果。
The problem of finding a triangulation of a convex three-dimensional polytope with few tetrahedra is proved to be NP-hard. We discuss other related complexity results.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Regular Unimodular Triangulation of the Matroid Base Polytope
本文构造了任意拟阵基多面体的首个正则幺模三角剖分，并将其推广至整广义置换多面体，解决了此前幺模覆盖存在性未知的问题。
Trianguloids and Triangulations of Root Polytopes
两个单形的乘积的三角剖分，更一般地，根多面体的三角剖分与Gelfand-Kapranov-Zelevinsky的判别式理论、热带几何、热带定向拟阵和广义置换面密切相关。我们介绍了一种新的方法，这些对象，确定一个三角形的根多面体与一定的双射格点之间的两个广义置换面。为了研究这类双射，我们定义三角形为满足简单局部公理的边有色图。证明了三角形胚与根多面体的三角剖分是双射。
Many regular triangulations and many polytopes
本文证明了对于固定的 $d>3$ 且 $n$ 趋于无穷，具有 $n$ 个顶点的不同标号组合型 $d$-多胞形至少有 $(n!)^{d-2 \pm o(1)}$ 种，约为先前最佳下界的平方，并以此类多胞形的正则三角剖分数量作为中间步骤。
Planar pseudo-triangulations, spherical pseudo-tilings and hyperbolic virtual polytopes
我们希望提请注意两种理论之间有趣和有希望的相互作用。一方面，\textbf{pseudo-triangulations}理论对于隐式地解决卡彭特规则问题是有用的，并且后来被证明为图嵌入提供了一个很好的工具。另一方面，它是双曲虚多面体理论，它产生于一个古老的关于凸体的唯一性猜想（A. D. Alexandrov的问题：假设一个常数$C$在任何地方（非严格地）分离光滑三维凸体$K$的主曲率半径。那么$K$必然是一个半径为$C$的球。两个关键思想是：通过从平面伪三角形到球面伪平铺，我们避免了非点顶点。相反，我们使用伪二进制。给出了球面嵌入Laman加1图的一个定理。构造双曲多面体的困难问题可以归结为求球面嵌入图的问题。
Equatorial Flow Triangulations of Gorenstein Flow Polytopes
本文应用Bruns和Römer的赤道三角剖分技术，给出Gorenstein流多面体未被研究的三角剖分的纯组合描述，证明其与框架法所得三角剖分不同，还找到投影自反多面体的面描述，并在强平面偏序集下生成序多面体新幺模三角剖分。
Simion's type $B$ associahedron is a pulling triangulation of the Legendre polytope
我们表明，Simion的类型$B$ associahedron是combinatorially相当于一个拉三角形的类型$B$根多面体称为勒让德多面体。此外，我们表明，每拉三角勒让德多面体产生一个标志复杂。我们的三角剖分细化的勒让德多面体的Cho给出的分解。我们扩展赵的循环群作用的三角剖分，以这样一种方式，它对应于旋转中心对称三角形的一个定期$(2n+2)$ -边形。最后，我们给出了Simion型$B$结合面体的面与Delannoy路之间的一个双射.
