Tridiagonal pairs of $q$-Racah type and the $μ$-conjecture
设$\K$表示域，$V$表示$\K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。我们说对$A,A^*$是{ \it sharp}每当$\dim V_0=1$。已知如果…
2009-08-21 math.CO math.RA
Tridiagonal pairs of $q$-Serre type and their linear perturbations
三对角对是有限维非零向量空间上可对角化的线性映射的有序对，每个映射以块三对角方式作用于另一个的特征空间。我们考虑一个$q$ -Serre型的三对角对$(A, A^*)$;对于这样一个对，映射$A$和$A^*$满足$q$ -Serre关系.文献中有一个线性映射$K$，用于描述$A$和$A^*$之间的关系。研究了一对线性映射$B=A$和$B^* = tA^* + (1-t)K$，其中$t$是任意标量.我们的目标是找到一个必要和充分条件$t$对$(B, B^*)$是一个三对角对。我们表明，$(B, B^*)$是一个三对角对当且仅当$t \neq 0$和$P \bigl( t(q-q^{-1})^{-2} \bigr)\not=0$，其中$P$是一个特定的多项式附加到$(A, A^*)$称为Drinfel的多项式。
2021-07-03 math.QA math.RA
Tridiagonal pairs and the $μ$-conjecture
设$F$表示域，$V$表示$F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\{V_i\}_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\{V^*_i\}_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。我们说对$A,A^*$是{ \it sharp}每当$\dim V_0=1$。已知如果$F$是代数闭的，则$A,A^*$是尖锐的。最近…
2009-08-18 math.CO math.RA
Towards a classification of the tridiagonal pairs
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。令$End(V)$表示由从$V$到$V$的所有$K$ -线性变换组成的$K$ -代数.我们考虑满足以下（i）-（iv）的一对$A,A^* \in End(V)$：（i）每个$A,A^*$是可对角化的。(ii)存在$A$的特征空间的排序$\{V_i\}_{i=0}^d$，使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$。(iii)存在$A^*$的本征空间的序$\{V^*_i\}_{i=0}^δ$，使得对于$0 \leq i \leq δ$有$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$。(iv)不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$ .我们在$V$上将这样的对称为{ \em三对角对}。令$E^*_0$表示$End(V)$的元素，使得$(E^*_0-I)V^*_0=0$和$E^*_0V^*_i=0$用于$1 \leq i \leq d$。令$D$（resp. $D^*$）表示由…
2008-01-04 math.CO math.RA
The Drinfel'd polynomial of a tridiagonal pair
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\{V_i\}{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\{V^*_i\}{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们在$V$上将这样的对称为{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。当$\dim V_0=1$时，对$A,A^*$被称为{ \it sharp}。已知如果$K$是代数闭的，则$A,A^*$是尖锐的。假设$…
2008-05-10 math.CO math.RA
On the shape of a tridiagonal pair
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V^*_i$、$V_{d-i}$、$V^*_{d-i}$的维数一致;我们用$ρ_i$表示这个公共维数。本文证明了$ρ_i \leq ρ_0 \binom{d}…
2009-08-27 math.CO math.RA
Transition maps between the 24 bases for a Leonard pair
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。在以前的论文中，我们描述了24个特殊基地$V$。这些基的一个特征是，对于它们中的每一个，表示$A$和$A^*$的矩阵是（i）对角和不可约三对角的或（ii）不可约三对角和对角的或（iii）下双对角和上双对角的或（iv）上双对角和下双对角的。对于24个有序基对中的每一个，都存在从$V$到$V$的唯一线性变换，它将第一个基发送到第二个基;我们称之为转换映射。在本文中，我们发现每个转换映射明确作为一个多项式在$A,A^*$。
2007-05-27 math.CO math.RA
Tridiagonal pairs of Krawtchouk type
令$K$表示特征为0的代数闭域，令$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。令$A,A^*$表示$V$上具有直径$d$的三对角对。只要序列$\lbrace d-2i\rbrace_{i=0}^d$是$A$的特征值的标准序和$A^*$的特征值的标准序，我们就说$A,A^*$具有Krawtchouk型.假设$A,A^*$具有Krawtchouk类型。我们证明了在$V$上存在一个非退化对称双线性形式$< , >$，使得对于$u,v\in V$，$<Au,v>= < u,Av>$和$<A^*u,v >= < u,A^*v>$.我们证明了以下三对角对是同构的：（i）$A,A^*$ ;（ii）$-A,-A^*$ ;（iii）$A^*,A$ ;（iv）$-A^*,-A$。我们给出了一些相关的结果和图解。
