A counterexample in the theory of $D$-spaces
Daniel T. Soukup, Paul J. Szeptycki
假设$\diamondsuit$，我们构造一个大小为$ω_1$的遗传Lindelöf空间的$T_2$例子，它不是$D$ -空间。这个例子有一个性质，即所有的有限幂也是Lindelöf。
Assuming $\diamondsuit$, we construct a $T_2$ example of a hereditarily Lindelöf space of size $ω_1$ which is not a $D$-space. The example has the property that all finite powers are also Lindelöf.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Productively Lindelöf spaces of countable tightness
迈克尔问是否每一个富有成效的林德洛夫空间都是强大的林德洛夫。在Alster和De la Vega工作的基础上，假设连续统假设，我们证明了每一个可数紧性的有效Lindelöf空间都是强Lindelöf空间。这加强了Tall和Tsaban的结果。同样的方法也产生新的证据的结果Arkhangel'skii和Buzyakova。此外，假设连续统假设，我们表明，生产Lindelöf空间$X$是强大的Lindelöf，如果每个开覆盖$X^ω$允许一个点连续的基本开集组成的加细。这加强了Burton和Tall的一个结果。最后，我们证明了分离公理与迈克尔问题无关：如果存在一个反例（甚至可能不是$\mathsf{T}_0$），那么就存在一个正则（实际上是零维）反例。
A Comparison of Lindelof-Type Covering Properties of Topological Spaces
Lindelöf空间在任何基础拓扑学课程中都有研究。然而，还有其他有趣的覆盖性质具有类似的行为，如几乎Lindelöf，弱Lindelöf和拟Lindelöf，已经在各种研究论文中考虑过。在这里，我们给出了Lindelöf空间的标准结果与弱Lindelöf空间和几乎Lindelöf空间的类似结果之间的比较。一些定理，类似于发表的，将被证明。我们还考虑反例，其中大部分还没有包括在标准的拓扑教科书，这些属性和各种基本的拓扑概念，如可分性，分离公理，第一可数，和其他之间的相互关系。鉴于目前的比较，将注意到这些例子的一些新特点。我们还提出了几个悬而未决的问题。
A Note on Quasi-Lindelof Spaces
准Lindelöf性质首先由Arhangelski在\cite{Arc}中引入，作为弱Lindelöf性质的加强。然而，与Lindelöf空间和弱Lindelöf空间不同的是，人们对拟Lindelöf空间在主要拓扑运算下的行为以及该性质与分离性公理的关系知之甚少。在本文中，我们研究了拟Lindelöf空间的几个性质。我们考虑几个例子：一个弱Lindelöf空间不是拟Lindelöf，一个Lindelöf空间的乘积不是偶拟Lindelöf，一个拟Lindelöf空间不是ccc。最后，我们提出了一些开放的问题。
Weakly linearly Lindelöf monotonically normal spaces are Lindelöf
我们称一个空间$X$ { \it弱线性Lindelöf}，如果对于正则不可数基数$κ$的$X$的任何非空开子集族$\mathcal{U}$，存在一个点$x\in X$，使得$x$的每个邻域满足$κ$ -$\mathcal{U}$的许多元素。我们还引入了{ \it几乎离散Lindelöf}空间的概念，在这个空间中每个离散子空间都可以被Lindelöf子空间覆盖.证明了除了线性Lindelöf空间外，弱Lindelöf空间和几乎离散Lindelöf空间都是弱线性Lindelöf空间。本文的主要结果在标题中给出。它意味着，除其他外，每个弱Lindelöf单调正规空间都是Lindelöf;这个结果似乎是新的，即使是线性序拓扑空间。我们证明了，在$2^ω< ω_ω$的假设下，如果空间$X$的共对角$Δ^c_X=(X\times X)\setminus Δ_X$是离散Lindelöf，则$X$是Lindelöf并且具有较弱的第二可数拓扑;这里$Δ_X=\{(x,x): x\in X\}$是空间$X$的对角。此外，$Δ^c_X$的离散Lindelöfness和$X$的LindelöfPDMATHABMW-性质意味着$X$有一个可数网络。
Cardinal invariants of cellular-Lindelof spaces
一个空间$X$被称为“cellular-Lindelöf”，如果对于每一个蜂窝族$\mathcal{U}$，都有一个满足$\mathcal{U}$的每一个元素的$X$的Lindelöf子空间$L$。胞腔-Lindelöf空间推广了Lindelöf空间和具有可数链条件的空间。解决了Xuan和Song的问题，证明了每个胞腔Lindelöf单调正规空间都是Lindelöf，并且每个具有正则$G_δ$ -对角线的胞腔Lindelöf空间至多有基数$2^\mathfrak{c}$ .我们还证明了每个正规胞腔Lindelöf第一可数空间在$2^{<\mathfrak{c}}=\mathfrak{c}$下具有至多连续势，并且每个具有秩为$2$的$G_δ$ -对角线的正规胞腔Lindelöf空间具有至多连续势.