Existence of a regular unimodular triangulation of the edge polytopes of finite graphs
本文利用基本FHM-图的一些简单数据，给出了基本FHM-图的边多面体具有正则幺模三角剖分的几个判别准则。我们进一步应用我们的标准的几个例子的图，并表明，他们的边多面体具有定期幺模三角剖分。
Extremal properties for dissections of convex 3-polytopes
凸d-多面体的剖分是将多面体划分为顶点在多面体的顶点之间的d-单形。三角剖分是具有附加性质的剖分，其所有单形的集合形成单纯复形。剖分的大小是它所包含的d-单形的数量。本文比较了最大三角剖分与最大剖分。我们还表现出较低和上界的3-多面体的解剖的大小和分析极值大小的三角形为特定的非单纯多面体：棱镜，反棱镜，阿基米德固体，和组合d-立方体。
Neighborly inscribed polytopes and Delaunay triangulations
我们构造了一个大家族的相邻多面体，可以实现的所有顶点的边界上的任何光滑严格凸体。特别是，我们表明，有superexponentially许多组合不同的邻居多面体，承认实现上的领域。这些是不是循环多面体的可内刻相邻多面体的第一个例子，并且提供了可内刻多面体的组合类型的数量的当前最佳下界（其与多面体的组合类型的数量的当前最佳下界一致）。通过球极平面投影，这转化为（相邻）Delaunay三角剖分的组合类型的数量的超指数下界。
On flow polytopes, order polytopes, and certain faces of the alternating sign matrix polytope
本文研究Chan-Robbins-Yuen多面体的交替符号矩阵模拟，我们称之为ASM-CRY多面体。我们证明了这个多面体有Catalan多个顶点，它的体积等于阶梯形的标准Young tableaux的数目，我们还确定了它的Ehrhart多项式。通过证明包含ASM-CRY的交替符号矩阵多面体的面族的成员是序多面体和流多面体，我们实现了前面的结论。受上述结果的启发，我们涉及三个已建立的三角形的顺序和流多面体，即斯坦利的三角形的顺序多面体，Postnikov-Stanley三角形的流多面体和Danilov-Karzanov-Koshevoy三角形的流多面体。当一个图$G$是一个可平面图，在这种情况下，流多面体$F_G$也是一个顺序多面体，斯坦利的三角剖分这个顺序多面体是一个Danilov-Karzanov-Koshevoy三角剖分的$F_G$。此外，对于一般图$G$，我们证明了$F_G$的Danilov-Karzanov-Koshevoy三角剖分集是$F_G$的Postnikov-Stanley三角剖分集的子集。我们还描述了明确的双射之间的组合对象标记的单形在上述三角剖分。
Triangulations, order polytopes, and generalized snake posets
本文研究了由广义蛇偏序集类及其交不可约元偏序集所产生的序多面体。在同秩的广义蛇偏序集中，刻画了序多面体具有最小和最大体积的广义蛇偏序集。我们给出了这些顺序多面体的电路的组合特征，然后得出结论，每个三角是么模。对于一个广义的蛇字，我们计数的翻转这些顺序多面体的规范三角剖分的数量。本文确定了滤子格来自于梯子的偏序集的序多面体的翻转图是对称群的Cayley图。最后，我们介绍了三角剖分的一个操作称为扭曲，并证明扭曲保持定期三角剖分。
Triangulations of root polytopes
设$Φ$是一个不可约的晶体学根系，而$\mathcal P$是它的根多面体，即，它的凸包。我们提供了一个统一的建设，为所有的根类型，一个三角形的方面的$\mathcal P$。我们还证明了，在每个轨道下的Weyl群的作用方面，三角是单模的根子格，取决于轨道。
Expansive Motions and the Polytope of Pointed Pseudo-Triangulations
我们引入了平面上点集的点伪三角剖分的多面体，定义为点的无限小扩张运动的多面体受到一定的限制，其距离的增加。它的1-骨架是顶点是点集的点伪三角剖分，边是内部伪三角剖分边的翻转的图。对于凸位置上的点，我们得到了一个新的结合面体的实现，即，一个几何表示的一组三角形的n边形，或一组二叉树的n个顶点，或许多其他的组合对象，是计数的加泰罗尼亚数字。通过考虑1维版本的多面体的约束扩张运动，我们得到了第二个不同的实现的associahedron作为一个扰动的正细胞在考克斯特安排。我们的方法产生了一个新的证明，即平面上的每个简单多边形或多边形弧都有扩张运动，这是Connelly，Demaine和Rote（2000）和Streinu（2000）证明Carpenter规则定理的关键步骤。
Pipe dream complexes and triangulations of root polytopes belong together