2007-06-07 math.RA math.RT
Change of basis for the tridiagonal pairs of type II
本文研究了II型三对角对，定义了两个使线性变换$A$和$A^\star$分别呈现对角与块三对角作用的基，并求得了这两个基之间由类Racah多项式嵌套乘积表示的基变换系数。
2025-03-03 math-ph math.MP math.RA
Variations on a circular Hessenberg pair
本文研究循环、拟循环、三对角和不可约三对角等类型的 Hessenberg 矩阵相关的 Hessenberg 系统族，目标是揭示这些族之间的关系，并依据参数数组描述每个族。
2026-07-21 math.CO math.RA
The structure of a tridiagonal pair
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\{V_i\}_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_i + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\{V^*_i\}_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_i + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们在$V$上称这样的对为三对角对。已知$d=δ$和$0 \leq i \leq d$的尺寸$V_i, V_{d-i}, V^*_i, V^*_{d-i}$一致。在本文中，我们证明了以下（i）-（iv）保持$K$是代数闭的：（i）每个$V_0$，$V^*_0$，$V_d$，$V^*_d$具有1维。(ii)存在$V$上的非退化对…
2008-02-08 math.CO math.RA
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; comments on the parameter array
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。任何给定的伦纳德对的结构都是由称为{ \it参数数组}的标量序列决定的。参数阵列的集合是仿射代数簇。我们给出了这个簇的两个刻画。一个涉及双对角矩阵，另一个涉及正交多项式。
2003-06-19 math-ph math.CO math.MP
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; comments on the split decomposition
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。令$A,A^*$表示$V$上的Leonard对。存在$V$分解为1维子空间的直和，关于该1维子空间，$A$是下双对角的，而$A^*$是上双对角的。这称为{ \it拆分分解}。我们利用分裂分解得到了Leonard对的几个特征。
2003-06-19 math.QA math.RA math.RT
The split decomposition of a tridiagonal pair
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$满足下列（i）-（iv）：（i）$A$，$A^*$中的每一个都是可对角化的。(ii)存在$A$的特征空间的$V_{0},V_{1},...,V_{d}$排序使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$，$V_{d+1}=0$。(iii)存在$A^*$的特征空间的序$V^*_{0},V^*_{1},...,V^*_δ$，使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$，$V^*_{δ+1}=0$ . (iv)不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$、$A^* W \subseteq W$两者除了W=0和$W=V$之外。我们在$V$上称这样的对为三对角对。本文得到两个结果。首先，我们证明了每个$A,A^*$都是由$V_i$和$V^*_i$确定的仿射变换。其次，我们描述的情况下，$V_i$和$V^*_i$都有一个维度。我们证明了这两个结果使用一定的分解$V$称为分裂分解。
2006-12-16 math.RA
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个条件：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是对角的，并且表示$A$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。对这个概念进行一点提炼，我们引入伦纳德系统的概念。我们给出了Leonard系统的一个完整的分类。我们讨论如何伦纳德系统对应的$q$ -Racah和相关的多项式从Askey计划。
2004-06-27 math-ph math.MP math.RA
Some trace formulae involving the split sequences of a Leonard pair
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$满足以下（i），（ii）：（i）存在一个基，对于该基，表示$V$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \em Leonard对}。在关于Leonard对的文献中，存在两个参数序列，称为第一分裂序列和第二分裂序列。我们展示了一些有吸引力的公式的第一和第二分裂序列，涉及的跟踪功能。
2005-08-22 math.CO math.RA
Affine transformations of a Leonard pair
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。令$x$，$c$，$x^*$，$c^*$表示$K$中的标量，其中$x$，$x^*$非零，并注意$xA+cI$，$x^*A^* + c^*I$是$V$上的Leonard对。我们给出了这个Leonard对同构于Leonard对$A$，$A^*$的充分必要条件.我们还给出了这个Leonard对同构于Leonard对$A^*$，$A$的充分必要条件.
