Integer Subsets with High Volume and Low Perimeter
我们考虑一个特定的变化的“等周问题”采用的子集的非负整数。更具体地说，我们探索了OEIS A186053中描述的序列P（n）。我们提供了P（n）的第一个精确公式，包括涉及辅助函数的多重递归关系，以及简洁而令人满意的表示，甚至是准显式公式。我们还讨论了一些复杂的分形对称的序列，以及计算P（n）的算法的发展。最后，我们提出了一些有待进一步研究的开放性问题。注意，这是一个更先进的，但更简洁的版本，以前的arXiv论文arXiv：1107.2954的名称为“集与高容量和低周长”。
2012-02-07 math.CO math.NT
A Generalisation on Erdős Distinct Subset Sums Problem
本文推广了 Erdős 不同子集和问题到 $\u2124^k$，通过引入替代统计量改进低维界的估计，并提供了按维度选择方法的框架。
2025-10-07 math.CO math.PR
On sets with few distinct distances
人们普遍认为，在平面上的点集，确定几个不同的距离必须有一些特殊的结构。特别地，这样的集合被认为类似于晶格。本说明考虑用两种不同的方法来量化这一想法。首先，改进Hanson的结果（参见arXiv：1607.03442），证明了如果$P= A \times A$与$A \subset \mathbb R$和$P$确定$O(|A|^2)$不同距离，则$|A-A|=O\left(|A|^{2-\frac{2}{11}}\right)$。这一结果进一步证明了决定少数不同距离的卡氏积具有某种加性结构。其次，证明了如果$N$点的集合$P \subset \mathbb R^2$确定$O(N/\sqrt {\log N})$不同的距离，则存在反射$\mathcal R$和具有$|P'| =Ω( \log^{3/2} N)$的集合$P' \subset P$，使得$\mathcal R(P') \subset P$ .换句话说，具有几个不同距离的集合具有某种程度的自反对称性。
2016-11-16 math.CO math.MG math.NT
On the volumes of simplices determined by a subset of $\mathbb{R}^d$
本文证明高维 Borel 子集确定的单纯形体积集具有正测度，并给出尖锐下界及推广的切片定理。
2023-10-27 math.CA math.CO
Subsets of free groups with distinct differences
本文研究自由群中差值互不相同的子集，证明当秩固定且直径很大时，最大不同差值构型的规模约为 $(2n-1)^{d/3}$。
2023-07-07 math.CO math.GR
The Erdős distinct subset sums problem in a modular setting
本文研究模环境下 Erdős 不同子集和问题，证明当模为 $N=2^n+t$ 时，任意 $n$ 元不同子集和集合的最大元至少约为 $N/3$，并证明该常数最优，同时刻画了小 $t$ 情形下的集合结构。
2023-08-07 math.CO math.NT
Some Remarks on the Erdős Distinct Subset Sums Problem
设$\left\{a_1, \dots, a_n\right\} \subset \mathbb{N}$是一组正整数，$a_n$表示最大的元素，使得对于任何两个$2^n$子集，所有元素的和是不同的。Erdibs问这是否意味着$a_n \geq c \cdot 2^n$适用于某种通用的$c>0$。我们证明，稍微扩展的结果Elkies，任何$a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}_{>0}$ $$ \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{\sin{ x}}{ x} \right)^2 \prod_{i=1}^{n} \cos{( a_i x)^2} dx \geq \fracπ{2^{n}}$$与平等的当且仅当所有子集和$1-$分离。这导致了一个新的证明，目前最好的下界$a_n \geq \sqrt{2/πn} \cdot 2^n$。主要的新见解是，具有不同的子集和和$a_n$小需要随机变量$X = \pm a_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n$接近高斯在精确的意义上。
