发表机构
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
针对 $\mathbb Z^d$ 随机子集，证明固定正密度子集在尖锐尺度上实现平方距离模式，并得到距离集最大阶及仿射副本性质。
AI 中文摘要
设 $d \geq 5$，$0 < \gamma < d - 2$，且 $\Omega_N$ 为 $Q_N = [-N,N]^d \cap \mathbb Z^d$ 的二项随机子集，保留概率为 $p_N = N^{-\gamma}$。我们证明，在具有最优指数阶失败概率的情况下，$\Omega_N$ 的每个固定正相对密度的子集 $B \subseteq \Omega_N$，在每个尺度 $p_N^{-2/(d - 2)} \lesssim \lambda \lesssim N^2$ 上，实现一个形如 $q^2 \lambda$ 的平方距离，其中 $q$ 属于一个仅依赖于维数和密度的固定有限集合。下界尺度 $p_N^{-2/(d - 2)}$ 是尖锐的。作为推论，$B$ 的平方距离集 $D^2(B)$ 具有最大阶 $N^2$，并包含 $\mathbb Z$ 的每个固定有限子集的仿射副本。主要的新输入是 $Q_N$ 稠密子集的有限多重膨胀超饱和定理，该定理与相关的球面距离图在尖锐尺度以下的有界性估计一起，使我们能够应用 Schacht 的转移定理。
英文摘要
Let $d \geq 5$, $0 < γ< d - 2$, and $Ω_N$ be the binomial random subset of $Q_N = [-N,N]^d \cap \mathbb Z^d$ with retention probability $p_N = N^{-γ}$. We prove that, with failure probability of optimal exponential order, every subset $B \subseteq Ω_N$ of fixed positive relative density realizes, at each scale $p_N^{-2/(d - 2)} \lesssim λ\lesssim N^2$, a squared distance of the form $q^2 λ$, where $q$ belongs to a fixed finite set depending only on the dimension and the density. The lower scale $p_N^{-2/(d - 2)}$ is sharp. As a consequence,the squared-distance set $D^2(B)$ of $B$ has maximal order $N^2$ and contains affine copies of every fixed finite subset of $\mathbb Z$. The main new input is a finite multidilate supersaturation theorem for dense subsets of $Q_N$, which, together with boundedness estimates for the associated spherical distance graphs down to the sharp scale, allows us to apply Schacht's transference theorem.