在本文中，我们表明，白日梦复杂的排列1 n（n-1）. 2的三角剖分可以几何地实现为根多面体的顶点图形的三角剖分。导致这一结果，我们表明，Grothendieck多项式专门的h-多项式的相应的白日梦复杂，这在某些情况下等于h-多项式的规范三角形的根（和流）多面体，这反过来又等于一个专业化的简化形式的单项式的细分代数的根（和流）多面体。因此，我们将Grothendieck多项式连接到细分代数和根（和流）多面体的简化形式。我们还表明，根多面体可以被看作是流多面体的投影，说明这些家庭的多面体具有相同的细分代数。
Unimodular triangulations of sufficiently large dilations
整数多面体是顶点具有整数坐标的多面体。$\mathbb{R}^d$中整多面体的幺模三角剖分是其中所有单形都与体积$1/d!$积分的三角剖分。Knudsen、Mumford和Waterman的一个经典结果指出，对于每个整数多面体$P$，存在一个正整数$c$使得$cP$有一个幺模三角剖分。我们加强这一结果表明，对于每一个整数多面体$P$，存在$c$，使每一个正整数$c' \ge c$，$c'P$承认一个幺模三角。这回答了该地区一个长期存在的问题。
Colorful Associahedra and Cyclohedra
每一个n边着色n-正则图G都自然地产生一个简单的抽象n-多面体，即G的着色多面体，它的1-骨架与G同构。本文描述了正多面体和正多面体的彩色多面体形式。像它们的经典对应物一样，彩色的协面体和多面体编码三角剖分和翻转，但是现在增加了三角剖分的对角线是彩色的并且三角剖分的邻接需要颜色保持翻转的功能。从边有色图出发，将着色图的顶点表示这些三角剖分，边的颜色表示翻转对角线的颜色，从而得到了着色联想多面体和着色多面体。
Triangulations of Cayley and Tutte polytopes
凯莱多面体最近被定义为凸包凯莱组成介绍了凯莱在1857年。本文解决了Braun猜想，该猜想用连通图的个数表示Cayley多面体的体积。我们将这一结果推广到Cayley多面体的两个单变量变形（我们称之为t-Cayley和t-Gayley多面体），以及最一般的双变量变形，我们称之为Tutte多面体。后者的体积是通过评估的Tutte多项式的完全图。我们的方法是基于一个明确的三角形的凯莱和Tutte多面体。我们证明了三角剖分中的单形对应于标号树。证明的核心是基于邻域优先搜索图遍历算法的直接双射。
Framing Triangulations for Arbitrary Integer Flow Polytopes
本文首次为任意整数流多面体引入（单模）框架三角剖分理论，通过定义“良序”框架三角剖分类，克服一般情形下的病态问题，并继承单位流情形下的关键性质。
Subword complexes via triangulations of root polytopes
子字复形是由Knutson和Miller引入的单纯复形，用于说明舒伯特多项式和行列式理想的组合。他们证明了任何子字复形都同胚于一个球或一个球面，并询问了它们的几何实现。我们表明，一个家庭的子字复合体可以实现几何通过定期三角形的根多面体。这意味着一族$β$ -Grothendieck多项式是根多面体的细分代数中约化形式的特殊情况。我们也可以用$β$ -Grothendieck多项式来表示根多面体的体积和Ehrhart级数。
Good Triangulations of Cosmological Polytopes
本文研究宇宙多面体的良好三角剖分，列举所有最大单纯形并提供将三角剖分转化为半开分解的方法，推导出宇宙多面体的h*-多项式是定义图的Tutte多项式特例，解决若干开放问题与猜想。
New counts for the number of triangulations of cyclic polytopes
我们的报告列举了三角形的循环多面体与新的软件mptopcom。这与它与更高的Stasheff-Tamari阶的联系有关，后者出现在范畴论和代数组合学中。
Persistent Graphs and Cyclic Polytope Triangulations
证明了3维循环多面体C（n+2，3）与n阶持久图的三角剖分之间的双射。我们表明，在这种双射的Stasheff-Tamari订单三角自然转化为子图之间的持久图包含。此外，我们描述了第二个更高的Bruhat阶B（n，2）的连接。我们还给出了一个算法，有效地枚举所有持久图的n个顶点，从而所有的三角剖分C（n+2，3）。
Universality theorems for inscribed polytopes and Delaunay triangulations
我们证明了每一个准素基本半代数集同伦等价于一个多面体的内接实现集（直到莫比乌斯变换）。如果半代数集是开放的，那么，此外，我们证明了（同伦），它是一个收缩的实现空间的一些内接邻居（和单纯）多面体。我们还表明，所有的代数扩张$\mathbb{Q}$需要协调内接多面体。这些陈述表明内接多面体表现出Mnëv普适性现象。通过球极平面投影，这些定理直接转化为Delaunay细分的普适性定理。特别是，我们的结果意味着Delaunay三角剖分的可实现性问题是多项式等价的实数的存在性理论。
Alcoved Polytopes I