2023-01-02 math.CA math.CO math.NT
A note on distinct distances
我们证明，对于$\mathbb{R}^D$中的常次数代数曲线$γ$，$γ$上的每组$n$点至少跨越$Ω(n^{4/3})$不同的距离，除非$γ$是{ \it代数螺旋}（请参见定义1.1）。这改进了Charalambides的早期约束$Ω(n^{5/4})$ [离散计算。（2014）]。我们还表明，对于每一组$P$的$n$点，位于$d$维常度代数簇$V$在$\mathbb{R}^D$，存在一个子集$S\subset P$的大小至少$Ω(n^{\frac{4}{9+12(d-1)}})$，使$S$跨越$\binom{|S|}{2}$不同的距离。这改进了Conlon等人[SIAM J. Discrete Math.（2015）]的$Ω(n^{\frac{1}{3d}})$的早期界。这两个结果都是下面引理2.7中给出的一个通用技术工具的结果。
2020-04-14 cs.CG math.CO math.MG
Rigidity and volume preserving deformation on degenerate simplices
给定一个退化的$(n+1)$ -单形在$d$ -维空间$M^d$（欧几里德，球面或双曲空间，和$d\geq n$），对于每个$k$，$1\leq k\leq n$，Radon定理导致一个分区的集合的$k$ -面成两个子集.我们证明，如果顶点的单纯形变化顺利$M^d$ $d=n$，和体积的$k$ -面对在一个子集中只限制减少，而在其他子集中只增加，那么任何足够小的运动必须保持所有$k$ -面对的体积;和这个属性仍然保持在$M^d$ $d\geq n+1$如果一个不变的$c_{k-1}(α^{k-1})$退化的单纯形具有所需的标志。这回答了作者提出的一个问题，证明依赖于我们发现的$M^d$中细胞复合物上的任何$k$ -应力$ω$的不变$c_k(ω)$。通过定义$f(x)=\sum_{i=0}^{n+1}(-1)^{i}c_i(α^i)x^{n+1-i}$引入退化单形的一个特征多项式，并证明了$f(x)$的根在欧几里德情形下是实数.一些证据表明，同样的猜想为双曲的情况下。
2018-01-21 math.CO math.MG
On the number of tetrahedra with minimum, unit, and distinct volumes in three-space
我们制定并给出部分答案的几个组合问题的体积的$n$点确定的单形在3-空间，并在一般$d$尺寸。(i)$\RR^3$中$n$点所跨越的最小（非零）体积四面体的数目至多为${2/3}n^3-O(n^2)$，并且存在该数目为${3/16}n^3-O(n^2)$的点集。我们还提出了一个$O(n^3)$时间算法报告所有四面体的最小非零体积，从而扩展了算法的Edelsbrunner，O 'Rourke，和Seidel。一般来说，对于每个$k,d\in \NN$，$1\leq k \leq d$，$\RR^d$中的$n$点所跨越的最小（非零）体积的$k$维单形的最大数目是$Θ(n^k)$ . (ii)由$\RR^3$中的$n$点确定的单位体积四面体的数目是$O(n^{7/2})$，并且存在该数目为$Ω(n^3 \log \log{n})$的点集。(iii)对于每个$d\in \NN$，由$\RR^d$中的$n$点确定的所有全维单形的最小不同体积数是$Θ(n)$，而不是所有的单形都在超平面上。
2007-10-20 math.CO
A relation between Mahler volume and flag number for convex polytopes
Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数学科学研究所）
本文证明了凸多面体的Mahler体积与旗数的不等式，并由此推出中心对称情形下Mahler猜想蕴含Kalai旗猜想。
2026-10-08 math.CO math.MG
Subset sums in $\BZ_p$
设$\BZ_p$是素数阶$p$的有限域，$A$是$\BZ_p$的子集.我们证明了关于以下两个基本问题的几个尖锐结果：（1）何时可以把零表示为$A$的不同元素之和？(2)何时可以将$\BZ_p$的每个元素表示为$A$的不同元素之和？
2006-10-05 math.CO math.NT
The minimum possible volume size of u-way (v, k, t) trades
