Krawtchouk型三对角对

两个线性变换，每一个都是关于另一个的特征基的三对角变换;概述

Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; an overview

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。我们给出了一个概述的理论伦纳德对。

2003-07-04math.COmath.RA

循环 Hessenberg 对与三对角关系

Circular Hessenberg pairs and the tridiagonal relations

本文证明了 2022 年李在镐的推测，即循环 Hessenberg 对满足三对角关系，证明方式并非初等，核心在于对循环 Hessenberg 对相关性质的研究及对该推测的论证。

2026-07-08math.COmath.RA

三对角对与q-四面体代数

Tridiagonal pairs and the q-tetrahedron algebra

本文进一步发展了三对角对与q-四面体代数$\boxtimes_q$之间的联系。令V表示代数闭域上的有限维向量空间，令A，A^* 表示V上的三对角对。$θ^*_i$）表示A（resp. A^*）。确定一个非零标量q，它不是单位根。T. Ito和P. Terwilliger已经证明，当$θ_i = q^{2i-d}$和$θ^*_i = q^{d-2i}$时，在V上存在不可约的$\boxtimes_q$ -模结构，使得$\boxtimes_q$生成元x_{01}、x_{23}分别充当A、A^*。在本文中，我们研究的情况下，存在一个非零的标量c在K，使$θ_i = q^{2i-d}$和$θ^*_i = q^{2i-d} + c q^{d-2i}$。在这种情况下，我们将A，A^* 与多项式P相关联，并证明以下等价性。以下是等价的：（i）在V上存在一个$\boxtimes_q$ -模块结构，使得x_{01}充当A，x_{30} + cx_{23}充当A^*，其中x_{01}、x_{30}、x_{23}是$\boxtimes_q$的标准生成元。(ii)P（q^{2d-2}（q-q^{-1}）^{-2}）\neq 0.假设（i），（ii）成立。则V上的$\boxtimes_q$ -模结构是唯一且不可约的。

2009-08-24math.QAmath.RAmath.RT

两个线性变换，每一个都是关于另一个的特征基的三对角变换;关于参数阵列的评论

Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; comments on the parameter array

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。任何给定的伦纳德对的结构都是由称为{ \it参数数组}的标量序列决定的。参数阵列的集合是仿射代数簇。我们给出了这个簇的两个刻画。一个涉及双对角矩阵，另一个涉及正交多项式。

2003-06-19math-phmath.COmath.MP

锐三对角对的分类

A classification of sharp tridiagonal pairs

设$F$表示域，$V$表示$F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$ 0 \leq i \leq d$，$V_i,V_{d-i},V^*_i, V^*_{d-i}$的尺寸一致。当${\rm dim} V_0=1$时，$A,A^*$对称为{ \it sharp}。已知如果$F…

2010-01-12math.COmath.RA

三对角对的分裂分解

The split decomposition of a tridiagonal pair

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$满足下列（i）-（iv）：（i）$A$，$A^*$中的每一个都是可对角化的。(ii)存在$A$的特征空间的$V_{0},V_{1},...,V_{d}$排序使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$，$V_{d+1}=0$。(iii)存在$A^*$的特征空间的序$V^*_{0},V^*_{1},...,V^*_δ$，使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$，$V^*_{δ+1}=0$ . (iv)不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$、$A^* W \subseteq W$两者除了W=0和$W=V$之外。我们在$V$上称这样的对为三对角对。本文得到两个结果。首先，我们证明了每个$A,A^*$都是由$V_i$和$V^*_i$确定的仿射变换。其次，我们描述的情况下，$V_i$和$V^*_i$都有一个维度。我们证明了这两个结果使用一定的分解$V$称为分裂分解。

2006-12-16math.RA

锐三对角对

Sharp tridiagonal pairs

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对$K$ -线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的，（ii）存在$A$的特征空间的序${V_i}_{i=0}^d$，使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序${V^*_i}_{i=0}^δ$使得对于$0 \leq i \leq δ$有$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们在$V$上将这样的对称为{ \em三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。我们说对$A,A^*$是{ \em sharp}每当$\dim V_0=1$。Tatsuro Ito和第二作者的一个猜想指出，…