本文的目的是研究凹多面体，这是多面体所产生的仿射Coxeter安排。这类凸多胞体包括许多经典的多胞体，例如超单胞。我们比较了两个建设的三角剖分的超单形由于斯坦利和Sturmfels和解释他们的凹多面体。研究了凹多面体的三角剖分及其邻接图，给出了凹多面体体积的一个组合公式。特别是，我们研究了一类拟阵多面体，我们称之为多重超单形。
Alexandrov's theorem, weighted Delaunay triangulations, and mixed volumes
给出了关于边界上具有给定度量的凸多胞体的存在性的亚历山德罗夫定理的构造性证明。该多面体是在给定边界的广义凸多胞体类中通过某种变形而得到的。研究了广义凸多胞体空间，发现了它与多面体曲面的加权Delaunay三角剖分之间的关系。正曲广义凸多胞体的总数量曲率的Hessian的非退化性证明了这种变形的存在。后者被证明是等于对偶广义多面体的体积的海森。我们通过推广Alexandrov-Fenchel不等式证明了非退化性。我们的构造一个凸多胞体从一个给定的度量在一个计算机程序中实现。
A Triangulation of the Flow Polytope of the Zigzag Graph
本文通过网格图子图刻画之字形图流多面体三角剖分的对偶图，利用整数流给出邻接的数值特征，并提出两个新统计量以恢复$h^*$-多项式。
Classification of uniform flag triangulations of the boundary of the full root polytope of type $A$
$A$类型的全根多面体是我们用向前和向后箭头表示的标准基向量的所有成对差的凸包。我们完全分类的所有标志三角形的多面体是统一的，在这个意义上说，边缘可以被描述为一个函数的相对顺序的索引的四个基本向量。这十五个三角剖分自然分为三类：三个在lex类，三个在revlex类，九个在Simion类。我们还考虑了一个细化的面数，我们区分前进和后退箭头。我们证明了改进的面数只依赖于三角剖分的类。精化面母函数用Catalan母函数、Delannoy母函数和第一类修正Bessel函数表示。
S-hypersimplices, pulling triangulations, and monotone paths
$S \subseteq \{0,1, \dots,d\}$的$S$ -超单形是所有长度为$d$的$0/1$ -向量的凸包，其坐标和在$S$中。这些多面体推广了经典的超单形以及立方体、交叉多面体和半立方体。本文研究了$S$ -超单的面与剖分。此外，我们还证明了$S$ -超单形的单调路径多胞形可以产生所有类型的多重置换面。在类比立方体，我们还表明，在一个拉三角形的一个halfcube的单形的数量是独立的拉动顺序。
Triangulations of cosmological polytopes
对于一个给定的费曼图定义了一个宇宙多面体，它的标准形可以用来计算费曼图对某些宇宙模型的波函数的贡献。给定一个多面体的细分，它的标准形是作为细分的小平面的标准形之和而得到的。在本文中，我们确定这样的公式的标准型通过代数技巧。它表明，每一个宇宙学多面体的环面理想承认Gröbner基与squarefree初始理想，产生一个正则幺模三角形的多面体。在特定情况下，包括树和循环，我们恢复此类三角剖分的刻面的图形特征，可用于计算所需的规范形式。对于路和圈，这些特征允许简单的枚举。因此，我们得到了这些多面体的归一化体积的公式，扩展了Kühne和Monin以前的观察。
Unimodular triangulations of dilated 3-polytopes
由于Knudsen，Mumford和Waterman（1973），环面簇理论中的一个开创性结果断言，对于每个格多面体$P$，存在正整数$k$，使得扩张多面体$kP$具有幺模三角剖分。在第3维中，Kantor和Sarkaria（2003）已经证明了$k=4$对每个多面体都有效。但这并不意味着每个$k>4$都能正常工作。我们在这里研究的值的$k$的结果表明：1。它包含所有的合数。2.它是一个加法半群。这两个属性意味着$k$唯一可能不起作用的值（除了已知不起作用的1和2之外）是$k\in\{3,5,7,11\}$。一个特设的建设，我们表明，$k=7$和$k=11$也工作，除了在这种情况下，三角测量不能保证是“标准”的边界。总之，唯一的开放病例是$k=3$和$k=5$。
Equivariant Ehrhart theory, commutative algebra and invariant triangulations of polytopes
本文发展等变Ehrhart理论，通过建立与交换代数的联系并探讨格多胞体存在不变格三角剖分的条件，推广了经典Ehrhart理论以处理有限群作用下的格点计数问题。
Root polytopes, triangulations, and the subdivision algebra, I
