A partial classification of type I singularities of the mean curvature flow in high codimension
Charles Baker
本文的目的是研究在任意余维子流形的中曲率流中形成的I型奇点的可能形状，假设初始子流形满足特定的曲率拼挤条件。
The purpose of this article is to examine the possible shapes of type I singularities that form in the mean curvature flow of submanifolds of arbitrary codimension, assuming that the initial submanifold satisfies a particular curvature pinching condition.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Criteria for codimension two singularities of surfaces and their applications
本文建立曲面余维不超过二奇点的简明判据，并将其用于刻画直纹曲面与欧氏空间中曲面中心映射的余维二奇点条件。
Singularities of codimension two mean curvature flow of symplectic surfaces
证明了紧致Kaehler-Einstein曲面中紧致辛曲面的中曲率流在第一爆破时刻的切锥由$R^4$中两个以上2-平面的有限并组成，这些2-平面在$R^4$上具有复结构.
Curvature estimates of ancient solutions to the mean curvature flow of higher codimension with convex Gauss image
本文通过进行精细的曲率估计，在各种高斯像限制条件下，证明了高余维平均曲率流完备非紧古老解的更好刚性定理。
The objet of this paper is the study of variations of a functional whose integrant is the $σ_u$-curvature of closed submanifolds of arbitrary codimension in Riemannian manifolds.
Curvature estimates for minimal submanifolds of higher codimension
利用Gauss映射给出了欧几里得空间中任意维数和余维数的极小子流形的曲率估计.从而将Schoen-Simon-Yau的结果和Ecker-Huisken的结果推广到更高余维的情形。这样我们改进了Bernstein型定理的Hildebrandt-Jost-Widman结果。
Curvature Decay Estimates of Graphical Mean Curvature Flow in Higher Codimensions
我们推导出高余维下图形中曲率流的点态曲率估计。据我们所知，这是第一个这样的估计，而不假设小的一阶导数的定义地图。一个直接应用是平坦黎曼曲面间面积递减映射的图的中曲率流的收敛定理。
A Gap Theorem for Self-shrinkers of the Mean Curvature Flow in Arbitrary Codimension
本文证明了任意余维下具有$|A|^2\le 1$的中曲率流的自收缩子的分类定理。特别是，这意味着一个间隙定理的自收缩在任意余维。
Mean Curvature Flow of Higher Codimension in Hyperbolic Spaces
本文研究了空间型中任意余维的闭子流形的中曲率流的收敛性。特别地，我们证明了中曲率流使双曲空间形式中满足pinching条件的闭子流形在有限时间内变形为一个圆点。
A rigidity theorem of ancient solutions to the mean curvature flow in codimension one
该研究针对余维一平均曲率流的完备非紧古代解，通过对第二基本形式做逐点估计，证明了相关刚性定理，并推导得到最优增长条件。
Codimension 2 drawstrings with scalar curvature lower bounds
本研究构造了具有标量曲率下界、沿余维2子流形坍缩的黎曼流形新实例，并将其应用于Llarull定理、正质量定理等标量曲率刚性现象的稳定性问题研究。
Extrinsic curvatures of distributions of arbitrary codimension
本文利用广义Newton变换，定义了任意余维分布的高阶中曲率，并证明了它们与Brito和Naveira（Ann.GlobalAnal. 18，371-383（2000））。我们还介绍了高阶平均曲率向量场，我们计算他们的发散某些分布，并使用此我们获得总的外在中曲率。
Mean curvature flow in higher codimension - Introduction and survey
在本文中，我们概述了中曲率流的主要技术，概念和结果，重点是高余维。此外，我们包括一些新的结果和一些材料，不能在其他地方找到。
Curvature estimates for minimal submanifolds of higher codimension and small G-rank
在高斯映射秩不超过2的条件下，得到了$\ir{n+m},\, m\ge 2$中极小$n-$子流形的新的曲率估计和Bernstein型结果。特别地，这适用于任意余维的欧几里得空间中的极小曲面。
Mean curvature flow of higher codimension in Riemannian manifolds
研究了有界几何黎曼流形中任意余维中曲率流的收敛性。证明了如果初始子流形满足一个拼挤条件，则该子流形沿中曲率流在有限时间内光滑收缩到一个圆点。由此得到了黎曼流形中子流形的一个可微球面定理。
In this paper, we investigate Liu-Xu-Ye-Zhao's conjecture [30] and prove a sharp convergence theorem for the mean curvature flow of arbitrary codimension in spheres which improves the convergence theorem of Baker [2] as well as the differentiable sphere theorems of Gu-Xu-Zhao [16, 50, 52].
