Groups of Order 2048 with Three Generators and Three Relations
Shirin Fouladi, Reza Orfi
证明了2^11阶的3-生成元2-群有78个平凡Schur乘子。然后，我们给3-生成器，3-关系介绍了48个证明，这些群体有缺陷零。
It is shown that there are exactly seventy-eight 3-generator 2- groups of order 2^11 with trivial Schur multiplier. We then give 3-generator, 3-relation presentations for forty-eight of them proving that these groups have deficiency zero.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The automorphism group of certain 3-generator $p$-groups
给出了一类3-生成元有限$p$ -群的自同构群的表示和结构描述，其中$p$是奇素数.
Pairs of Generators for Matrix Groups. I
有限域上一般线性群与特殊线性群、辛群、一般酉群与特殊酉群的矩阵生成元。在大多数情况下，发电机已获得通过翻译斯坦伯格的发电机群的李型矩阵形式。
The Surface Group Conjectures for groups with two generators
曲面群猜想是关于在单关系群中识别曲面群的陈述，使用它们的有限指数子群的结构，或所有子群。我们在两个发电机的情况下解决这些问题。更一般地，我们证明了每个两个生成元的一个关系群，每个无限指数自由子群本身要么是自由的，要么是一个曲面群。
The Congruence Subgroup Problem for the Free Metabelian Group on two generators
本文描述了可解长度r>1的m个生成元上的自由可解群的profinite完备化。证明了当m=r=2时，两个生成元上的自由亚交换群不具有同余子群性质。
Capable two-generator 2-groups of class two
如果一个群体是一个中心因素群体，那么这个群体就被称为有能力群体。我们的特点是能够2-生成器2-组类2在一个标准的介绍。
Generators and relations for wreath products
给出了群的圈积的生成元和定义关系。在某些条件下（生成元的共正规性），它们是极小的。特别地，它只是对称群的Sylow子群的情况。
The Outer Automorphism Groups of Two-Generator One-Relator Groups with Torsion
本文的主要结果是对具有挠的两生成元单关系群的外自同构群进行了完全分类。这种分类，我们申请最近的算法结果Dahmani-Guirardel，这产生了一个算法来计算同构类的外自同构群给定的两个发电机，一个关系组与扭转。
Generators for Arithmetic Groups
证明了高阶半单李群中的非余紧不可约格都含有一个有限指标子群，它有三个生成元。
Unipotent Generators for Arithmetic Groups
本文对高阶算术群中由对立整幂幺根生成的群的算术性的旧结果的证明作了简化
Exponent and number of generators in a finite group
本文给出了有限群生成元个数的一个尖锐上界，该上界由群的阶与指数之比决定。
Discrete RP groups with a parabolic generator
本文研究PSL（2，C）的两个生成子群，它们的生成子和换位子都是实迹。当至少有一个生成元是抛物型的时，我们给出了这些群的离散性准则。我们还列出了相应的orbifolds。
2-nilpotent multiplier and 2-capability of finite 2-generator p-groups of class two
设p为素数。给出了第二类有限2-生成元p-群的2-幂零乘子的显式结构。此外，在该类中的2-能力群的特征。
Minimal Number of Generators and Minimum Order of a Non-Abelian Group whose Elements Commute with Their Endomorphic Images
如果一个群中的每个元素都与它的自同态象交换，则称之为$E$ -群。如果$p$是一个素数，则一个$p$ -群$G$是一个$E$ -群，称为一个$pE$ -群.每个阿贝尔群显然是一个$E$ -群。证明了2-生成元$E$ -群是阿贝尔群，3-生成元$E$ -群是类至多为2的幂零群.证明了任意无限3-生成元$E$ -群是阿贝尔群.我们猜想每一个有限的3-生成元$E$ -群都是阿贝尔群.证明了非交换$pE$ -群的最小阶是$p^8$，对任意奇素数$p$，这个阶是$2^7$，对$p=2$ .其中的一些结果证明了一个类宽于类的$E$ -群。
Presentations of Coxeter groups of type $A$, $B$, and $D$ using prefix-reversal generators
在这里，我们提供了三个新的表示考克斯特群类型$A$，$B$，和$D$使用前缀反转（煎饼翻转）作为发电机。我们证明这些演示文稿是他们各自的群体，通过使用Tietze变换的演示文稿恢复与发电机是相邻的换位众所周知的演示文稿。
On the number of generators needed for free profinite products of finite groups
给出了有限群自由积的profinite完备化的生成元的最小个数的较低估计。特别地，我们证明了，如果C_1，…，C_n是有限循环群，则存在一个由C_1，.的同构副本生成的有限群G，C_n，G的最小生成元个数为n.