A_n型全根多面体是R^{n+1}中原点和点e_i-e_j（1<= i<j <= n+1）的凸包。给定顶点集[n+1]上的树T，其根多面体P（T）是全根多面体与向量e_i-e_j生成的锥的交，其中（i，j）是T的一条边，i<j.在约化x_{ij} x_{ij}--> x_{ik} x_{ij} + x_{jk} x_{ik} +β x_{ik}下，给出了交换变量x_{ij}中某个单项式m[T]的约化形式，可以解释为P（T）的三角剖分。利用这些三角剖分，得到了P（T）的体积和Ehrhart多项式。如果我们允许变量x_{ij}和x_{kl}仅在i，j，k，l不同时交换，则m[T]的简化形式是唯一的，并产生P（T）的规范三角剖分，其中每个单形对应于一个不相交的交错森林。最一般地说，在非对易情形下，所有单项式的约化形式都是唯一的。
Inscribable stacked polytopes
通过刻画可内接的堆叠d-多胞体的组合类型，等价地识别了通过星形细分得到的单形三角剖分中哪些可实现为Delaunay三角剖分。
Birkhoff polytopes of different type and the orthant-lattice property
Birkhoff多胞形定义为$n\times n$置换矩阵的凸包，是Ehrhart理论中研究得很好的多胞形。已知这个多面体有许多理想的性质，例如Gorenstein性质和存在规则的幺模三角剖分。在本文中，我们研究的Birkhoff多面体的有限不可约Coxeter群的其他类型的类似物。我们专注于一个类型$B$ Birkhoff多面体$\mathcal{BB}(n)$所产生的签署置换矩阵，并证明它和它的对偶多面体是自反的，因此Gorenstein，也具有定期，单模三角剖分。注意到，我们的三角证明不依赖于组合结构的$\mathcal{BB}(n)$，我们定义了一个正交格属性多面体的概念，并用它来证明更一般的结果存在的定期，单模三角和单模覆盖的一个重要的家庭的自反多面体。最后，我们通过评论的一些连接到盖尔对偶，伯克霍夫多面体的其他类型，和可能的应用程序的正交格属性。
Regular dyadic triangulations of delta-matroid polytopes
本文证明每个delta-拟阵多面体（及更一般的整B型广义置换多面体）存在正则二进三角剖分，其最大单纯形体积为2的幂，并指出B型中唯一非幺模单纯形例外，基于B型根配置的完全二进性。
Polytope numbers and their properties
多面体的多面体数是由多面体的表面信息定义的非负整数序列。每个多边形都是可三角化的，这个事实的一个更高维的类似物指出，每个多面体都是可三角化的，也就是说，每个多面体都可以分解成单形。因此，可以用单纯形数的和来表示多面体数。我们分析了一种特殊类型的三角剖分，称为点三角剖分，并开发了几种方法来表示多面体数的单形数的总和。
Stacked polytopes and tight triangulations of manifolds
三角流形的紧性是一个拓扑条件，大致上意味着三角剖分到欧几里得空间的任何单形线性嵌入都是“尽可能凸”的。因此，它可以被理解为凸性概念的推广。在偶数维中，超邻性被认为是一个纯粹的组合条件，这意味着三角剖分的紧密性。在这里，我们提出了其他充分和纯组合的条件，可以适用于奇维的情况下，以及。其中一个条件是所有顶点链接都是堆叠的球体，这意味着三角剖分属于Walkup的类$\mathcal{K}(d)$。我们表明，在任何尺寸$d\geq 4$ \emph{tight-neighborly}三角定义的Lutz，Sulanke和Swartz是紧的。此外，三角剖分与$k$堆叠顶点链接和中心对称的情况下进行了讨论。
The polytope of non-crossing graphs on a planar point set
对于$\R^2$中$n$点的有限集$\A$，定义了一个$(3n-3)$维简单多面体，它的面偏序集同构于具有顶点集$\A$的"非交叉标记图“的偏序集，其中标记图定义为几何图及其顶点子集. $\A$上的非交叉图的偏序集表现为该多面体中的一个面的星形的补。多面体有一个唯一的最大有界面，其维数为$2n_i +n -3$，其中$n_i$是$\conv(\A)$内部$\A$的点数。这个多面体的顶点都是$\A$的伪三角剖分，边是两种类型的翻转：传统的对角翻转（在伪三角剖分中）和删除或插入一条边。作为我们的建设的副产品，我们证明了所有的伪三角形是无穷小刚性图。
Existence of unimodular triangulations - positive results
格多面体的幺模三角剖分出现在代数几何、交换代数、整数规划以及组合数学中。在这篇文章中，我们回顾了几类多面体，并保持其存在的幺模三角剖分和建设。我们包括，特别是，第一个有效的证明经典的结果由克努森-芒福德-沃特曼指出，每一个格多面体有一个膨胀，承认一个幺模三角。我们的证明产生了一个明确的（虽然双指数）的膨胀因子。
Triangulations of Flow Polytopes, Ample Framings, and Gentle Algebras
该研究刻画了容许充足标架的有向无环图特征并枚举其数量，建立了DKK三角剖分极大单纯形与gentle代数τ-倾斜偏序集的联系，证明完全DAG的流多面体为Gorenstein且具有单峰Ehrhart h*-多项式。
