Exterior Dirichlet problem for Hessian equations on a non-convex ring
本文证明了非凸环上Hessian方程外Dirichlet问题光滑解的存在性，拓展了Bao-Li-Li在该问题上的已有研究结果。
2025-08-21 math.AP
On a Dirichlet problem with $(p,q)$-Laplacian and parametric concave-convex nonlinearity
研究了具有$(p,q)$ -Laplace微分算子的齐次狄利克雷问题，其反应由一个参数$p$ -凸项加一个$q$ -凹项给出.一个分叉型的结果，描述的变化，在一组正解的参数$λ>0$变化，证明。由于对每一个可容许的$λ$，问题都有最小的正解$\bar u_λ$，因此研究了映射$ λ\mapsto \bar u_λ$的单调性和连续性.
2018-12-19 math.AP
Strict Convexity for Solution of Liouville-Type Dirichlet Problems
研究光滑一致严格凸域上三个指数狄利克雷问题，通过结合域变形等多种理论和方法，证明\(w = -\text{arcosh}(e^{-u/2})\)在基础实变量中严格凸，确定了相关问题的共同凸性结构。
2026-07-20 math.AP
An isoperimetric inequality for the first Steklov-Dirichlet Laplacian eigenvalue of convex sets with a spherical hole
本文证明了在体积约束下具有固定球洞的凸集类中第一Steklov-Dirichlet特征值的极大值的存在性。更准确地说，如果$Ω=Ω_0 \setminus \bar{B}_{R_1}$，其中$B_{R_1}$是以原点为中心的球，半径为$R_1>0$，而$Ω_0\subset\mathbb{R}^n$，$n\geq 2$是一个开有界的凸集，使得$B_{R_1}\Subset Ω_0$，则当$R_1$和$Ω$的测度固定时，第一个斯泰克洛夫-狄利克雷特征值$σ_1(Ω)$具有最大值。此外，如果$Ω_0$包含在一个适当的球，我们证明了球壳是最大的。
2022-06-04 math.AP
Convexity Properties of Dirichlet Integrals and Picone-type Inequalities
我们重点讨论了局部和非局部变分的三种不同的凸性原理。我们证明他们的各种推广，以及他们的等价。给出了该方法在非线性本征值问题和Hardy型不等式中的应用。我们还证明了非局部和非线性正本征函数的测度论最小值原理。
2014-06-28 math.AP
Kiselman's principle, the Dirichlet problem for the Monge-Ampere equation, and rooftop obstacle problems
首先，我们根据边界数据的凸包络或多重次调和包络的Legendre变换，得到了在凸分析和多势理论中经常出现的Bremermann型上包络的一个新公式。这就给出了齐次实型和复型Monge-Ampere方程的狄利克雷问题的解与Kiselman的最小值原理之间的一种新的关系。更一般地说，它建立了布雷默曼包络的部分正则性，无论它是否解决了蒙格-安培方程。其次，我们证明了具有屋顶障碍物的Laplace方程的自由边界问题的解的二阶正则性，基于一个新的先验估计的大小，躺在非接触集。作为一个应用，我们证明了凸和pluisubharmonic包络的屋顶障碍有界的二阶导数。
2014-05-26 math.AP math.CV
Games for eigenvalues of the Hessian and concave/convex envelopes
我们研究PDE $λ_j(D^2 u) = 0$，在$Ω$中，用$u=g$，在$\partial Ω$上。这里$λ_1(D^2 u) \leq ... \leq λ_N (D^2 u)$是Hessian $D^2 u$的有序特征值。首先，我们展示了几何解释的粘性解决方案的问题，在凸/凹信封在仿射空间的尺寸$j$。在我们的一个主要结果中，我们给出了在定义域上使得问题对每个连续数据$g$都有连续解的充要条件。接下来，我们引入一个两人零和博弈，其值近似解这个偏微分方程问题。此外，我们还证明了该偏微分方程解的渐近均值特征。