High codimension mean curvature flow of spacelike-convex submanifolds with one spacelike codimension
研究伪欧氏空间中高码维类空子流形的平均曲率流，证明初始紧致类空凸子流形在流下曲率收缩和非坍缩量保持，并证明Huisken和Gage-Hamilton定理的类比结果。
We consider the evolution by mean curvature of smooth $n$-dimensional submanifolds in $\mathbb{R}^{n+k}$ which are compact and quadratically pinched. We will be primarily interested in flows of high codimension, the case $k\geq 2$. We prove that our submanifold is asymptotically convex, that is the first eigenvalue of the second fundamental form in the principal mean curvature direction blows up at a strictly slower rate than the mean curvature vector. We use this convexity estimate to show that at a singular time of the flow, there exists a rescaling that converges to a smooth codimension-one…
Mean curvature flow of arbitrary codimension in complex projective spaces
本文研究了$\mathbb{C}\mathbb{P}^m$中任意余维子流形的中曲率流。证明了当初始子流形满足一个Pinching条件时，中曲率流在有限时间内收敛到一个圆点，或收敛到一个全测地子流形（如$t \rightarrow \infty$）.从而得到了$\mathbb{C}\mathbb{P}^m$中子流形的一个新的可微球面定理。本文改进了Pipoli和Sinestrari { \cite{PiSi2015} }关于中曲率流的收敛定理.
Gaussian curvature in codimension > 1
高斯曲率$K$是高斯在曲面嵌入$\mathbb{R}^3$的情况下发现的基本几何量。人们可以很自然地把高斯曲率的定义推广到$\mathbb{R}^k$的任意子流形上，从而使得$K$的外在解释，极大定理和高斯-邦纳定理仍然成立。我们对这些经典事实作了简明的阐述。
An Optimal Convergence Theorem for Mean Curvature Flow of Arbitrary Codimension in Hyperbolic Spaces
本文证明了：如果$n(\ge6)$维的初始子流形$M_0$满足一个最优拼挤条件，则双曲空间中任意余维的中曲率流在有限时间内收敛于一个圆点.特别地，我们得到了双曲空间中子流形的最优可微球面定理。需要强调的是，我们的拼挤条件意味着初始子流形的里奇曲率为正，但并不意味着$M_0$的截面曲率为正。
Self-shrinkers of the mean curvature flow in arbitrary codimension
对于维数大于1的超曲面，Huisken证明了具有正标量中曲率的中曲率流的紧致自收缩体是球面。我们将证明以下扩展：一个紧致的自相似的解决方案在任意余维和维数大于1是球形的，即包含在一个球，当且仅当中曲率向量\be H \ee是非零的和主法线\be ν \ee是平行的正常丛。我们还给出了这类完全非紧自收缩子的一个分类。
In dimensions $n \geq 5$, we prove a canonical neighborhood theorem for the mean curvature flow of compact $n$-dimensional submanifolds in $\mathbb{R}^N$ satisfying a pinching condition $|A|^2 < c|H|^2$ for $c = \min \{ \frac{3(n+1)}{2n(n+2)},\frac{1}{n-2}\}.$
Lectures on mean curvature flows in higher codimensions
超曲面的中曲率流已被广泛研究，有各种不同的方法和许多漂亮的结果。然而，相对知之甚少的中曲率流的子流形的高余维。本文从子流形几何的一些基本知识开始，介绍了一般维数和余维数下的中曲率流。文中还讨论了所谓的“爆破”分析中的有关技术。最后给出了四维环境空间中二维曲面的中曲率流的整体存在性和收敛性结果。
Pinched Ancient Solutions to the High Codimension Mean Curvature Flow