Indestructibly productively Lindelöf and Menger function spaces
对于Tychonoff空间$X$及其子集族$λ$，我们用$C_λ(X)$表示$λ$ -开拓扑的$X$上所有实值连续函数的$T_1$ -空间.一个拓扑空间是乘积Lindelöf，如果它与每个Lindelöf空间的乘积是Lindelöf。一个空间是不可破坏的生产性Lindelöf，如果它在任何可数闭强迫的扩张中是生产性Lindelöf。本文研究了Lindelöf和Menger函数空间$C_λ(X)$的不可破坏的生产性.
Internal characterizations of productively Lindelöf spaces
我们提出了一个内部表征的生产力Lindelöf属性，从而回答了一个长期存在的问题归因于玉野。我们也给出了一些关于Alster空间与乘积Lindelöf空间的关系的结果。
Pairwise Semiregular Properties on Generalized Pairwise Lindelof Spaces
设$\left( X,τ_{1},τ_{2}\right) $是一个双拓扑空间，$% \left( X,τ_{\left( 1,2\right) }^{s},τ_{\left( 2,1\right) }^{s}\right) $是它的成对半正则化.那么一个双拓扑性质$\mathcal{P}$ \称为成对半正则，只要$\left( X,τ_{1},τ_{2}\right) $ \具有性质$\mathcal{P}$ \当且仅当$\left( X,τ_{\left( 1,2\right) }^{s},τ_{\left( 2,1\right) }^{s}\right) $ \具有相同的性质。本文研究了$\left( i,j\right) $ -几乎Lindelöf，两两几乎Lindelöf，$\left( i,j\right) $ -几乎Lindelöf，两两几乎Lindelöf，$\left( i,j\right) $ -弱Lindelöf和两两弱Lindelöf空间的两两半正则性.证明了$\left( i,j\right) $ -almost Lindel% f，两两almost Lindelöf，$\left( i,j\right) $ -weakly Lindelöf和两两weakly Lindelöf是两两半正则性质，而每一类两Lindelöf空间不是两两半正则性质.
A new class of spaces with all finite powers Lindelof
我们考虑一类新的开覆盖和由它们定义的空间类，称为“iota空间”。我们探讨了它们与ε-空间（即具有所有有限幂林德洛夫的空间）和可数网络权重的关系。一个例子的遗传ε-空间的平方不是遗传林德洛夫提供。
A weakly Lindelöf space which does not have the property $^*\mathcal{U}_{fin}(\mathcal{O},\mathcal{O})$
我们证明存在一个吉柯诺？弱Lindelöf空间不具有性质$^*\mathcal{U}_{fin}(\mathcal{O},\mathcal{O})$。这一结果回答了以下未决问题。[2]弱Lindelöf空间具有$^*\mathcal{U}_{1}(\mathcal{O},\mathcal{O})$性质吗？[3]有个叫Tychono的人吗？不具有$^*\mathcal{U}_{fin}(\mathcal{O},\mathcal{O})$性质的1-星Lindelöf空间？
On totally Lindelöf spaces
该数学研究解答了NOBLE 2019年的三个问题、部分解答ALSTER 1988年的问题，证明Alster空间均为完全Lindelöf空间并给出正则Alster空间新刻画，构造了非正则非Alster的完全Lindelöf空间，还证明存在非Frolik的Lindelöf P-空间。
Extension of fragmented Baire-one functions on Lindelöf spaces
研究了完全正则空间的Lindelöf子空间上的分片函数扩张的可能性，得到了分片Baire-one函数在完全正则超空间上可扩张的充要条件
On the cardinality of almost discretely Lindelof spaces
一个空间被称为“几乎离散Lindelöf”，如果每个离散子集都可以被Lindelöf子空间覆盖。Juhász、Tkachuk和Wilson提出了一个问题：是否每个几乎离散的Lindelöf第一可数T2空间都有基数至多连续统。我们证明了这是在$2^{<\mathfrak{c}}=\mathfrak{c}$（这是一个后果马丁的公理，例如）和Urysohn空间在ZFC的情况下，从而改进了Juhász，Soukup和Szentmiklóssy的结果。最后，我们提出一些相关的结果和问题。
Notes on the od-Lindelöf property
一个空间是od-compact的（或od-Lindelöf），只要开稠密集的任何覆盖都有有限（分别。countable）subcover.我们首先用简单的例子表明，这些属性在有限或可数的工会下表现得很差。然后，我们研究Lindelöfness，od-Lindelöfness和线性Lindelöfness之间的关系（以及与“紧”的类似关系）。特别证明了如果一个$T_1$空间是奇数-紧的，那么它的非孤立点的子集是紧的。如果一个$T_1$空间是od-Lindelöf空间，我们只得到它的非孤立点的子集是线性Lindelöf空间。然而，如果空间是局部开放的Lindelöf（即每个点都有一个开放的Lindelöf邻域），则Lindelöf性随之而来。
Monomorphisms in spaces with Lindelöf filters via some compact-open-like topologies on C(X)
本文研究了具有Lindelöf滤子的空间范畴LSpFi中的单态。我们推广了R.球和A。Hager在“Monomorphisms in Spaces with Lindelöf Filters”中，捷克语。Math.J. 57，No.1（2007）281-317。在此基础上，我们定义并研究了C（X）上的一些紧开类拓扑，并利用这些拓扑给出了LSpFi中单态映射的新刻画.