2007-12-21math.COmath.RA

两个线性变换，每一个都是关于另一个的特征基的三对角变换

Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个条件：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是对角的，并且表示$A$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。对这个概念进行一点提炼，我们引入伦纳德系统的概念。我们给出了Leonard系统的一个完整的分类。我们讨论如何伦纳德系统对应的$q$ -Racah和相关的多项式从Askey计划。

2004-06-27math-phmath.MPmath.RA

$q$ -Racah型三对角对与$μ$ -猜想

Tridiagonal pairs of $q$-Racah type and the $μ$-conjecture

设$\K$表示域，$V$表示$\K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。我们说对$A,A^*$是{ \it sharp}每当$\dim V_0=1$。已知如果…

2009-08-21math.COmath.RA

三对角对中包含双降算子$ψ$的几个$q$ -指数公式

Some $q$-exponential formulas involving the double lowering operator $ψ$ for a tridiagonal pair

令$\mathbb{K}$表示代数闭域，$V$表示$\mathbb{K}$上具有有限正维数的向量空间。令$A,A^*$表示$V$上的三对角对。我们假设$A,A^*$属于一个家庭的三对角对说，有$q$ -拉卡类型。令$\{U_i\}_{i=0}^d$和$\{U_i^\Downarrow\}_{i=0}^{d}$表示$V$的第一和第二分裂分解。在前面的文章中，我们引入了一个双降算子$ψ:V\to V$，其显著特征是$0\leq i\leq d$的$ψU_i\subseteq U_{i-1}$和$ψU_i^\Downarrow\subseteq U_{i-1}^\Downarrow$都是，其中$U_{-1}=0$和$U_{-1}^\Downarrow=0$ .在同一篇论文中，我们证明了存在唯一的线性变换$Δ:V\to V$，使得$Δ(U_i)\subseteq U_i^{\Downarrow}$和$(Δ-I)U_i\subseteq U_0+U_1+\cdots +U_{i-1}$对于$0\leq i \leq d$。在本文中，我们表明，$Δ$可以表示为两个线性变换的产品，一个是$q$ -指数在$ψ$和其他是$q^{-1}$ -指数在$ψ$。我们认为$Δ$作为一个过渡矩阵，从第一分裂分解的$V$的第二。因此，我们认为$q^{-1}$ -指数在$ψ$作为一个过渡矩阵，从第一分裂分解到$V$…

2019-08-06math.RA

$q$ -Racah型三对角对与$q$ -四面体代数

Tridiagonal pairs of $q$-Racah type and the $q$-tetrahedron algebra

令$\mathbb F$表示域，令$V$表示$\mathbb F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的$\mathbb F$ -线性映射$A: V \to V$和$A^*:V\to V$使得（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_i+ V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1} = 0$和$V_{d+1}= 0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_i+ V^*_{i+1} $对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1} = 0$和$V^*_{δ+1}= 0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$U$使得$AU\subseteq U$，$A^*U \subseteq U$，$U\not=0$，$U\not=V$。我们在$V$上称这样的对为三对角对。我们假设$A, A^*$属于一个家庭的三对角对说有$q$ -拉卡型。有一种无限维的代数$\boxtimes_q$称为$q$ -四面体代数;它是由$U_q(\mathfrak{sl}_2)$的四个副…

2020-06-03math.QAmath.RA

三对角对与$μ$ -猜想

Tridiagonal pairs and the $μ$-conjecture

设$F$表示域，$V$表示$F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\{V_i\}_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\{V^*_i\}_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。我们说对$A,A^*$是{ \it sharp}每当$\dim V_0=1$。已知如果$F$是代数闭的，则$A,A^*$是尖锐的。最近…

2009-08-18math.COmath.RA

关于三对角对的分类

Towards a classification of the tridiagonal pairs

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。令$End(V)$表示由从$V$到$V$的所有$K$ -线性变换组成的$K$ -代数.我们考虑满足以下（i）-（iv）的一对$A,A^* \in End(V)$：（i）每个$A,A^*$是可对角化的。(ii)存在$A$的特征空间的排序$\{V_i\}_{i=0}^d$，使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$。(iii)存在$A^*$的本征空间的序$\{V^*_i\}_{i=0}^δ$，使得对于$0 \leq i \leq δ$有$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$。(iv)不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$ .我们在$V$上将这样的对称为{ \em三对角对}。令$E^*_0$表示$End(V)$的元素，使得$(E^*_0-I)V^*_0=0$和$E^*_0V^*_i=0$用于$1 \leq i \leq d$。令$D$（resp. $D^*$）表示由…