2018-01-10 math.AP
Higher Sobolev Regularity of Convex Integration Solutions in Elasticity: The Dirichlet Problem with Affine Data in $\text{int}(K^{lc})$
在这篇文章中，我们继续我们的研究更高的Sobolev正则性的灵活凸积分解的微分包含所产生的应用在材料科学。我们提出了一个一般的框架，产生更高的Sobolev正则性的狄利克雷问题的仿射数据在$\text{int}(K^{lc})$。这使我们能够同时处理线性和非线性的微分包含问题。证明了高阶可积性和高阶可微性指数存在一个下界，该下界与$\text{int}(K^{lc})$中Dirichlet边界数据的位置无关.作为应用，我们讨论了二维和三维弱等距浸入的规律性以及形状记忆合金中几何线性的六边形-菱形和菱形-正交相变的微分包含问题。
2017-09-08 math.AP
Dirichlet Green's functions with singular drifts at the boundary of convex domains
本文针对n≥3的凸有界域，建立了Laplacian主部且漂移项在边界附近以距离的负幂次（指数<1）发散的椭圆算子的Dirichlet格林函数内点逐点上界，将单位球上的结果推广到凸域并简化了证明。
2026-06-25 math.AP
Fractional convexity
我们引入一个分数凸的概念，自然地扩展了通常的概念，凸的欧几里得空间的分数设置。分数凸性的概念，我们研究了分数凸包络内的一个域的外部数据（最大可能的分数凸函数内的域，低于基准外），并表明，分数凸包络的特点是黏性解的非局部方程，这是由下确界之间的所有可能的方向的$1-$维分数拉普拉斯算子。对于这个方程，我们证明存在性，唯一性和比较原则（在黏性解的框架）。此外，我们发现凸包络方程的解与分数Monge-Ampere方程的解有关。
2021-07-13 math.AP
The Dirichlet problem for prescribed curvature equations of $p$-convex hypersurfaces
本文研究了具有给定曲率的$p$ -凸超曲面的狄利克雷问题。我们证明了存在一个满足给定曲率方程且具有齐次边界条件的图超曲面。还得到了一个内曲率估计。
2022-08-21 math.AP math.DG
A nonlocal concave-convex problem with nonlocal mixed boundary data
研究了一类具有混合Dirichlet-Neumann外条件的非局部问题。我们证明了正能量解的存在性、不存在性和多重性，并描述了凹凸非线性与Dirichlet-Neumann数据之间的相互作用。
2016-12-21 math.AP
On Conformal Spectral Gap Estimates of the Dirichlet-Laplacian
研究了非凸区域上Laplacian算子Dirichlet特征值的谱稳定性估计$Ω\subset\mathbb R^2$.借助于这些估计，我们在Payne-Pólya-Weinberger不等式的框架下得到了特征值比的渐近尖锐不等式.这些估计等价于非凸区域中拉普拉斯算子的Dirichlet特征值的谱间隙估计。
2018-11-20 math.AP
Nodal sets of Dirichlet eigenfunctions in quasiconvex Lipschitz domains
本文将拟凸Lipschitz域类引入到椭圆算子边界唯一延拓的研究中，它同时涵盖了$C^1$和凸区域.特别地，我们证明了一般椭圆型方程在有界拟凸Lipschitz域上的Dirichlet特征函数的节点集大小的上界。我们的结果对于凸区域上的Laplace算子也是新的.