On Functorial Lindelöfifiability
本文证明拓扑空间具有函子性 Lindelöf 化当且仅当其实紧化为 Lindelöf，并引入函子性 P-化的显式构造，进而研究离散空间与序数空间上的函子性 κ-Lindelöf 化可能性。
Lindelöf scattered $W$-spaces are $σ$-compact
研究林德洛夫散射W - 空间，证明其为σ - 紧致，推广了相关定理并回答了问题。
First countable and almost discretely Lindelöf $T_3$ spaces have cardinality at most continuum
拓扑空间$X$称为几乎离散Lindelöf，如果每个离散集$D \subset X$都包含在$X$的Lindelöf子空间中.我们说空间$X$是{ \em $μ$ -sequential}，如果对于每个非闭集$A \subset X$，都有一个长度为$\le μ$的序列在$A$中收敛到不在$A$中的一个点.借助于一个涉及初等子模型的技术定理，我们建立了关于这类空间的以下两个结果。(1)对于几乎离散的Lindelöf $T_3$空间$X$，我们有$|X| \le 2^{χ(X)}$。(2)如果$X$是伪特征符$ψ(X) \le 2^μ$的$μ$ -顺序$T_2$空间，并且对于每个自由集$D \subset X$，我们有$L(\overline{D}) \le μ$，则$|X| \le 2^μ$。（1）的情况$χ(X) = ω$提供了问题4.5的解决方案。Juhász，V. Tkachuk，and R. Wilson，弱线性Lindelöf单调正规空间是Lindelöf”，而（2）的情形$μ= ω$是A. V. Archangel'skii和R.Z. Buzyakova，关于线性Lindelöf空间的一些性质。
On resolvability of Lindelöf generated spaces
本文研究了P-生成空间的性质（类比于紧生成空间）。证明了具有不可数色散特征的正则Lindelöf生成空间是可分解的。证明了Hausdorff遗传L-空间是István Juhász，Jan van Mill在（Variations on countable tightness，arXiv：1702.03714v1）中定义的L-紧空间。证明了具有不可数色散特征的正则L-紧空间的ω-可分解性。
A common extension of Lindelöf, H-closed and ccc
不等式$|X| \leq 2^{χ(X)}$已经被证明对Lindelöf空间（Arhangel'ski \u Schrit，1969）、$H$ -闭空间（Dow-Porter，1982）和ccc空间（Hajnal-Juász，1967）都是成立的，但证明的论据却完全不同。我们提出了一个共同的扩展所有这些属性，使我们能够给出一个统一的证明这三个定理。
The weight and Lindelöf property in spaces and topological groups
证明了若$Y$是Tychonoff空间$X$的稠密子空间，则有$w(X)\leq nw(Y)^{Nag(Y)}$，其中$Nag(Y)$是$Y$的Nagami数.特别地，如果$Y$是Lindelöf $Σ$ -空间，则$w(X)\leq nw(Y)^ω\leq nw(X)^ω$。给出了拓扑群的权的较好的上界。例如，如果一个拓扑群$H$包含一个稠密子群$G$，使得$G$是一个Lindelöf $Σ$ -空间，则$w(H)=w(G)\leq ψ(G)^ω$。此外，如果Lindelöf $Σ$ -空间$X$生成拓扑群$H$的稠密子群，则$w(H)\leq 2^{ψ(X)}$。建立了Hausdorff可分空间的子空间的若干事实。众所周知，可分Hausdorff空间$X$的权可以和$2^{2^{\mathfrak c}}$一样大，其中${\mathfrak c}=2^ω$ .我们一方面证明了如果正则Lindelöf $Σ$ -空间$Y$是可分Hausdorff空间的子空间，则$w(Y)\leq \mathfrak c$，同样的结论对Lindelöf $P$ -空间$Y$也成立.另一方面，给出了可数紧拓扑群$G$的一个例子，它与可分Hausdorff空间的一个子空间同胚，且满足$w(G)=2^{2^{\mathfrak c}}$，即具有最大可能权.