Two-generator subgroups of right-angled Artin groups are quasi-isometrically embedded
本文证明了直角Artin群的非交换两生成元子群是拟等距嵌入的自由群。这提供了A的一个定理的另一种证明。Baudisch：所有两生成元子群都是自由或自由阿贝尔群。此外，它表明，他们是准等距嵌入。我们的定理也给出了一个方法来检测组不同构的任何RAAG的子群。给出了生成元数多于两个的子群的反例。
A two-dimensional slice through the parameter space of two-generator Kleinian groups
我们用一个抛物生成元来刻画二元生成元Kleinian群的参数空间的所有实点，即刻画通过这个空间的某个二维切片。为了做到这一点，我们收集了已知的离散性标准的两个发电机组，并提出他们的形式参数的条件。我们完成的描述，给出离散标准所产生的抛物和$π$ -斜驶元素，其换向器有真正的轨迹和目前所有的orbifolds均匀化，这样的群体。
Groebner-Shirshov basis for the braid group in the Birman-Ko-Lee-Garside generators
本文得到了Birman-Ko-Lee生成元中的辫群的Groebner-Shirshov（非交换Gröbner）基，该生成元被新的“Garside字”$δ$充实.给出了辫群中Birman-Ko-Lee正规形的一个新算法，从而也给出了解决辫群中字问题的一个新算法。
Comparing the order and the minimal number of generators of a transitive permutation group
证明了：若$G$是可迁的置换群，则$d(G)\log{|G|}/n^{2}$趋于$0$，正如$n$趋于$\infty$ .
Generators of Picard modular groups
本文推广了文献[FFLP]中的方法，利用$d=3,7,11$得到了Picard模群$\mathbf{PU}(2,1;\mathcal {O}_d)$的生成元.
Restriction estimates for the free two step nilpotent group on three generators
设$G$是三个生成元上的自由二步幂零李群，$L$是其上的一个次拉普拉斯算子，我们计算了$L$的谱分解，并证明了由此分解产生的算子具有Tomas-Stein型估计.
All discrete RP groups with non-$π$-loxodromic generators
本文给出了奇阶双曲元和奇阶椭圆元生成的群离散的充要条件。这就完成了在实参数双生成元群类中具有非$π$斜驶生成元的离散群的分类。该准则也作为对应于离散群的所有参数的列表给出。一个有趣的推论的结果是，最小已知体积双曲orbifold群有实参数。
Enumerating finite class-2-nilpotent groups on 2 generators
通过给出g（n，2，2）n^{-s}的Dirichlet生成函数\sum_{n=1}^\的显式公式，计算了由至多2个生成元生成的至多2类n阶幂零群的个数g（n，2，2）.
Hurwitz equivalences of positive group generators
对于正表示群G，给出了G的两个正群生成元元组是Hurwitz等价或Hurwitz-共轭等价的一个判据.我们还提出了一个算法的方法来解决的Hurwitz等价和Hurwitz搜索问题，通过使用字反转的方法。
Gröbner-Shirshov bases for braid groups in Adyan-Thurston generators
本文给出了Adyan-Thurston生成元中辫群$B_{n+1}$的Gröbner-Shirshov基.我们还研究了$\bf{B}_{n}$型辫群.由此得到了Adyan-Thurston规范形的一个新算法，并证明了辫子半群$B^+_{n+1}$是$B_{n+1}$的子半群.
