固定一个代数闭域$\F$和一个整数$d \geq 3$。设$V$是$\F$上的向量空间，维数为$d+1$。$V$上的伦纳德对是一对可对角化的线性变换$A: V \to V$和$A^* : V \to V$，每一个都以不可约的三对角方式作用在另一个的特征基上。有一个与伦纳德对有关的物体称为伦纳德系统。众所周知，伦纳德系统是由一系列标量$(\{þ_i\}_{i=0}^d, \{þ^*_i\}_{i=0}^d, \{\vphi_i\}_{i=1}^d, \{ϕ_i\}_{i=1}^d)$（称为其参数数组）同构决定的。标量$\{þ_i\}_{i=0}^d$（分别为$\{þ^*_i\}_{i=0}^d$）是相互不同的，并且表达式$(þ_{i-2} - þ_{i+1})/(þ_{i-1}-þ_{i})$、$(þ^*_{i-2} - þ^*_{i+1})/(þ^*_{i-1}-þ^*_{i})$是相等的并且独立于用于$2 \leq i \leq d-1$的$i$。将此公共值写成$β+1$。在本文中，我们考虑的“端参数”$þ_0$，$þ_d$，$þ^*_0$，$þ^*_d$，$\vphi_1$，$\vphi_d$，$ϕ_1$，$ϕ_d$的参数数组。我们表明，伦纳德系统是由端参数和$β$同构。我们显示的终端参数和$β$之间的关系。利用这个关系，我们表明，有多达逆至多$\lfloor (d-1)/2 \rfloor$伦纳德系统具有指定的端参数。上限$\lfloor (d-1)/2 \rfloor$是最佳可能的。
英文摘要：
Fix an algebraically closed field $\F$ and an integer $d \geq 3$. Let $V$ be a vector space over $\F$ with dimension $d+1$. A Leonard pair on $V$ is a pair of diagonalizable linear transformations $A: V \to V$ and $A^* : V \to V$, each acting in an irreducible tridiagonal fashion on an eigenbasis for the other one. There is an object related to a Leonard pair called a Leonard system. It is known that a Leonard system is determined up to isomorphism by a sequence of scalars $(\{þ_i\}_{i=0}^d, \{þ^*_i\}_{i=0}^d, \{\vphi_i\}_{i=1}^d, \{ϕ_i\}_{i=1}^d)$, called its parameter array. The scalars $\{þ_i\}_{i=0}^d$ (resp.\ $\{þ^*_i\}_{i=0}^d$) are mutually distinct, and the expressions $(þ_{i-2} - þ_{i+1})/(þ_{i-1}-þ_{i})$, $(þ^*_{i-2} - þ^*_{i+1})/(þ^*_{i-1}-þ^*_{i})$ are equal and independent of $i$ for $2 \leq i \leq d-1$. Write this common value as $β+1$. In the present paper, we consider the "end-parameters" $þ_0$, $þ_d$, $þ^*_0$, $þ^*_d$, $\vphi_1$, $\vphi_d$, $ϕ_1$, $ϕ_d$ of the parameter array. We show that a Leonard system is determined up to isomorphism by the end-parameters and $β$. We display a relation between the end-parameters and $β$. Using this relation, we show that there are up to inverse at most $\lfloor (d-1)/2 \rfloor$ Leonard systems that have specified end-parameters. The upper bound $\lfloor (d-1)/2 \rfloor$ is best possible.
令$V$表示具有有限正维度的向量空间。我们考虑一对线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们在$V$上称这样的对为{ \em Leonard对}。令$v_0,v_1,...,v_d$（分别$w_0,w_1,...,w_d$）表示（i）中所述的$V$的基础（分别（ii））。我们发现，存在一个独特的线性变换$S: V \to V$发送$v_0$的$v_d$的标量倍数，固定$w_0$，并发送$w_i$的$w_i$的标量倍数为$1 \leq i \leq d$。我们称$S$为{ \it交换元素}。我们描述$S$从许多角度来看。
Transition maps between the 24 bases for a Leonard pair
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。在以前的论文中，我们描述了24个特殊基地$V$。这些基的一个特征是，对于它们中的每一个，表示$A$和$A^*$的矩阵是（i）对角和不可约三对角的或（ii）不可约三对角和对角的或（iii）下双对角和上双对角的或（iv）上双对角和下双对角的。对于24个有序基对中的每一个，都存在从$V$到$V$的唯一线性变换，它将第一个基发送到第二个基;我们称之为转换映射。在本文中，我们发现每个转换映射明确作为一个多项式在$A,A^*$。