Cardinal Sequences of Lindelöf scattered P-spaces
该研究继续探究LLSP空间的基数序列，提出了从锥系统和特定偏序构造LLSP空间的方法，确定了其基数序列的限制，并给出了序列$\langle κ_α: α< ω_2 \rangle$作为LLSP空间基数序列的必要条件与充分条件。
Strongly discrete subsets with Lindelöf closures
本文引入 SDL 空间概念，研究其基数不变量，证明 SDL Urysohn 空间与 SDL P-空间的基数上界，并部分回答了 cellular-Lindelöf 空间的基数问题。
A 0-dimensional, Lindelöf space that is not strongly D
一个拓扑空间$X$是强$D$，如果对任何邻域分配$\{U_x:x\in X\}$，存在一个$D\subseteq X$使得$\{U_x:x\in D\}$覆盖$X$，并且$D$在由$\{U_x:x\in X\}$生成的拓扑中是局部有限的。我们证明了$\diamondsuit$蕴含着在$2^{ω_1}$中存在一个$HFC_w$空间（因此是0维的，Hausdorff和遗传Lindelöf），它不是强$D$。我们还证明了任何$HFC$空间$X$都是对偶离散的，如果可数集有Menger闭包，则$X$是$D$ -空间.
On the resolvability of Lindelöf-generated and (countable extent)-generated spaces
给定一个拓扑性质$P$，我们说空间$X$是$P$ -生成的，如果对于在$X$中不开的任何子集$A\subset X$，存在具有性质$P$的子空间$Y \subset X$，使得$A\cap Y$在$Y$中不开。(Of当然，在这个定义中，我们可以用“封闭”代替“开放”。本文证明了以下两个结果：（1）满足$|X|=Δ(X)=ω_1$的Lindelöf生成正则空间$X$是$ω_1$ -可分解的. (2)任何满足$Δ(X)>ω$的（可数范围）生成的正则空间$X$是$ω$ -可分解的.这些是我们早期的结果[JSSz]的显着加强，可以从（1）和（2）通过简单地省略“生成”的部分。此外，第二个结果改进了Filatova和Osipov在[FO]中的一个最近结果，即Lindelöf生成的具有不可数色散特征的正则空间是2-可分解的。[FO]玛丽亚·A Filatova，Alexander V. Osipov关于Lindelöf生成空间的可分解性，arxiv：1712.00803。Siberian Electronic Mathematical Reports，Vol. 14，（2017）pp. 1444-1444. [JSSz] Juhász，István; Soukup，Lajos; Szentmiklóssy，Zoltán，小范围的正则空间是$ω$ -可分解的。Fund.Math.228（2015…
First-countable Lindelöf scattered spaces
我们研究一类第一可数Lindelöf散射空间，或“FLS”空间。虽然每个$T_3$ FLS空间都同胚于$\mathbb Q$的一个离散子空间，但$T_2$ FLS空间类却非常丰富。我们对这些空间的研究揭示了它们与$Q$ -集、Lusin集及其相关集以及基数$\mathfrak{b}$和$\mathfrak{d}$的密切联系。许多关于FLS空间的自然问题都与$\mathsf{ZFC}$无关。证明了存在不可数的具有离散高度$ω$的FLS空间。另一方面，具有有限散射高度的不可数FLS空间存在当且仅当$\mathfrak{b} = \aleph_1$。我们证明了一些独立的结果，关于可能的基数的FLS空间，以及关于什么序数可以是分散的高度的FLS空间。包括几个开放的问题。
On productively Lindelöf spaces
使得它们与每个Lindelöf空间的乘积都是Lindelöf的空间类还没有很好的理解。主要在连续统假设的前提下，证明了关于这类具有某些额外性质的可积Lindelöf空间的一些新结果.