2006-11-25 math.CO math.RA
Some $q$-exponential formulas involving the double lowering operator $ψ$ for a tridiagonal pair
令$\mathbb{K}$表示代数闭域，$V$表示$\mathbb{K}$上具有有限正维数的向量空间。令$A,A^*$表示$V$上的三对角对。我们假设$A,A^*$属于一个家庭的三对角对说，有$q$ -拉卡类型。令$\{U_i\}_{i=0}^d$和$\{U_i^\Downarrow\}_{i=0}^{d}$表示$V$的第一和第二分裂分解。在前面的文章中，我们引入了一个双降算子$ψ:V\to V$，其显著特征是$0\leq i\leq d$的$ψU_i\subseteq U_{i-1}$和$ψU_i^\Downarrow\subseteq U_{i-1}^\Downarrow$都是，其中$U_{-1}=0$和$U_{-1}^\Downarrow=0$ .在同一篇论文中，我们证明了存在唯一的线性变换$Δ:V\to V$，使得$Δ(U_i)\subseteq U_i^{\Downarrow}$和$(Δ-I)U_i\subseteq U_0+U_1+\cdots +U_{i-1}$对于$0\leq i \leq d$。在本文中，我们表明，$Δ$可以表示为两个线性变换的产品，一个是$q$ -指数在$ψ$和其他是$q^{-1}$ -指数在$ψ$。我们认为$Δ$作为一个过渡矩阵，从第一分裂分解的$V$的第二。因此，我们认为$q^{-1}$ -指数在$ψ$作为一个过渡矩阵，从第一分裂分解到$V$…
2019-08-06 math.RA
Tridiagonal pairs of $q$-Racah type and the $q$-tetrahedron algebra
令$\mathbb F$表示域，令$V$表示$\mathbb F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的$\mathbb F$ -线性映射$A: V \to V$和$A^*:V\to V$使得（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_i+ V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1} = 0$和$V_{d+1}= 0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_i+ V^*_{i+1} $对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1} = 0$和$V^*_{δ+1}= 0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$U$使得$AU\subseteq U$，$A^*U \subseteq U$，$U\not=0$，$U\not=V$。我们在$V$上称这样的对为三对角对。我们假设$A, A^*$属于一个家庭的三对角对说有$q$ -拉卡型。有一种无限维的代数$\boxtimes_q$称为$q$ -四面体代数;它是由$U_q(\mathfrak{sl}_2)$的四个副…
2020-06-03 math.QA math.RA
Tridiagonal pairs of shape (1,2,1)
设$\mathbb F$表示域，$V$表示$\mathbb F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i \rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1}+V_i+V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1} = 0$和$V_{d+1} = 0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i \rbrace_{i=0}^δ$使得$AV^*_i \subseteq V^*_{i-1}+V^*_i+V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1} = 0$和$V^*_{δ+1} = 0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW\subseteq W$，$A^*W\subseteq W$，$W \neq 0, W \neq V$ .我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d = δ$和$0 \leq i \leq d$的$V_i, V_{d-i}, V^*_i, V^*_{d-i}$的维数一致;我们用$ρ_i$表示这个公共值。序列$\lbrace ρ_i\rbrace_{i…
2008-02-21 math.RA math.RT
Tridiagonal pairs of $q$-Racah type, the double lowering operator $ψ$, and the quantum algebra $U_q(\mathfrak{sl}_2)$
Let \K denote an algebraically closed field and let V denote a vector space over \K with finite positive dimension. We consider an ordered pair of linear transformations A:V \to V,A*:V \to V that satisfy the following conditions:(i)Each of A,A* is diagonalizable;(ii)there exists an ordering {V_i}_{i=0}^d of the eigenspaces of A such that A*V_i \subseteq V_{i-1} +V_i+ V_{i+1} for 0 \leq i \leq d, where V_{-1} =0 and V_{d+1} =0;(iii)there exists an ordering {V*_i}_{i=0}^δof the eigenspaces of A* such that A V*_i \subseteq V*_{i-1}+V*_i+V*_{i+1} for 0 \leq i \leq δ, where V*_{-1}=0 and V*_{δ+1}=0…