我们研究的解决方案，高余维中曲率流定义为所有的负时间，通常被称为古代的解决方案。证明了任何满足一定自然拼挤条件的第二基本型紧古解必是一族收缩球。Andrews和Baker证明了满足这个捏挤条件的初始子流形，它推广了凸性的概念，在流下收敛到圆点。作为一个应用，我们利用所得结果简化了它们的证明。
Submanifolds of codimension two attaining equality in an extrinsic inequality
我们提供了一个参数的建设方面的极小曲面的余维2和任意维的欧几里德子流形，达到平等的一个不等式，由于De Smet，Dillen，Verstraelen和Vrancken。后者涉及到数量曲率、法曲率张量的范数和中曲率向量的长度。
Entropy and codimension bounds for generic singularities
我们发现，所有封闭的$2$维奇异性较高的余维中曲率流，不能被扰动了有一致的熵界，并在一个线性子空间的小尺寸。对于某个普适常数$C$和亏格$γ$，子空间的熵和维度都是$\leq C\,(1+γ)$。这是第一个一般的界限一般奇点任意余维。
The mean curvature flow of submanifolds of high codimension
从偏微分方程的角度对中曲率流的研究始于Gerhard Huisken于1984年的开创性工作。从那时起，超曲面的中曲率流一直是一个活跃的研究领域。虽然Huisken的开创性文件现在刚刚超过25岁，研究的中曲率流动的子流形较高的余维最近才开始受到重视。子流形的中曲率流是本论文的主要研究对象，我们得到的中心结果可以看作是早期超曲面定理的高余维类似。结果Huisken的1984年的论文大致说，凸超曲面的发展下的中曲率流，以轮点在有限的时间。这里我们得到了这样的结果：如果第第二基本型的长度与中曲率向量的长度之比有界（由某个依赖于维数而不是余维数的显式常数），则子流形将在有限时间内在中曲率流下演化到一个圆点。我们调查的演变在平坦和弯曲的背景，并探讨了奇异行为的流量接近第一奇异时间。
New Developments in Mean Curvature Flow of Arbitrary Codimension Inspired By Yau Rigidity Theory
本文主要讨论了平均曲率流理论与球面定理，并讨论了由子流形的Yau刚性理论启发的任意余维中曲率流收敛定理的最新进展。作为中曲率流收敛定理的结果，得到了子流形的几个新的可微球面定理。需要强调的是，定理4.1是任意余维中曲率流的最优收敛定理，它隐含了具有正里奇曲率的子流形的第一最优可微球面定理。最后，我们列出了这一领域尚未解决的问题。
Construction of High Codimension Ancient Mean Curvature Flows
在高余维欧几里得空间中构造了一类中曲率流的紧致古解。特别地，我们构造了更高的余维古曲线缩短流。此外，我们还刻画了这些解的渐近性态。补充说明：本文中的结构是由AltscheldD发现的。阿尔茨切什-吴先，[AAAW 13]。
Spacelike Submanifolds of Codimension Two with Parallel Mean Curvature Vector Field in Lorentz-Minkowski Spacetime Contained in the Light Cone
该研究针对洛伦兹-闵可夫斯基时空中余维二、具平行平均曲率向量场的紧致类空子流形建立积分不等式，推导出刚性结论，完整刻画了光锥内这类子流形必为类空超平面中的全脐球面。
Singularities of low entropy high codimension curve shortening flow
本文研究欧氏背景下任意余维的曲线缩短流，证明其在奇点附近渐近平面并分析爆破极限，进而得出具有熵界的初始曲线在有限时间内收敛至圆点。
Singularity models of pinched solutions of mean curvature flow in higher codimension
我们认为古老的解决方案，中曲率流$\mathbb{R}^{n+1}$（$n \geq 3$）是弱凸，一致二凸，并满足导数估计$|\nabla A| \leq γ_1 |H|^2, |\nabla^2 A| \leq γ_2 |H|^3$。我们证明了这样的解决方案是noncollapsed。作为应用，在任意余维下，我们考虑了$\mathbb{R}^N$中中曲率流的紧致$n$维（$n \geq 5$）解，该解满足夹挤条件$|H| > 0$和$|A|^2 < c(n) |H|^2$，$c(n) = \min\{\frac{1}{n-2}, \frac{3(n+1)}{2n(n+2)}\}$ .我们得出结论，任何爆破模型在第一奇异时刻必须是余维为1的收缩球、收缩柱或平移碗孤子。
$\mathcal{F}$-stability for self-shrinking solutions to mean curvature flow
本文给出了任意余维下中曲率流自收缩解的$\mathcal{F}$稳定性的概念。然后给出了任意余维下的$\mathcal{F}$ -稳定自收缩子的分类，在余维情形下，我们的结果退化为Colding-Minicozzi的结果.