Consistency and independence phenomena involving cellular-Lindelof spaces
本研究构造一致性例子解答了关于cellular-Lindelöf空间的两个公开问题，并给出一个ZFC例子说明空间的cellular-Lindelöf性质与正规性在ZFC中不可判定。
$C$-embedding, Lindelöfness, and Čech-completeness
本文研究了 Lindelöf Čech-完备空间中 $C$-嵌入的性质，给出其有用刻画，并证明 $C$-嵌入在乘积和完全原像下保持，同时说明两个条件缺一不可。
Spaces having a small diagonal
我们得到了几个结果和例子有关的一般问题"当必须有一个小对角线的空间有一个G_δ-对角线？".特别地，我们证明了：（1）每一个具有小对角线的紧致度量化纤维空间都是可度量化的;（2）正则Lindelof空间有相容的例子（3）每个具有小对角线的第一可数遗传Lindelof空间都有一个G_δ-对角线;（4）假设CH，每个具有小对角线的Lindelof Sigma-空间都有一个可数网络;（5）具有小对角线的列紧空间是否可度量化取决于你的集合论;（6）存在一个具有小对角线但没有G_delta对角线的局部紧空间。
Cardinality bounds involving the skew-$λ$ Lindelöf degree and its variants
我们引入了一个修改后的关闭参数，结果在几个改进的界限的基数的Hausdorff和Urysohn空间。这些界限涉及基数不变量$skL(X,λ)$，空间$X$的斜- $λ$ Lindelöf度，其中$λ$是基数。$skL(X,λ)$是Lindelöf度的弱化，定义为最小基数$κ$，使得如果$\mathcal{U}$是$X$的开覆盖，则存在$\mathcal{V}\in [\mathcal{U}]^{\leqκ}$，使得$|X\backslash\cup\mathcal{V}|<λ$。我们证明了如果$X$是Hausdorff，那么$|X|\leq 2^{skL(X,λ)t(X)ψ(X)}$，其中$λ= 2^{t(X)ψ(X)}$ .这改进了Hausdorff空间$X$的基数的著名Arhangel'skiii- Šapirovskii界$2^{L(X)t(X)ψ(X)}$。我们还定义了$skL(X,λ)$的几种变体，建立了其他相关的基数界限，并提供了示例。
More on Cardinality Bounds Involving the Weak Lindelöf degree
给出了涉及弱Lindelöf度$wL(X)$的Hausdorff拓扑空间$X$的基数的几个新的界.特别是，我们表明，如果$X$是极端断开，然后$|X|\leq 2^{wL(X)πχ(X)ψ(X)}$，如果$X$是另外的权力均匀，然后$|X|\leq 2^{wL(X)πχ(X)}$。我们还证明了：如果$X$是一个几乎Lindelöf空间，它具有秩为2的强$G_δ$ -对角，则有$|X|\leq 2^{\aleph_0}$ ;如果$X$是一个星-cdc空间，它具有秩为3的$G_δ$ -对角，则有$|X| \le 2^{\aleph_0}$ ;如果$X$是一个正规的星-cdc空间，它具有秩为2的$G_δ$ -对角，则有$|X|\leq 2^{\aleph_0}$ .文[9]中的结果也得到了改进。我们表明，如果$X$是局部紧，然后$|X|\leq wL(X)^{ψ(X)}$和$|X|\leq wL(X)^{t(X)}$，如果$X$是额外的权力均匀。我们还证明了，$|X|\leq 2^{ψ_c(X)t(X)wL(X)}$的任何空间与$π$ -基的元素有紧闭包和更强的不等式$|X|\leq wL(X)^{ψ_c(X)t(X)}$是真的，当$X$是局部$H$ -封闭或局部Lindelöf。
Preserving the Lindelöf property under forcing extensions
研究了拓扑空间在力迫扩张下Lindelöf性质的保持性。给出了一个力迫概念保持Lindelöf性质的几个加强的充分条件，如Lindelöf性质的不可破坏性、Rothberger性质和Lindelöf P-空间.
Free sequences and the tightness of pseudoradial spaces
设$F(X)$是$X$中自由序列基数的上确界。证明了Lindelöf-Hausdorff几乎径向空间$X$的径向特征和T2空间几乎径向空间$X$的集紧性总是由$F(X)$上有界.通过对Bella问题的求解，证明了Hausdorff径向空间$X$的径向特征严格大于$F(X)$ .然后改进了Dow，Juhász，Soukup，Szentmiklóssy和Weiss的一个结果，证明了如果$X$是Lindelöf T2空间，且$X_δ$表示$X$上的$G_δ$拓扑，则$t(X_δ) \leq 2^{t(X)}$ .最后，我们利用这一点证明了如果$X$是Lindelöf Hausdorff伪径向空间，则$F(X_δ) \leq 2^{F(X)}$，这部分地回答了Bella和我们自己的一个问题。
Productively Lindelöf spaces and the covering property of Hurewicz
我们证明了在一定的集合论假设下，每个生产Lindelöf空间具有Hurewicz覆盖性质，从而改进了Aurichi和Tall的一些早期结果。
Lindelöf-type properties of spaces of Baire-one functions
本文研究逐点收敛拓扑下 Baire 一函数空间的 Lindelöf 型性质，探讨其正规性、外延性与实紧性，证明遗传 Baire 及 Polish 可分可度量化空间和 Luzin 集上实紧性成立，回答 Teng 的两个问题并提出开放问题。
Measurable cardinals and the cardinality of Lindelöf spaces
如果存在一个可测基数是相容的，那么所有点g-δ Rothberger空间都有“小”基数也是相容的。
Products of Lindelöf spaces with points $G_δ$
证明了若CH成立且（i）存在$ω_1$树，或（ii）$\square(ω_2)$成立，则存在正则$T_1$ Lindelöf空间$X_0$和$X_1$，其点$G_δ$使得$e(X_0 \times X_1)>2^ω$ .
