A note on distinct distance subsets
它示出，给定一组$N$点在平面上或在球体上，有一个子集的大小$\gtrsim N^{1/3}/\log N$与点之间的所有成对的距离不同。
2012-11-08 math.CO
A sharp result on m-covers
设A={a_s+n_sZ}_{s=1}^k是构成Z的m-覆盖的有限等差数列系（即，每个整数至少属于A的m个成员）。本文证明了如下尖锐结果：对任意正整数m_1，.，m_k和θ在[0，1）中，如果存在{1，.，k}，使得sum_{s in I} m_s/n_s的分数部分是θ，则存在至少2 ~ m个这样的{1，.，k}。这推广了M. Z. Zhang和Z. W.太阳并将上述结果推广到了具有幂整基的任意代数数域的整环的m-覆盖。
2006-09-09 math.CO math.NT
Sharp bound for the Erdős-Straus non-averaging set problem
本文解决了 Erdős-Straus 问题，证明 $\{1,\ldots,n\}$ 的最大非平均子集大小为 $n^{1/4+o(1)}$，并推广到任意固定维度的盒子，主要工具是子集和结构定理与近似凸位置点集结构。
2025-09-10 math.CO math.NT
Subset sums in $\BZ_p$
设$\BZ_p$是素数阶$p$的有限域，$A$是$\BZ_p$的子集.我们证明了关于以下两个基本问题的几个尖锐结果：（1）何时可以把零表示为$A$的不同元素之和？(2)何时可以将$\BZ_p$的每个元素表示为$A$的不同元素之和？
2006-10-05 math.CO math.NT
Some Remarks on the Erdős Distinct Subset Sums Problem
设$\left\{a_1, \dots, a_n\right\} \subset \mathbb{N}$是一组正整数，$a_n$表示最大的元素，使得对于任何两个$2^n$子集，所有元素的和是不同的。Erdibs问这是否意味着$a_n \geq c \cdot 2^n$适用于某种通用的$c>0$。我们证明，稍微扩展的结果Elkies，任何$a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}_{>0}$ $$ \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{\sin{ x}}{ x} \right)^2 \prod_{i=1}^{n} \cos{( a_i x)^2} dx \geq \fracπ{2^{n}}$$与平等的当且仅当所有子集和$1-$分离。这导致了一个新的证明，目前最好的下界$a_n \geq \sqrt{2/πn} \cdot 2^n$。主要的新见解是，具有不同的子集和和$a_n$小需要随机变量$X = \pm a_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n$接近高斯在精确的意义上。
2023-01-02 math.CA math.CO math.NT
Constructing subsets of a given packing index in Abelian groups
根据定义，阿贝尔群$G$的子集$A$的尖锐填充指数$\ind_P^\sharp(A)$是最小基数$κ$，使得对于大小为$|B|\geκ$的任何子集$B\subset G$，族$\{b+A:b\in B\}$不相交。本文证明了无限阿贝尔群$G$包含一个具有给定指标$\ind_P^\sharp(A)=κ$的子集$A$当且仅当下列条件之一成立：（1）$2\le κ\le|G|^+$和$k\notin \{3,4\}$ ;（2）$κ=3$和$G$不同构于$\oplus_{i\in I} \mathbb{Z}_3$ ;（3）$κ=4$和$G$不同构于$\oplus_{i\in I} \mathbb{Z}_2$或$\mathbb{Z}_4\oplus(\oplus_{i\in I} \mathbb{Z}_2)$ .