Comparing the order and the minimal number of generators of a finite irreducible linear group
证明了GL $(n,q)$的不可约子群$G$的$d(G) \log |G| = O(n^2 \log q)$，并估计了相关常数.结果的动机是试图限制计算各种类别的有限群的自同构群的复杂性。
Generators and closed classes of groups
我们证明了在群范畴中，每个在同构、直接极限和扩张下闭的单生成类在同构和直接极限下也是单生成类，特别是它是共反射的。我们还建立了几个新的单生成封闭类之间的关系。
An L2-quotient algorithm for finitely presented groups on arbitrarily many generators
我们推广了Plesken-FabiaBrackska $\mathrm{L}_2$ -商算法，使其可以在两个或三个生成元上的群上存在任意数量的生成元。主要的困难在于通过同时共轭对$\mathrm{SL}(2, K)$的$m$拷贝上的$\mathrm{GL}(2, K)$的不变环进行构造性描述。通过给出这种描述，我们推广和简化了不变量理论中的一些已知结果。该算法的实现是在计算机代数系统岩浆。
Presentations on standard generators for classical groups
对于每一个有限典型群族及其相关的简单群，我们给出了一个大小不超过8的特定生成集的显式表示。由于存在有效的算法来构建这个生成集的任何副本的组，我们的演示文稿可以用来验证声称的同构之间的表示的典型群。这些演示文稿在Magma中可用。
On the orders of generators of capable $p$-groups
如果一个群体是一个中心因素群体，那么这个群体就被称为有能力群体。对于每个素数$p$和正整数$c$，证明了存在一个由一个$p$阶元素和一个$p^{1+\lfloor\frac{c-1}{p-1}\rfloor}$阶元素极小生成的$c$类的能$p$-群.这是最好的可能。
Positive laws on large sets of generators: counterexamples for infinitely generated groups
Shumyatsky和第二作者证明了，如果G是一个生成的剩余有限p-群满足一个定律，那么，对于几乎所有的素数，一个正常的和交换子-闭集的生成元满足一个正定律的事实意味着整个G也满足一个（可能不同的）正定律。本文构造了一个反例，说明群G的有限生成假设是不能抛弃的。
The solution to a conjecture of Tits on the subgroup generated by the squares of the generators of an Artin group
提茨指出，阿廷群的标准生成元的平方之间的唯一关系是明显的关系，即如果ab=ba出现在阿廷关系中，则a^2和b^2可交换。本文对所有Artin群证明了Tits猜想。更一般地，我们证明了，给定每个Artin生成元s的数m（s）>1，生成元的幂s^m（s）之间的唯一关系是a^m（a）和b^m（b）可交换，如果ab=ba出现在Artin关系中。
Commutators in finite p-groups with 3-generator derived subgroup
众所周知，一般来说，群$G$的一组群可能不是一个子群。Guralnick证明了，如果$G$是一个有限的$p$ -群，有$p\ge 5$，使得$G'$是阿贝尔的，并且是$3$ -生成元，那么它的导出子群的所有元素都是分解子.本文推广了Guralnick的结果，证明了不需要$G'$是阿贝尔的条件.这样，我们就完成了有限$p$ -群中关于导出子群的生成元个数的这一性质的研究。我们还将看到，当$G$对$G'$的作用是模$(G')^p$的唯一性且$|G':(G')^p|$不超过$p^{p-1}$时，同样的结果也成立。最后，我们将证明类似的结果是满意的，当工作与亲$p$集团。
A continuum of non-isomorphic 3-generator groups with probabilistic law $x^n=1$
