Construction of Bh[g] sets in product of groups
Diego Ruiz, Carlos Trujillo
阿贝尔群G的子集A是G上的Bh[g]集，如果G的每个元素至多可以写成A中h个元素的和的g种方式.本文给出了群的乘积上的Bh[g]集的三种构造.
A subset A of an abelian group G is a Bh[g] set on G if every element of G can be written at most g ways as sum of h elements in A. In this work we present three constructions of Bh[g] sets on product of groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On sets with small additive doubling in product sets
根据和积范式，我们证明了一个集合$B$多项式增长，积集$B.B$不能包含大子集的大小顺序$|B|^2$小倍。因此，$B.B$的加性能量是渐近的$o(|B|^6)$。特别是，我们扩展到集的小倍和多项式增长的经典乘法表定理的Erdeggs说，$|[1..n]. [1..n]| = o(n^2)$。
Product Sets of Arithmetic Progressions in Function Fields
本文研究了有限域上多项式有限算术数列的乘积集合，证明了在宽参数范围内一致的乘积集合大小下界，并据此解决了Erdős乘法表问题的函数域变体。
On sets of integers which are both sum-free and product-free
我们考虑集合的正整数不包含两个元素的总和在集合中，也没有产品的两个元素。我们证明了这样一个集合的上密度严格小于小于1/2，这是最好的可能。此外，我们还找到了这样的集，也是周期模一些正整数的密度的极大序模。
Extremal properties of product sets
我们找到了集合$A\subset [N] := \{1,...,N\}$的近似最优大小，使得积集$AA$满足（i）$|AA| \sim |A|^2/2$或（ii）$|AA| \sim |[N][N]|$ .这解决了Cilleruelo，Ramana和Ramare最近的一篇文章中提出的问题。
The Cartesian product of exact approximation sets
该数学研究确定一维精确逼近集笛卡尔积的豪斯多夫与填充维数，改进均匀分布系统框架建立对应乘积定理，拓展了相关逼近集维数的研究结论。
The maximal density of product-free sets in Z/nZ
本文研究了Z/nZ中无积集的最大尺寸。这些是剩余的集合，对于这些剩余的集合，没有ab == c（mod n）的解，其中a，b，c在集合中。在前一篇文章中，我们构造了Z/n_iZ中整数（n_i）_{i > 0}和无积集S_i的无穷序列，使得当i趋于无穷大时密度|S_i| /n_i趋于1，其中|S_i| $表示S_i的基数。在这里，我们得到匹配，常数，上限和下界的最大可达到的密度n趋于无穷大。
Product-free sets with high density
我们证明了存在渐近密度任意接近于1的整数集合，其中方程ab=c无解，其中a，b，c在集合中。我们还考虑了一些自然的推广，以及一个具体的数值例子的产品免费的整数集的渐近密度大于1/2。
Improved bounds for arithmetic progressions in product sets
令$B$是大小为$n$的自然数的集合。我们证明了乘积集$B.B = \{bb'| \, b, b' \in B\}$中最长等差数列的长度不可能大于$O(n \log n)$，它与文献[1]中给出的下界相匹配，直到一个乘法常数.对于复数的集合，我们改进了对任意$ε> 0$的$O_ε(n^{1 + ε})$的约束，假设GRH。
Additive properties of product sets in fields of prime order
设$F_p$是素数阶$p$的域。然后，对于任何正整数$n>1$，对于任何$ε>0$，以及对于$F_p$的任何子集$A$，$F_p$的每个元素都可以表示为$N$元素的和，每个元素都是来自$A$的$n$元素的乘积，其中$N$取决于$n$和$\espilon$。
Product sets cannot contain long arithmetic progressions
令$B$是大小为$n$的自然数的集合。证明了乘积集$B.B = \{bb'| \, b, b' \in B\}$中包含的最长等差数列的长度不可能大于$O(\frac{n\log^2 n}{\log \log n})$，并给出了一个乘积集包含长度为$Ω(n \log n)$的等差数列的例子.对于复数的集合，我们得到了上界$O(n^{3/2})$。
