Transition maps between the 24 bases for a Leonard pair
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。在以前的论文中，我们描述了24个特殊基地$V$。这些基的一个特征是，对于它们中的每一个，表示$A$和$A^*$的矩阵是（i）对角和不可约三对角的或（ii）不可约三对角和对角的或（iii）下双对角和上双对角的或（iv）上双对角和下双对角的。对于24个有序基对中的每一个，都存在从$V$到$V$的唯一线性变换，它将第一个基发送到第二个基;我们称之为转换映射。在本文中，我们发现每个转换映射明确作为一个多项式在$A,A^*$。
2007-05-27 math.CO math.RA
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; an overview
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。我们给出了一个概述的理论伦纳德对。
2003-07-04 math.CO math.RA
Two linear transformations each tri-diagonal with respect to an eigenbasis of the other; the TD-D canonical form and the LB-UB canonical form
设$\K$表示域，$V$表示$\K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A:V\to V$和$B:V\to V$，它们同时满足下面的（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$B$的矩阵是对角的;（ii）存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$B$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。我们引入了Leonard对的两个标准型。我们称之为TD-D标准形和LB-UB标准形。在TD-D标准形中，伦纳德对由不可约的三对角矩阵和对角矩阵表示，并服从一定的归一化。在LB-UB标准型中，伦纳德对由下双对角矩阵和上双对角矩阵表示，并进行一定的归一化。我们详细描述了这两个典型的形式。作为应用，我们得到以下结果。给定$\K$上的方阵$A,B$，其中$A$为三对角阵，$B$为对角阵，给出了$A,B$表示Leonard对的一个充要条件.给定$\K$上的方阵$A,B$，其中$A$为下双对角线，$B$为上双对角线，给出了$A,B$表示Leonard对的一个充要条件.我们简要地讨论了Leonard对如何对应于Askey方案中的$q$-Racah多项式和一些相关的多项式。我们提出了一些关于伦纳德对的公开问题。
2003-04-06 math.QA math.RA
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个条件：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是对角的，并且表示$A$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。对这个概念进行一点提炼，我们引入伦纳德系统的概念。我们给出了Leonard系统的一个完整的分类。我们讨论如何伦纳德系统对应的$q$ -Racah和相关的多项式从Askey计划。
2004-06-27 math-ph math.MP math.RA
A characterization of Leonard pairs using the notion of a tail
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶线性变换$A: V\to V$和$A^*: V\to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。在本文中，我们使用尾的概念来刻画伦纳德对。这个概念是从代数图论中借用来的。
2009-10-31 math.RA
The determinant of $AA^*-A^*A$ for a Leonard pair $A,A^*$
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*: V \to V$满足以下（i），（ii）：（i）存在一个基，对于该基，表示$V$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \em Leonard对}。本文研究了交换子$AA^*-A^*A$。我们的结果如下。首先假设$V$的维数是偶数。我们证明了$AA^*-A^*A$是可逆的，并给出了行列式的几个有吸引力的公式。接下来假设$V$的维数是奇数。我们证明了$AA^*-A^*A$的零空间具有1维。我们在这个零空间中显示一个非零向量。我们将该向量表示为$A$的特征向量之和以及$A^*$的特征向量之和。
2005-11-26 math.CO math.RA
How to recognize a Leonard pair
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A: V\rightarrow V$和$A^{*}: V\rightarrow V$满足下面的（i）和（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^{*}$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^{*}$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。在文献中，有一些参数被用来描述伦纳德对称为交叉数$\{a_{i}\}_{i=0}^{d}$，$\{b_{i}\}_{i=0}^{d-1}$，$\{c_{i}\}_{i=1}^{d}$和对偶特征值$\{θ^{*}_{i}\}_{i=0}^{d}$。本文给出了Leonard对的两个刻画。对于第一个表征，重点是$\{a_{i}\}_{i=0}^{d}$和$\{θ^{*}_{i}\}_{i=0}^{d}$。对于第二个表征，重点是$\{b_{i}\}_{i=0}^{d-1}$、$\{c_{i}\}_{i=1}^{d}$和$\{θ^{*}_{i}\}_{i=0}^{d}$。
2019-01-30 math.RA