Generalized break divisors and triangulations of Lawrence polytopes
本文利用余图拟阵 Lawrence 多面体的三角剖分定义生成树上的函数，构造图的 g 次 Picard 群代表元，并刻画其与结点曲线稳定性条件的对应关系。
The brick polytope of a sorting network
准多面体是一个多面体，它的图形是一个凸多边形三角剖分上的翻转图形。伪三角剖分和多重三角剖分以两种不同的方式推广了三角剖分，它们已经由Pilaud和Pocchiola在他们研究由给定排序网络支持的具有接触的伪线安排上的翻转图时统一了。在本文中，我们构建了一个排序网络的砖多面体，获得的凸包的砖向量与网络支持的每个伪线安排。我们组合的特点，这个多面体的顶点，描述它的脸，并将其分解为一个Minkowski和拟阵多面体。我们的砖多面体包括Hohlweg和Lange的许多实现的associahedron，出现作为砖多面体的某些精心挑选的排序网络。我们还讨论了砖多面体的排序网络支持伪线安排，对应于多三角形的凸多边形：我们的多面体只实现子图的翻转图上的多三角形，他们不能出现作为一个假设的multiassociahedron的投影。
The Hyperdeterminant and Triangulations of the 4-Cube
格式为2 x 2 x 2 x 2的超行列式是16个未知数的24次多项式，有2894276项。我们计算这个多项式的牛顿多面体和4-立方体的第二多面体。87959448个正则三角剖分分为25448个D-等价类，每个类对应于牛顿多面体的每个顶点。4-立方体有80876个粗规则的细分，一个次级多面体的每个面，但只有268个来自超行列式。
Notes on Convex Sets, Polytopes, Polyhedra, Combinatorial Topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations
凸集、多面体、组合拓扑等基本数学工具在几何建模、网格划分、计算机视觉、医学成像、机器人等应用领域中有着广泛的应用。这份报告可以看作是一个教程和一套说明凸集，多面体，多面体，组合拓扑，Voronoi图和Delaunay三角剖分。它是为广大数学爱好者准备的。我对V-多面体和H-多面体的等价性以及V-多面体和H-多面体的等价性进行了相当全面的处理，这有点难。特别是，傅立叶-Motzkin消元法（一个版本的高斯消去法的不等式）进行了详细讨论。我还包括一些材料的射影空间，射影地图和极对偶w.r. t。一个非退化的二次曲面，以定义一个适当的概念“投影多面体”的基础上锥。据我们所知，这种射影多面体的概念是新的。我们还认为，我们的一些证明建立等价的V-多面体和H-多面体是新的。
Locally anti-blocking $\mathbf{g}$-polytopes for flow polytopes
本文研究有向无环图流多面体的局部反阻塞 $\mathbf{g}$-多面体，给出了组合刻画、最小面特征、DKK三角剖分的拉回三角剖分性质，并引入相干图模型。
Shelling and triangulating the (extra)ordinary polytope
普通多面体是由Bisztriczky作为循环多面体的（非单纯）推广而引入的。我们证明了普通多面体的刻面的上凸序是一个剥壳序。这种脱壳与单纯多面体的脱壳有许多共同的性质。我们也给出了一个浅三角剖分的普通多面体，并显示如何壳和三角剖分是用来计算环面h-向量的普通多面体。作为一个结果，我们得到每个壳分量对h向量的贡献是非负的。另一个结果是一个组合证明的项目的h-向量的任何普通多面体是简单的总和二项式系数。
Root polytopes and abelian ideals
利用有限不可约晶体根系$Φ$的根多面体$\mathcal P_Φ$与具有根系$Φ$的单李代数的Borel子代数的交换理想的关系，研究了它的根多面体.我们确定了$\mathcal P_Φ$余维2的面所对应的超平面排列，并分析了它与$\mathcal P_Φ$刻面的关系.对于$A_n$或$C_n$型的$Φ$，我们证明了在外尔群作用下交换理想的某些特殊子集的轨道参数化了$\mathcal P_Φ$的三角剖分.我们表明，这种三角形限制到三角形的正根多面体$\mathcal P_Φ^+$。
Ehrhart Theory of the Join of Two Lattice Polytopes
受两个格点多面体笛卡尔积研究的启发，本文研究两个格点多面体联合的Ehrhart理论，解决了美国数学研究所网站上的一个著名开放问题。
The Newton polytope of the discriminant of a quaternary cubic form
本文确定了四元三次型判别式的$166\,104$极值单项式。这些是在双射与$D$ -等价类的正规三角剖分的$3$ -扩张四面体。我们描述了如何计算这些三角和它们的$D$ -等价类，以达到我们的主要结果。该计算带来了几个挑战，例如有效地处理大量的三角测量，以及设计一种适当快速的算法来计算$D$ -等价类。