2023-03-03 math.AP
Some universal inequalities for Dirichlet eigenvalues of the Laplacian on a Euclidean convex domain
Division of Mathematics & Research Center for Pure and Applied Mathematics, Graduate School of Information Sciences, Tohoku University（东北大学信息科学研究院数学系与纯应用数学研究中心）
本文建立了欧几里得凸域上拉普拉斯算子狄利克雷本征值的两个通用不等式，探讨了相关数学性质。
2026-04-13 math.AP math.DG math.SP
Existence through convexity for the truncated Laplacians
本文研究了$\mathbb R^N$的有界凸区域上的狄利克雷问题，其中零边界数据为截断Laplacian ${\mathcal P}_k^\pm$，且满足$k<N$ .利用区域的“平坦性”建立了一般非齐次项解存在的一个充要条件（定理1）。这个结果，特别是，表明严格的凸域是足够的狄利克雷问题的可解性。将所得结果及相关思想应用于含低阶项算子${\mathcal P}_k^+$的狄利克雷问题在严格凸区域上的可解性及算子${\mathcal P}_1^+$的主本征函数的存在性.对算子${\mathcal P}_1^+$的带零阶项的狄利克雷问题给出了一个关于主特征值的存在性定理.当区域具有近似平坦的边界部分时，建立了带一阶项的算子${\mathcal P}_k^+$的不存在性结果。此外，当区域是球时，我们研究了具有常非齐次项和可能变号的一阶项的狄利克雷问题及其本征值问题。
2019-02-23 math.AP
Exponential convergence for a convexifying equation and a non-autonomous gradient flow for global minimization
我们考虑一个类似于Vese提出的发展方程，其解在大时间内收敛于初始数据的凸包络。我们给出了一个随机控制表示的解决方案，从中我们推断，在相当一般的假设下，收敛的Lipschitz范数实际上是指数的时间。然后，我们引入一个非自治梯度流，并证明其轨迹都收敛到凸包络的极小。
2011-04-07 math.AP
Convexity and the Dirichlet problem of translating mean curvature flows
在这项工作中，我们提出了一个新的演化几何流（称为平移中曲率流）的平移孤子的超曲面$R^{n+1}$。研究了平移中曲率流的正性保持等基本性质。研究了图平移中曲率流的狄利克雷问题，讨论了流的整体存在性和收敛性.
2016-12-12 math.AP math.DG
Finding the convex envelope of a boundary datum using random geometric graphs
Univ Paris Est Creteil（巴黎东克雷泰伊大学）；Univ Gustave Eiffel（古斯塔夫埃菲尔大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRL CNRS IFUMI-2030（法国国家科学研究中心乌拉圭-法国国际研究联合实验室）；Universidad de la República（乌拉圭共和国大学）；Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学）；Universidad Torcuato Di Tella（托尔夸托迪泰拉大学）
本文通过随机图近似边界数据在欧几里得空间有界域内的凸包，利用随机点和 proximity 连接求解近似Hessian的第一特征值方程，证明解收敛于凸包。
2026-02-07 math.AP math.PR
On the Dirichlet and Serrin problems for the inhomogeneous infinity Laplacian in convex domains: Regularity and geometric results
