On Convex Polytopes in the d-dimensional Space Containing and Avoiding Zero
Alexander Kelmans, Anatoliy Rubinov
本文的目的是建立d维空间中“含”零和“避”零的凸多胞体的个数之间的某些不等式，条件是它们的顶点集是空间中给定的有限集的子集.
The goal of this paper is to establish certain inequalities between the numbers of convex polytopes in the d-dimensional space "containing" and "avoiding" zero provided that their vertex sets are subsets of a given finite set of points in the space.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Pattern-Avoiding Polytopes
对称群$\mathfrak{S}_n$中顶点由置换索引的两个著名多面体是置换面体$P_n$和伯克霍夫多面体$B_n$。我们考虑多面体$P_n(Π)$和$B_n(Π)$，其顶点对应于$\mathfrak{S}_n$中的排列，避免了一组模式$Π$。对于$Π$的各种选择，我们探索这些多面体的Ehrhart多项式和$h^*$向量以及它们的组合结构的其他方面。对于$P_n(Π)$，我们考虑所有子集$Π\subseteq \mathfrak{S}_3$，并能够在大多数情况下提供结果。为了说明，$P_n(123,132)$是Pitman-Stanley多面体，$P_n(132,312)$中的内部格点的数量是无序数，并且$P_n(123,231,312)$的归一化体积是$n$顶点上的树的数量。多面体$B_n(Π)$似乎更难分析，所以我们专注于$Π$的四个特定选择。首先证明了$B_n(231,321)$是Chan-Robbins-Yuen多面体。接下来，我们证明，对于任何含有$\{123,312\}$的$Π$，我们有$h^*(B_n(Π))=1$。最后，我们研究了$B_n(132,312)$和$\widetilde{B}_n(123)$，其中波浪号表示我们选择了与交替排列相对应的顶点，避免了模式$123$。在这两种情况下，我们使用序复合体的偏序集和技术，从环面代数，以建设定期，单模三角形的多面体。所…
$c$-Birkhoff polytopes
本文针对对称群的每个Coxeter元$c$定义了$c$-Birkhoff多面体，证明其与最长置换$c$-排序词的堆偏序集的序多面体幺模等价，既肯定回答了Davis和Sagan的问题，也得出其归一化体积为A型$c$-Cambrian格最长链数的结论。
Anti-Ramsey theory problems, lattice point counts on polytopes, and Hodge structures on the cohomology of toric varieties
我们发现图族$G$和$G$的子图$H$，使得避免$H$的单色着色的$G$的边着色的数目由格点计数或某一环面簇上同调的Hodge结构决定。一般来说，这给出了一类具有几何结构的“反拉姆齐理论问题”。例如，我们发现一个拉姆齐数类这样的图。关键的观察是，我们以前的结果表示的辅助单纯复形的$h$ -向量的单纯色多项式可以重新解释为一个边染色的图避免单色染色指定的禁用子图。专门单纯复形所产生的三角形的多面体（如单模三角），我们得到家庭的图形和禁止的子图，避免单色着色的禁止的子图的边着色取决于格点计数或霍奇结构上同调的环面品种。
Two poset polytopes are mutation-equivalent
本文扩展组合突变至有理尖点多面体，并证明同一偏序集的序多面体与链多面体可通过突变序列相互转化，即突变等价。
Counting lattice points in free sums of polytopes
我们展示了如何根据$P$和$Q$的枚举组合学计算包含原点$P$和$Q$的两个格多面体的自由和的Ehrhart多项式。这推广了Beck、Jayawant、McAllister和Braun的工作，并从加权$h^*$ -多项式关于自由和是乘法的观察得出。给出了一个包含原点的格多面体$P$，计算$P$的所有有理扩张中的格点数问题等价于计算$P$的所有自由和与其自身的所有整数扩张中的格点数问题.