High Codimension Mean Curvature Flow in the Complex Projective Space
本文研究复射影空间中高余维紧致子流形的平均曲率流，在二次夹紧条件下建立余维估计，证明奇异时刻重缩放收敛到光滑余维一极限流，并推广了Pipoli和Sinestrari的工作。
High Codimension Mean Curvature Flow with Surgery
本文提出了一种高余维数平均曲率流的手术方法，通过二次2-凸性条件实现对奇点的拓扑控制，并获得了子流形的精确分类。
Curvature property on Hermitian Lie algebras with abelian ideals of codimension two
本文研究含余维二交换理想的单模Hermitian李代数，证明常Chern全纯截面曲率蕴含Chern平坦，且其他典范联络的常全纯截面曲率导致Kähler平坦及商代数的交换性。
Structure of two-dimensional mod$(q)$ area-minimizing currents near flat singularities: the codimension one case
本文研究余维数一的二维模$(q)$面积最小化电流在平坦奇点附近的结构，证明其为径向齐次特殊多值函数图像的$C^{1,\alpha}$扰动，并初步证明密度$q/2$的平坦奇点为孤立点。
Integral formulae for codimension-one foliated Randers spaces
叶化黎曼流形的积分公式为叶化流形或具有给定几何性质的紧叶的存在性提供了障碍。本文继续了我们最近的研究，给出了余维1叶化Randers空间的新的积分公式及其应用。目标是推广Reeb公式（叶片的总中曲率为零）及其同伴（叶片的总第二中曲率的两倍等于法向方向的总里奇曲率）。我们还推广了Brito，Langevin和Rosenberg的结果（即余维1的常曲率的叶状黎曼流形的任意阶的总中曲率不依赖于叶状）.所有这些都是通过比较两个黎曼结构的外在和内在曲率来完成的，这两个黎曼结构是以自然的方式从给定的Randers结构中产生的。
Deforming submanifolds of arbitrary codimension in a sphere
本文证明了单位球面$\mathbb{S}^{n+d}$中闭子流形的中曲率流在积分曲率条件下的几个收敛定理。作为结果，我们得到了$\mathbb{S}^{n+d}$中某些子流形的几个可微球面定理。
Mean curvature flow via convex functions on Grassmannian manifolds
利用Grassmannian流形上的凸函数，我们可以对高余维的中曲率流进行内估计.这样，Ecker-Huisken的一些结果可以推广到更高余维的情形
Boundary regularity for mean curvature flows of higher codimension
该研究针对带任意余维边界的图形式平均曲率流，推导解梯度的Hölder范数全局界，为高余维平均曲率流的边界正则性分析提供了关键结果。
Sharp Interior Gradient Estimate for Area Decreasing Graphical Mean Curvature Flow in Arbitrary Codimension
本文在任意余维情形下证明了面积递减图形式平均曲率流的锐利内部梯度估计，推广了已有结果。
Positive Scalar Curvature and Volume Growth
针对非负里奇曲率的完备黎曼流形，通过证明两个精确体积增长阶估计，解决了格罗莫夫1986年提出的余维二体积增长猜想。
mu-Stability of 2-immersions of prescribed mean curvature and flat normal bundle in Euclidean spaces of higher codimension
本文给出了三种建立高余维欧几里得空间中各类2-浸入的一般稳定性不等式的方法
Cylindrical Estimates for High Codimension Mean Curvature Flow
研究了欧几里得空间$\mathbb{R}^{n+k}$中维数为$n$的子流形$\mathcal{M}^n$在二次曲率条件$ |A|^{2}\leq c_n |H|^{2}, c _n = \min\{ \frac{4}{3n} , \frac{1}{n-2}\}$下的高余维中曲率流.这个条件将超曲面的二凸性概念推广到高余维子流形。通过直接证明一个逐点梯度估计，分析了高余维中曲率流的奇异性形成。然后，我们表明，在奇点附近的表面是定量圆柱形。
The Stability of Self-Shrinkers of Mean Curvature Flow in Higher Codimension
本文将Colding和Minicozzi关于超曲面情形下自收缩体稳定性的工作\cite{CM}推广到更高余维情形。导出了$F$ -泛函的第一和二阶变分公式，得到了在一般余维下稳定的等价条件，并证明了Anciaux在\cite{An}中给出的闭Lagrange自收缩函数是不稳定的.