u方向（v; k; t）交易是一对T =（X; T_1; T2，.，T_u），使得对于v-集合X的每个t-子集，包含该t-子集的块的数量在每个Ti（1 <= i <=u）中相同。换句话说，对于每个1 <= i < j <= u，（X; T_i; T_j）是一个（v; k; t）交易。有很多关于u-way贸易的问题。主要问题是关于u型（v; k; t）贸易的最小体积和最小基础尺寸。本文对任意整数u >2和t = 2，确定了u形（v; t + 1; t）交易的最小体积和最小基础尺寸。
2019-08-04 math.CO
Volume, facets and dual polytopes of twinned chain polytopes
设$(P,\leq_P)$和$(Q,\leq_Q)$是具有$|P|=|Q|=d$的有限偏序集，$\mathcal{C}(P) \subset \mathbb{R}^d$和$\mathcal{C}(Q) \subset \mathbb{R}^d$是它们的链多面体. $P$和$Q$的孪生链多面体是格多面体$Γ(\mathcal{C}(P),\mathcal{C}(Q)) \subset \mathbb{R}^d$，它是$\mathcal{C}(P) \cup (-\mathcal{C}(Q))$的凸包。已知孪生链多面体是具有整数分解性质的Gorenstein Fano多面体。本文研究了孪生链多面体的组合性质。首先，我们将给出孪生链多面体的体积公式的基础偏序集。其次，我们将确定的方面，支撑超平面的孪生链多面体的基础偏序集。最后，我们将提供孪生链多面体的对偶多面体的顶点表示。
2018-02-05 math.CO
On the gaps of the spectrum of volumes of trades
基数$v$的集合$V$的$k$ -子集（块）的不相交集合对$\{T_0,T_1\}$被称为$t$ - $(v,k)$交易或简单地称为$t$ -交易，如果$V$的每个$t$ -子集被包括在相同数目的$T_0$和$T_1$的块中. $T_0$的基数称为交易量。使用Reed-Muller码的权重分布，我们证明了对于从$2$到$t$的每一个$i$，没有$t$ -交易量大于$2^{t+1}-2^i$且小于$2^{t+1}-2^{i-1}$的猜想，并且导出了对$t$ -交易量小于$2^{t+1}+2^{t-1}$的限制。
2018-10-31 cs.DM math.CO
Distinct Partial Sums in Cyclic Groups: Polynomial Method and Constructive Approaches
设$(G,+)$是一个阿贝尔群，并考虑一个具有$|A|=k$的子集$A \subseteq G$.给定$A$的元素的排序$(a_1, \ldots, a_k)$，通过$s_0 = 0$和$s_j = \sum_{i=1}^j a_i$为$1 \leq j \leq k$定义其{ \em部分和}。我们考虑Alspach的猜想：对于任何循环群$\Z_n$和任何具有$s_k \neq 0$的子集$A \subseteq \Z_n \setminus \{0\}$，都有可能找到$A$的元素的一个排序，使得对于$0 \leq i < j \leq k$，它的部分和$s_i$和$s_j$中没有两个相等.我们表明，Alspach的猜想持有总理$n$时$k \geq n-3$和$k \leq 10$。前一个结果是通过直接构造得到的，后一个结果是非构造的，使用多项式方法。我们还使用多项式的方法表明，对于总理$n$序列的长度$k$具有不同的部分和存在于任何子集的$\Z_n \setminus \{0\}$的大小至少$2k- \sqrt{8k}$在所有但最多有界的情况下。
2018-09-07 math.CO
On the size of subsets of $\mathbb{F}_p^{n}$ without $p$ distinct elements summing to zero
让我们修复一个主要的$p$。Erdens-Ginzburg-Ziv问题要求最小整数$s$，使得格点$\mathbb{Z}^n$中的任何$s$点的集合包含其质心也是$\mathbb{Z}^n$中的格点的$p$点。对于大的$n$，这实质上等同于要求$\mathbb{F}_p^n$的子集的最大大小，而$p$不同元素的总和不为零。本文对任意固定素数$p\geq 5$和大$n$给出了该问题的一个新的上界。特别是，我们证明了$\mathbb{F}_p^n$的任何子集没有$p$不同的元素总和为零的大小最多$C_p\cdot \left(2\sqrt{p}\right)^n$，其中$C_p$是一个常数，只取决于$p$。当$p$和$n$趋于无穷大时，我们的上界是$p^{(1/2)\cdot (1+o(1))n}$的形式，而所有以前已知的上界都是$p^{(1-o(1))n}$的形式（其中$p^n$是平凡的上界）。我们的证明使用所谓的多色和自由定理，这是一个后果的Croot-Lev-Pach多项式方法。这种方法及其后果已经适用于纳斯伦德以及福克斯和作者证明边界的问题在本文中研究。然而，使用一些关键的新想法，我们显着提高他们的界限。