2009-01-08 math.CO math.GR
On the size of subsets of $\mathbb{F}_p^{n}$ without $p$ distinct elements summing to zero
让我们修复一个主要的$p$。Erdens-Ginzburg-Ziv问题要求最小整数$s$，使得格点$\mathbb{Z}^n$中的任何$s$点的集合包含其质心也是$\mathbb{Z}^n$中的格点的$p$点。对于大的$n$，这实质上等同于要求$\mathbb{F}_p^n$的子集的最大大小，而$p$不同元素的总和不为零。本文对任意固定素数$p\geq 5$和大$n$给出了该问题的一个新的上界。特别是，我们证明了$\mathbb{F}_p^n$的任何子集没有$p$不同的元素总和为零的大小最多$C_p\cdot \left(2\sqrt{p}\right)^n$，其中$C_p$是一个常数，只取决于$p$。当$p$和$n$趋于无穷大时，我们的上界是$p^{(1/2)\cdot (1+o(1))n}$的形式，而所有以前已知的上界都是$p^{(1-o(1))n}$的形式（其中$p^n$是平凡的上界）。我们的证明使用所谓的多色和自由定理，这是一个后果的Croot-Lev-Pach多项式方法。这种方法及其后果已经适用于纳斯伦德以及福克斯和作者证明边界的问题在本文中研究。然而，使用一些关键的新想法，我们显着提高他们的界限。
2020-06-27 math.CO math.NT
Sharp threshold for reconstructing points on the line
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
研究在线上点集重构问题，证明在特定概率下存在可重构子集，扩展了关于重构子集大小的猜想。
2026-04-10 math.CO
On sets with few distinct distances
人们普遍认为，在平面上的点集，确定几个不同的距离必须有一些特殊的结构。特别地，这样的集合被认为类似于晶格。本说明考虑用两种不同的方法来量化这一想法。首先，改进Hanson的结果（参见arXiv：1607.03442），证明了如果$P= A \times A$与$A \subset \mathbb R$和$P$确定$O(|A|^2)$不同距离，则$|A-A|=O\left(|A|^{2-\frac{2}{11}}\right)$。这一结果进一步证明了决定少数不同距离的卡氏积具有某种加性结构。其次，证明了如果$N$点的集合$P \subset \mathbb R^2$确定$O(N/\sqrt {\log N})$不同的距离，则存在反射$\mathcal R$和具有$|P'| =Ω( \log^{3/2} N)$的集合$P' \subset P$，使得$\mathcal R(P') \subset P$ .换句话说，具有几个不同距离的集合具有某种程度的自反对称性。
2016-11-16 math.CO math.MG math.NT
Sharply transitive sets in $\mathrm{PGL}_2(K)$
这里是一个简化的证明，证明了$\mathrm{PGL}_2(K)$的每个急剧传递子集都是子群的陪集。
2021-06-28 math.CO math.GR
Variations on the Erdős distinct-sums problem
设$\{a_1, . . . , a_n\}$是一组正整数，其中$a_1 < \dots < a_n$使得所有$2^n$子集和是不同的。一个著名的猜想由Erdens指出，$a_n>c\cdot 2^n$为一些常数$c$，而最好的结果是已知的日期是形式$a_n>c\cdot 2^n/\sqrt{n}$。在本文中，我们削弱的条件，要求只有对应的子集的大小小于或等于$λn$是不同的。对于这种情况下，我们推导出最小可能值的$a_n$的上下界。
2022-10-28 math.CO math.NT
Siegel's Lemma and Sum-Distinct Sets
我们给出了Siegel引理w的一个锐化形式。R. t.最大的标准。这意味着一个新的下界的最大元素的总和不同的正整数（Erdös-Moser问题）。主要工具是闵可夫斯基定理连续极小和Busemann定理从凸几何。
2005-10-08 math.CO math.NT
A Generalisation on Erdős Distinct Subset Sums Problem
本文推广了 Erdős 不同子集和问题到 $\u2124^k$，通过引入替代统计量改进低维界的估计，并提供了按维度选择方法的框架。
2025-10-07 math.CO math.PR
Subsets of free groups with distinct differences
本文研究自由群中差值互不相同的子集，证明当秩固定且直径很大时，最大不同差值构型的规模约为 $(2n-1)^{d/3}$。
2023-07-07 math.CO math.GR
Parabolic distance in $\mathbb F_q^2$: a sharp exponent and new results
The Dewey Schools；Missouri State University（密苏里州立大学）；VNU University of Science（越南国立大学自然科学大学）；Vietnam Institute of Educational Sciences（越南教育科学研究所）
本文研究有限域中抛物线距离问题，确定子集决定多个不同抛物线距离的阈值，结合傅里叶分析和加性组合学方法，提供正向结果及精确性示例。
2026-03-22 math.CO