Triangulations and Canonical Forms of Amplituhedra: a fiber-based approach beyond polytopes
任何完全正的$(k+m)\times n$矩阵都导出一个从正的格拉斯曼${\rm Gr}_+(k,n)$到格拉斯曼${\rm Gr}(k,k+m)$的映射$π_+$，其像是幅面体$\mathcal{A}_{n,k,m}$，并被赋予称为标准形${\bfΩ}(\mathcal{A}_{n,k,m})$的最高次形式。这个结构是由Arkani-Hamed和Trnka引入的，他们在那里证明了${\bfΩ}(\mathcal{A}_{n,k,4})$编码了$\mathcal{N}=4$超级杨-米尔斯理论中的散射振幅。此外，${\bfΩ}(\mathcal{A}_{n,k,m})$的计算减少到寻找三角剖分的$\mathcal{A}_{n,k,m}$。然而，尽管多面体的三角剖分完全被它们的次级多面体捕获，但对多面体之外的物体的三角剖分的研究仍然不发达。我们开始的$\mathcal{A}_{n,k,m}$细分的几何研究，并提供了一个具体的双有理参数化纤维的$π: {\rm Gr}(k,n)\dashrightarrow {\rm Gr}(k,k+m)$。然后，我们使用它来明确地描述一个合理的顶级形式$ω_{n,k,m}$（简单的极点）的纤维和计算${\bfΩ}(\mathcal{A}_{n,k,m})$作为某些残留的总和$ω_{n,k,m}$。作为我们的方法的主要应用，我们开发了一个结构良好的二级振…
Non-Realizable Minimal Vertex Triangulations of Surfaces: Showing Non-Realizability using Oriented Matroids and Satisfiability Solvers
我们证明了亏格为6的闭连通可定向2-流形的极小顶点三角剖分不允许在R^3中有多面体嵌入。我们还提供了最小顶点三角形的封闭，连通，定向2流形的亏格5，不承认任何多面体嵌入的例子。我们构造了一个新的无限族曲面的不可实现三角剖分。这些结果是通过将寻找合适的定向拟阵的问题转化为可满足性问题来实现的。该方法也可应用于其它几何可实现性问题，如多面体的面格。
Most $(0,1)$-polytopes are not normal
该研究证明随维度增大，$d$维$(0,1)$-多面体的正规类比例以双指数速率趋于零，分类低维多面体并找到首个具旗帜幺模三角剖分但环面环非Koszul的多面体，还给出非正规的δ-拟阵多面体示例。
Root polytopes, triangulations, and the subdivision algebra, II
C_n型全根多面体是R^n中原点和点e_i-e_j，e_i+e_j，2e_k（1 <= i < j <= n，k \in [n]）的凸包。给定一个图G，其边被标为正或负，将G的每条边e与向量v（e）相关联，如果e=（i，j），i < j，则向量v（e）为e_i-e_j，如果e=（i，j），i < j，则向量v（e）被标为负，如果向量v（e）被标为正，则向量v（e）为e_i+e_j。对于这样一个带符号图G，对应的根多面体P（G）是全根多面体与向量v（e）生成的锥的交，其中e是G中的边。某个单项式m[G]在交换变量x_{ij}，y_{ij}，z_k中的约化形式，在由Cn型括号代数的关系导出的约化下，可解释为P（G）的三角剖分.使用这些三角剖分，可以计算P（G）的体积。如果我们只允许变量的所有指标都是不同的，那么我们证明了m[G]的简化形式，对于“好”图G，是唯一的，并产生一个典型的三角P（G），其中每个单形对应于一个非交叉交替图在C型意义。结果的一个特例证明了A. N. Kirillov关于Cn型括号代数中Coxeter型元的约化形式的唯一性的结果。本文还研究了D_n型括号代数，证明了单项式族在其中有唯一的约化形式。N. Kirillov关于D_n型括号代数中Coxeter型元的约化形式的唯一性的结果。
Combinatorially two-orbit convex polytopes
任何组合自同构群在旗上有两个轨道的凸多胞体同构于欧几里德对称群在旗上有两个轨道的凸多胞体（等价地，同构于自同构群和对称群重合的凸多胞体）。因此，组合双轨道凸多胞体同构于已知的有限列表中的一个，所有这些都是三维的：立方八面体，二十面体，菱形十二面体或菱形三十面体。由凸多胞体构成的组合双轨道法向面对面镶嵌也是如此。
A short proof of rigidity of convex polytopes
给出了Dehn关于凸多胞体无穷小刚性定理的一个简化证明。我们的方法是基于Trushkina和Schramm的想法。
Classification of finite metric spaces and combinatorics of convex polytopes
本文描述了有限度量空间的集合与特殊对称凸多胞体集合之间的典范对应关系，并根据这些凸多胞体的组合结构，给出了度量空间的分类问题.