2008-01-04math.COmath.RA

$q$型三对角对、双降算子$ψ$和量子代数$U_q(\mathfrak{sl}_2)$

Tridiagonal pairs of $q$-Racah type, the double lowering operator $ψ$, and the quantum algebra $U_q(\mathfrak{sl}_2)$

Let \K denote an algebraically closed field and let V denote a vector space over \K with finite positive dimension. We consider an ordered pair of linear transformations A:V \to V,A*:V \to V that satisfy the following conditions:(i)Each of A,A* is diagonalizable;(ii)there exists an ordering {V_i}_{i=0}^d of the eigenspaces of A such that A*V_i \subseteq V_{i-1} +V_i+ V_{i+1} for 0 \leq i \leq d, where V_{-1} =0 and V_{d+1} =0;(iii)there exists an ordering {V*_i}_{i=0}^δof the eigenspaces of A* such that A V*_i \subseteq V*_{i-1}+V*_i+V*_{i+1} for 0 \leq i \leq δ, where V*_{-1}=0 and V*_{δ+1}=0…

2013-07-28math.RA

如何锐化三对角对

How to sharpen a tridiagonal pair

设$\F$表示域，$V$表示$\F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i, V^*_i, V_{d-i}, V^*_{d-i}$的尺寸一致。用$ρ_i$表示这个公共维度，并在$ρ_0=1$时调用$A,A^*$ { \it sharp…

2008-07-25math.COmath.RA

关于三对角对的形状

On the shape of a tridiagonal pair

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V^*_i$、$V_{d-i}$、$V^*_{d-i}$的维数一致;我们用$ρ_i$表示这个公共维数。本文证明了$ρ_i \leq ρ_0 \binom{d}…

2009-08-27math.COmath.RA

Leonard对24个碱基之间的跃迁映射

Transition maps between the 24 bases for a Leonard pair

设$V$表示具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的Leonard对。在以前的论文中，我们描述了24个特殊基地$V$。这些基的一个特征是，对于它们中的每一个，表示$A$和$A^*$的矩阵是（i）对角和不可约三对角的或（ii）不可约三对角和对角的或（iii）下双对角和上双对角的或（iv）上双对角和下双对角的。对于24个有序基对中的每一个，都存在从$V$到$V$的唯一线性变换，它将第一个基发送到第二个基;我们称之为转换映射。在本文中，我们发现每个转换映射明确作为一个多项式在$A,A^*$。

2007-05-27math.COmath.RA

具有零对角TD-TD形式的Leonard对

Leonard pairs having zero-diagonal TD-TD form

固定一个代数闭域$\mathbb{F}$和一个整数$n \geq 1$。令$\text{Mat}_n(\mathbb{F})$表示由所有元素都在$\mathbb{F}$中的$n \times n$矩阵组成的$\mathbb{F}$ -代数。考虑$\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$中的一对可对角化的矩阵，每一个都以不可约的三对角方式作用在另一个的特征基上。这样的对在$\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$中称为Leonard对。在本文中，我们找到了$\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$中的所有Leonard对$A,A^*$，使得$A$和$A^*$都是不可约的三对角的，并且所有对角元素都是$0$ .这解决了Paul Terwilliger提出的一个问题。

2015-03-18math.RA

伦纳德从24个角度对

Leonard pairs from 24 points of view

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个条件：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是对角的，并且表示$A$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。参考上述Leonard对，我们研究了$V$的24个碱基，$A$和$A^*$在这些碱基上的作用具有吸引人的形式。对于这些基中的每一个，表示$A$和$A^*$的矩阵是对角的、下双对角的、上双对角的或三对角的。