Sharp tridiagonal pairs
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对$K$ -线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的，（ii）存在$A$的特征空间的序${V_i}_{i=0}^d$，使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序${V^*_i}_{i=0}^δ$使得对于$0 \leq i \leq δ$有$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们在$V$上将这样的对称为{ \em三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。我们说对$A,A^*$是{ \em sharp}每当$\dim V_0=1$。Tatsuro Ito和第二作者的一个猜想指出，…
2007-12-21 math.CO math.RA
A sharp upper bound for the independence number
一个$r$ -图$G$是一个$(V,E)$对，使得$V$是一个集合，$E$是$V$的$r$ -元素子集的族。$G$的\emph{independence number} $α(G)$是$V$的最大子集$I$的大小，使得没有$E$的成员是$I$的子集。$G$的\emph{transversal number} $τ(G)$是与$E$的每个成员相交的$V$的最小子集$T$的大小。如果对于$V$中的每个不同的$v$和$w$，存在从$v$到$w$的\emph{path}（即，$E$的成员的序列$e_1, \dots, e_p$，使得$v \in e_1$、$w \in e_p$，并且如果是$p \geq 2$，则对于每个$i \in \{1, \dots, p-1\}$，$e_i$与$e_{i+1}$相交），则称$G$是\emph{connected}。$V$的成员$v$的\emph{degree}是包含$v$的$E$成员的数量。$V$的成员的最大度数由$Δ(G)$表示。我们证明了对任何$1 \leq k < n$，如果$G = (V,E)$是一个连通的$r$ -图，$|V| = n$，和$Δ(G) = k$，那么\[α(G) \leq n - \left \lceil \frac{n-1}{k(r-1)} \right \rceil, \quad τ(G) \geq \left \lce…
2013-08-18 math.CO
Sharp Lower Bounds for Sumsets in Hypercubes
IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯粹与应用数学研究所）；Institut des Hautes Études Scientifiques, CNRS, Laboratoire Alexander Grothendieck（高等科学研究所，法国国家科学研究中心，亚历山大·格罗滕迪克实验室）
通过混合体积表示和单变量函数不等式，证明了超立方体中子集和基数的最优下界，解决了Becker等人提出的猜想。
2026-07-03 math.CA math.CO math.MG
A classification of sharp tridiagonal pairs
设$F$表示域，$V$表示$F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$ 0 \leq i \leq d$，$V_i,V_{d-i},V^*_i, V^*_{d-i}$的尺寸一致。当${\rm dim} V_0=1$时，$A,A^*$对称为{ \it sharp}。已知如果$F…
2010-01-12 math.CO math.RA
The upper logarithmic density of monochromatic subset sums
我们表明，在任何两个着色的正整数有一种颜色，可以表示为不同的元素与这种颜色的总和的正整数的集合具有上对数密度至少$(2+\sqrt{3})/4$，这是最好的可能。这回答了一个40年前的Erdos问题。
2022-09-22 math.CO math.NT
Sharp Concentration of Hitting Size for Random Set Systems
考虑{1，2，..的随机集系统，n}，其中幂集中的每个子集都是以概率p独立选择的。如果集合H与每个选择的集合相交，则称集合H为命中集。二阶矩方法被用来显示各种p值下H的最小尺寸的急剧集中。
2012-05-25 math.CO math.PR
Distinct Partial Sums in Cyclic Groups: Polynomial Method and Constructive Approaches
设$(G,+)$是一个阿贝尔群，并考虑一个具有$|A|=k$的子集$A \subseteq G$.给定$A$的元素的排序$(a_1, \ldots, a_k)$，通过$s_0 = 0$和$s_j = \sum_{i=1}^j a_i$为$1 \leq j \leq k$定义其{ \em部分和}。我们考虑Alspach的猜想：对于任何循环群$\Z_n$和任何具有$s_k \neq 0$的子集$A \subseteq \Z_n \setminus \{0\}$，都有可能找到$A$的元素的一个排序，使得对于$0 \leq i < j \leq k$，它的部分和$s_i$和$s_j$中没有两个相等.我们表明，Alspach的猜想持有总理$n$时$k \geq n-3$和$k \leq 10$。前一个结果是通过直接构造得到的，后一个结果是非构造的，使用多项式方法。我们还使用多项式的方法表明，对于总理$n$序列的长度$k$具有不同的部分和存在于任何子集的$\Z_n \setminus \{0\}$的大小至少$2k- \sqrt{8k}$在所有但最多有界的情况下。
