The maximal density of product-free sets in Z/nZ
本文研究了Z/nZ中无积集的最大尺寸。这些是剩余的集合，对于这些剩余的集合，没有ab == c（mod n）的解，其中a，b，c在集合中。在前一篇文章中，我们构造了Z/n_iZ中整数（n_i）_{i > 0}和无积集S_i的无穷序列，使得当i趋于无穷大时密度|S_i| /n_i趋于1，其中|S_i| $表示S_i的基数。在这里，我们得到匹配，常数，上限和下界的最大可达到的密度n趋于无穷大。
2012-01-12 math.NT
Improved bounds for arithmetic progressions in product sets
令$B$是大小为$n$的自然数的集合。我们证明了乘积集$B.B = \{bb'| \, b, b' \in B\}$中最长等差数列的长度不可能大于$O(n \log n)$，它与文献[1]中给出的下界相匹配，直到一个乘法常数.对于复数的集合，我们改进了对任意$ε> 0$的$O_ε(n^{1 + ε})$的约束，假设GRH。
2015-02-12 math.NT
Additive properties of product sets in fields of prime order
设$F_p$是素数阶$p$的域。然后，对于任何正整数$n>1$，对于任何$ε>0$，以及对于$F_p$的任何子集$A$，$F_p$的每个元素都可以表示为$N$元素的和，每个元素都是来自$A$的$n$元素的乘积，其中$N$取决于$n$和$\espilon$。
2007-02-24 math.NT
Product sets cannot contain long arithmetic progressions
令$B$是大小为$n$的自然数的集合。证明了乘积集$B.B = \{bb'| \, b, b' \in B\}$中包含的最长等差数列的长度不可能大于$O(\frac{n\log^2 n}{\log \log n})$，并给出了一个乘积集包含长度为$Ω(n \log n)$的等差数列的例子.对于复数的集合，我们得到了上界$O(n^{3/2})$。
2014-05-18 math.NT
A note on product sets of random sets
给定两组正整数$A$和$B$，设$AB := \{ab : a \in A,\, b \in B\}$是它们的乘积集，并对任何正整数$k$置$A^k := A \cdots A$（$k$乘以$A$）。此外，对于每个正整数$n$和每个$α\in [0,1]$，令$\mathcal{B}(n, α)$表示概率模型，其中通过以概率$α$独立地选择$\{1, \dots, n\}$的每个元素来构造随机集$A \subseteq \{1, \dots, n\}$。我们证明，如果$A_1, \dots, A_s$是随机集$\mathcal{B}(n_1, α_1), \dots, \mathcal{B}(n_s, α_s)$，分别，$k_1, \dots, k_s$是固定的正整数，$α_i n_i \to +\infty$，$1/α_i$不增长太快的产品$\log n_j$方面，然后$|A_1^{k_1} \cdots A_s^{k_s}| \sim \frac{|A_1|^{k_1}}{k_1!}\cdots\frac{|A_s|^{k_s}}{k_s!}$概率$1 - o(1)$。这是Cilleruelo，Ramana和Ramaré的结果的推广，他们考虑了$s = 1$和$k_1 = 2$的情况。
2019-09-11 math.NT
On additive bases of sets with small product set
证明了满足$|AA| \leq |A|^{1+ε}$且$ε> 0$足够小的实数的有限集不能有小的加法基，也不能写成$B+C$与$|B|, |C| \geq 2$的和的集合.这个结果可以看作是Sárközy猜想的一个真实类比，即素数阶有限域的乘法子群是加法不可约的。
2016-11-19 math.NT
On Integer sequences in Product sets
设$B$是自然数或复数的有限集。对应于$B$的积集由$B.B:=\{ab:a,b\in B\}$定义。本文给出了精确到一个正常数的积集上的多项式序列的最长连续项长度的一个上界。当$B$是一组自然数时，我们给出了一个关于积集中存在的斐波那契数的最大数目的精确界;当$B$是一组复数时，我们给出了一个精确到正常数的界.
2015-11-10 math.NT
On sum sets of sets, having small product set
本文改进了Solymosi关于R中和积的一个结果，即证明了max{|A+A|，|AA| } \gg |A| ^{4/3+c}，其中c>0是绝对常数。得到了具有小积集的集合和的新的下界，有效地改进了已有的关于集合A from R的|AA| \le |A| ^{4/3}的结果.