给定$\mathbb{R}^n$的一个开有界子集$Ω$，它是凸的并且满足一个内球面条件，我们考虑$Ω$中的pde $-Δ_{\infty} u = 1$，服从$\partial Ω$上的齐次边界条件$u = 0$.我们证明了这个Dirichlet问题的唯一解是幂凹的（精确地说，是3/4凹的），并且它是$C ^1(Ω)$类的。然后研究了在$\partial Ω$上附加额外边界条件$|\nabla u| = a$得到的超定Serrin型问题;通过使用适当的$P$函数，我们证明，如果$Ω$满足与上述相同的假设并且另外包含在两个直径点处具有接触$\partial Ω$的球，则该Serrin型问题的解的存在意味着切割轨迹和$Ω$的高脊必然重合。反过来，在维度$n=2$中，这需要$Ω$必须是类似体育场的域，并且特别地，在其边界是$C^2$类的情况下，它必须是球。
2015-05-02 math.AP
First-order expansion for the Dirichlet eigenvalues of an elliptic system with oscillating coefficients
本文研究了有界区域$Ω\subset\mathbb R^2$中具有$ε$ -周期系数的向量椭圆算子$-\nabla\cdot A^ε(\cdot)\nabla$的Dirichlet本征值问题的均匀化.我们分析了当$ε\rightarrow 0$，模式$k$固定时特征值$λ^{ε,k}$的渐近性。证明了当$Ω$是光滑一致凸区域或凸多边形区域且斜边满足小因子假设时，$λ^{ε,k}$的一阶渐近展开式.我们的结果推广了Moskow和Vogelius的结果，仅限于标量算子和凸多边形域的有理斜率。我们利用最近的进展，由于Gérard-Varet和Masmoudi在边界层型系统的均匀化。
2011-11-10 math.AP
The spectral Dirichlet-Neumann map for Laplace's equation in a convex polygon
利用Fokas的边值问题统一方法，给出了研究凸多边形上Laplace方程Dirichlet-Neumann映射的一种新方法.通过利用复杂的解析结构固有的统一方法，我们提供了新的证明经典的结果，主要使用复杂的分析技术。分析发生在一个巴拿赫空间的复值，解析函数和方法是基于经典的结果从复分析。我们的方法让位于新的数值处理的基本边值问题和相关的Dirichlet-Neumann映射。使用这些新的结果，我们提供了一个家庭的适定弱问题与狄利克雷-诺依曼映射，并证明相关的davity估计，使标准的技术可以应用。
2012-09-10 math.AP math.CV
Laplace Dirichlet heat kernels in convex domains
给出了凸$\mathcal C^{1,1}$域的Laplace Dirichlet热核的一般上下上界.所获得的估计精确地描述了指数行为的内核，这是已知的只有在少数特殊情况下，到目前为止。此外，我们刻画了一类集合的估计是尖锐的，即上界和下界一致的乘法常数。特别地，这包括形式为$\{x\in \R^n: x_n>a|(x_1,...,x_{n-1})|^p\}$的集合，其中$p\geq2$、$n\geq2 $和$a>0$。
2021-10-12 math.AP math.PR
Convexity inequalities for eigenvalues and log-concavity of eigenfunctions
Macquarie University（麦考瑞大学）；Monash University（蒙纳士大学）；University of New South Wales Canberra（新南威尔士大学堪培拉分校）
本文通过简洁证明给出了施罗德inger算子的两个经典结果：特征值的布伦-闵科夫斯基不等式和第一特征函数的对数凹性。证明适用于包含C^{1,1}连通域和凸势能的领域。
2026-05-02 math.AP
On Estimates of Biharmonic Functions on Lipschitz and Convex Domains
利用带幂权的Maz'ya型积分恒等式，得到了$R^n$中Lipschitz域和凸区域上双调和函数的新的边界估计.对于$n\ge 8$，结合\cite{S2}的结果，这些估计导致的$L^p$ Dirichlet问题的Lipschitz域上的双调和方程的$p$的一个新的范围的可解性。在凸区域的情况下，估计允许我们表明，$L^p$狄利克雷问题是唯一可解的任何$2-\e<p<\infty$和$n\ge 4$。
2005-10-03 math.AP
The Dirichlet problem for nonlocal operators with singular kernels: convex and nonconvex domains