2018-09-07 math.CO
How to sharpen a tridiagonal pair
设$\F$表示域，$V$表示$\F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i, V^*_i, V_{d-i}, V^*_{d-i}$的尺寸一致。用$ρ_i$表示这个公共维度，并在$ρ_0=1$时调用$A,A^*$ { \it sharp…
2008-07-25 math.CO math.RA
A sharp threshold for a random version of Sperner's Theorem
本文研究随机选取布尔格子集后最大反链的结构，证明当选取概率 p>3/4 时最大反链仍由中间层给出，并证明阈值 3/4 最优，同时刻画了 p>1/2 时最大反链的性质。
2023-09-20 math.CO
On Sequences in Cyclic Groups with Distinct Partial Sums
阿贝尔群的子集是{ \em可定序的}，如果存在其元素的排序$(x_1, \ldots, x_k)$，使得由对于$1 \leq i \leq k$的$y_0 = 0$和$y_i = \sum_{j=1}^i x_i$给出的部分和$(y_0, y_1, \ldots, y_k)$是不同的，可能的例外是我们可能有$y_k = y_0 = 0$。我们证明了当$n = mt$在许多情况下，包括当$m$是素数或对于$k \leq 11$和$t \leq 5$以及对于$k=12$和$t \leq 4$具有大于$k! /2$的所有素数因子时，$\mathbb{Z}_n \setminus \{ 0 \}$的大小$k$的子集的可测序性。我们得到类似的，但部分，结果$13 \leq k \leq 15$。这代表了进展的各种问题和progratures在文献中关于sequenceability的子集的阿贝尔群，我们结合起来，并总结成猜想，如果一个子集的阿贝尔群不包含0，那么它是sequenceable。
2022-04-01 math.CO
A note on distinct volume subsets problem
Charles University（查理大学）
本文针对不同体积子集问题及其对偶版本，构造点集改进了H_{a,d}(n)的上界，还改进了D_d(n)的上界并给出D_2(n)、D_3(n)的首个非平凡下界。
2026-08-25 math.CO math.MG
On angles determined by fractal subsets of the Euclidean space via Sobolev bounds for bi-linear operators
证明了如果${\mathbb R}^d$的紧子集的Hausdorff维数大于$\frac{d+1}{2}$，则由该集合的点的三重集所确定的角的集合具有正的Lebesgue测度.广义Radon变换的双线性类似物的Sobolev界和固定相位的稳定相位法起着关键作用。这些结果补充了V.Harangi，T.凯莱蒂，G. Kiss，P. Maga，P. Mattila and B. Stenner在（\cite{HKKMMS10}）。我们还获得了新的上界的次数之间的角度可以发生在$N$点在${\mathbb R}^d$，$d \ge 4$，Apfelbaum和Sharir（\cite{AS05}）和Pach和Sharir（\cite{PS92}）的结果的动机。然后，我们使用该结果来建立连续设置中的锐度结果。另一个清晰度结果依赖于更高维度中大球体上晶格点的分布。
2011-10-31 math.CA math.CO
Distinct degrees and homogeneous sets
本文研究了图$G$中最大齐次集的阶数与导出子图中出现的最大不同度数之间的极值关系，分别记为$\hom (G)$和$f(G)$ .我们的主要定理提高了估计，由于一些早期的研究人员，并表明，如果$G$是一个$n$ -顶点图与$\hom (G) \geq n^{1/2}$，然后$f(G) \geq \big ( {n}/{\hom (G)} \big )^{1 - o(1)}$。这里的界限是尖锐的$o(1)$ -长期，并渐近解决了纳拉亚南和Tomon的猜想。特别是，这意味着$\max \{ \hom (G), f(G) \} \geq n^{1/2 -o(1)}$对于任何$n$ -顶点图$G$，它也是尖锐的. $\hom (G)$和$f(G)$之间的上述关系在其中$\hom (G) < n^{1/2}$ .我们的第二个结果提供了一个尖锐的界限不同程度的有偏随机图，即$f\big (G(n,p) \big )$。我们相信，这里的行为决定了在第二种状态下$\hom (G)$和$f(G)$之间的极端关系。我们的方法下界$f(G)$收益通过翻译成一个（几乎）等价的概率问题，它可以被证明是有效的任意图形。它可能是独立的利益。
2022-11-30 math.CO
Distinct volume subsets
本文研究不同体积子集问题，改进 Erdős 提出的 $h_{2,d}(n)$ 的下界，并证明对所有 $a,d$，$h_{a,d}(n)$ 至少为 $n$ 的幂次。
2015-05-10 cs.CG math.CO math.MG
A note on the distinct distances problem over finite fields