2020-06-27 math.CO math.NT
On Sequences in Cyclic Groups with Distinct Partial Sums
阿贝尔群的子集是{ \em可定序的}，如果存在其元素的排序$(x_1, \ldots, x_k)$，使得由对于$1 \leq i \leq k$的$y_0 = 0$和$y_i = \sum_{j=1}^i x_i$给出的部分和$(y_0, y_1, \ldots, y_k)$是不同的，可能的例外是我们可能有$y_k = y_0 = 0$。我们证明了当$n = mt$在许多情况下，包括当$m$是素数或对于$k \leq 11$和$t \leq 5$以及对于$k=12$和$t \leq 4$具有大于$k! /2$的所有素数因子时，$\mathbb{Z}_n \setminus \{ 0 \}$的大小$k$的子集的可测序性。我们得到类似的，但部分，结果$13 \leq k \leq 15$。这代表了进展的各种问题和progratures在文献中关于sequenceability的子集的阿贝尔群，我们结合起来，并总结成猜想，如果一个子集的阿贝尔群不包含0，那么它是sequenceable。
2022-04-01 math.CO
On problems of Danzer and Gowers and dynamics on the space of closed subsets of $\mathbb{R}^d$
考虑$\mathbb{R}^d$的闭子集空间，赋以Chabauty-Fell拓扑，以及$SL_d(\mathbb{R})\ltimes\mathbb{R}^d$的仿射作用，证明了极小子系统仅为不动点$\{\varnothing\}$和$\{\mathbb{R}^d\}$ .因此，我们解决了一个问题的高尔斯关于存在某些丹泽集：没有一个集$Y \subset \mathbb{R}^d$，使每一个凸集$\mathcal{C} \subset \mathbb{R}^d$的卷一，基数的$\mathcal{C} \cap Y$是有界的上方和下方的非零常数独立的$\mathcal{C}$。我们还提供了一个简短的独立证明这一事实，并推导出一个定量的后果：对于每个$\varepsilon$ -网$N$的凸集在$[0,1]^d$有一个凸集的体积$\varepsilon$包含至少$Ω(\log\log(1/\varepsilon))$点的$N$。
2015-10-24 math.CO math.DS
Characterizing extremal digraphs for identifying codes and extremal cases of Bondy's theorem on induced subsets
（di）图$G$的标识码是$G$的顶点的支配子集$C$，使得$G$的所有不同顶点在$C$内具有不同的（内）邻域。本文对所有在任一识别码中只允许其整个顶点集的有限有向图进行了分类。我们也分类所有这样的无限定向图。此外，通过将这一概念与A.邦迪集系统，我们分类的极值情况下，这一定理。
2012-02-15 cs.DM math.CO
Inequalities on Projected Volumes
在本文中，我们研究了以下几何问题：给定$2^n-1$实数$x_A$索引的非空子集$A\subset \{1,..,n\}$，是否有可能构造一个身体$T\subset \mathbb{R}^n$，使$x_A=|T_A|$其中$|T_A|$是$T$到$A$中的轴所张成的子空间上的投影的$|A|$维体积？由于取矩阵更方便，我们用$ψ_n$表示所有矢量$x$的集合，对于该集合，存在体$T$，使得对于所有$A$，$x_A=\log |T_A|$。Bollobás和Bollason证明了$ψ_n$包含在由“均匀覆盖不等式”类定义的多面体锥中。Tan和Zeng证明了凸壳$\DeclareMathOperator{\conv}{conv}$ $\conv(ψ_n)$等于由一致覆盖不等式给出的锥.我们证明了这个猜想是“几乎”正确的：闭凸包$\overline{\conv}(ψ_n)$等于由一致覆盖不等式给出的锥。然而，也许令人惊讶的是，我们还表明，$\conv (ψ_n)$是不封闭的$n\ge 4$，从而反驳了猜想。
2019-10-28 math.CO math.FA