Permutations Containing and Avoiding 123 and 132 Patterns
证明了避免132-模式而恰好有一个123-模式的排列数等于（n-2）2^（n-3）。然后，我们给出了双射到一组排列，避免123-模式，只有一个132-模式。最后证明了包含一个123-模式和一个132-模式的排列的个数为（n-3）（n-4）2^（n-5）。
Permutations containing a pattern exactly once and avoiding at least two patterns of three letters
在本文中，我们找到了一个显式的公式，或递归，在$S_n$中的所有置换的集合$S_n(T;τ)$的基数的生成函数，包含$τ\in S_k$正好一次，避免了一个子集$T\subseteq S_3$，$|T|\geq2$。本文的主体部分分为三个部分，分别对应于$|T|=2,3$和$|T|\geq4$两个案例。
A note on palindromic $δ$-vectors for certain rational polytopes
设P是含有原点的凸多胞体，其对偶是格多胞体. Hibi的回文定理告诉我们，如果P也是格多面体，则P的Ehrhart $δ$ -向量是回文的。也许不太为人所知的是，当P是有理数时，一个类似的结果也成立。我们提出了一个基本的格点证明这一事实。
Avoiding Three Consecutive Blocks of the Same Size and Same Sum
我们证明了在字母表{0，1，3，4}上存在一个无限的字，它不包含三个相同大小和相同和的连续块。这回答了Pirillo和Varricchio在1994年提出的一个公开问题。
Permutations containing and avoiding certain patterns
设T_k^m={σ \in S_k| σ_1=m}。本文证明了T_k^m中避开所有模式的排列数等于（k-2）！(k-1)^{n+1-k}，其中k <= n。然后我们证明了对于T_k^1中的任何τ（或T_k^k中的任何τ），避开T_k^1中（或T_k^k中）除τ之外的所有模式并恰好包含τ一次的排列数等于（n+1-k）（k-1）^{n-k}，其中k <= n。最后，对于T_k^m中的任何τ，2 <= m <= k-1，这个数等于（k-1）^{n-k}，其中k <= n。这些结果推广了Robertson最近关于避免123-模式和包含132-模式的排列只包含一次的结果。
Some statistics on restricted 132 involutions
在[通用汽车]吉伯特和曼苏尔研究对合n字母避免（或包含一次）132和避免（或包含一次）任意模式的k字母。他们还建立了一个双射之间的132-避免对合和戴克词前缀的相同长度。将这种双射扩展到双边词可以确定更多的参数;特别是，我们考虑了对合到词上的反转和上升的数量。这是考虑两个不同方向的起点：偶/奇对合和一些广义模式的统计。因此，我们首先研究生成函数的偶数或奇数对合的n个字母避免（或包含一次）132和避免（或包含一次）任意模式$τ$的k个字母。在一些有趣的情况下，生成函数只依赖于k，并通过第二类切比雪夫多项式表示。接下来，我们考虑132-避免对合的其他统计，通过计数一些广义模式的出现，根据上升的数量与枚举有关。
On the real-rootedness of Ehrhart $h^*$-polynomials of $(132,213)$-avoiding permutahedra
本研究通过构造修复锥和几何尾部不等式，证明了(132,213)-回避置换多面体的Ehrhart h*-多项式在特定范围内具有实根性，并验证了体积猜想。
132-avoiding Two-stack Sortable Permutations, Fibonacci Numbers, and Pell Numbers
在1990年，West证明了在$n$字母上存在$2(3n)!/((n+1)!(2n+1)!)$两栈可排序排列。这个猜想是由Zeilberger在1992年证明的。后来，Dulucq、Gire和Guibert给出了这个猜想的组合证明。在本文中，我们研究的生成函数的两个堆栈可排序的排列在$n$字母避免（或包含正好一次）132和避免（或包含正好一次）的任意排列$τ$在$k$字母。在几个有趣的情况下，这个生成函数可以用斐波那契数的生成函数或佩尔数的生成函数来表示。
Normalized Volumes of Type-PQ Adjacency Polytopes for Certain Classes of Graphs
本文推广了Type-PQ邻接多胞体正规化体积的三角递推方法，并给出了从完全图删除路径或环后的体积公式。
Restricted 132-avoiding permutations