研究Hamming度量下Erdős不同距离问题的有限域类比，证明了紧的距离下界，并探讨了彩虹集的存在性及显式构造。
2025-10-13 cs.DM math.CO
Sharp results concerning disjoint cross-intersecting families
对于$n$元素集$X$，让$\binom{X}{k}$是它的所有$k$子集的集合.如果$A\cap B \neq \emptyset$对所有$A\in\mathcal A$、$B\in\mathcal B$成立，则两个集合族$\mathcal A$和$\mathcal B$称为交叉相交的。令$f(n,k)$表示$\min\{|\mathcal A|, |\mathcal B|\}$的最大值，其中最大值是在{\em不相交}、交叉相交的族$\mathcal A, \mathcal B\subset\binom{[n]}{k}$的所有对上取得的。让PDMATHAMBMZ。我们证明了$f(n,k)=\left\lfloor\frac12\binom{n-1}{k-1}\right\rfloor$本质上当且仅当$n>ck^2$（cf.定理~1.4对于精确陈述）。令$f^*(n,k)$表示在$\mathcal A$和$\mathcal B$的所有成员的交集为空的附加限制下的相同最大值。对于$k\ge5$和$n\ge k^3$，我们证明了$f^*(n,k)=\left\lfloor\frac12\left(\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-2k}{k-1}\right)\right\rfloor+1$和对$n$的限制本质上是尖锐的（参见。定理~5.4）。
2019-05-20 cs.DM math.CO
Characterizing extremal digraphs for identifying codes and extremal cases of Bondy's theorem on induced subsets
（di）图$G$的标识码是$G$的顶点的支配子集$C$，使得$G$的所有不同顶点在$C$内具有不同的（内）邻域。本文对所有在任一识别码中只允许其整个顶点集的有限有向图进行了分类。我们也分类所有这样的无限定向图。此外，通过将这一概念与A.邦迪集系统，我们分类的极值情况下，这一定理。
2012-02-15 cs.DM math.CO
A bandwidth refinement of the Erdős distinct subset sums bound
Università degli Studi di Brescia（布雷西亚大学）
本文通过按子集和排序所有子集并利用超立方体带宽公式，将 Erdős 不同子集和问题的下界细化为更强的 $H_n$，其渐近优于中心二项式界。
2026-09-24 math.CO
Sharp bounds for the Tao-Vu Discrete John's Theorem
本文研究中心对称凸级数被广义算术级数包含的大小界问题，将Tao-Vu及Berg-Henk的结果改进为 $d^{O(d)} \\# C$，达到与连续情形John定理相同形式且在常数意义下锐利。
2023-09-21 math.CO
The sharp doubling threshold for approximate convexity
本文证明了近似凸性的精确加倍阈值，确立了Figalli和Jerison关于Brunn-Minkowski不等式定量稳定性的精确阈值，并为迭代和集建立了类似阈值。
2023-04-03 math.CO math.MG
Intersections and Distinct Intersections in Cross-intersecting Families
令$\mathcal{F},\mathcal{G}$是$k$的两个交叉族-$\{1,2,\ldots,n\}$的子集。令$\mathcal{F}\wedge \mathcal{G}$、$\mathcal{I}(\mathcal{F},\mathcal{G})$分别表示所有交集$F\cap G$与$F\in \mathcal{F},G\in \mathcal{G}$以及所有不同交集$F\cap G$与$F\neq G, F\in \mathcal{F},G\in \mathcal{G}$的族。对于固定的$T\subset \{1,2,\ldots,n\}$，令$\mathcal{S}_T$为所有$k$的族-包含$T$的$\{1,2,\ldots,n\}$子集。在本文中，我们表明，$|\mathcal{F}\wedge \mathcal{G}|$是最大化时，$\mathcal{F}=\mathcal{G}=\mathcal{S}_{\{1\}}$的$n\geq 2k^2+8k$，而令人惊讶的$|\mathcal{I}(\mathcal{F}, \mathcal{G})|$是最大化时，$\mathcal{F}=\mathcal{S}_{\{1,2\}}\cup \mathcal{S}_{\{3,4\}}\cup \mathcal{S}_{\{1,4,5\}}\cup \mathcal{S…
2022-04-29 math.CO
Sets with Few Subset Sums
Yale University（耶鲁大学）；Harvard University（哈佛大学）；St John’s College, Oxford（牛津大学圣约翰学院）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文研究了具有少数子集和的集合的稳定性，给出了在不同范围内的精确刻画和上限分析。
2026-08-25 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.
