关于带移位的迭代积集
On iterated product sets with shifts
摘要：
我们证明了，对于任何有限集$A \subset \mathbb Q$与$|AA| \leq K|A|$和任何正整数$k$，$k$ -倍产品集的移位$A+1$满足界$$| \{(a_1+1)(a_2+1) \cdots (a_k+1) : a_i \in A \}| \geq \frac{|A|^k}{(8k^4)^{kK}}. $$。这个结果是本质上最优的$K$时的顺序$c\log|A|$，对于一个足够小的常数$c=c(k)$。我们的主要工具是调和分析中使用的$Λ$常数的乘法变体，应用于狄利克雷多项式。
英文摘要：
We prove that, for any finite set $A \subset \mathbb Q$ with $|AA| \leq K|A|$ and any positive integer $k$, the $k$-fold product set of the shift $A+1$ satisfies the bound $$| \{(a_1+1)(a_2+1) \cdots (a_k+1) : a_i \in A \}| \geq \frac{|A|^k}{(8k^4)^{kK}}. $$ This result is essentially optimal when $K$ is of the order $c\log|A|$, for a sufficiently small constant $c=c(k)$. Our main tool is a multiplicative variant of the $Λ$-constants used in harmonic analysis, applied to Dirichlet polynomials.
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