本研究构造了一族连续统的非同构3生成元群，利用$n$阶循环群的$n$-周期积与2生成元相对自由群，证明群中$x^n=1$以概率1成立但非普遍成立，解决了群恒等式的概率满足与普遍满足关系的问题。
Busemann points of Artin groups of dihedral type
研究了二面体型Artin群的时函数边界，其字度量来自于通常的Artin生成元或对偶生成元。在这两种情况下，我们确定horobouncement，并说哪些点是Busemann点，这是测地线的极限。在对偶生成元的情况下，所有的边界点都是Busemann点，但这对Artin生成元不是真的。我们还将测地线的对偶生成元，这使我们能够计算相关的测地线增长系列。
Lifting Generators in Connected Lie Groups
本文证明连通李群的生成元提升问题可归结为阿贝尔化情形，并据此得出完美李群满足 Gaschütz 引理，同时给出非完美情形的 Gaschütz 秩界及精确计算。
Relative hyperbolicity and similar properties of one-generator one-relator relative presentations with powered unimodular relator
一个群从一个非平凡群通过添加一个生成元和一个关系子而得到，关系子是一个字的真幂，其中附加生成元的指数和是1，包含初始群的自由平方，并且几乎总是（除了一个明显的例外）包含一个非阿贝尔自由子群。如果初始群是对合自由的或关系子至少是三次幂，则所得到的群是SQ-泛群且相对于初始群是双曲的。
Topology of the space of bi-orderings of a free group on two generators
本文研究二元生成自由群双序空间的拓扑性质，证明了其双序空间$O(F_2)$与左序空间一样不存在孤立点。
Finding cycle types in permutation groups with few generators
本文研究了置换群中寻找特定圈型置换的问题，证明了该问题对循环置换群可在对数空间求解，而对2生成的阿贝尔置换群及无不动点判定均为NP完全。
A family of two generator non-Hopfian groups
我们构造了$2$生成元非霍普夫群$G_m, m=3, 4, 5, \dots$，其中每个$G_m$都有一个特定的表示$G_m=\langle a, b \, | \, u_{r_{m,0}}=u_{r_{m,1}}=u_{r_{m,2}}= \cdots =1 \rangle$，它满足小消去条件$C(4)$和$T(4)$ .这里，$u_{r_{m,i}}$是$2$的上表示的单个关系子-斜率$r_{m,i}$的桥连接组，其中$r_{m,0}=[m+1,m,m]$和$r_{m,i}=[m+1,m-1,(i-1)\langle m \rangle,m+1,m]$在连分数展开中对于每个整数$i \ge 1$。
On finite groups with prescribed two-generator subgroups and integral Cayley graphs
本文刻画了偶数阶有限群$G$的一个性质：对于$G$的任意对合$x$和元$y$，$\langle x, y \rangle$同构于下列群之一：$\mathbb{Z}_2,$ $\mathbb{Z}_2^2$，$\mathbb{Z}_4$，$\mathbb{Z}_6$，$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$，$\mathbb{Z}_2 \times\mathbb{Z}_6$和$A_4$ .从而得到了所有$3$度Cayley图都具有整谱的有限群的一个刻划.
Commutators in finite $p$-groups with $2$-generator derived subgroup
设$G$是一个有限的$p$ -群，其导出子群$G'$可由$2$元生成.如果$G'$是阿贝尔的，Guralnick证明了$G'$的每个元素都是交换子。本文证明了$G'$是阿贝尔的条件是不必要的。进一步证明了对于固定的$x\in G$，$G'$的每个元素都是$[x,g]$形式的交换子.