我们研究了各向异性分数型算子$$ Lu(x)= \int_{0}^{+\infty}\,dρ\int_{S^{n-1}}\,da(ω)\, \frac{ 2u(x)-u(x+ρω)-u(x-ρω)}{ρ^{1+2s}}.$$的狄利克雷问题$Lu=g$在$Ω$中的解的内部正则性，$u=0$在$\R^n\setminusΩ$中的解的内部正则性这里，$a$是~ $S^{n-1}$上的任何测度（~ $L$的一个原型例子是给定方向上的一维分数Laplacian的和）.当$a\in C^\infty(S^{n-1})$和$g$是$C^\infty(Ω)$时，已知解是在~ $Ω$内的$C^\infty$（但不到达边界）。然而，当$a$是一个通用度量时，或者甚至当$a$是$L^\infty(S^{n-1})$时，解只知道是$Ω$中的$C^{3s}$。我们在这里证明，一般措施$a$，解决方案是$C^{1+3s-ε}$内$Ω$为所有$ε>0$时$Ω$是凸的。当$a\in L^{\infty}(S^{n-1})$，我们表明，同样的持有在所有$C^{1,1}$域。特别地，解总是具有经典的一阶导数。域上的假设是尖锐的，因为如果域不是凸的，谱测度是奇异的，我们构造了一个明确的反例，其中$u$是\emph{not} $C^{3s+ε}$对于任何$ε>0$ -即使$g$和$Ω$是$C^\infty$。
2015-10-31 math.AP
Global solutions and exterior Dirichlet problem for Monge-Ampere equation in $\mathbb R^2$
二维空间中的蒙日-安培方程$\det(D^2u)=f$与高维空间中的相应方程在性质上是不同的。本文采用新的思想建立了定义在$\mathbb R^2$内或凸集外的蒙日-安培方程的两个主要结果.首先证明了当$f$渐近地接近于一个正常数时，在无穷远处满足一个渐近行为的全局解的存在性。然后，我们解决外部狄利克雷问题，如果数据是给定的边界上的凸集和无穷大。
2015-02-25 math.AP
The Dirichlet problem for fully nonlinear degenerate elliptic equations with a singular nonlinearity
研究了一类带奇异零级项的退化椭圆型方程在一致凸区域上的齐次狄利克雷问题.特别地，我们建立了正黏性解的存在唯一性结果.
2019-05-09 math.AP
Horizontally quasiconvex envelope in the Heisenberg group
研究了Heisenberg群中给定连续函数的水平拟凸（简称h-拟凸）包络的偏微分方程方法.我们根据一阶非局部Hamilton-Jacobi方程的粘性子解给出了上半连续h-拟凸函数的特征。我们还通过迭代非局部算子构造了连续函数的相应包络。证明了非局部Hamilton-Jacobi方程Dirichlet边值问题的黏性解的存在性和唯一性。我们的方法的应用程序的h-凸包的海森堡群中的一个给定的集合进行了讨论。
2023-02-05 math.AP
Regularity for the Dirichlet problem on BD
我们建立的狄利克雷问题凸线性增长泛函的$BD$，有界变形的功能，产生相同的无条件Sobolev和部分$C^{1,α}$ -正则性理论，目前可用于全梯度狄利克雷问题的$BV$。根据Ornstein非不等式，$BV$是$BD$的一个真子空间，而从$BV$ -情形已知的全梯度技术在这里不适用.特别地，应用于所有广义最小值（即，最小值的适当放宽的问题），尽管他们的非唯一性和达到已知的椭圆率范围从$BV$的情况下，本文扩展了以前的结果由Kristensen和作者（Gmeineder，F.; Kristensen，J.：BD上凸泛函的Sobolev正则性。J. Calc.变种（2019）58：56）以最佳的方式。
2019-08-26 math.AP
The Dirichlet problem for discontinuous perturbations of the mean curvature operator in Minkowski space
利用局部Lipschitz泛函的凸、下连续扰动的临界点理论，证明了含算子$u\mapsto{div} (\frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}})$的不连续狄利克雷问题的可解性.
2015-02-02 math.AP
Semilinear fractional elliptic problems with mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions
研究了一类定义在光滑有界区域上的非线性椭圆型边值问题，该问题涉及分数阶Laplace算子、凹凸幂项和混合Dirichlet-Neumann边界条件.