Lindelof indestructibility, topological games and selection principles
Arhangel'skii证明了如果第一个可数T2空间是Lindelöf，那么它的基数至多是$2^{\aleph_0}$。在点为${\sf G}_δ$的更大类空间中，Lindelöf空间的这种干净上界更难找到。在本文中，我们继续在F.D.开始的议程。Tall，On the cardinality of Lindelöf spaces with points $G_δ$，Topology and its Applications 63（1995），21 - 38，of considering the cardinality problem for spaces satisfying stronger versions of the Lindelöf property.无限对策和选择原理，特别是Rothberger性质，是我们研究的重要工具
On some classes of Lindelöf Sigma-spaces
我们考虑Lindelöf Sigma-空间类的特殊子类，通过对允许可数网络的紧覆盖的元素的权重施加限制而得到：一个空间$X$在$LΣ(\leqκ)$类中，如果它允许权为$κ$的紧子空间的覆盖和覆盖的可数网络。我们只关注$κ\leqω$。在$κ=ω$的情况下，该类包括Tkachuk考虑的度量化纤维空间类和Tkacenko考虑的$P$ -可逼近空间。情况$κ=1$对应于可数网络权重的空间，但即使是情况$κ=2$也会产生一类非平凡的空间。已知类的紧空间，这些类的关系被认为是。证明了不是每个权为$\aleph_1$的Corson紧都在类$LΣ(\leq ω)$中，回答了Tkachuk的一个问题.同时，我们研究了$LΣ(\leqω)$中的某些紧致空间是否有稠密可度量化的子空间，部分回答了Tkacenko的一个问题。其他有趣的结果和例子，我们得出结论的文件与一些开放的问题。
Cardinalities of weakly Lindelöf spaces with regular $G_κ$-diagonals
对于Urysohn空间$X$，我们定义$X$的正则对角度$\overlineΔ(X)$为最小无限基数$κ$，使得$X$具有正则$G_κ$ -对角，即在$X^2$中存在$Δ_X=\{(x,x)\in X^2:x\in X\}$的开邻域族$(U_η:η<κ)$，使得$Δ_X = \bigcap_{η<κ} \overline{U}_η$ .本文证明了若$X$是Urysohn空间，则：（1）$|X|\leq 2^{c(X)\cdot\overlineΔ(X)}$ ;（2）$|X|\leq 2^{\overlineΔ(X)\cdot 2^{wL(X)}}$ ;（3）$|X|\le wL(X)^{\overlineΔ(X)\cdotχ(X)}$;（4）$|X|\le aL(X)^{\overlineΔ(X)}$ ;其中$χ(X)$，$c(X)$，$wL(X)$和$aL(X)$分别是$X$的特征标，胞腔数，弱Lindelöf数和几乎Lindelöf数.第一个不等式扩展到不可数情况Buzyakova的结果，即具有正则$G_δ$ -对角线的ccc-空间的基数不超过$2^ω$。从（2）可以得出，每个具有正则$G_δ$ -对角的弱Lindelöf空间的基数至多为$2^{2^ω}$。不等式（3）意味着当$X$是具有规则$G_δ$ -对角线的空间时，则$|X|\le wL(X)^{χ(X)}$。这对于具有…
$G_δ$-topology and compact cardinals
对于拓扑空间$X$，设$X_δ$是具有$X$的$G_δ$ -拓扑的空间$X$。对于不可数基数$κ$，证明了以下等价性：（1）$κ$是$ω_1$ -强紧的. (2)对于每个紧Hausdorff空间$X$，$X_δ$的Lindelöf度是$\le κ$。(3)对于每个紧Hausdorff空间$X$，$X_δ$的弱Lindelöf度是$\le κ$。这表明最小$ω_1$ -强紧基数是具有$G_δ$ -拓扑的紧Hausdorff空间的Lindelöf度和弱Lindelöf度的上确界。证明了最小可测基数是具有$G_δ$ -拓扑的紧Hausdorff空间的上确界。对于Lindelöf空间的平方，利用弱$G_δ$ -拓扑，证明了以下结论是一致的：（1）最小$ω_1$ -强紧基数是正则$T_1$ Lindelöf空间平方的（弱）Lindelöf度的上确界. (2)最小可测基数是正则$T_1$ Lindelöf空间的平方延拓的上确界。
Regular spaces of small extent are omega-resolvable
我们改进了Pavlov和Filatova关于Malychin问题的一些结果，证明了满足Delta（X）>ext（X）的每个正则空间X都是ω-可分解的.这里Delta（X）是X的分散特征，是X中非空开集的最小尺寸，ext（X）是X的范围，是X的所有闭离散子集尺寸的上确界。特别地，具有不可数色散特征的正则Lindelöf空间是ω-可分解的。我们还证明了任意正则Lindelöf空间X满足|X| =Δ（X）=omega_1是偶omega_1-可分解的.具有不可数色散特征的正则Lindelöf空间是否最大可解的问题仍然是一个悬而未决的问题。