2004-06-28math-phmath.MPmath.RA

三对角对的Drinfel多项式

The Drinfel'd polynomial of a tridiagonal pair

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\{V_i\}{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\{V^*_i\}{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们在$V$上将这样的对称为{ \it三对角对}。已知$d=δ$和对于$0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$的维数一致。当$\dim V_0=1$时，对$A,A^*$被称为{ \it sharp}。已知如果$K$是代数闭的，则$A,A^*$是尖锐的。假设$…

2008-05-10math.COmath.RA

循环 Hessenberg 对的变体

Variations on a circular Hessenberg pair

本文研究循环、拟循环、三对角和不可约三对角等类型的 Hessenberg 矩阵相关的 Hessenberg 系统族，目标是揭示这些族之间的关系，并依据参数数组描述每个族。

2026-07-21math.COmath.RA

三对角对的结构

The structure of a tridiagonal pair

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\{V_i\}_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_i + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\{V^*_i\}_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_i + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们在$V$上称这样的对为三对角对。已知$d=δ$和$0 \leq i \leq d$的尺寸$V_i, V_{d-i}, V^*_i, V^*_{d-i}$一致。在本文中，我们证明了以下（i）-（iv）保持$K$是代数闭的：（i）每个$V_0$，$V^*_0$，$V_d$，$V^*_d$具有1维。(ii)存在$V$上的非退化对…

2008-02-08math.COmath.RA

两个线性变换，每一个都是关于另一个的特征基的三对角变换; TD-D标准形和LB-UB标准形

Two linear transformations each tri-diagonal with respect to an eigenbasis of the other; the TD-D canonical form and the LB-UB canonical form

设$\K$表示域，$V$表示$\K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A:V\to V$和$B:V\to V$，它们同时满足下面的（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$B$的矩阵是对角的;（ii）存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$B$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。我们引入了Leonard对的两个标准型。我们称之为TD-D标准形和LB-UB标准形。在TD-D标准形中，伦纳德对由不可约的三对角矩阵和对角矩阵表示，并服从一定的归一化。在LB-UB标准型中，伦纳德对由下双对角矩阵和上双对角矩阵表示，并进行一定的归一化。我们详细描述了这两个典型的形式。作为应用，我们得到以下结果。给定$\K$上的方阵$A,B$，其中$A$为三对角阵，$B$为对角阵，给出了$A,B$表示Leonard对的一个充要条件.给定$\K$上的方阵$A,B$，其中$A$为下双对角线，$B$为上双对角线，给出了$A,B$表示Leonard对的一个充要条件.我们简要地讨论了Leonard对如何对应于Askey方案中的$q$-Racah多项式和一些相关的多项式。我们提出了一些关于伦纳德对的公开问题。

2003-04-06math.QAmath.RA

涉及Leonard对的分裂序列的迹公式

Some trace formulae involving the split sequences of a Leonard pair

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$满足以下（i），（ii）：（i）存在一个基，对于该基，表示$V$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \em Leonard对}。在关于Leonard对的文献中，存在两个参数序列，称为第一分裂序列和第二分裂序列。我们展示了一些有吸引力的公式的第一和第二分裂序列，涉及的跟踪功能。

2005-08-22math.COmath.RA

Leonard对的仿射变换

Affine transformations of a Leonard pair

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。令$x$，$c$，$x^*$，$c^*$表示$K$中的标量，其中$x$，$x^*$非零，并注意$xA+cI$，$x^*A^* + c^*I$是$V$上的Leonard对。我们给出了这个Leonard对同构于Leonard对$A$，$A^*$的充分必要条件.我们还给出了这个Leonard对同构于Leonard对$A^*$，$A$的充分必要条件.

2006-11-25math.COmath.RA

李型Heun代数

Heun algebras of Lie type

引入李型Heun代数。它们是从与三维或四维的简单或可解李代数相关的双谱对中得到的。对于$\mathfrak{su}(2)$，这导致Heun-Krawtchouk代数。相应的Heun-Krawtchouk算子被确定为Zhukovski-Voltera陀螺仪的量子模拟的哈密顿量。对于$\mathfrak{su}(1,1)$，我们得到了附着在Meixner多项式、Meixner-Pollaczek多项式和Laguerre多项式上的Heun代数。这些Heun代数被证明是同构的Hahn代数。对谐振子代数$\mathfrak{ho}$的研究引出Heun-Charlier代数。与正交多项式的连接是通过在差分和微分算子方面实现底层李代数来实现的。在$\mathfrak{su}(1,1)$情形下，Heun算子可以分别转化为Hahn算子、连续Hahn算子和汇合Heun算子.