A note on product sets of random sets
给定两组正整数$A$和$B$，设$AB := \{ab : a \in A,\, b \in B\}$是它们的乘积集，并对任何正整数$k$置$A^k := A \cdots A$（$k$乘以$A$）。此外，对于每个正整数$n$和每个$α\in [0,1]$，令$\mathcal{B}(n, α)$表示概率模型，其中通过以概率$α$独立地选择$\{1, \dots, n\}$的每个元素来构造随机集$A \subseteq \{1, \dots, n\}$。我们证明，如果$A_1, \dots, A_s$是随机集$\mathcal{B}(n_1, α_1), \dots, \mathcal{B}(n_s, α_s)$，分别，$k_1, \dots, k_s$是固定的正整数，$α_i n_i \to +\infty$，$1/α_i$不增长太快的产品$\log n_j$方面，然后$|A_1^{k_1} \cdots A_s^{k_s}| \sim \frac{|A_1|^{k_1}}{k_1!}\cdots\frac{|A_s|^{k_s}}{k_s!}$概率$1 - o(1)$。这是Cilleruelo，Ramana和Ramaré的结果的推广，他们考虑了$s = 1$和$k_1 = 2$的情况。
On additive bases of sets with small product set
证明了满足$|AA| \leq |A|^{1+ε}$且$ε> 0$足够小的实数的有限集不能有小的加法基，也不能写成$B+C$与$|B|, |C| \geq 2$的和的集合.这个结果可以看作是Sárközy猜想的一个真实类比，即素数阶有限域的乘法子群是加法不可约的。
On Integer sequences in Product sets
设$B$是自然数或复数的有限集。对应于$B$的积集由$B.B:=\{ab:a,b\in B\}$定义。本文给出了精确到一个正常数的积集上的多项式序列的最长连续项长度的一个上界。当$B$是一组自然数时，我们给出了一个关于积集中存在的斐波那契数的最大数目的精确界;当$B$是一组复数时，我们给出了一个精确到正常数的界.
On sum sets of sets, having small product set
本文改进了Solymosi关于R中和积的一个结果，即证明了max{|A+A|，|AA| } \gg |A| ^{4/3+c}，其中c>0是绝对常数。得到了具有小积集的集合和的新的下界，有效地改进了已有的关于集合A from R的|AA| \le |A| ^{4/3}的结果.
Restricted Product Sets under Unique Representability
本文证明了域的乘法群（特别是循环群）中限制乘积集的Kemperman-Scherk型的一些结果.证明使用多项式方法。
On popular sums and differences of sets with small products
给出了实数子集$A$的小积$AA$，得到了$A$的加性能量的一个新的上界.该证明利用了$A$的特征函数的卷积的水平集与$A$的乘积较小的自然观察。
A note on product sets of rationals
Bourgain，Konyagin和Shparlinski得到了当A和B是分子和分母小于或等于Q的正有理数集合时积集AB的大小的一个下界.我们使用不同的方法扩展并稍微改进了该下界。
On the density of sumsets and product sets
本文给出了整数集的稠密性与其和集、积集及子集和集的稠密性之间的联系。
Some remarks on products of sets in the Heisenberg group and in the affine group
我们得到了关于素域上的Heisenberg群和仿射群的大小集乘积的一些新结果。此外，我们推导出应用这些增长结果的Freiman的同构在nonabel群。
A note on the natural density of product sets
给出自然密度为$1$的两组自然数$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$，证明了它们的乘积集$\mathcal{A}\cdot \mathcal{B}:=\{ab:a\in\mathcal{A},\,b\in\mathcal{B}\}$也有自然密度$1$ .另一方面，对于任何$\varepsilon>0$，我们发现有集$\mathcal{A}$的密度$>1-\varepsilon$的产品集$\mathcal{A}\cdot\mathcal{A}$有密度$<\varepsilon$。这回答了Hegyvári，Hennecart和Pach的两个问题。
On maximal product sets of random sets