P-spaces and the Whyburn property
本文研究了开集的可数交都是开集的$P$ -空间类中的Whyburn性质和弱Whyburn性质。我们构造了大小连续的非弱Whyburn $P$ -空间的例子，从而在CH下对Pelant，Tkachenko，Tkachuk和Wilson的一个问题给出了否定的回答.此外，我们证明了弱Kurepa假设（一个比CH弱的集合论假设）意味着存在一个大小为$\aleph_2$的非弱Whyburn $P$ -空间。最后，我们考虑了上述性质在乘积下的行为;我们特别证明了Lindelöf弱Whyburn P-空间和Lindelöf Whyburn $P$ -空间的乘积是弱Whyburn，并给出了两个Lindelöf Whyburn $P$ -空间的非Whyburn乘积的相容例子。
Square-to-Cube Lindelöfness and Power Separations in Hattori Spaces
本文在 ZFC 中证明 Hattori 空间平方的 Lindelöf 性质蕴含立方的 Lindelöf 性质，并给出有限幂的判据及一个超限构造，展示四次幂可含基数为连续统的闭离散仿射线。
Resolvability and complete accumulation points
我们证明：I.对于每个正则Lindelöf空间$X$，如果$|X|=Δ(X)$和$\mathrm{cf}|X|\neω$，则$X$是最大可分解的; II.对每个正则列紧空间$X$，如果$|X|=Δ(X)$和$\mathrm{cf}|X|=ω$，则$X$是极大可分解的.这里$Δ(X)$，$X$的分散特征，是$X$的非空开子集的最小基数。陈述I和II是主要结果的推论：对于每个正则空间$X$，如果$|X|=Δ(X)$和每个基数集合$A\subseteq X$ $\mathrm{cf}|X|$有一个完全聚点，则$X$是最大可解的。此外，这里的正则性可以减弱为$π$ -正则性，Lindelöf性质可以减弱为线性Lindelöf性质。
Eventually Constant and stagnating functions in non-Lindelöf spaces
研究非林德洛夫空间中函数性质，引入推广林德洛夫性的四个性质$\mathsf{P}(X,Y)$，研究其与其他拓扑性质关系，给出如特定树子空间、流形等相关结果示例，部分结果是对前人工作的重新表述。
Reflecting Lindelöf and converging omega_1-sequences
本文讨论了紧致T2空间的一个约束二分法：每个空间包含一个非平凡收敛的ω-序列或一个非平凡收敛的ω_1-序列.我们建立了这种二分法在各种模型中成立，这些模型包括科恩模型，随机实模型和任何模型从CH模型通过迭代的属性K偏序集。事实上，在这些模型中，每一个不含非平凡收敛ω_1-序列的紧致T2空间都是第一可数的，并且有许多aleph_1-sized Lindelöf子空间。作为推论，我们发现在这些模型中，所有具有小对角线的紧致T2空间都是可度量化的。
Constructions of Lindelöf scattered P-spaces
在不同的集合论假设下，我们构造了具有指定宽度和高度的局部Lindelöf散射P-空间（简称LLSP空间）。证明了存在一个宽度为$ω_1$、高度为$ω_2$的LLSP空间，并且证明了存在一个宽度为$ω_1$、高度为$ω_3$的LLSP空间与ZFC是相对一致的.此外，我们证明了一个步进定理，对于每个基数$λ\geq ω_2$，允许我们从一个LLSP空间的宽度$ω_1$和高度$λ$满足某些附加性质的LLSP空间的宽度$ω_1$和高度$α$的每个序数$α< λ^+$。作为上述结果的推论，我们得到了如下定理：（1）对于每个序数$α< ω_3$，存在一个具有宽度$ω_1$和高度$α$的LLSP空间. (2)对于每个序数$α< ω_4$，存在一个宽度为$ω_1$、高度为$α$的LLSP空间，这与ZFC是相对一致的。
Totally paracompact spaces and the Menger covering property
针对正则Lindelöf空间中全仿紧性与Menger覆盖性质是否等价的问题，研究证明二者在实数集上的Lindelöf GO-空间中等价，给出正则Menger空间全仿紧的博弈论证明，还在𝔟=ω₁条件下强化了Michael的相关经典结论。
On cardinality bounds involving the weak Lindelöf degree
我们在定理2.1中给出了一个一般的封闭论证，由此得出几个推论，包括（1）如果$X$是局部紧的Hausdorff空间，则$|X|\leq 2^{wL(X)ψ(X)}$，（2）如果$X$是局部紧的幂齐次Hausdorff空间，则$|X|\leq 2^{wL(X)t(X)}$。第一个扩展了著名的基数界$2^{ψ(X)}$紧$X$在一个新的方向。作为正规空间$X$ [3]的$|X|\leq 2^{wL(X)χ(X)}$，这扩大了已知的Tychonoff空间类，该界对其成立。在2.10中，我们给出了（1）的一个不使用2.1的简短而直接的证明。然而，2.1足够广泛，可以建立比（1）更一般的结果，例如如果$X$是具有基于$π$的$\scr{B}$的正则空间，使得对于所有$B\in\scr{B}$，$|B|\leq 2^{wL(X)χ(X)}$，则$|X|\leq 2^{wL(X)χ(X)}$。另外，证明了若$X$是具有$π$ -基的正则空间，其元素具有紧闭包，则$|X|\leq 2^{wL(X)ψ(X)t(X)}$ .这部分回答了[3]中的一个问题，并给出了（1）的第三个单独的证明。我们还证明了如果$X$是弱Lindelöf正规序列空间，且有$χ(X)\leq 2^{\aleph_0}$，则$|X|\leq 2^{\aleph_0}$ .上述结果（2）是幂齐次紧$X$（Arhangel'skii…