Generators of split extensions of Abelian groups by cyclic groups
设$G \simeq M \rtimes C$是一个$n$ -生成元群，它具有$M$阿贝尔群和$C$循环群.研究了生成$G$的$n$ -元组的Nielsen等价类和T-系统。子群$M$可以转化为$C$的整群环的适当商$R$上的一个随机生成的忠实模.当$C$是无限的，我们证明了$G$的生成$n$ -元组的Nielsen等价类在$GL_{n - 1}(R)$的子群的作用下双射对应于$M^{n -1}$中幺模行的轨道.在不对$C$的基数作任何假设的情况下，我们给出了$M \simeq R$情形下Nielsen等价的完全不变量.作为应用，我们对可解Baumslag-Solitar群、点灯群和分裂亚循环群的Nielsen等价类和T-系进行了分类。
On finite groups whose Sylow subgroups have a bounded number of generators
设G是有限非幂零群，使得G的每个Sylow子群至多由d个元生成，且p是除|G|的最大素数.我们证明了G有一个非幂零像G/N，使得N是特征的，且其指数由一个函数d和p有界.这个结果将被用来证明G的弗拉蒂尼子群的指数是有界的.对于可解群，我们将给出明确的上界.
The Congruence Subgroup Problem for the Free Metabelian group on $n\geq4$ generators
对于一个生成的群$Γ$的同余子群问题，要问的是这个映射$\hat{Aut\left(Γ\right)}\to Aut(\hatΓ)$是否是单射的，或者更一般地说，它的核$C\left(Γ\right)$是什么？这里$\hat{X}$表示$X$的profinite完成。众所周知，对于可数生成元上的自由阿贝尔群，除了$C\left(\mathbb{Z}^{2}\right)=\hat{F}_ω$之外，对每个$n\geq3$都有$C\left(\mathbb{Z}^{n}\right)=\left\{ 1\right\}$，其中$\hat{F}_ω$是可数生成元上的自由profinite群.考虑$Φ_{n}$，$n$生成元上的自由亚阿贝尔群，还证明了$C\left(Φ_{2}\right)=\hat{F}_ω$和$C\left(Φ_{3}\right)\supseteq\hat{F}_ω$。本文证明了$n\geq4$的$C\left(Φ_{n}\right)$是阿贝尔的.因此，在阿贝尔情况下二分法是$n=2$和$n\geq3$，而在元阿贝尔情况下二分法是$n=2,3$和$n\geq4$。
On the density of Cayley graphs of R.Thompson's group $F$ in symmetric generators
所谓有限图的密度，我们指的是它的平均顶点度。对于一个$m$ -生成群，它的Cayley图在给定的生成元集中的密度是它的所有有限子图上的密度的上确界.已知一个具有$m$生成元的群是顺从的当且仅当其对应的Cayley图的密度等于$2m$ .关于R.\，汤普森的$F$小组仍然开放。由Belk和Brown的结果可知，它的Cayley图在群生成元标准集$\{x_0,x_1\}$中的密度至少为$3.5$ .到目前为止，这一估计数尚未超过。对于对称生成器$S=\{x_1,\bar{x}_1\}$的集合，其中$\bar{x}_1=x_1x_0^{-1}$，相同的示例仅给出$3$的估计。有一个猜想，对于这个生成集的平等举行。如果是这样的话，$F$将是不可接受的，并且对称生成集具有加倍性质。这意味着对于任何有限集合$X\subset F$，不等式$|S^{\pm1}X|\ge2|X|$成立。本文证明了这个猜想是错误的，证明了对称生成元$S$中的$F$的Cayley图的密度严格超过$3$。此外，我们证明了更大的生成集$S_0=\{x_0,x_1,\bar{x}_1\}$不具有加倍性质。
3-Generator Groups whose Elements Commute with Their Endomorphic Images Are Abelian
如果一个群中的每个元素都与它的自同态象交换，则称之为$E$ -群。我们的主要结果是所有的3生成元$E$ -群都是阿贝尔群.由此可以得出一个非交换生成的$E$ -群的生成元的最小数目是4。
The normal zeta function of the free class two nilpotent group on four generators
我们明确地计算了四个生成元上自由类二幂零群的正规zeta函数。这是赫希长度十的
On Gehring-Martin-Tan groups with an elliptic generator