Pulling back singularities of codimension one objects
证明了奇异解析超曲面的芽在有限全纯映射$g: (\mathbb{C}^n,0) \rightarrow (\mathbb{C}^n,0)$的芽下的原像也是奇异的。这为Ebenfelt-Rothschild [Comm. Anal. 15（2007），no.2，491-507]，Lebl [arXiv：0812.2498]，和Denkowski [Mandaripta Math.149（2016），no.1 -2，83-91]。同样的陈述证明了拉回奇异余维1全纯叶理。
Planarity and convexity for pinched ancient solutions of mean curvature flow
本文证明了高余维平均曲率流的面性估计的尺度不变变体，并证明了余维一受夹紧完备古代解的凸性，进而刻画了高余维中的某些古代解和收缩子。
Wintgen ideal submanifolds of codimension two, complex curves, and Moebius geometry
空间型中的Wintgen理想子流形是那些在所谓的DDVV不等式中逐点相等的子流形，DDVV不等式将数量曲率、中曲率和数量法曲率联系起来。利用Moebius几何的框架，我们证明了在余维2的情况下，Wintgen理想子流形的中曲率球面对应于复二次曲面Q中的1-迷向全纯曲线.相反，Q中的任何1-迷向复曲线描述了m维球面的2-参数族，其包络总是在正则点处的m维Wintgen理想子流形。与Dajczer和Tojeiro的工作在同一主题的关系，以及在欧几里得空间的极小曲面方面的描述也进行了讨论。
Concentration-compactness and finite-time singularities for Chen's flow
Chen的流是一个四阶曲率流，由浸入的谱分解激发，这是一个由B. Y.陈自20世纪70年代以来。在曲率流方面的流量坐在缩放的临界水平与最流行的外在四阶曲率流，Willmore和表面扩散流。与他们不同的是，著名的陈猜想表明，不应该有固定的nonminimal数据，因此特别是流动应推动所有闭子流形的奇点。我们研究了这一思想，证明了：（1）闭数据在所有维数和任何余维数下都在有限时间内灭绝;（2）对于固有维数$n \in \{2,4\}$和任何余维数，$L^n$中的奇异性是由曲率的集中来表征的（寿命定理）;以及（3）对于$n = 2$并且仅在一个余维中，存在显式的小常数$\varepsilon_2$，使得如果无迹曲率的$L^2$范数最初小于$\varepsilon_2$，则流保持平滑直到它收缩到一点，这个点的爆聚是一个嵌入的光滑圆球。
The extension and convergence of mean curvature flow in higher codimension
本文首先研究了余维为$d\geq1$的黎曼流形中子流形的中曲率流的扩张的积分曲率条件，推广了Le-\cite{LS}和作者\cite{XYZ1,XYZ2}关于超曲面的中曲率流的扩张定理.利用扩张定理，证明了${R}^{n+d}$中闭子流形的中曲率流在适当的积分曲率条件下的两个收敛定理。
The codimension one homology of a complete manifold with nonnegative Ricci curvature
本文证明了具有非负里奇曲率的完备非紧流形有平凡余维1同调，除非它是紧致全测地子流形上的分裂或平坦法丛.特别地，我们证明了一个猜想：一个具有正里奇曲率的完备非紧流形具有平凡余维一整同调。我们也有一个推论，说明当这样的流形的余维2整数同调是无挠的。
Transversely affine holomorphic foliations of arbitrary codimension - I
研究具有仿射齐次横截结构的全纯叶理。我们给出了一个友好的刻画的情况下，横向仿射叶理的矩阵值对的微分形式。这自然导致研究的情况下，叶理与奇点。第一扩张定理，然后证明在一般的奇异性框架。
Stability and curvature estimates for minimal graphs with flat normal bundles
余维为1的极小图是稳定的，即面积泛函的二阶变分是非负的。这对于更高余维的极小图不再成立。本文证明了任意余维数的极小图是稳定的，如果它的法丛是平坦的。证明了维数不大于大于6且余维数平坦的极小图的法丛是平坦的且无穷远点的密度是有限的。如果我们在体积元上附加增长条件，则这样的Bernstein型定理在任何维数下都成立。
Parallel mean curvature surfaces with constant contact angle along free boundaries