Characterizations of quotient spaces for Lindelöf strongly topological gyrogroups
研究林德洛夫强拓扑回旋群商空间的特征，证明了若\(G\in\mathscr{L}\)是强拓扑回旋群则\(G\)值域可度量化，还得出\(G/H\)中紧致\(G_\delta\)集是杜根吉的等结论，将拓扑群经典结果扩展到强拓扑回旋群。
Some results on separate and joint continuity
设$f: X\times K\to \mathbb R$是一个独立连续的函数，而$\mathcal C$是$K$的子集的可数集合。在Calbrix和Troallic的结果之后，存在点的剩余集合$x\in X$，使得$f$在$\{x\}\times Q$的每个点处联合连续，其中$Q$是$y\in K$的集合，对于该集合，集合$\mathcal C$包括$K$中的邻域的基础。Moors和Kenderov最近将因子$K$是第二可数的特殊情况扩展到任何Čech完备的Lindelöf空间$K$和Lindelöf $α$ -有利的$X$，改进了Talagrand得到的Namioka定理的推广。Moors证明了当$K$是Lindelöf $p$ -空间且$X$是条件$σ$ - $α$ -有利空间时的相同结果。在这里，我们添加新的结果时，这种因素$X$是$σ_{C(X)}$ - $β$ -defavorable和当假设“基地的邻里”在Calbrix-Troallic的结果被替换为一种类型的可数完备性。本文还提供了有关Namioka空间类的进一步信息。
Star-covering properties: generalized $Ψ$-spaces, countability conditions, reflection
研究了类$Ψ$空间的星覆盖性质。证明了星Lindelöfness是开逆紧映射的反映。此外，我们提供了一个新的等价CH。
A note on D-spaces
我们引入了近好关系和N-粘模关系的概念，作为证明空间是D-空间的工具。作为关于这种关系的一般结果的推论，我们证明了当X是Lindelöf空间时，C_p（X）是遗传的D-空间.这回答了Matveev的一个问题，改进了Buzyakova的一个结果，他证明了X紧的相同结果。我们还证明了如果空间X是n个D-空间的并，且具有可数范围，则X是线性Lindelöf。由此推论，如果X是加法可数紧的，则X必定是紧的。我们还证明了Corson紧空间是遗传D-空间。这最后两个结果回答了最近的问题Arhangel'skii。最后，我们回答了van Douwen的一个问题，证明了R. Pol是一个D空间。
Some remarks on selectively star-ccc spaces
本文统一并推广了选择性星-ccc相关概念，通过建立链条件、选择性星-ccc与星-Lindelöf性质之间的联系，回答了Xuan-Song问题4.10和Bal问题4.4，并举例区分这些性质。
Absolute $F_{σδ}$ spaces
证明了在某些紧化下为$F_{σδ}$的遗传Lindelöf空间绝对为$F_{σδ}$ .特别地，这意味着任何可分的巴拿赫空间在具有弱拓扑时绝对是$F_{σδ}$。
Some examples concerning $LΣ(\leqω)$ and metrizably fibered compacta
本文通过构造反例回答了紧$LΣ(\leqω)$-空间的若干公开问题，并反驳了Kubiś等人的猜想，同时揭示了第一可数$(K)LΣ(\leqω)$-紧空间的结构。
On the Menger covering property and $D$-spaces
本文的主要结果是：每个大小为$ω_1$的次仿紧空间$X$都是$D$ -空间是相容的;如果存在Michael空间，则所有的乘积Lindelöf空间都具有Menger性质，因此是$D$ -空间;每个允许$σ$ -局部有限Lindelöf空间覆盖的局部$D$ -空间是$D$ -空间。
Generic left-separated spaces and calibers
我们使用一个自然的强制构造一个左分离拓扑上的任意基数kappa。由此得到的左分离空间X_kappa也是0维T_2、遗传Lindelof和可数紧的。此外，如果kappa是正则的，则d（X_kappa）= kappa，因此kappa不是X_kappa的口径，而所有其他不可数的正则基数都是。证明了对不可数正则基数的可数集合A，存在遗传LindelofT_3空间X，使得当rho不在A中时，rho=cf（rho）>omega恰好是X的口径。
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