PSL（2，C）的2-生成子群的Gehring-Martin-Tan不等式是最著名的离散性条件之一。一个Kleinian群$G$称为Gehring-Martin-Tan群，如果这个群$G$的等式成立。给出了一种构造具有四阶生成元的Gehring-Martin-Tan群的方法，并给出了一些例子.这些群是由有限体积双曲3-orbifolds群产生的。
Presentations of Topological Full Groups by Generators and Relations
我们描述了极小子移位的拓扑完全群的换位子群的生成元和定义关系。我们证明了拓扑完全群中的字问题是可解的当且仅当底层子移位的语言是递归的。
On the vanishing of the lower K-theory of the Holomorph of a free group on two generators
我们证明了两个生成元上的自由群的全形满足Farrell-Jones纤维同构猜想。作为结果，我们证明了上述群的下K理论为零。
Presentations of subgroups of the braid group generated by powers of band generators
根据Crisp和Paris证明的Tits猜想[CP]，由Artin元的真幂生成的辫群的子群由交换元的幂生成元的生成子表示.因此，它们自然地被表示为直角Artin群。由带生成元的幂生成的子群的情况更为复杂。我们证明了，如果所有的生成元都是指数至少为3的真幂，则这些群又是直角Artin群。我们还介绍了在另一个极端的情况下，当所有的发电机发生指数为1或2，这是远远不是直角阿廷组。
Generators of the sister of Euclidean Picard modular group
Eisenstein-Picard模群的姐妹群在[8]中得到了描述。本文给出了Euclidean-Picard模群的姐妹群的类似定义，并利用几何方法求出了它的生成元。
The number of topological generators for full groups of ergodic equivalence relations
我们完全阐明了遍历概率测度保持（PMP）等价关系的两个不变量之间的关系，即它的代价和它的完全群的最小拓扑生成元数。由此可见，对于自由群的任何自由pmp遍历作用于$n$生成元，该作用的完全群的拓扑生成元的最小数目是$n+1$，回答了Kechris的一个问题。
Generators of Eisenstein--Picard modular group in three complex dimensions
关于高维Picard模群的生成元系统，人们知之甚少.本文证明了高维Eisenstein-Picard模群$\mathbf{PU}(3,1;\mathbb{Z}[ω_3])$可以由四个给定的变换生成.
On the linearity of the holomorph group of a free group on two generators
设F_n表示n个字母生成的自由群。本文的目的是证明两个生成元上的自由群的全形Hol（F_2）是线性的。因此，F_2的任何由线性群H的分裂群扩张都是线性的。这个结果给出了Aut（F_3）的一个大的线性子群。第二个应用是亏格为一的两个穿孔曲面的映射类群是线性的。
Universal CA groups with few generators
存在F. G. -通用的细胞自动机群，它们是$\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_2$或$\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$的继承者，正如作者以前所解释的那样。
The free group on n generators modulo n+u random relations as n goes to infinity
我们表明，当n趋于无穷大时，n个生成元上的自由群，模n+u随机关系，收敛到我们明确给出的随机群。这个随机群是随机阿贝尔群的一个非阿贝尔版本，而随机阿贝尔群是科恩-伦斯特拉代数中的特征。对于每个n，这些随机群体属于随机群体的Gromov模型中的少数联系人模型。
Two-generator subgroups of the pure braid group
我们证明了纯辫群的任意两个元素要么交换要么生成一个自由群，解决了Luis Paris的一个问题。我们的证明涉及到三维流形理论和树上的群作用理论。
Three-generator Artin groups of large type are biautomatic
本文构造了3-生成元大型Artin群的一个分段欧氏非正曲2-复形。因此，我们表明，这些群体是双自动的。稍微修改的证明表明，许多其他阿廷群也是双自动的。一般性的问题（是否所有的阿廷集团都是双自动的）仍然悬而未决。
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