2019-02-24 math.AP
On concavity of solution of Dirichlet problem for the equation $(-Δ)^{1/2} φ= 1$ in a convex planar region
对于一个充分正则的开有界集$D \subset R^2$，我们考虑方程$(-Δ)^{1/2} φ(x) = 1$，$x \in D$和Dirichlet外部条件$φ(x) = 0$，$x \in D^c$。$φ$是从$R^2$中柯西过程的$D$的第一次退出时间的期望值。证明了如果$D \subset R^2$是凸有界域，则$φ$在$D$上是凹的.为了证明这一点，我们研究了$φ$的调和扩张的Hessian矩阵。证明的核心思想是基于Hans Lewy关于调和函数的Hessian矩阵的行列式的一个深刻结果。
2014-06-16 math.AP math.PR
On the many Dirichlet Laplacians on a non-convex polygon and their approximations by point interactions
Birman和Skvortsov证明了：若$\Omegasf$是具有$n$非凸角的平面曲线多边形，则定义域为$H^2(\Omegasf)\cap H^1_0(\Omegasf)$的Laplace算子是亏指数为$(n,n)$的闭对称算子.在这里，我们为这样的算子的任何自伴扩张，即为$\Omegasf$上的自伴非Friedrichs Dirichlet Laplacian集，提供了Kre \u ın型预解式公式，并证明了该集合中的任何元素都是具有$n$点相互作用的Friedrichs-Dirichlet Laplacian的适当序列的范数预解式极限。
2013-05-10 math-ph math.AP math.MP
Pointwise boundary estimates for fully nonlinear elliptic equations with nonzero Dirichlet boundary conditions
本文利用下解与上解方法，为一类含非零 Dirichlet 边界条件的完全非线性椭圆方程建立凸解的逐点边界估计，并推出全局 Hölder 正则性，推广了 Monge–Ampère 方程的已有结果。
2025-07-25 math.AP
Boundedness of the Hessian of a biharmonic function in a convex domain
考虑任意凸区域上双调和方程的狄利克雷问题，证明了变分解的二阶导数在所有维上都有界。
2007-04-17 math.AP
Fundamental Gaps for the Dirichlet p-Laplacian on Convex Domains
Fudan University（复旦大学）；Brandenburg University of Technology Cottbus–Senftenberg（科特布斯-森夫滕贝格勃兰登堡工业大学）；The University of Sydney（悉尼大学）
该研究针对带凸势的Dirichlet p-拉普拉斯算子，通过正则化、最大值原理等方法，确定了高维下p=2处的间隙转变规律，给出了一维尖锐间隙不等式，证明了直径归一化间隙极小化子的存在性与退化性。
2026-09-28 math.AP
Modular uniform convexity structures and applications to boundary value problems with non-standard growth
本文基于Dirichlet积分的一致凸性，证明了变指数p-Laplacian的Dirichlet问题在有界光滑区域上解的存在性与唯一性。
2023-10-24 math.AP
The Yamabe equation in small convex domains in $\mathbb{R}^3$ and small balls in $\mathbb{R}^n$
本文给出了一个求解Yamabe型方程在$\mathbb{R}^3$中的小凸区域和$\mathbb{R}^3$中的小球上的狄利克雷问题的迭代法。
2021-12-24 math.AP
Least gradient problem with Dirichlet condition imposed on a part of the boundary
我们提供了一个分析的情况下，当边界基准只施加在一部分的边界的最小梯度问题。首先，我们利用凸对偶理论给出了一般情形下解的特征。然后，我们讨论了解达到边值的途径，解的结构及其正则性。
2020-09-09 math.AP
Maximization of the efficiency of the first Dirichlet eigenfunction and improved eigenvalue inequalities
Università degli studi di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
本文研究了有界凸域上第一狄利克雷特征函数效率，通过改进的对数凹性估计，建立了第一特征值的新下界和效率的上界，改进了Payne, Stakgold和Hersch的经典不等式，并探讨了平面凸域效率的渐进行为。
2026-04-24 math.AP math.OC
The diamagnetic inequality for the Dirichlet-to-Neumann operator
设$Ω$是Rd中具有Lipschitz边界$Γ$的有界区域.定义了L2上的Dirichlet-to-Neumann算子N（$Γ$），它与二阶椭圆算子A = -dk，j=1 $\partial$ k（ckl $\partial$ 1）+dk =1 bk $\partial$ k -- $\partial$ k（ck $\times$）+a0.证明了闭凸集在N的半群作用下不变性的一个判别准则。粗略地说，如果由-A生成的半群在赋Neumann边界条件下保持L2（$Ω$）的闭凸集不变，则这个凸集的“迹”对于N的半群是不变的.利用这一不变性证明了两个Dirichlet-to-Neumann算子半群的控制准则。我们应用这个准则证明了L2（$Γ$）上这类算子的抗磁不等式.