2019-04-24math.RA

与三对角对相联系的两个交换算子

Two commuting operators associated with a tridiagonal pair

Let \K denote a field and let V denote a vector space over \K with finite positive dimension. We consider an ordered pair of linear transformations A:V \to V and A*:V \to V that satisfy the following four conditions: (i) Each of A,A* is diagonalizable; (ii) there exists an ordering {V_i}_{i=0}^d of the eigenspaces of A such that A*V_i \subseteq V_{i-1} +V_i+ V_{i+1} for 0 \leq i \leq d, where V_{-1} =0 and V_{d+1} =0; (iii) there exists an ordering {V*_i}_{i=0}^δ of the eigenspaces of A* such that AV*_i \subseteq V*_{i-1}+V*_i+V*_{i+1} for 0 \leq i \leq δ, where V*_{-1}=0 and V*_{δ+1}=0; (iv) …

2011-10-15math.RA

相对于LR三元组的三个分解为三对角的线性变换

Linear transformations that are tridiagonal with respect to the three decompositions for an LR triple

固定整数$d \geq 0$、字段$\mathbb{F}$和$\mathbb{F}$上具有维度$d+1$的向量空间$V$。通过$V$的分解，我们表示$V$的$1$维子空间的序列$\{V_i\}_{i=0}^d$，其和是$V$。对于从$V$到$V$的线性变换$A$，我们说$A$降低$\{V_i\}_{i=0}^d$，只要$A V_i = V_{i-1}$为$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$。当$A V_i = V_{i+1}$为$0 \leq i \leq d$时，我们说$A$引发$\{V_i\}_{i=0}^d$，其中$V_{d+1}=0$。从$V$到$V$的有序线性变换$A,B$对称为LR，只要存在$V$的分解$\{V_i\}_{i=0}^d$，该分解由$A$降低并由$B$升高。在这种情况下，分解$\{V_i\}_{i=0}^d$由$A,B$唯一确定;我们称之为$V$的$(A,B)$ -分解。考虑从$V$到$V$的线性变换$A$、$B$、$C$的$3$元组，使得$A$、$B$、$C$中的任何两个在$V$上形成LR对。这样的$3$ -元组在$V$上称为LR三元组。令$α$、$β$、$γ$为$\mathbb{F}$中的非零标量。三元组$αA, βB, γC$是$V$上的LR三元组，据说与$A,B,C$相关。令$\{V_i\}_{i=0}^d$是$V$的分解，…

2015-08-19math.RA

伦纳德对的开关元件

The switching element for a Leonard pair

令$V$表示具有有限正维度的向量空间。我们考虑一对线性变换$A : V \to V$和$A^* : V \to V$满足以下（i）和（ii）：（i）存在一个基$V$，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们在$V$上称这样的对为{ \em Leonard对}。令$v_0,v_1,...,v_d$（分别$w_0,w_1,...,w_d$）表示（i）中所述的$V$的基础（分别（ii））。我们发现，存在一个独特的线性变换$S: V \to V$发送$v_0$的$v_d$的标量倍数，固定$w_0$，并发送$w_i$的$w_i$的标量倍数为$1 \leq i \leq d$。我们称$S$为{ \it交换元素}。我们描述$S$从许多角度来看。

2006-08-25math.COmath.RA

Leonard对$A,A^*$的$AA^*-A^*A$的行列式

The determinant of $AA^*-A^*A$ for a Leonard pair $A,A^*$

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*: V \to V$满足以下（i），（ii）：（i）存在一个基，对于该基，表示$V$的矩阵是不可约三对角的，表示$A^*$的矩阵是对角的. (ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \em Leonard对}。本文研究了交换子$AA^*-A^*A$。我们的结果如下。首先假设$V$的维数是偶数。我们证明了$AA^*-A^*A$是可逆的，并给出了行列式的几个有吸引力的公式。接下来假设$V$的维数是奇数。我们证明了$AA^*-A^*A$的零空间具有1维。我们在这个零空间中显示一个非零向量。我们将该向量表示为$A$的特征向量之和以及$A^*$的特征向量之和。