本文研究了具有常接触角的平行平均曲率曲面，通过分类和构造例子验证了相关定理的准确性。
Codimension one foliations with Bott-Morse singularities I
研究了具有非空紧奇异集$\sing(\fa)$的定向闭流形$M$上的余维1（横定向）叶理$\fa$，其中$\fa$是由Bott-Morse函数局部定义的.证明了：如果$\fa$在每个奇点的横截型是中心，且$\fa$有一个基本群有限的紧叶，或$\sing(\fa)$的一个分支有余维$\ge 3$和有限的基本群，则$\fa$的所有叶都是紧的，是同构的，$\sing(\fa)$由两个连通分支组成，并且存在Bott-Morse函数$f:M \to [0,1]$，使得$f\colon M \setminus \sing(\fa) \to (0,1)$是定义$\fa$和$\sing(\fa) = f^{-1}(\{0,1\})$的纤维束。这产生了拓扑描述的类型的叶子出现在这些叶理，也是类型的流形承认这样的叶理。这些结果统一和推广了上齐性等距作用的著名结果和中心型Morse奇点叶理的Reeb定理。在这种情况下，$\fa$的每个叶是$\sing(\fa)$的每个分量上的球纤维丛。
We study the mean curvature flow of smooth $n$-dimensional compact submanifolds with quadratic pinching in a Riemannian manifold $\mathcal{N}^{n+m}$. Our main focus is on the case of high codimension, $m\geq 2$. We establish a codimension estimate that shows in regions of high curvature, the submanifold becomes approximately codimension one in a quantifiable way. This estimate enables us to prove at a singular time of the flow, there exists a rescaling that converges to a smooth codimension-one limiting flow in Euclidean space. Under a cylindrical type pinching, this limiting flow is weakly co…
Integral formulae for codimension-one foliated Finsler manifolds
本文研究了闭Finsler空间$(M,F)$，特别是Randers空间$(M,α+β)$的余维1叶理${\cal F}$的外几何.利用一个与${\cal F}$的叶正交的单位向量场$ν$，我们定义了一个新的关于$M$的黎曼度量$g$，它对于Randers情形很好地依赖于$(α,β)$ .对于该$g$，我们推导出${\cal F}$的几个几何不变量（如黎曼曲率和形状算子）的$F$，然后在自然的假设下，$β$简化推导，我们表示为相应的不变量$α$和$β$。使用我们的方法（2012），我们给出了${\cal F}$在$(M, F)$和$(M, α+β)$上的积分公式，它将平均曲率的积分与涉及从叶理的形状算子获得的代数不变量的积分以及$ν$方向上的黎曼曲率联系起来。他们推广了Brito，Langevin和Rosenberg的公式，证明了常曲率$K$的闭$(m+1)$维流形上余维1叶理的总平均曲率（任意阶$k$）不依赖于${\cal F}$的选择.
Mean curvature flow in higher codimension
中曲率流是子流形沿其中曲率向量方向变形的演化过程。自八十年代以来，超曲面的情况已经得到了大量的研究。最近，在各种环境空间和余维中证明了流的正则性、整体存在性和收敛性的几个定理。我们将解释所获得的结果以及所涉及的技术。在辛拓扑和镜像对称的潜在应用也将被讨论。
We prove long-time existence for mean curvature flow of a smooth $n$-dimensional spacelike submanifold of an $n+m$ dimensional manifold whose metric satisfies the timelike curvature condition.
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