2020-04-21 math.AP math.FA
The pluripotential Cauchy-Dirichlet problem for complex Monge-Ampere flows
我们在Cn的有界强伪凸区域中发展了抛物多势理论的第一步。本文研究一类退化抛物型复Monge-Schr方程，该方程以Kawamata对数终端奇异的复代数簇上的K{ä}hler-里奇流为模型.在Cauchy-Dirichlet边界数据的自然假设下，我们证明了多势子解的包络在时间上是半凹的，在空间上是连续的，并给出了具有这种规律性的唯一多势解.
2018-10-04 math.AP math.CV math.DG
The Dirichlet problem for Lagrangian mean curvature equation
本文在$\mathbb{R}^n$中一致凸的有界域上，求解了带连续边界数据的Lagrangian平均曲率方程的Dirichlet问题。
2020-09-13 math.AP math.DG
Dirichlet Duality and the Nonlinear Dirichlet Problem
研究了R^n中光滑有界区域D上f（Hess，u）=0形式的完全非线性退化椭圆型方程的狄利克雷问题.在我们的方法中，方程被替换为对称n × n-矩阵空间的子集F，其中bdy（F）在集合{f=0}中连续。在边界bdy（F）上的一个明确的几何"F-凸性“假设下，我们建立了连续解的存在唯一性。研究了F-凸区域的拓扑结构，证明了F-凸区域的一个Andreotti-Frankel型定理。分析中的两个关键因素是使用次仿射函数和狄利克雷对偶，这里都介绍了。与F相关联的是一个Dirichlet对偶集F*，它给出一个对偶狄利克雷问题。这种配对是真正的对偶，因为F* 的对偶是F，并且在分析中F和F* 的角色是可互换的。对偶性也阐明了问题的许多特征，包括边界上的适当条件。许多有趣的例子涵盖了这些结果包括：所有分支的齐次Monge-Ampere方程在R，C和H;方程自然出现在校准几何，拉格朗日几何和p-凸黎曼几何，和所有分支的特殊拉格朗日势方程。
2007-10-22 math.AP math.CV math.DG
Topology and Dirichlet spectrum of free boundary minimal and CMC surfaces
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文在凸边界且非负Ricci曲率的三维流形中，对指标为一的自由边界极小曲面或稳定的自由边界常平均曲率曲面，在Jacobi算子第一Dirichlet特征值非负时，给出亏格和边界分量数的界，并应用于三维正规齐次空间的严格凸区域，得到强拓扑限制。
2026-09-28 math.AP math.DG
Convex combinations of low eigenvalues, Fraenkel asymmetries and attainable sets
本文考虑了在固定测度的$R^N$的开集之间Dirichlet-Laplacian的前两个特征值的凸组合的极小化问题。我们表明，纯粹的基本参数，根据极小条件，它是可能的，以获得信息的几何极小的凸组合：我们研究，特别是当这些极小不再是凸的，球的最优性。作为我们的结果的应用，我们研究的Dirichlet谱的可达集的边界。我们的技术涉及对称性结果à la Serrin，数量不等式中的显式常数，以及一个纯粹的几何问题：固定测度的凸集之间的Fraenkel 2-不对称性的最小化。
2016-07-28 math.AP math.OC
Asymptotic shape optimization for Riesz means of the Dirichlet Laplacian over convex domains