2011-05-26 math.CO
Four Special Directions over Prime Fields: Structure and Complete Classification
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文证明仿射平面F_13^2中不存在恰好有四个特殊方向的52点子集，结合下界与构造，确定该最小规模为65。
2026-10-20 math.CO
Sharp bound on the threshold metric dimension of trees
图的阈值$k$度量维数（$\mathrm{Tmd}_k$）是当传感器的测量半径为$k$时，唯一地识别图中的任何顶点所需的传感器的最小数量-顶点集的子集，仅基于其与传感器的距离。本文给出了树的$\mathrm{Tmd}_k$的一个精确下界，它只依赖于树的顶点数$n$和测量半径$k$ .这个尖锐的下界在具有首项系数$3/(k^2+4k+3+\mathbf{1}\{k\equiv 1\pmod 3\})$的$n$中线性增长，反驳了Tillquist等人在arXiv：2106.14314中的早期假设，该假设怀疑$n/(\lfloor k^2/4\rfloor +2k)$是主阶项。我们提供了一个最大的可能的树与给定的$\mathrm{Tmd}_k$值的建设。证明我们的最佳结构不能得到改善依赖于任意（次优）树与任意解析集的边缘重新布线过程，这揭示了传感器的小子集如何测量和解析树中的某些区域的结构，我们称之为这些传感器的吸引力。“传感器吸引力”的概念在树木以外的其他情况下可能有助于解决相关问题。我们还提供了一个改进的下界上的任意树的$\mathrm{Tmd}_k$，考虑到树的结构特性，特别是，简单的路径的数量和长度的度2顶点终止于叶顶点。这个界限补充了arXiv：2106.14314，其中只考虑了没有2度顶点的树，除了单一路径的简单情况。
2021-11-16 math.CO
Sharp density conditions for infinite $B+B$ sumsets in abelian groups
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）
本文研究了无限 $B+B$ 和集在交换群中的密度条件，证明了在特定条件下存在无限子集 $B$ 使得 $t+B+B\subset A$，并展示了该结果的最优性和逆向蕴含不成立的反例。
2026-08-11 math.CO math.DS
Avoidable Sets in The Bicyclic Inverse Semigroup
如果$S$可以被划分为两个子集$A$和$B$，使得$U$的任何元素都不能被写为$A$的两个不同元素的乘积或$B$的两个不同元素的乘积，则具有二元运算的集合$S$的子集$U$被称为{ \it可避免}。对双循环逆半群的可避免集进行了分类。
2007-06-24 math.CO math.GR
Tridiagonal pairs of $q$-Racah type and the $μ$-conjecture
设$\K$表示域，$V$表示$\K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。我们说对$A,A^*$是{ \it sharp}每当$\dim V_0=1$。已知如果…
2009-08-21 math.CO math.RA
Reconstructing a point set from a random subset of its pairwise distances
设$V$是实数直线上的一组$n$点。假设每个成对距离以概率$p$独立已知。有多少$V$可以重建到等距？我们证明了$p = (\log n)/n$是重建所有$V$的尖锐阈值，这改进了Benjamini和Tzalik的结果。这是从随机过程的首中时结果得出的，其中成对距离被随机地一一均匀地揭示。我们还表明，$1/n$是一个弱阈值重建线性比例的$V$。
2023-01-26 math.CO math.MG
Irrational mixed decomposition and sharp fewnomial bounds for tropical polynomial systems
给定$R^n$中的凸多面体$P_1,...,P_r$和Minkowsky和$P_I=\sum_{i \in I} P_i$的有限子集$W_I$，我们考虑数量$N(W)=\sum_{I \subset {\bf [}r {\bf ]}} {(-1)}^{r-|I|} \big| W_I \big|$。我们开发了一种技术，我们称之为非理性的混合分解，使我们能够估计$N(W)$下的家庭$W=(W_I)$的一些假设。特别是，我们能够显示的非负性的$N(W)$在一些重要的情况下。与由$W_I=\sum_{i \in I} W_i$定义的族相关的量$N(W)$称为$W_1,...,W_r$的离散混合体积。我们发现，$r=n$的离散混合体积提供了一个上限的支持$W_1,...,W_n$的热带多项式系统的非退化的解决方案的数量。我们还证明了$W_1,...,W_r$的离散混合体积是由Kouchnirenko数$\prod_{i=1}^r (|W_i|-1)$从上有界的。对于$r=n$，这个数被提出作为任何具有$W_1,...,W_n$支撑的实多项式系统的非退化正解的数目的界。这个猜想被否定了，但我们的结果表明Kouchnirenko数是利用组合拼接构造的实多项式系统的非退化正解个数的一个精确界.
2014-11-12 math.AG math.CO math.MG