2015-03-29 math.CO math.NT
Restricted Product Sets under Unique Representability
本文证明了域的乘法群（特别是循环群）中限制乘积集的Kemperman-Scherk型的一些结果.证明使用多项式方法。
2015-12-05 math.CO math.NT
On products of sets of natural density one
本文通过构造一个密度为1的集合$A$使其乘积集合$A\cdot A$具有“大”补集，推进了Bettin等人关于自然密度为1集合乘积最优收敛速率的确定问题。
2025-04-02 math.NT
On popular sums and differences of sets with small products
给出了实数子集$A$的小积$AA$，得到了$A$的加性能量的一个新的上界.该证明利用了$A$的特征函数的卷积的水平集与$A$的乘积较小的自然观察。
2019-11-27 math.CO math.NT
A note on product sets of rationals
Bourgain，Konyagin和Shparlinski得到了当A和B是分子和分母小于或等于Q的正有理数集合时积集AB的大小的一个下界.我们使用不同的方法扩展并稍微改进了该下界。
2015-03-10 math.CO math.NT
On the density of sumsets and product sets
本文给出了整数集的稠密性与其和集、积集及子集和集的稠密性之间的联系。
2019-02-07 math.CO math.NT
Some remarks on products of sets in the Heisenberg group and in the affine group
我们得到了关于素域上的Heisenberg群和仿射群的大小集乘积的一些新结果。此外，我们推导出应用这些增长结果的Freiman的同构在nonabel群。
2019-07-07 math.CO math.NT
A note on the natural density of product sets
给出自然密度为$1$的两组自然数$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$，证明了它们的乘积集$\mathcal{A}\cdot \mathcal{B}:=\{ab:a\in\mathcal{A},\,b\in\mathcal{B}\}$也有自然密度$1$ .另一方面，对于任何$\varepsilon>0$，我们发现有集$\mathcal{A}$的密度$>1-\varepsilon$的产品集$\mathcal{A}\cdot\mathcal{A}$有密度$<\varepsilon$。这回答了Hegyvári，Hennecart和Pach的两个问题。
2020-06-23 math.CO math.NT
On maximal product sets of random sets
对于每个正整数N和每个$α\in [0,1)$，令$B(N, α)$表示概率模型，其中通过以概率$α$独立地选择$\{1,\dots,N\}$的每个元素来构造随机集$A\subset \{1,\dots,N\}$。我们证明，作为$N\longrightarrow +\infty$，对于$B(N, α)$中的每个$A$，我们有概率$1-o(1)$的$|AA|\ \sim |A|^2/2$，当且仅当$$\frac{\log(α^2(\log N)^{\log 4-1})}{\sqrt{\log\log N}}\longrightarrow-\infty.$$这改进了Cilleruelo，Ramana和Ramaré的定理，他们证明了当$α=o(1/\sqrt{\log N})$时$|AA|$和$|A|^2/2$之间的上述渐近性，并提供了随机集的最大乘积集的完整表征。
2020-05-14 math.NT math.PR
New Proofs of Plünnecke-type Estimates for Product Sets in Groups
给出了群中三重积集基数的一个新的界，并给出了三个应用。关于阿贝尔群的Plunnecke-Ruzsa和集不等式的一个新的且出乎意料的短证明在不作交换性假设的情况下，推广了这些不等式。Plunnecke-Ruzsa不等式在一般群中的进一步推广。
2011-06-24 math.CO math.NT
An application of the sum-product phenomenon to sets having no solutions of several linear equations
我们证明了对于任意的$κ\le \frac{1}{3}$，$\mathbf{F}_p$的任何子集，避免$t$线性方程与三个变量的大小小于$O(p/t^κ)$。我们还发现一些应用程序的问题，所谓的非平均集，共线三元组和混合能量的数量。
2016-10-23 math.CO math.NT
Character-free approach to progression-free sets
我们提出了一个初等的组合论证，证明了有限r维向量空间中的无进展集的密度是O（1/r）。
2009-11-03 math.CO math.NT
On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
2003-09-03 math.CO math.NT
Additive properties of product sets in an arbitrary finite field
证明了对任意有限域$\Fq$的任意两个子集$A$和$B$，使得$|A||B|>q$的恒等式$16AB=\Fq$成立.此外，它建立了，对于每个子集$X, Y\subset \Fq$的性质$|X||Y|\geqslant 2q$的等式$8XY=\Fq$成立。
2008-01-14 math.CO math.NT
On the regular sum-free sets
卡梅隆引入了一个双射之间的一组和自由集和一组的所有零一序列。本文研究了含有Cantor型序列和置换序列等的0 - 1序列所对应的自然数的无和集，这些无和集作为整数序列是2-正则的。我们还证明了对应于某些和自由集的序列是自动的。
2014-11-11 math.CO math.NT
Small product sets in compact groups
本文证明了在一个具有\emph{abelian}单位连通区的紧第二可数群$K$中的充分“扩展”Borel集的次临界对$(A,B)$，在$\bT$或$\bT \rtimes \{-1,1\}$中必须约化为Sturmian对.这推广了Kneser的一个经典结果。
2016-12-04 math.GR math.NT
Vanishing sums of roots of unity and the Favard length of self-similar product sets
本文改进了$N$ -次单位根的零和中元素个数的Lam-Leung下界的一个特例。利用这一结果，我们扩展Favard长度估计由于债券，Escheraba和Volberg一类新的有理产品康托集$\mathbb{R}^2$。