对于每个正整数N和每个$α\in [0,1)$，令$B(N, α)$表示概率模型，其中通过以概率$α$独立地选择$\{1,\dots,N\}$的每个元素来构造随机集$A\subset \{1,\dots,N\}$。我们证明，作为$N\longrightarrow +\infty$，对于$B(N, α)$中的每个$A$，我们有概率$1-o(1)$的$|AA|\ \sim |A|^2/2$，当且仅当$$\frac{\log(α^2(\log N)^{\log 4-1})}{\sqrt{\log\log N}}\longrightarrow-\infty.$$这改进了Cilleruelo，Ramana和Ramaré的定理，他们证明了当$α=o(1/\sqrt{\log N})$时$|AA|$和$|A|^2/2$之间的上述渐近性，并提供了随机集的最大乘积集的完整表征。
New Proofs of Plünnecke-type Estimates for Product Sets in Groups
给出了群中三重积集基数的一个新的界，并给出了三个应用。关于阿贝尔群的Plunnecke-Ruzsa和集不等式的一个新的且出乎意料的短证明在不作交换性假设的情况下，推广了这些不等式。Plunnecke-Ruzsa不等式在一般群中的进一步推广。
An application of the sum-product phenomenon to sets having no solutions of several linear equations
我们证明了对于任意的$κ\le \frac{1}{3}$，$\mathbf{F}_p$的任何子集，避免$t$线性方程与三个变量的大小小于$O(p/t^κ)$。我们还发现一些应用程序的问题，所谓的非平均集，共线三元组和混合能量的数量。
On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
Additive properties of product sets in an arbitrary finite field
证明了对任意有限域$\Fq$的任意两个子集$A$和$B$，使得$|A||B|>q$的恒等式$16AB=\Fq$成立.此外，它建立了，对于每个子集$X, Y\subset \Fq$的性质$|X||Y|\geqslant 2q$的等式$8XY=\Fq$成立。
Small product sets in compact groups
本文证明了在一个具有\emph{abelian}单位连通区的紧第二可数群$K$中的充分“扩展”Borel集的次临界对$(A,B)$，在$\bT$或$\bT \rtimes \{-1,1\}$中必须约化为Sturmian对.这推广了Kneser的一个经典结果。
Arithmetic Sets in Groups
在任意可数群中定义了算术集的概念，并在阿贝尔群和非阿贝尔自由群的情况下研究了这些集合的性质。
Counting MSTD Sets in Finite Abelian Groups
在阿贝尔群G中，和大于差（MSTD）集是G的子集A，使得|A+A|>| A-A|.本文给出了有限阿贝尔群中MSTD集个数的渐近性，推广了Nathanson的结果.证明包含了应用最近解决的猜想阿隆和卡恩的独立集的数量在正则图。
Vanishing sums of roots of unity and the Favard length of self-similar product sets
本文改进了$N$ -次单位根的零和中元素个数的Lam-Leung下界的一个特例。利用这一结果，我们扩展Favard长度估计由于债券，Escheraba和Volberg一类新的有理产品康托集$\mathbb{R}^2$。
A structure theorem for product sets in extra special groups
Hegyvári和Hennecart表明，如果$B$是海森堡群的一个足够大的砖块，那么积集$B\cdot B$包含许多群中心的陪集。我们给出了一个新的，强大的证明这个定理，扩展到所有额外的特殊群体，以及一个大家庭的拟群。
Groups with few maximal sum-free sets
我们发现，在整数设置相反，几乎所有的偶数阶阿贝尔群$G$有指数更少的最大和自由集比$2^{μ(G)/2}$，其中$μ(G)$表示的大小，最大和自由集$G$。这证实了Balogh，Liu，Sharifzadeh和Treglown的猜想。
Some recent results and open problems on sets of lengths of Krull monoids with finite class group
讨论了有限类群Krull幺半群的长度集的一些基本概念，并对最近的一些结果进行了综述。这些包括弹性和相关的概念，距离集，以及长度集的结构定理。几个开放的问题被提到。
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