2005-11-26math.COmath.RA

三对角对的升映射与降映射

Raising and lowering maps for tridiagonal pairs

本文研究三对角对中由两种特征空间分解构造的升降映射 $R,F,L$ 与 $\mathcal R,\mathcal L$，刻画其相互关系，并讨论 $R,L$ 的单射和满射性质。

2025-07-25math.COmath.RA

Self-dual伦纳德对

Self-dual Leonard pairs

设$\F$表示域，$V$表示$\F$上具有有限正维数的向量空间。考虑$V$上的一对可对角化的$\F$ -线性映射$A,A^*$，其中每一个以不可约三对角方式作用于另一个的特征基。这样的对称为伦纳德对。我们考虑的自对偶的情况下，存在一个自同构的自同态代数$V$交换$A$和$A^*$。这种自同构是唯一的，称为对偶$A \leftrightarrow A^*$。在本文中，我们给出了一个全面的描述这种对偶性。特别地，我们在$V$上显示可逆的$\F$ -线性映射$T$，使得映射$X \mapsto T X T^{-1}$是对偶$A \leftrightarrow A^*$。我们在$A$和$A^*$中将$T$表示为多项式。我们描述了$T$如何作用于$4$标志、$12$分解和$V$的24个碱基。

2018-10-20math.RA

平衡的伦纳德配对

Balanced Leonard Pairs

设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。关于$V$上的Leonard对，我们表示满足以下两个条件的线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$的有序对：（i）存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)对于$V$存在一个基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。令$v^*_0, ..., v^*_d$（分别$v_0, ..., v_d$）表示满足（i）（分别（ii））。对于$0 \leq i \leq d$，当我们将$A v^*_i$写为$v^*_0, ..., v^*_d$的线性组合时，让$a_i$表示$v^*_i$的系数，当我们将$A^* v_i$写为$v_0..., v_d$的线性组合时，让$a^*_i$表示$v_i$的系数。本文证明了$a_0=a_d$当且仅当$a^*_0=a^*_d$ .此外，我们表明，对于$d \geq 1$以下是等价的：（i）$a_0=a_d$和$a_1=a_{d-1}$ ;（ii）$a^*_0=a^*_d$和$a^*_1=a^*_{d-1}$ ;（iii）$a_i=a_{d-i}$和$a^*_i=a^*_{d-i}$为$0 \leq i \leq d$。我们说$A$，$A^*$是平衡的，只要（i）-（iii）保持。我们说…

2005-06-15math.QAmath.RA

线性变换的Hessenberg对

Hessenberg Pairs of Linear Transformations

令$\fld$表示域，$V$表示$\fld$上的非零有限维向量空间。我们考虑一对有序线性变换$A: V \to V$和$A^*: V \to V$满足下面的（i）-（iii）。每个$A, A^*$都可以在$V$上对角化。存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i \rbrace_{i=0}^d$，使得A^* V_i \subseteq V_0 + V_1 +. + V_{i+1} \qquad \qquad（0 \leq i \leq d），其中$V_{-1} = 0$，$V_{d+1}= 0$。存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i \rbrace_{i=0}^δ$，使得A V^*_i \subseteq V^*_0 + V^*_1 +. +V^*_{i+1} \qquad \qquad（0 \leq i \leq δ），其中$V^*_{-1} = 0$，$V^*_{δ+1}= 0$。我们在$V$上称这样的对为{ \it Hessenberg对}。本文给出了Hessenberg对的一些特征。我们还解释了如何海森伯格对有关的三对角对。