A characterization of Leonard pairs using the parameters $\{a_i\}_{i=0}^{d}$
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A: V\to V$和$A^*: V\to V$满足下面的（i）和（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。Arlene Pascasio最近利用交数$a_i$得到了$Q$ -多项式距离正则图的一个特征.在本文中，我们将她的结果推广到一个线性代数水平，并获得了伦纳德对的一个特征。帕斯卡西奥的论点似乎依赖于基本的组合假设，所以我们采取了一种不同的方法，这是代数的性质。
2012-05-20 math.RA
A characterization of bipartite Leonard pairs using the notion of a tail
设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A: V\rightarrow V$和$A^*: V\rightarrow V$满足下面的（i）和（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。非常粗略地说，Leonard对是$Q$ -多项式距离正则图的线性代数抽象。有一类著名的距离正则图被称为二分图，还有一个相关的二分伦纳德对的概念。最近，M。S. Lang为二部距离正则图引入了尾的概念，并且有这个尾概念的抽象版本。Lang用尾刻画了二部$Q$ -多项式距离正则图.在本文中，我们得到了一个类似的特征的二部伦纳德对使用尾巴。虽然Lang的论点依赖于距离正则图的组合学，但我们的结果本质上是纯粹代数的。
2013-08-18 math.RA
The end-parameters of a Leonard pair
固定一个代数闭域$\F$和一个整数$d \geq 3$。设$V$是$\F$上的向量空间，维数为$d+1$。$V$上的伦纳德对是一对可对角化的线性变换$A: V \to V$和$A^* : V \to V$，每一个都以不可约的三对角方式作用在另一个的特征基上。有一个与伦纳德对有关的物体称为伦纳德系统。众所周知，伦纳德系统是由一系列标量$(\{þ_i\}_{i=0}^d, \{þ^*_i\}_{i=0}^d, \{\vphi_i\}_{i=1}^d, \{ϕ_i\}_{i=1}^d)$（称为其参数数组）同构决定的。标量$\{þ_i\}_{i=0}^d$（分别为$\{þ^*_i\}_{i=0}^d$）是相互不同的，并且表达式$(þ_{i-2} - þ_{i+1})/(þ_{i-1}-þ_{i})$、$(þ^*_{i-2} - þ^*_{i+1})/(þ^*_{i-1}-þ^*_{i})$是相等的并且独立于用于$2 \leq i \leq d-1$的$i$。将此公共值写成$β+1$。在本文中，我们考虑的“端参数”$þ_0$，$þ_d$，$þ^*_0$，$þ^*_d$，$\vphi_1$，$\vphi_d$，$ϕ_1$，$ϕ_d$的参数数组。我们表明，伦纳德系统是由端参数和$β$同构。我们显示的终端参数和$β$之间的关系。利用这个关系，我们表明，有多达逆至多$\lfloor (d-1)/2 …
2014-08-23 math.RA
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; comments on the split decomposition
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。令$A,A^*$表示$V$上的Leonard对。存在$V$分解为1维子空间的直和，关于该1维子空间，$A$是下双对角的，而$A^*$是上双对角的。这称为{ \it拆分分解}。我们利用分裂分解得到了Leonard对的几个特征。
2003-06-19 math.QA math.RA math.RT
Leonard pairs from 24 points of view
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个条件：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是对角的，并且表示$A$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。参考上述Leonard对，我们研究了$V$的24个碱基，$A$和$A^*$在这些碱基上的作用具有吸引人的形式。对于这些基中的每一个，表示$A$和$A^*$的矩阵是对角的、下双对角的、上双对角的或三对角的。
2004-06-28 math-ph math.MP math.RA
Matrix units associated with the split basis of a Leonard pair
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$满足以下（i），（ii）：（i）存在一个基，对于该基，表示$V$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \em Leonard对}。已知存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是下双对角的，而表示$A^*$的矩阵是上双对角的。本文给出了与该基有关的矩阵单位的计算公式。
2006-02-19 math.QA math.RA
Leonard pairs and the Askey-Wilson relations
设K表示域，$V$表示K上有限正维数的向量空间.我们考虑一对有序的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个性质：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约的三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。参考上面的Leonard对，我们证明存在一个取自K的标量序列$β,γ,γ^*, \varrho,\varrho^*,ω, η, η^*$，使得（i）A^2 A^*-βA A^*A+A^*A^2-γ（AA^*+A^*A）- \varrho A^* =γ^*A^2+ωA+ \etaI ;（ii）A^{*2}A-βA^*AA^*+AA^{*2}-γ^*（A^*A+AA^*）- \varrho^* A =γA^{*2}+ωA^*+η^*I。如果$V$的维数至少为4，则该序列由Leonard对唯一确定。上述方程被称为Askey-Wilson关系。