我们研究生成函数的排列数n个字母避免132和任意排列$τ$的k个字母，或包含$τ$正好一次。在一些有趣的情况下，生成函数只依赖于k，并通过第二类切比雪夫多项式表示。
Restricted 132-Involutions and Chebyshev Polynomials
我们研究生成函数的对合数在$S_n$避免（或包含一次）132，并避免（或包含一次）任意排列$τ$上$k$字母。在几个有趣的情况下，生成函数只依赖于$k$，并通过第二类切比雪夫多项式表示。特别地，我们建立了避免132和$12... k$的对合具有与避免132和任何{ \em双楔模式}的对合相同的根据长度的枚举公式，所述{ \em双楔模式}可能后跟总长度为$k$的不动点。许多结果也显示与组合的观点。
Coefficients and Roots of Ehrhart Polynomials
凸格多胞形的Ehrhart多项式在多胞形的整数扩张中计数整数点。给出了Ehrhart多项式系数所满足的新的线性不等式，并将它们与已知的不等式联系起来。我们还研究了Ehrhart多项式的根。证明了对固定的d，C中存在包含d-多面体的Ehrhart多项式的所有根的有界区域，且这些多项式的所有实根都在[-d，[d/2]）中.相反，我们证明了当维数d不固定时，正实根可以是任意大的。最后，我们完成了循环多面体和0/1-多面体的Ehrhart多项式的实验研究。
Pattern 1^j0^i avoiding binary words
本文研究了避免固定模式的特殊二进制字的枚举和按一的个数构造。这类词的增长可以用特定的跳跃和明显的继承规则来描述。这种方法使我们能够获得一种算法，该算法构造所有具有固定数量的二进制字，然后杀死那些包含禁止模式的二进制字。
Enumeration of Dumont permutations avoiding certain four-letter patterns
本文枚举了第四类Dumont排列中避免或包含特定四字母模式的情况，并猜想第一类Dumont排列上两个四字母模式的Wilf等价性。
Coloured permutations containing and avoiding certain patterns
按照曼苏尔的说法，让$S_n^{(r)}$是符号$1,2,...,n$上所有颜色排列的集合，颜色为$1,2,...,r$，当r=1时，它类似于对称群，当r=2时，它类似于超八面体群。设$I\subseteq\{1,2,...,r\}$是d种颜色的子集，我们定义$T_{k,r}^m(I)$是所有着色排列的集合，$ϕ\in S_k^{(r)}$使得$ϕ_1=m^{(c)}$，其中$c\in I$。证明了$S_n^{(r)}$中$T_{k,r}^m(I)$ -避免色置换的个数等于$(k-1)!r^{k-1}\prod_{j=k}^n h_j$，其中$h_j=(r-d)j+(k-1)d$为$n\geq k$.然后，我们证明，对于任何$ϕ\in T_{k,r}^1(I)$（或任何$ϕ\in T_{k,r}^k(I)$），在$S_n^{(r)}$中的彩色排列的数量，避免所有的模式在$T_{k,r}^1(I)$（或在$T_{k,r}^k(I)$）除了$ϕ$和包含$ϕ$正好一次等于$\prod_{j=k}^n h_j\cdot \sum_{j=k}^n \frac{1}{h_j}$的$n\geq k$。最后，对于任何$ϕ\in T_{k,r}^m(I)$，$2\leq m\leq k-1$，该数字等于$n\geq k+1$的$\prod_{j=k+1}^n h_j$。这些结果推广了Mansour和…
A generalization of Filliman duality
费利曼对偶将包含原点的凸多胞体P（的特征测度）表示为与P共享支撑超平面的单形的交替和。交替和中的项由极体P^o的三角剖分给出。对偶性可以导致有用的公式的体积P.一个极限情况下称为劳伦斯算法可以用来计算傅里叶变换的P.在本说明中，我们延长菲利曼对偶的对合空间上的多面体措施的有限维向量空间，不包括多面体有一个支撑超平面与原点共面。作为一种特殊情况，如果P是一个包含原点的凸多胞体，则P^o作为单形的线性组合的任何实现都会导致P的对偶实现。
Stringy $E$-functions of canonical toric Fano threefolds and their applications
设$Δ$是一个$3$维格多面体，它只包含一个内部格点.本文给出了一个计算与多面体$Δ$相关的$3$维标准复曲面Fano簇$X_Δ$的弦$E$ -函数的简单组合公式.利用弦Libgober-Wood恒等式和我们的公式，推广了著名的组合恒等式$\sum_{θ\preceq Δ\atop \dim (θ) =1} v(θ) \cdot v(θ^*) = 24$在$3$维自反多面体$Δ$的情形下成立.