对于有界凸域$Ω\subset \mathbb{R}^n$，本文研究了$Ω\subset \mathbb{R}^n$上Dirichlet Laplacian的谱.对于$Λ\geq0$和$γ\geq 0$，令$Ω_{Λ, γ}(\mathcal{A})$表示形状优化问题$$ \sup\{ \mathrm{Tr}(-Δ_Ω-Λ)_-^γ: Ω\in \mathcal{A}, |Ω|=1\}, $$的任何极值集，其中$\mathcal{A}$是$\mathbb{R}^n$中的凸区域的容许族。若$γ\geq 1$和$\{Λ_j\}_{j\geq1}$是趋于无穷大的正序列，则证明了$\{Ω_{Λ_j, γ}(\mathcal{A})\}_{j\geq1}$是有界序列，因此包含收敛子序列.在对$\mathcal{A}$的一个附加假设下，我们刻画了单位测度的$\mathcal{A}$中域间周长的极小化的这种连续性的可能极限.例如，如果$\mathcal{A}$是不超过$m$面的所有凸多边形的集合，则$Ω_{Λ, γ}$在旋转和平移之前收敛到正则$m$ -边形。这是发表在Journal of Spectral Theory（2019）上的论文的修订版，该论文已根据2021年发表的勘误表进行了更新。本文的结果保持不变，但定理2.4和推论5.3的证明作了修改。
2022-04-13 math.AP math.OC math.SP
Cauchy-Dirichlet problems for a class of hypoelliptic equation in $\R^d$: q new probabilistic representation formula for the gradient of the solutions
证明了d维有界凸区域中Ornstein-Uhlenbeck半群的梯度的存在性和一个新的表示公式。
2021-07-06 math.AP math.PR
The Calderón problem with finitely many unknowns is equivalent to convex semidefinite optimization
该研究将具有有限未知数的Calderón问题等价转化为凸半定优化问题，并给出噪声误差估计及有限测量扩展，连接逆系数问题与半定优化。
2023-05-16 math.AP math.OC
Fundamental gap estimate for convex domains on sphere -- the case $n=2$
文[SWW 16，HW 17]证明了当$n \geq 3$为$\mathbb S^n$的直径为$D$的凸区域上具有Dirichlet边界条件的拉普拉斯算子的前两个特征值之差为$\geq 3 \frac{π^2}{D^2}$.当$n=2$ .事实上，我们的证明适用于所有维度。我们还给出了[SWW 16]中模型的第一和第二Dirichlet特征值的渐近展开。
2018-03-03 math.AP math.DG math.SP
Dispersion for the wave equation with Robin boundary conditions on a 2D convex model domain
Sorbonne Université, CNRS, LJLL, Paris, France（索邦大学，法国国家科学研究中心，拉扎尔·克拉夫特-迪昂数学与理论物理实验室）
本文扩展Friedlander模型至Neumann和Robin边界条件，通过Airy型函数构造参数并分析色散，得到与Dirichlet情形相同的色散及Strichartz估计。
2026-10-07 math-ph math.AP math.FA
On the Dirichlet problem for prescribed mean curvature equation over general domains
本文研究并解决了一般域$Ω$上的$\mathbb R^{n+1}$中具有指定中曲率的图的狄利克雷问题，而不需要平均凸性假设.利用节点面作为障碍，首先给出了零边值条件下方程可解的充分条件。应用Schulz和Williams的结果，我们也可以解决满足利普希茨条件的边值的狄利克雷问题。
2007-12-06 math.AP math.DG
Computing the quasiconvex envelope using a nonlocal line solver
McGill University（麦吉尔大学）
本文提出一种非局部线求解器，用于计算给定函数的拟凸包络，通过一维问题求解实现凸包的计算。
2016-12-16 cs.NA math.AP math.NA