2013-07-28 math.RA
Tridiagonal pairs and the q-tetrahedron algebra
本文进一步发展了三对角对与q-四面体代数$\boxtimes_q$之间的联系。令V表示代数闭域上的有限维向量空间，令A，A^* 表示V上的三对角对。$θ^*_i$）表示A（resp. A^*）。确定一个非零标量q，它不是单位根。T. Ito和P. Terwilliger已经证明，当$θ_i = q^{2i-d}$和$θ^*_i = q^{d-2i}$时，在V上存在不可约的$\boxtimes_q$ -模结构，使得$\boxtimes_q$生成元x_{01}、x_{23}分别充当A、A^*。在本文中，我们研究的情况下，存在一个非零的标量c在K，使$θ_i = q^{2i-d}$和$θ^*_i = q^{2i-d} + c q^{d-2i}$。在这种情况下，我们将A，A^* 与多项式P相关联，并证明以下等价性。以下是等价的：（i）在V上存在一个$\boxtimes_q$ -模块结构，使得x_{01}充当A，x_{30} + cx_{23}充当A^*，其中x_{01}、x_{30}、x_{23}是$\boxtimes_q$的标准生成元。(ii)P（q^{2d-2}（q-q^{-1}）^{-2}）\neq 0.假设（i），（ii）成立。则V上的$\boxtimes_q$ -模结构是唯一且不可约的。
2009-08-24 math.QA math.RA math.RT
The switching element for a Leonard pair
令$V$表示具有有限正维度的向量空间。我们考虑一对线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们在$V$上称这样的对为{ \em Leonard对}。令$v_0,v_1,...,v_d$（分别$w_0,w_1,...,w_d$）表示（i）中所述的$V$的基础（分别（ii））。我们发现，存在一个独特的线性变换$S: V \to V$发送$v_0$的$v_d$的标量倍数，固定$w_0$，并发送$w_i$的$w_i$的标量倍数为$1 \leq i \leq d$。我们称$S$为{ \it交换元素}。我们描述$S$从许多角度来看。
2006-08-25 math.CO math.RA
Leonard pairs having zero-diagonal TD-TD form
固定一个代数闭域$\mathbb{F}$和一个整数$n \geq 1$。令$\text{Mat}_n(\mathbb{F})$表示由所有元素都在$\mathbb{F}$中的$n \times n$矩阵组成的$\mathbb{F}$ -代数。考虑$\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$中的一对可对角化的矩阵，每一个都以不可约的三对角方式作用在另一个的特征基上。这样的对在$\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$中称为Leonard对。在本文中，我们找到了$\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$中的所有Leonard对$A,A^*$，使得$A$和$A^*$都是不可约的三对角的，并且所有对角元素都是$0$ .这解决了Paul Terwilliger提出的一个问题。
2015-03-18 math.RA
A characterization of Leonard pairs using the notion of a tail
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶线性变换$A: V\to V$和$A^*: V\to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。在本文中，我们使用尾的概念来刻画伦纳德对。这个概念是从代数图论中借用来的。
2009-10-31 math.RA
The determinant of $AA^*-A^*A$ for a Leonard pair $A,A^*$
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*: V \to V$满足以下（i），（ii）：（i）存在一个基，对于该基，表示$V$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \em Leonard对}。本文研究了交换子$AA^*-A^*A$。我们的结果如下。首先假设$V$的维数是偶数。我们证明了$AA^*-A^*A$是可逆的，并给出了行列式的几个有吸引力的公式。接下来假设$V$的维数是奇数。我们证明了$AA^*-A^*A$的零空间具有1维。我们在这个零空间中显示一个非零向量。我们将该向量表示为$A$的特征向量之和以及$A^*$的特征向量之和。
2005-11-26 math.CO math.RA
Leonard pairs from 24 points of view
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个条件：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是对角的，并且表示$A$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。参考上述Leonard对，我们研究了$V$的24个碱基，$A$和$A^*$在这些碱基上的作用具有吸引人的形式。对于这些基中的每一个，表示$A$和$A^*$的矩阵是对角的、下双对角的、上双对角的或三对角的。