Normal forms of convex lattice polytopes
我们描述了一个算法，用于确定是否两个凸多胞体P和Q，嵌入在一个格，是同构的格自同构。我们将其扩展到确定P和Q是否等价的方法，即是否存在将P发送到Q的仿射格自同构。给出了P的自同构群和仿射自同构群的计算方法。另一种策略是确定一个范式，使得P和Q同构当且仅当它们的范式相等。这是Kreuzer和Skarke在他们的PALP软件中采用的方法。本文详细介绍了Kreuzer-Skarke方法，并给出了P具有多个对称时的改进算法。大量的例子，加上两个包含详细伪代码的附录，应该有助于这些技术的任何未来的重新实现。最后，我们解释如何定义和计算洛朗多项式的标准形。
Thrifty approximations of convex bodies by polytopes
给定R^d中的一个凸体C，其内部包含原点，并且实数τ> 1，我们试图在C中构造一个多胞形P，其顶点尽可能少，使得C在τ P中。特别地，我们证明了如果C=-C，则对于任何1> τ>0和τ =1+ τ，可以选择具有大约d ^{-d/2}个顶点的P，并且对于τ =sqrt{τ d}，可以选择具有大约d^{1/2}个顶点的P。类似地，我们证明了如果R^d中的C是一个凸体，使得-C在μ C中，对于某些μ> 1，那么可以选择具有大致（（mu+1）/（tau-1））^{d/2}个顶点的P，只要（tau-1）/（mu+1）<< 1。
Generalized toric varieties for simple non-rational convex polytopes
我们称k维的复拟褶为一个空间，它通过离散群的全纯作用局部同构于空间C^k的开子集的商;在这种情况下，复环面的类似物称为复拟环面。我们关联到每个简单的多面体，合理与否，一个家庭的复杂quasifolds具有相同的维度的多面体，每个包含一个密集的开放轨道的行动，一个合适的复杂quasitorus。我们证明了每个空间M都与http：//arXiv.org/abs/math：SG/9904179中定义的一个辛拟折叠同构，并且导出的辛结构与复辛结构相容，从而在M上定义了Kaehler拟折叠的结构。这些空间可以被看作是通常与有理的简单凸多胞体相关联的环面变体的推广。
Ehrhart's polynomial for equilateral triangles in $\mathbb Z^3$
本文在$\mathbb Z^3$中计算二维正多面体（即等边三角形）的Ehrhart多项式。多项式在多面体的顶点坐标方面采取相对简单的形式，并且它严重依赖于值$d$及其除数，其中$d=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$和$(a,b,c)$（$\gcd(a,b,c)=1$）是具有正交于包含三角形的平面的整数坐标的向量。
A decomposition of ballot permutations, pattern avoidance and Gessel walks
如果一个排列的前缀的下降和上升都不多，则称之为投票排列。在本文中，我们提出了一个分解的选票排列，使我们能够构建一个双射之间的选票排列和奇数顺序排列，这证明了一个集值扩展的猜想，由于斯皮罗使用的峰值统计。这种双射也保留了置换中最大字母的邻居，从而解决了王和张提出的斯皮罗猜想的一个改进。我们的分解可以扩展到标记良好的正路径，一类广义选票排列产生的多面体理论，列举了Bernardi，Duplantier和纳多。我们还将研究避免长度为3的单一模式的选票排列的枚举方面，并建立213-避免选票排列和Gessel行走之间的联系。
Enumerating five families of pattern-avoiding inversion sequences; and introducing the powered Catalan numbers
这篇文章解决的第一个问题是列举一些家庭的模式，避免反转序列。我们解决了Corteel等人关于这些主题的基础工作留下的一些枚举问题，其中一些也被林，金和林独立解决。我们的方法的优势是它的鲁棒性：我们列举了四个家庭$F_1 \subset F_2 \subset F_3 \subset F_4$的模式，避免反转序列使用相同的方法按包含排序。更准确地说，我们提供了一个生成树（与相关的继承规则）为每个家庭$F_i$的一般化的家庭$F_{i-1}$。论文的第二个主题是列举第五个家族$F_5$的模式避免反转序列（包含$F_4$）。这个枚举也解决了\emph{via}的继承规则，但它没有推广的$F_4$。相关的枚举序列，我们称之为\emph{powered Catalan numbers}，是非常有趣的，并进一步研究。我们提供了两种不同的继承规则，表示$Ω_{pCat}$和$Ω_{steady}$，并表明，他们定义了两种类型的家庭列举的权力加泰罗尼亚数。在这些家族中，我们引入了\emph{steady paths}，其与$Ω_{steady}$天然相关。它们使我们能够弥合两种类型的家庭列举的权力加泰罗尼亚数之间的差距：事实上，我们提供了一个大小保持双射之间的稳定路径和谷标记的戴克路径（这是自然与$Ω_{pCat}$）。在此过程中，我们提供了几个很好的连接到家庭的排列定义的避免vincular模式…