2022-12-15 math.CA math.MG math.NT
A structure theorem for product sets in extra special groups
Hegyvári和Hennecart表明，如果$B$是海森堡群的一个足够大的砖块，那么积集$B\cdot B$包含许多群中心的陪集。我们给出了一个新的，强大的证明这个定理，扩展到所有额外的特殊群体，以及一个大家庭的拟群。
2017-09-11 math.CO math.NT
Groups with few maximal sum-free sets
我们发现，在整数设置相反，几乎所有的偶数阶阿贝尔群$G$有指数更少的最大和自由集比$2^{μ(G)/2}$，其中$μ(G)$表示的大小，最大和自由集$G$。这证实了Balogh，Liu，Sharifzadeh和Treglown的猜想。
2018-11-14 math.CO math.NT
On sets free of sumsets with summands of prescribed size
我们研究极值问题的整数集，不包含规定大小的和项的和集。我们分析有限集和无穷序列。我们还研究了这些问题与图和超图的极值问题的联系。
2015-04-01 math.CO math.NT
Primitive and geometric-progression-free sets without large gaps
我们证明了存在的原始集（集合的整数，其中没有元素除另一个），其中任何两个连续的条款之间的差距是大大小于最好的已知的上界的差距序列的素数。证明使用概率方法。使用相同的技术，我们改进了他所获得的界限间隙等比数列自由集。
2019-02-04 math.CO math.NT
N-graphs, modular Sidon and sum-free sets, and partition identities
使用一个新的图形表示分区，作者获得了一个家庭的分区身份与分区成不同的部分的算术级数，或者，更一般地说，与分区成不同的部分的一组，这是一个有限的工会的等差数列与模块化的和免费西顿集。划分单位也构造与模块和自由集的集合。
2000-02-22 math.CO math.NT
Progression-free sets in Z_4^n are exponentially small
我们表明，对于整数$n>0$，任何子集$A \subset Z_4^n$免费的三项等差数列的大小$|A| < 4^{c n}$，与一个绝对常数$c \approx 0.926$。
2016-05-21 math.CO math.NT
Sharp Bounds for Sets with Distinct Subset Products
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文研究了具有不同子集乘积的集合的界，通过素数计数函数给出了新的上界结果。
2026-02-26 math.CO math.NT
Corner-free sets via the torus
角点是$\Bbb{Z}^2$中的三个点，形式为$(x,y),(x+d,y),(x,y+d)$，其中$d\neq 0$。人们可以把它们看作是3项等差数列的二维类似物。在这个简短的说明中，我们将Green-Wolf的思想从后者扩展到前者，实现了更好的角自由集的构造。
2022-10-24 math.CO math.NT
Global Product Intersection Sets in Semigroups
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文研究了半群中乘积交集的性质，证明了当Q的大小大于等于2时，任何包含1的子集均可作为乘积交集出现，解决了Nathanson提出的问题。
2026-04-27 math.CO math.GR math.NT
On product of difference sets for sets of positive density
本文证明了给定两个正密度集$E_1,E_2 \subset \mathbb{Z}$，存在$k \geq 1$，它被一个仅依赖于$E_1$和$E_2$的密度的数所包围，使得$k\mathbb{Z} \subset (E_1-E_1)\cdot(E_2-E_2)$ .作为主要定理的推论，我们推出，如果$α,β> 0$，那么存在$N_0$和$d_0$，它们只依赖于$α$和$β$，使得对于每个具有$|E_1| \geq αN, |E_2| \geq βN$的$N \geq N_0$和$E_1,E_2 \subset \mathbb{Z}_N$，存在$d \leq d_0$，$N$的因子满足$d \, \mathbb{Z}_N \subset (E_1-E_1)\cdot(E_2-E_2)$。
2017-02-13 math.CO math.DS math.NT
Notes on sum-free sets in abelian groups
Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）
本文通过容器方法，渐近确定了大多数偶数阶阿贝尔群中极大无和子集的数量，并提出了若干开放问题。
2026-05-26 math.CO math.GR math.NT
On iterated product sets with shifts
我们证明了，对于任何有限集$A \subset \mathbb Q$与$|AA| \leq K|A|$和任何正整数$k$，$k$ -倍产品集的移位$A+1$满足界$$| \{(a_1+1)(a_2+1) \cdots (a_k+1) : a_i \in A \}| \geq \frac{|A|^k}{(8k^4)^{kK}}. $$。这个结果是本质上最优的$K$时的顺序$c\log|A|$，对于一个足够小的常数$c=c(k)$。我们的主要工具是调和分析中使用的$Λ$常数的乘法变体，应用于狄利克雷多项式。
2018-01-24 math.CA math.CO math.NT
Symmetric Complete Sum-free Sets in Cyclic Groups
给出了一般有限循环群中对称完全和自由集的构造。它表明，相对大小的集合是密集的$[0,\frac{1}{3}]$，回答了卡梅隆的问题，并在循环群中所包含的顺序$n$的数量是指数在$n$。对于素数$p$，我们给出了$\mathbb{Z}_p$的对称完全无和子集的完整刻画，其大小至少为$(\frac{1}{3}-c) \cdot p$，其中$c>0$是一个普适常数.
2017-05-01 math.CO math.GR math.NT
Problems and results on intersections of product sets and sumsets in semigroups
Lehman College (CUNY)（莱曼学院（城市大学系统））
研究半群中乘积集与和集交集的性质，探讨乘积交集集H(A_q)的结构与特性。
2026-04-10 math.CO math.GR math.NT