2004-06-28 math-ph math.MP math.RA
Two linear transformations each tri-diagonal with respect to an eigenbasis of the other; the TD-D canonical form and the LB-UB canonical form
设$\K$表示域，$V$表示$\K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A:V\to V$和$B:V\to V$，它们同时满足下面的（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$B$的矩阵是对角的;（ii）存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$B$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。我们引入了Leonard对的两个标准型。我们称之为TD-D标准形和LB-UB标准形。在TD-D标准形中，伦纳德对由不可约的三对角矩阵和对角矩阵表示，并服从一定的归一化。在LB-UB标准型中，伦纳德对由下双对角矩阵和上双对角矩阵表示，并进行一定的归一化。我们详细描述了这两个典型的形式。作为应用，我们得到以下结果。给定$\K$上的方阵$A,B$，其中$A$为三对角阵，$B$为对角阵，给出了$A,B$表示Leonard对的一个充要条件.给定$\K$上的方阵$A,B$，其中$A$为下双对角线，$B$为上双对角线，给出了$A,B$表示Leonard对的一个充要条件.我们简要地讨论了Leonard对如何对应于Askey方案中的$q$-Racah多项式和一些相关的多项式。我们提出了一些关于伦纳德对的公开问题。
2003-04-06 math.QA math.RA
Raising and lowering maps for tridiagonal pairs
本文研究三对角对中由两种特征空间分解构造的升降映射 $R,F,L$ 与 $\mathcal R,\mathcal L$，刻画其相互关系，并讨论 $R,L$ 的单射和满射性质。
2025-07-25 math.CO math.RA
A characterization of Leonard pairs using the parameters $\{a_i\}_{i=0}^{d}$
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A: V\to V$和$A^*: V\to V$满足下面的（i）和（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。Arlene Pascasio最近利用交数$a_i$得到了$Q$ -多项式距离正则图的一个特征.在本文中，我们将她的结果推广到一个线性代数水平，并获得了伦纳德对的一个特征。帕斯卡西奥的论点似乎依赖于基本的组合假设，所以我们采取了一种不同的方法，这是代数的性质。
2012-05-20 math.RA
Matrix units associated with the split basis of a Leonard pair
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$满足以下（i），（ii）：（i）存在一个基，对于该基，表示$V$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \em Leonard对}。已知存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是下双对角的，而表示$A^*$的矩阵是上双对角的。本文给出了与该基有关的矩阵单位的计算公式。
2006-02-19 math.QA math.RA
How to recognize a Leonard pair
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A: V\rightarrow V$和$A^{*}: V\rightarrow V$满足下面的（i）和（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^{*}$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^{*}$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。在文献中，有一些参数被用来描述伦纳德对称为交叉数$\{a_{i}\}_{i=0}^{d}$，$\{b_{i}\}_{i=0}^{d-1}$，$\{c_{i}\}_{i=1}^{d}$和对偶特征值$\{θ^{*}_{i}\}_{i=0}^{d}$。本文给出了Leonard对的两个刻画。对于第一个表征，重点是$\{a_{i}\}_{i=0}^{d}$和$\{θ^{*}_{i}\}_{i=0}^{d}$。对于第二个表征，重点是$\{b_{i}\}_{i=0}^{d-1}$、$\{c_{i}\}_{i=1}^{d}$和$\{θ^{*}_{i}\}_{i=0}^{d}$。
2019-01-30 math.RA
Two commuting operators associated with a tridiagonal pair