Dual-cyclic polytopes of convex planar polygons with fixed vertex angles
如果我们固定凸平面$n$ -gon的顶点处的角度，则其边的长度必须满足两个线性约束才能使其闭合。如果我们还要求单位周长，则我们的$n$边长向量形成一个维数为$n-3$的凸多胞体，其每个小平面由其中特定边长降为零的那些$n$ -多面体组成。Bavard和Ghys要求单位面积，这给了他们一个双曲多面体。这两个多面体在组合上是等价的，所以对于我们的目的来说，任何一个都可以。这样一个固定角度的多面体是组合丰富时，角度很好地平衡。我们说，固定外角是“多数优势”，当每个连续的字符串的一半以上，他们的总和超过$π$。当$n$是奇数时，我们证明了对于任意多数占优角的固定角多面体与循环多面体$C_{n-3}(n)$是对偶的。为了将该结果扩展到偶数$n$，我们要求角度也具有“偶极平局打破”：没有长度为$n/2$的$n$串的总和精确地等于$π$，并且总和大于$π$的$n/2$尽可能多地重叠，所有都包含特定的角度。然而，固定顶角并不常见;人们更常固定边长。这就比较困难了，部分原因是固定长度的$n$ -ε可能不是凸的，但主要是因为固定长度会非线性地约束角度--所以得到的模空间，称为“多边形空间”，是弯曲的。利用施瓦茨-克里斯托弗映射，卡波维奇和米尔森证明了，对于相同的固定值，其中$n$ -流形是凸的且逆时针遍历的多边形空间的子集与上面的固定角多面体同胚。因此，每个这样的子集是一个拓扑多面体;当固定长度占多数…
Additive number theory and inequalities in Ehrhart theory
我们介绍了一个强大的Ehrhart理论和加性数论之间的联系，并用它来产生无穷多个新的类之间的不等式的$h^*$ -多项式的格多面体的系数。这大大改进了三个已知的类不等式，这是证明使用技术从交换代数和组合。作为应用，我们推导出所有可能的“平衡”的不等式之间的系数的$h^*$ -多项式的格多面体包含一个内部的格点，在尺寸至多为6。
A recursive bijective approach to counting permutations containing 3-letter patterns
我们提出了一种方法，说明了几个例子，找到明确的计数排列包含一个给定的多集的三个字母的模式。该方法是递归的，取决于双射减少到一个较小的多集的情况下，并涉及到一个单独的情况下，根据模式重叠的考虑。具体地说，我们使用的方法（i）提供的博纳的公式{2n-3}选择{n-3}的数目的n-排列包含一个132模式和努南的公式3/n {2n}选择{n+3}的一个123模式的组合证明，（ii）表示的数目的n-排列包含正好k123模式的选票数k<=4，以及（iii）将恰好包含k个132个模式的避免123个n排列的数量表示为2的幂的线性组合，k<=4。结果加强了猜想，计数是代数的所有k。
Restricted even permutations and Chebyshev polynomials
我们研究了生成函数的偶数（奇数）排列的n个字母，避免132和任意排列$τ$的k个字母，或包含$τ$正好一次。在一些有趣的情况下，生成函数只依赖于k，并通过第二类切比雪夫多项式表示。
Coloring of Graphs Avoiding Bicolored Paths of a Fixed Length
该研究提出不包含固定长度双色路径的图$P_k$-着色问题，定义了对应的$P_k$-色数，给出任意图的色数上界，并求出部分环与路乘积图在$k=5,6$时的精确色数。
On triangle-free graphs maximizing embeddings of bipartite graphs
本文改进Győri等人的结果，证明当二部图H包含大小为x的匹配且未匹配顶点至多$\frac{1}{2}\sqrt{x-1}$时，足够大的无三角形图中H副本数在完全二部图中最大化，并证明未匹配顶点数为$Ω(x)$时结论不成立。
Signature 0 toric varieties, wall crossings, and cross polytope-like structures
本文研究符号差为0的偶维完备环面簇对应的单纯局部凸扇结构，利用壁穿技术揭示其链环、锚定子空间的相交规律，生成覆盖极小对象的诱导4环，推进了对顶γ向量为0情形的理解。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。