Variations on the Erdős distinct-sums problem
设$\{a_1, . . . , a_n\}$是一组正整数，其中$a_1 < \dots < a_n$使得所有$2^n$子集和是不同的。一个著名的猜想由Erdens指出，$a_n>c\cdot 2^n$为一些常数$c$，而最好的结果是已知的日期是形式$a_n>c\cdot 2^n/\sqrt{n}$。在本文中，我们削弱的条件，要求只有对应的子集的大小小于或等于$λn$是不同的。对于这种情况下，我们推导出最小可能值的$a_n$的上下界。
2022-10-28 math.CO math.NT
A bandwidth refinement of the Erdős distinct subset sums bound
Università degli Studi di Brescia（布雷西亚大学）
本文通过按子集和排序所有子集并利用超立方体带宽公式，将 Erdős 不同子集和问题的下界细化为更强的 $H_n$，其渐近优于中心二项式界。
2026-09-24 math.CO
Ehrhart spectra of large subsets of $\mathbb{Z}^r$
本文引入并研究了 $\mathbb{Z}^r$ 子集的 Ehrhart 谱，并证明任何具有正上 Banach 密度的子集必然包含某缩放格的 Ehrhart 谱，从而推广了体积谱的早期结论。
2025-03-04 math.CO math.DS math.NT
On the volume set of point sets in vector spaces over finite fields
证明了若$\mathcal{E}$是基数为$|\mathcal{E}| \geq (d-1)q^{d - 1}$的有限域$\mathbbm{F}_q$（$d \geq 3$）上$d$维向量空间的子集，则由$\mathcal{E}$确定的$d$维平行六面体的体积集覆盖$\mathbbm{F}_q$ .当把$\mathcal{E}$看作是通过原点的$(d - 1)$ -超平面时，该界限急剧上升到$(d-1)$的因子。
2009-03-13 math.CO
Intersections and Distinct Intersections in Cross-intersecting Families
令$\mathcal{F},\mathcal{G}$是$k$的两个交叉族-$\{1,2,\ldots,n\}$的子集。令$\mathcal{F}\wedge \mathcal{G}$、$\mathcal{I}(\mathcal{F},\mathcal{G})$分别表示所有交集$F\cap G$与$F\in \mathcal{F},G\in \mathcal{G}$以及所有不同交集$F\cap G$与$F\neq G, F\in \mathcal{F},G\in \mathcal{G}$的族。对于固定的$T\subset \{1,2,\ldots,n\}$，令$\mathcal{S}_T$为所有$k$的族-包含$T$的$\{1,2,\ldots,n\}$子集。在本文中，我们表明，$|\mathcal{F}\wedge \mathcal{G}|$是最大化时，$\mathcal{F}=\mathcal{G}=\mathcal{S}_{\{1\}}$的$n\geq 2k^2+8k$，而令人惊讶的$|\mathcal{I}(\mathcal{F}, \mathcal{G})|$是最大化时，$\mathcal{F}=\mathcal{S}_{\{1,2\}}\cup \mathcal{S}_{\{3,4\}}\cup \mathcal{S}_{\{1,4,5\}}\cup \mathcal{S…
2022-04-29 math.CO
Sets with Few Subset Sums
Yale University（耶鲁大学）；Harvard University（哈佛大学）；St John’s College, Oxford（牛津大学圣约翰学院）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文研究了具有少数子集和的集合的稳定性，给出了在不同范围内的精确刻画和上限分析。
2026-08-25 math.CO
Average-sized miniatures and normal-sized miniatures of lattice polytopes
本文研究了格拟晶的平均大小和正常大小的体积比，证明了对于任意的格正方形，平均大小拟晶与原正方形的面积比为2:15，而对于任意的格单纯形，正常大小拟晶与原单纯形的体积比为1: (2d+1 choose d)。
2026-07-21 math.CO