Let \K denote a field and let V denote a vector space over \K with finite positive dimension. We consider an ordered pair of linear transformations A:V \to V and A*:V \to V that satisfy the following four conditions: (i) Each of A,A* is diagonalizable; (ii) there exists an ordering {V_i}_{i=0}^d of the eigenspaces of A such that A*V_i \subseteq V_{i-1} +V_i+ V_{i+1} for 0 \leq i \leq d, where V_{-1} =0 and V_{d+1} =0; (iii) there exists an ordering {V*_i}_{i=0}^δ of the eigenspaces of A* such that AV*_i \subseteq V*_{i-1}+V*_i+V*_{i+1} for 0 \leq i \leq δ, where V*_{-1}=0 and V*_{δ+1}=0; (iv) …
2011-10-15 math.RA
Linear transformations that are tridiagonal with respect to the three decompositions for an LR triple
固定整数$d \geq 0$、字段$\mathbb{F}$和$\mathbb{F}$上具有维度$d+1$的向量空间$V$。通过$V$的分解，我们表示$V$的$1$维子空间的序列$\{V_i\}_{i=0}^d$，其和是$V$。对于从$V$到$V$的线性变换$A$，我们说$A$降低$\{V_i\}_{i=0}^d$，只要$A V_i = V_{i-1}$为$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$。当$A V_i = V_{i+1}$为$0 \leq i \leq d$时，我们说$A$引发$\{V_i\}_{i=0}^d$，其中$V_{d+1}=0$。从$V$到$V$的有序线性变换$A,B$对称为LR，只要存在$V$的分解$\{V_i\}_{i=0}^d$，该分解由$A$降低并由$B$升高。在这种情况下，分解$\{V_i\}_{i=0}^d$由$A,B$唯一确定;我们称之为$V$的$(A,B)$ -分解。考虑从$V$到$V$的线性变换$A$、$B$、$C$的$3$元组，使得$A$、$B$、$C$中的任何两个在$V$上形成LR对。这样的$3$ -元组在$V$上称为LR三元组。令$α$、$β$、$γ$为$\mathbb{F}$中的非零标量。三元组$αA, βB, γC$是$V$上的LR三元组，据说与$A,B,C$相关。令$\{V_i\}_{i=0}^d$是$V$的分解，…
2015-08-19 math.RA
A characterization of bipartite Leonard pairs using the notion of a tail
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A: V\rightarrow V$和$A^*: V\rightarrow V$满足下面的（i）和（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。非常粗略地说，Leonard对是$Q$ -多项式距离正则图的线性代数抽象。有一类著名的距离正则图被称为二分图，还有一个相关的二分伦纳德对的概念。最近，M。S. Lang为二部距离正则图引入了尾的概念，并且有这个尾概念的抽象版本。Lang用尾刻画了二部$Q$ -多项式距离正则图.在本文中，我们得到了一个类似的特征的二部伦纳德对使用尾巴。虽然Lang的论点依赖于距离正则图的组合学，但我们的结果本质上是纯粹代数的。
2013-08-18 math.RA
Leonard pairs and the Askey-Wilson relations
设K表示域，$V$表示K上有限正维数的向量空间.我们考虑一对有序的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个性质：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约的三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。参考上面的Leonard对，我们证明存在一个取自K的标量序列$β,γ,γ^*, \varrho,\varrho^*,ω, η, η^*$，使得（i）A^2 A^*-βA A^*A+A^*A^2-γ（AA^*+A^*A）- \varrho A^* =γ^*A^2+ωA+ \etaI ;（ii）A^{*2}A-βA^*AA^*+AA^{*2}-γ^*（A^*A+AA^*）- \varrho^* A =γA^{*2}+ωA^*+η^*I。如果$V$的维数至少为4，则该序列由Leonard对唯一确定。上述方程被称为Askey-Wilson关系。
2003-05-26 math.QA math.RA
Hessenberg Pairs of Linear Transformations
令$\fld$表示域，$V$表示$\fld$上的非零有限维向量空间。我们考虑一对有序线性变换$A: V \to V$和$A^*: V \to V$满足下面的（i）-（iii）。每个$A, A^*$都可以在$V$上对角化。存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i \rbrace_{i=0}^d$，使得A^* V_i \subseteq V_0 + V_1 +. + V_{i+1} \qquad \qquad（0 \leq i \leq d），其中$V_{-1} = 0$，$V_{d+1}= 0$。存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i \rbrace_{i=0}^δ$，使得A V^*_i \subseteq V^*_0 + V^*_1 +. +V^*_{i+1} \qquad \qquad（0 \leq i \leq δ），其中$V^*_{-1} = 0$，$V^*_{δ+1}= 0$。我们在$V$上称这样的对为{ \it Hessenberg对}。本文给出了Hessenberg对的一些特征。我们还解释了如何海森伯格对有关的三对角对。
