凸多面体的Mahler体积与旗数之间的关系

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给定一个凸多面体 $P\subset\Bbb R^d$，其旗数为 $\mathcal F(P)$，我们证明 $$\operatorname{vol}(P) \operatorname{vol}(P-P)^\circ \le \frac{\mathcal F(P)}{(d!)^2}.$$ 这蕴含了Freij、Schmitt、Schymura和Ziegler所猜想的Mahler体积与旗数之间的如下关系：对于中心对称多面体 $P\subset\Bbb R^d$，有 $$\operatorname{vol}(P)\operatorname{vol}(P^\circ) \le \frac{2^d}{(d!)^2} \mathcal F(P).$$ 这表明Mahler猜想蕴含Kalai的旗猜想。

英文摘要

Given a convex polytope $P\subset\Bbb R^d$ with $\mathcal F(P)$ many flags, we prove $$\operatorname{vol}(P) \operatorname{vol}(P-P)^\circ \le \frac{\mathcal F(P)}{(d!)^2}.$$ This implies the following relation between Mahler volume and the number of flag conjectured by Freij, Schmitt, Schymura and Ziegler: for a centrally symmetric polytope $P\subset\Bbb R^d$ holds $$\operatorname{vol}(P)\operatorname{vol}(P^\circ) \le \frac{2^d}{(d!)^2} \mathcal F(P).$$ This shows that the Mahler conjecture implies Kalai's flag conjecture.

发表机构

• Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数学科学研究所）

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