2008-11-28math.COmath.RA

近二部 Leonard 对

Near-bipartite Leonard pairs

本文在代数闭域上对近二部 Leonard 对进行了同构分类，并分别描述了每个近二部对的二部收缩及每个二部对的近二部扩张。

2023-04-11math.RA

伦纳德对的相容性和同伴

Compatibility and companions for Leonard pairs

在本文中，我们引入了Leonard对的相容性和伴随的概念。这些概念大致描述如下。设$\mathbb{F}$表示域，$V$表示$\mathbb{F}$上具有有限正维数的向量空间。$V$上的伦纳德对是一对有序的可对角化的$\mathbb{F}$ -线性映射$A : V \to V$和$A^* : V \to V$，它们各自以不可约三对角方式作用在另一个的特征基上。伦纳德对$V$上的$A,A^*$和$B,B^*$被认为是兼容的，只要$A^* = B^*$和$[A,A^*] = [B,B^*]$，其中$[r,s] = r s - s r$。对于$V$上的Leonard对$A,A^*$，我们通过$A,A^*$的同伴表示$\mathbb{F}$ -线性映射$K: V \to V$，使得$K$是$A^*$中的多项式，并且$A-K, A^*$是$V$上的Leonard对。兼容性和伴侣的概念关系如下。对于$V$上的兼容Leonard对$A,A^*$和$B,B^*$，定义$K = A-B$。$K$是$A,A^*$的伴侣。对于$V$上的Leonard对$A,A^*$和$A,A^*$的伴随$K$，定义$B = A-K$和$B^* = A^*$。那么$B,B^*$是$V$上与$A,A^*$兼容的Leonard对。令$A,A^*$表示$V$上的Leonard对。我们在$V$上找到与$A,A^*$兼容的所有Le…

2021-12-26math.RA

Leonard对、自旋模型和距离正则图

Leonard pairs, spin models, and distance-regular graphs

伦纳德对是有限维向量空间上可对角化的线性映射的有序对，每个映射以不可约三对角方式作用于另一个映射的特征基。在本文中，我们考虑一种类型的伦纳德对，据说有自旋。自旋模型的概念是由V.F.R.琼斯构造链接不变量。自旋模型是满足两个条件的$\mathbb{C}$上的对称矩阵，称为II型和III型条件。已知自旋模型$\sf W$包含在称为Nomura代数的某个有限维代数$N({\sf W})$中。自旋模型$\sf W$经常满足${\sf W} \in {\sf M} \subseteq N({\sf W})$，其中$\sf M$是距离正则图$Γ$的玻色-梅斯纳代数;在这种情况下，我们说$Γ$提供了$\sf W$。如果$Γ$提供了一个自旋模型，那么$Γ$的每个特威利格代数的每个不可约模都具有某种形式，最近由Caughman、Curtin、Nomura和Wolff描述。在本文中，我们证明了相反的是真实的，如果每个不可约模的每个Terwilliger代数的$Γ$采取这种形式，那么$Γ$提供了一个自旋模型。当$Γ$具有$q$ -Racah型时，我们明确地构造了这个自旋模型.我们的主要结果的证明在很大程度上依赖于自旋伦纳德对理论。

2019-07-17math.RA

具有特定尾项的伦纳德对

Leonard pairs having specified end-entries

修复一个代数闭域$\mathbb{F}$和一个整数$d \geq 3$。设$V$是$\mathbb{F}$上的向量空间，维数为$d+1$。$V$上的伦纳德对是一对有序的可对角化线性变换$A: V \to V$和$A^* : V \to V$，每一个都以不可约的三对角方式作用在另一个的特征基上。让$\{v_i\}_{i=0}^d$（分别$\{v^*_i\}_{i=0}^d$）是$A$（分别为PDMATHAMV）。对于$0 \leq i \leq d$，定义线性变换$E_i : V \to V$，使得$E_i v_i=v_i$和$E_i v_j =0$为$j \neq i$ $(0 \leq j \leq d)$。以类似的方式定义$E^*_i : V \to V$。序列$Φ=(A, \{E_i\}_{i=0}^d, A^*, \{E^*_i\}_{i=0}^d)$称为直径为$d$的$V$上的Leonard系统。对于基础$\{v_i\}_{i=0}^d$，令$\{þ_i\}_{i=0}^d$（resp.\ $\{a^*_i\}_{i=0}^d$）是表示$A$的矩阵的对角项（分别为PDMATHAMV）。关于基础$\{v^*_i\}_{i=0}^d$，令$\{θ^*_i\}_{i=0}^d$（分别为$\{a_i\}_{i=0}^d$）是表示$A^*$的矩阵的对角项（分别为$A$）。据了解，$…

2014-09-15math.RA