2003-05-26 math.QA math.RA
Leonard pairs having specified end-entries
修复一个代数闭域$\mathbb{F}$和一个整数$d \geq 3$。设$V$是$\mathbb{F}$上的向量空间，维数为$d+1$。$V$上的伦纳德对是一对有序的可对角化线性变换$A: V \to V$和$A^* : V \to V$，每一个都以不可约的三对角方式作用在另一个的特征基上。让$\{v_i\}_{i=0}^d$（分别$\{v^*_i\}_{i=0}^d$）是$A$（分别为PDMATHAMV）。对于$0 \leq i \leq d$，定义线性变换$E_i : V \to V$，使得$E_i v_i=v_i$和$E_i v_j =0$为$j \neq i$ $(0 \leq j \leq d)$。以类似的方式定义$E^*_i : V \to V$。序列$Φ=(A, \{E_i\}_{i=0}^d, A^*, \{E^*_i\}_{i=0}^d)$称为直径为$d$的$V$上的Leonard系统。对于基础$\{v_i\}_{i=0}^d$，令$\{þ_i\}_{i=0}^d$（resp.\ $\{a^*_i\}_{i=0}^d$）是表示$A$的矩阵的对角项（分别为PDMATHAMV）。关于基础$\{v^*_i\}_{i=0}^d$，令$\{θ^*_i\}_{i=0}^d$（分别为$\{a_i\}_{i=0}^d$）是表示$A^*$的矩阵的对角项（分别为$A$）。据了解，$…
2014-09-15 math.RA
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; comments on the parameter array
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。任何给定的伦纳德对的结构都是由称为{ \it参数数组}的标量序列决定的。参数阵列的集合是仿射代数簇。我们给出了这个簇的两个刻画。一个涉及双对角矩阵，另一个涉及正交多项式。
2003-06-19 math-ph math.CO math.MP
Balanced Leonard Pairs
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。关于$V$上的Leonard对，我们表示满足以下两个条件的线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$的有序对：（i）存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)对于$V$存在一个基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。令$v^*_0, ..., v^*_d$（分别$v_0, ..., v_d$）表示满足（i）（分别（ii））。对于$0 \leq i \leq d$，当我们将$A v^*_i$写为$v^*_0, ..., v^*_d$的线性组合时，让$a_i$表示$v^*_i$的系数，当我们将$A^* v_i$写为$v_0..., v_d$的线性组合时，让$a^*_i$表示$v_i$的系数。本文证明了$a_0=a_d$当且仅当$a^*_0=a^*_d$ .此外，我们表明，对于$d \geq 1$以下是等价的：（i）$a_0=a_d$和$a_1=a_{d-1}$ ;（ii）$a^*_0=a^*_d$和$a^*_1=a^*_{d-1}$ ;（iii）$a_i=a_{d-i}$和$a^*_i=a^*_{d-i}$为$0 \leq i \leq d$。我们说$A$，$A^*$是平衡的，只要（i）-（iii）保持。我们说…
2005-06-15 math.QA math.RA
Basis Rigidity of the AES S-box and Generic Rigidity of Inversion under Affine Transformations
Towson University（托森大学）
本文研究AES S-box所基于的有限域逆运算在仿射变换下的基刚性，提出确定性判据证明其线性部分使映射基刚性，并推广至通用情形，给出稳定子非平凡概率的指数界及精确中心化子维数，实验验证了理论结果。
2026-09-15 cs.CR math.RA
Classification of multivariate skew polynomial rings over finite fields via affine transformations of variables
在这项工作中，自由的多元斜多项式环被认为是连同他们的直子上的斜多项式的理想，消失在每一个点（其中包括最小多元斜多项式环）。我们提供了一个完整的分类，这样的多元斜多项式环（自由或不）在有限域。为此，我们首先证明了从域到方阵环的所有环态射都是可对角化的，并且相应的导子都是内导子。其次，我们证明了有限域上所有这样的多元斜多项式环作为代数同构于一个多元斜多项式环，该环的域到方阵环的环态射是对角的，且其导子是零导子.此外，我们证明了两个这样的表示只在相应的对角线上出现的域自同构的排列不同。代数同构由变量的仿射变换给出，并保持赋值和度。此外，我们的证明表明，多元斜多项式环的简化形式可以计算地和显式地找到。
2019-08-19 math.RA
Geometric Properties of Conformal Transformations on $\mathbb{R}^{p,q}$
证明了广义Minkowski空间$\mathbb{R}^{p,q}$上的保角变换将双曲面和仿射超平面映射为双曲面和仿射超平面.当$p$或$q$是$0$时，该作用在双曲面和仿射超平面上是传递的，并且当$p, q \ne 0$是$0$时，该作用有三个轨道.然后将这些结果推广到任意维数的双曲面和仿射平面。这些性质推广了复平面$\mathbb{C}$上的莫比乌斯（或分数线性）变换的著名性质。
2015-03-02 math.CV math.DG math.RA
On the Product of Coninvolutory Affine Transformations
Mizoram University（米佐拉姆大学）；Indian Institute of Science Education and Research (IISER) Mohali（印度科学教育与研究所（IISER）莫哈利分校）
本文研究了共逆元仿射变换的乘积性质，证明了仿射变换可表示为两个或更多共逆元的乘积，且满足特定条件。
2026-03-11 math.GR math.OA math.RA