Prescribing Symmetries and Automorphisms for Polytopes
研究了作为凸多胞体的组合自同构群或几何对称群出现的有限群。当$Γ$是凸$d$ -多胞形的组合自同构群$d\geq 3$的子群时，则存在与原多胞形相关的凸$d$ -多胞形的组合自同构群恰为$Γ$ .当$Γ$是凸$d$ -多面体的几何对称群$d\geq 3$的子群时，存在一个与原多面体相关的凸$d$ -多面体，其几何对称群和组合自同构群恰好为$Γ$ .这些破缺的结果表明，对每个偶数阶阿贝尔群$Γ$和$Γ$的对合$σ$，存在一个具有几何对称群$Γ$的中心对称凸多胞体，使得$σ$对应于中心对称.
Cutting convex polytopes by hyperplanes
切割一个多面体是一个非常自然的方法来产生新的有趣的多面体类。此外，探索原多面体的哪些代数性质和组合性质可以遗传给割取的子多面体也是很有启发的。本文主要研究了给定多胞形（整的和凸的）的所有可分离超平面，并研究了这类超平面的存在性和分类。证明了非单链有限偏序集的序和链多面体的可分离超平面的存在性;证明了Birkhoff多面体不存在可分离超平面。此外，我们还给出了单位立方体及其子多面体的完全分离超平面分类，以及序多面体和链多面体的部分分类结果。
Two-orbit convex polytopes and tilings
对对称群在旗上有两条轨道的凸多胞体进行了分类。它们只存在于二维或三维空间中，而唯一的组合自同构群也是双轨道的是立方八面体、二十面体和它们的正六面体。组合正则双轨道凸多胞体是确定的2n-凸多面体，其中n > 1。我们还利用对称群具有两个标志轨道的凸多胞体对欧几里得空间的面对面镶嵌进行了分类。有许多族，平铺一维、二维或三维。唯一的这种镶嵌也是组合双轨道的是三六边形平面镶嵌，菱形平面镶嵌，四面体-八面体蜂窝和菱形十二面体蜂窝。
Quiver combinatorics for higher-dimensional triangulations
我们研究了偶维循环多面体三角剖分产生的箭图的组合学。Oppermann和Thomas的工作精确地指出了这种颤动是高维簇理论的原型。我们首先证明了一个$2d$维三角剖分没有内部$(d + 1)$-单形当且仅当它的单形是一个$A$型的截单形，在Iyama和Oppermann的意义下.这是一个更高维的推广的事实，三角形的多边形没有内部三角形对应的方向的$A_{n}$ Dynkin图。这第一个结果的应用是，没有内部$(d + 1)$-单纯形的$2d$维循环多面体的三角剖分集通过bistellar翻转连接-翻转四边形内部的对角线的高维模拟。在大于2的维度中，无法在三角剖分中的所有位置执行双星翻转。我们的第二个结果给出了一个颤抖理论的标准进行bistellar翻转的三角剖分的$2d$维循环多面体。这为研究高维三角剖分的可变性提供了一个可视化的工具，并指出了高维三角剖分的突变理论可能是什么样子。事实上，我们应用这一结果给一个规则突变切颤动的顶点不一定是汇或源。
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