Convex and quasiconvex functions in metric graphs
研究度量图上的凸函数和拟凸函数。给定度量图中的一组点，我们考虑在规定的基准点之下的最大凸函数。我们的特点是这个最大的凸函数作为唯一的最大粘度子解的一个简单的微分方程，$u''=0$的边缘，加上非线性传输条件的顶点。我们还研究了拟凸函数的类似问题，并得到了低于给定基准的最大拟凸函数的一个特征。
2021-06-16 math-ph math.AP math.MP
A partial differential equation for the rank one convex envelope
在这篇文章中，我们介绍了一个偏微分方程（PDE）的秩一凸包络。秩一凸包络出现在非凸向量值变分问题\cite{BallElasticity, kohn1986optimal1, BallJames87, chipot1988equilibrium}中。更一般地，我们研究了方向凸包络的偏微分方程，其中包括通常的凸包络\cite{ObermanConvexEnvelope}和秩一凸包络作为特殊情况。证明了方程的黏性解的存在唯一性。建立了宽网格椭圆型有限差分格式。证明了有限差分解收敛于偏微分方程的黏性解。数值例子秩一和其他方向凸包络。此外，层合板计算从秩一凸包络。
2017-01-12 math.AP
Horizontal convex envelope in the Heisenberg group and applications to sub-elliptic equations
本文在Heisenberg群中自然地引入了连续函数的水平凸包络的概念。我们提供了一个凸化过程，以建设性的方式找到信封。利用凸化过程证明了Heisenberg群中满足一定对称条件的一类完全非线性椭圆型方程黏性解的h-凸性。我们的例子表明，在一般情况下，不能期望没有对称性条件的解决方案的h-凸性。
2019-07-03 math.AP
Games for eigenvalues of the Hessian and concave/convex envelopes
我们研究PDE $λ_j(D^2 u) = 0$，在$Ω$中，用$u=g$，在$\partial Ω$上。这里$λ_1(D^2 u) \leq ... \leq λ_N (D^2 u)$是Hessian $D^2 u$的有序特征值。首先，我们展示了几何解释的粘性解决方案的问题，在凸/凹信封在仿射空间的尺寸$j$。在我们的一个主要结果中，我们给出了在定义域上使得问题对每个连续数据$g$都有连续解的充要条件。接下来，我们引入一个两人零和博弈，其值近似解这个偏微分方程问题。此外，我们还证明了该偏微分方程解的渐近均值特征。
2018-01-10 math.AP
A nonlinear problem witha weight and a nonvanishing boundary datum
我们考虑这个问题：$$\inf_{{u}\in {H}^{1}_{g}(Ω),\|u\|_{q}=1} \int_Ω{p(x)}|\nabla{u(x)}|^{2}dx-λ\int_Ω| u(x)|^{2}dx$$其中$Ω$是$\R^{n}$、${n}\geq{4}$中的有界域，$ p : \barΩ\longrightarrow \R$是给定的正权重，使得$p\in H^{1}(Ω)\cap C(\barΩ)$、$0< c_1 \leq p(x) \leq c_2$、$λ$是实常数，并且$q=\frac{2n}{n-2}$和$g$是给定的正边界数据。本文的目的是证明极小化器确实存在。我们区分两种情况，第一种情况是通过凸参数解决的，而第二种情况则不那么简单，将使用权重接近其最小值的行为和边界数据不为零的事实来处理。
2019-11-20 math.AP
Exponential convergence for a convexifying equation and a non-autonomous gradient flow for global minimization
我们考虑一个类似于Vese提出的发展方程，其解在大时间内收敛于初始数据的凸包络。我们给出了一个随机控制表示的解决方案，从中我们推断，在相当一般的假设下，收敛的Lipschitz范数实际上是指数的时间。然后，我们引入一个非自治梯度流，并证明其轨迹都收敛到凸包络的极小。
2011-04-07 math.AP
A non-parametric Plateau problem with partial free boundary
我们考虑了余维$1$中的非参数平台问题。本文仅在有界凸区域$Ω\subset\mathbb{R}^2$的部分边界$\partial Ω$上给出了Dirichlet边界基准。在狄利克雷基准没有规定的地方，我们允许与水平面自由接触。我们证明了解的存在性，并证明了相应的极小曲面的正则性。最后，我们将这些解与Meeks和Yau的经典极小曲面进行了比较，并证明了当Dirichlet边界数据被指定在$\partial Ω$的至多$2$不相交弧中时，它们是等价的.