The minimal volume of a lattice polytope
设$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^d$是维数为$d$的格多面体。令$b$表示属于$\mathcal{P}$的边界的格点的数目，$c$表示属于$\mathcal{P}$的内部的格点的数目。由Ehrhart多项式的一个下界定理得出，当$c > 0$时，$\mathcal{P}$的体积大于或等于$(dc + (d-1)b - d^2 + 2)/d!$ .本文利用三角剖分方法，给出了最小体积公式的一个简明而初等的证明。
2023-01-22 math.CO
Discrete intrinsic volumes
对于顶点在$\mathbb Z^d$中的维数为$d$的凸格多面体$P\subset \mathbb R^d$，用$L(P)$表示其离散体积，该体积定义为$P$内的整数点的数目。由于Ehrhart的经典结果说，对于正整数$n$，函数$L(nP)$是$n$中的多项式，次数为$d$，其首项系数是$P$的体积。特别地，对于大的$n$，$L(nP)$近似于$nP$的体积。在凸几何中，推广体积的中心概念之一是内蕴体积。本文的主要目的是介绍他们的离散同行。特别是，我们表明，对于他们的类似的Ehrhart结果持有，其中的体积被替换的固有体积。我们还介绍和研究了格拉斯曼估值的概念，推广了离散体积和立体角估值由里夫和麦克唐纳。
2021-07-14 math.CO math.MG math.NT
Avoidable Sets in The Bicyclic Inverse Semigroup
如果$S$可以被划分为两个子集$A$和$B$，使得$U$的任何元素都不能被写为$A$的两个不同元素的乘积或$B$的两个不同元素的乘积，则具有二元运算的集合$S$的子集$U$被称为{ \it可避免}。对双循环逆半群的可避免集进行了分类。
2007-06-24 math.CO math.GR
A Completion of the spectrum of 3-way $(v,k,2)$ Steiner trades
卷$m$的3路$(v,k,t)$交易$T$由三个成对不相交的集合$T_1$、$T_2$和$T_3$组成，每个$m$块的大小为$k$，使得对于$v$集合$V$的每个$t$ -子集，包含该$t$ -子集的块的数量在$1\leq i\leq 3$的每个$T_i$中相同。如果在$1\leq i\leq 3$的每个$T_i$中，发现的任何$t$ -子集（$T$）最多出现一次，则$T$称为3路$(v,k,t)$ Steiner交易。我们试图通过应用一些块设计，如BIBD、RB、GDD、RGDD和$r\times s$填充网格块，来完成3路$(v,k,2)$ Steiner交易的频谱$S_{3s}(v,k)$，即所有可能的交易量大小的集合。以前，我们得到了一些结果，存在一些3路$(v,k,2)$ Steiner交易。特别是，我们证明了当$12(k-1)\leq m$对$15\leq k$时，存在$m$交易量的3向$(v,k,2)$ Steiner交易（Rashidi和Soltankhah，2016）。现在，我们证明了这个结论对于$k\leq 14$也是正确的。
2020-04-03 math.CO
On Doubling and Volume: Chains
众所周知的Freiman-Ruzsa定理提供了整数集合$A$的结构描述，其中$|2A|\le c|A|$作为具有$|P|\le c'|A|$的$d$-维算术级数$P$的子集，其中$d$和$c'$仅依赖于$c$。在陈述中涉及的常数$d$和$c'$的估计一直是深入研究的对象。弗赖曼在2008年提出了一个计算这类集合中最大数量的公式。在本文中，我们证明了猜想的一般类集称为链。
2017-01-17 math.CO math.NT
The upper logarithmic density of monochromatic subset sums
我们表明，在任何两个着色的正整数有一种颜色，可以表示为不同的元素与这种颜色的总和的正整数的集合具有上对数密度至少$(2+\sqrt{3})/4$，这是最好的可能。这回答了一个40年前的Erdos问题。
2022-09-22 math.CO math.NT
Large Sidon Subsets and Pair-Sum Multiplicities of Distinct Multinomial Coefficients
该研究确定不同多项式系数集的西顿子集最大基数的下界，证明其为Ω(n log n)，给出Mₙ与s(n)差值的下界，还得到1≤n≤16时s(n)的精确值。
2026-08-10 math.CO