2008-11-28 math.CO math.RA
Self-dual Leonard pairs
设$\F$表示域，$V$表示$\F$上具有有限正维数的向量空间。考虑$V$上的一对可对角化的$\F$ -线性映射$A,A^*$，其中每一个以不可约三对角方式作用于另一个的特征基。这样的对称为伦纳德对。我们考虑的自对偶的情况下，存在一个自同构的自同态代数$V$交换$A$和$A^*$。这种自同构是唯一的，称为对偶$A \leftrightarrow A^*$。在本文中，我们给出了一个全面的描述这种对偶性。特别地，我们在$V$上显示可逆的$\F$ -线性映射$T$，使得映射$X \mapsto T X T^{-1}$是对偶$A \leftrightarrow A^*$。我们在$A$和$A^*$中将$T$表示为多项式。我们描述了$T$如何作用于$4$标志、$12$分解和$V$的24个碱基。
2018-10-20 math.RA
Balanced Leonard Pairs
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。关于$V$上的Leonard对，我们表示满足以下两个条件的线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$的有序对：（i）存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)对于$V$存在一个基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。令$v^*_0, ..., v^*_d$（分别$v_0, ..., v_d$）表示满足（i）（分别（ii））。对于$0 \leq i \leq d$，当我们将$A v^*_i$写为$v^*_0, ..., v^*_d$的线性组合时，让$a_i$表示$v^*_i$的系数，当我们将$A^* v_i$写为$v_0..., v_d$的线性组合时，让$a^*_i$表示$v_i$的系数。本文证明了$a_0=a_d$当且仅当$a^*_0=a^*_d$ .此外，我们表明，对于$d \geq 1$以下是等价的：（i）$a_0=a_d$和$a_1=a_{d-1}$ ;（ii）$a^*_0=a^*_d$和$a^*_1=a^*_{d-1}$ ;（iii）$a_i=a_{d-i}$和$a^*_i=a^*_{d-i}$为$0 \leq i \leq d$。我们说$A$，$A^*$是平衡的，只要（i）-（iii）保持。我们说…
2005-06-15 math.QA math.RA
Near-bipartite Leonard pairs
本文在代数闭域上对近二部 Leonard 对进行了同构分类，并分别描述了每个近二部对的二部收缩及每个二部对的近二部扩张。
2023-04-11 math.RA
Compatibility and companions for Leonard pairs
在本文中，我们引入了Leonard对的相容性和伴随的概念。这些概念大致描述如下。设$\mathbb{F}$表示域，$V$表示$\mathbb{F}$上具有有限正维数的向量空间。$V$上的伦纳德对是一对有序的可对角化的$\mathbb{F}$ -线性映射$A : V \to V$和$A^* : V \to V$，它们各自以不可约三对角方式作用在另一个的特征基上。伦纳德对$V$上的$A,A^*$和$B,B^*$被认为是兼容的，只要$A^* = B^*$和$[A,A^*] = [B,B^*]$，其中$[r,s] = r s - s r$。对于$V$上的Leonard对$A,A^*$，我们通过$A,A^*$的同伴表示$\mathbb{F}$ -线性映射$K: V \to V$，使得$K$是$A^*$中的多项式，并且$A-K, A^*$是$V$上的Leonard对。兼容性和伴侣的概念关系如下。对于$V$上的兼容Leonard对$A,A^*$和$B,B^*$，定义$K = A-B$。$K$是$A,A^*$的伴侣。对于$V$上的Leonard对$A,A^*$和$A,A^*$的伴随$K$，定义$B = A-K$和$B^* = A^*$。那么$B,B^*$是$V$上与$A,A^*$兼容的Leonard对。令$A,A^*$表示$V$上的Leonard对。我们在$V$上找到与$A,A^*$兼容的所有Le…
2021-12-26 math.RA
The end-parameters of a Leonard pair
固定一个代数闭域$\F$和一个整数$d \geq 3$。设$V$是$\F$上的向量空间，维数为$d+1$。$V$上的伦纳德对是一对可对角化的线性变换$A: V \to V$和$A^* : V \to V$，每一个都以不可约的三对角方式作用在另一个的特征基上。有一个与伦纳德对有关的物体称为伦纳德系统。众所周知，伦纳德系统是由一系列标量$(\{þ_i\}_{i=0}^d, \{þ^*_i\}_{i=0}^d, \{\vphi_i\}_{i=1}^d, \{ϕ_i\}_{i=1}^d)$（称为其参数数组）同构决定的。标量$\{þ_i\}_{i=0}^d$（分别为$\{þ^*_i\}_{i=0}^d$）是相互不同的，并且表达式$(þ_{i-2} - þ_{i+1})/(þ_{i-1}-þ_{i})$、$(þ^*_{i-2} - þ^*_{i+1})/(þ^*_{i-1}-þ^*_{i})$是相等的并且独立于用于$2 \leq i \leq d-1$的$i$。将此公共值写成$β+1$。在本文中，我们考虑的“端参数”$þ_0$，$þ_d$，$þ^*_0$，$þ^*_d$，$\vphi_1$，$\vphi_d$，$ϕ_1$，$ϕ_d$的参数数组。我们表明，伦纳德系统是由端参数和$β$同构。我们显示的终端参数和$β$之间的关系。利用这个关系，我们表明，有多达逆至多$\lfloor (d-1)/2 …
2014-08-23 math.RA