2022-01-16 math.AP
The Dirichlet problem for the convex envelope
函数的凸包络最近被刻画为一个完全非线性偏微分方程（PDE）的解。在这篇文章中，我们研究了一个修改的问题：狄利克雷问题的基本偏微分方程。主要结果是一个最优的正则性结果。边界数据的可微性（$C^{1,α}$正则性）意味着内部解的相应结果，尽管解不必连续到边界。次要的结果是凸包络的特征：（i）的值函数的随机控制问题，和（ii）的最佳低估一类非线性椭圆型偏微分方程。
2010-07-05 math.AP
The Boltzmann equation with specular boundary condition in convex domains
在一般光滑凸区域中，当初始数据接近Maxwell时，在有或没有小外势的情况下，建立了具有镜面反射边界条件的Boltzmann方程的整体适定性和稳定性.特别是，我们已经完全解决了1977年[20]宣布后长期存在的开放问题。
2016-09-15 math.AP
On functions with given boundary data and convex constraints on the gradient
设$Ω\subset\mathbb{R}^{d}$是一个开集。给定$\partialΩ$上的一个边界数据$g$和一个函数$K:\bar Ω \to\mathcal{K}$，即$\mathbb{R}^{d}$的所有紧凸子集族，我们证明了存在函数$u:Ω\to\mathbb{R}$使得$\partialΩ$上的$u=g$和$\nabla u(x)\in K(x)$ a.e.并研究了这些解在它们都重合的点集$\mathcal{U} \subset \barΩ$上的正则性。
2022-10-05 math.AP
Global Lipschitz continuity for minima of degenerate problems
考虑了在给定边界数据$φ$的情况下，在$Ω\subset\mathbb{R}^N$上的函数之间最小化拉格朗日量$\int [F(\nabla u)+f\,u]$的问题.我们证明了Lipschitz正则到边界的解决方案，提供$Ω$是凸的和$φ$满足有界斜率条件。要求凸函数$F$满足一致凸性的限定形式{ \it仅在球外}，并且不进行增长假设。
2015-04-23 math.AP
An inverse problem for a three-dimensional heat equation in bounded regions with several convex cavities
本文研究了三维热传导方程的初边值反问题。假设三维导热体包含若干个严格凸的空腔。在该物体的外边界上，给出一对温度和热流作为反问题的观测数据。当最小路径不是线段时，求出了任意不动点在外部、空腔边界上的一点和外部边界上的一点依次相连的最小断裂路径长度.
2017-09-01 math.AP
The planar Least Gradient problem in convex domains: the discontinuous case
本文研究平面凸多边形集上的二维最小梯度问题$Ω$。当边界数据$f$在迹的意义下达到时，我们证明了解的存在性.这里的主要困难是$f$可能不连续。此外，由于$Ω$缺乏严格的凸性，经典结果不适用。我们陈述了边界数据$f$上的容许条件，这些条件足以建立存在性结果。其中之一就是那个$f\in BV(\partialΩ)$。解是通过一个极限过程构造的，该过程使用已知问题的解
2020-07-13 math.AP
Least gradient problem with Dirichlet condition imposed on a part of the boundary
我们提供了一个分析的情况下，当边界基准只施加在一部分的边界的最小梯度问题。首先，我们利用凸对偶理论给出了一般情形下解的特征。然后，我们讨论了解达到边值的途径，解的结构及其正则性。
2020-09-09 math.AP
Kiselman's principle, the Dirichlet problem for the Monge-Ampere equation, and rooftop obstacle problems
首先，我们根据边界数据的凸包络或多重次调和包络的Legendre变换，得到了在凸分析和多势理论中经常出现的Bremermann型上包络的一个新公式。这就给出了齐次实型和复型Monge-Ampere方程的狄利克雷问题的解与Kiselman的最小值原理之间的一种新的关系。更一般地说，它建立了布雷默曼包络的部分正则性，无论它是否解决了蒙格-安培方程。其次，我们证明了具有屋顶障碍物的Laplace方程的自由边界问题的解的二阶正则性，基于一个新的先验估计的大小，躺在非接触集。作为一个应用，我们证明了凸和pluisubharmonic包络的屋顶障碍有界的二阶导数。
2014-05-26 math.AP math.CV
Envelope representation of Hamilton-Jacobi equations from spin glasses
本文从PDE角度研究自旋玻璃相关无穷维非凸Hamilton-Jacobi方程的粘性解，推导出包络型表示公式，解值由非显式概率测度加权平均，并处理了闭凸锥上的技术挑战。
2025-09-09 cond-mat.dis-nn math.AP
Neural operators approximate strongly continuous convex monotone semigroups
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；LMU Munich（慕尼黑大学）
该研究提出切尔诺夫-神经算子、包络-神经算子，通过迭代传播单步近似误差实现对强连续凸单调半群的通用近似，推导了定量近似率，并在多类数值例子中验证了方法的有效性。
2026-09-03 cs.LG cs.NA math.AP
Convexity preservation for first-order nonlinear evolution equations with Neumann-type boundary conditions
Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University（冲绳科学技术大学院大学）
该研究针对有界凸域中带Neumann型边界条件的一阶Hamilton-Jacobi发展方程，利用凸包论证证明其粘性解的空间凸性保持，并得到半凸性与强凸性的传播估计。
2026-10-20 math.AP
