Multiple solutions for Dirichlet nonlinear BVPs involving fractional Laplacian
利用Krasnosielskii不动点定理证明了锥中超线性积分方程至少存在两个解.将结果应用于具有分数拉普拉斯算子的Dirichlet边值问题。
2013-11-04 math.AP
Nonlocal Poincaré Inequalities for Integral Operators with Integrable Nonhomogeneous Kernels
对具有卷积型结构的积分算子和满足类零Dirichlet条件的函数给出了两个非局部Poincaré型不等式.的不等式扩展现有的结果，一个大类的非齐次内核的支持，可以不连续变化，不需要包含一个共同的设置在整个域。支撑的测度甚至可以为零，允许零狄利克雷条件仅施加在低维流形上，有或没有边界。这些条件可以施加在余维大于1的集合上，甚至可以施加在仅一个点上。这似乎是目前第一个这样的结果在一个非本地设置与可积内核。所使用的参数是直接的，并提供的例子证明显式依赖的庞加莱常数的内核和域的结构参数的界限。
2019-11-23 math.AP
Regularity results for a model in magnetohydrodynamics with imposed pressure
磁流体动力学（MHD）问题的研究通常是在速度场上施加Dirichlet型边界条件的框架下进行的。本文研究具有压力边界条件的磁流体系统，速度和磁场切向迹均为零。在三维有界的可能多连通区域中，我们首先证明了Hilbert情形下弱解的存在性，然后利用这类边界条件下的Stokes问题和椭圆问题的正则性结果，证明了$W^{1,p}(Ω)$对$p\geq 2$的正则性和$W^{2,p}(Ω)$对$p\geq 6/5$的正则性.在小数据条件下，利用线性化（MHD）问题的不动点技巧，得到了$3/2<p<2$的$W^{1,p}(Ω)$解的存在唯一性.
2023-01-11 math.AP
Stokes flow with kinematic and dynamic boundary conditions
本文回顾了$\mathbb{R}^n.$中有界Lipschitz区域上Stokes方程组的第一边值问题和第二边值问题，特别注意了混合边界条件：在边界的一部分上对速度施加Dirichlet条件，而在另一部分上对应力张量施加Neumann条件。因此，需要对标准理论作一些小的修改。最值得注意的结果是压力和速度都是唯一的。
2018-03-03 math.AP
Dirichlet conditions in Poincaré-Sobolev inequalities: the sub-homogeneous case
研究了平面区域上Poincaré- Sobolev不等式中最优常数对Dirichlet条件区域的依赖性.更准确地说，我们寻找最好的狄利克雷区域，在封闭和连接的规定总长度$L$（一维Hausdorff措施），使这些常数尽可能小的集合。我们研究他们的限制行为，显示，特别是，狄利克雷区域均匀域内的梳状结构，周期性地分布在不同的尺度和不同的方向。为了跟踪这些信息，我们依赖于一个$Γ$收敛结果的类varifolds。这也允许应用于各向异性弹性膜的增强。最后，我们为一个猜想提供了一些证据。
2019-03-30 math.AP math.OC
Strichartz and Localized Energy Estimates for the Wave Equation in Strictly Concave Domains
证明了在齐次Dirichlet或Neumann条件下，具有严格凹边界的区域中波动方程的局部能量估计。通过限制的解决方案，以小，频率依赖，时空衣领的边界，可以看出，一个更强的增益的规律性，可以得到相对于通常的能量估计。作为结果，使用能量估计来控制在波包参数构造中出现的误差项，从而得到了Mixhartz和平方函数类型的混合范数估计。虽然后者的估计是不是新的狄利克雷条件，本方法提供了一种途径来处理这些估计时，诺依曼条件。该方法还处理系数与时间无关的薛定谔方程。
2014-11-06 math.AP math.CA
New gradient estimates for solutions to quasilinear divergence form elliptic equations with general Dirichlet boundary data
本文研究了一类具有非齐次Dirichlet边界条件的拟线性散度型椭圆型方程解在Lorentz空间中的一个新的梯度正则性：\begin{align*} \begin{cases} div(A(x,\nabla u)) &= \ div(|F|^{p-2}F) \quad \text{in} \ \ Ω, \\ \hspace{1.2cm} u &=\ σ\qquad \qquad \qquad \text{on} \ \ \partial Ω. \end{cases} \end{align*}其中$Ω\subset \mathbb{R}^n$（$n \ge 2$），非线性$A$是定义在$p>1$的$W^{1,p}_0(Ω)$上的单调Carathéodory向量值函数，并且$p$ -容量一致厚度条件被施加在我们的有界域$Ω$的补上.此外，对于给定的数据$F \in L^p(Ω;\mathbb{R}^n)$，问题建立在一般Dirichlet边界数据$σ\in W^{1-1/p,p}(\partialΩ)$上.本文利用最优$λ$型上界技巧证明了解的梯度的分数阶极大估计的一些结果。其主要内容是截断分式极大函数的作用和一些局部的内部和边界比较估计在以前的工作\cite{55QH4, MPT2018, MPT2019}和其中的参考文献。
2019-05-15 math.AP
Embedding operators and boundary-value problems for rough domains
在第一部分的文件边值问题被认为是弱假设下的光滑的区域。当有界域$D$的边界条件为齐次Dirichlet边界条件时，我们不假设边界$\partial D$的光滑性;当边界条件为Neumann边界条件时，我们假设嵌入$i_{1}:H^{1}(D)\to L^{2}(D)$的有界性;我们假设当施加Robin边界条件时嵌入$i_{1}$和$i_{2}:H^{1}(D)\to L^{2}(\partial D)$的有界性，并且，另外，如果$i_{1}$和$i_{2}$是紧的，则带谱参数的边值问题是Fredholm型的。给出了嵌入$i_2$是紧的粗糙域类的几个例子。粗糙的障碍物散射的应用中提到。
2004-11-08 math.AP
On a property of the nodal set of least energy sign-changing solutions for quasilinear elliptic equations
本文证明了关于方程$-Δ_p u = f(u)$在有界Steiner对称域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上的最小能量变号解的节点集在零Dirichlet边界条件下的行为的Payne型猜想.假设非线性$f$是超线性的或共振的。在后一种情况下，最小能量符号变化解是$Ω$中的零Dirichlet $p$ -Laplacian的第二本征函数。我们证明了任何最小能量变号解的节点集与$Ω$的边界相交。证明是基于一个移动的极化参数。
2019-02-13 math.AP
$Γ$-convergence of Nonlocal Dirichlet Energies With Penalty Formulations of Dirichlet Boundary Data
本文研究有界域上非局部扩散模型的非局部 Dirichlet 能量，提出将 Dirichlet 边界条件表述为惩罚项的通用框架，并利用 $\varGamma$-收敛理论证明惩罚项满足温和条件即可正确施加边界条件，为近似边界条件提供理论基础。
2024-09-27 cs.NA math.AP math.NA
Characterization of subdifferentials of a singular convex functional in Sobolev spaces of order minus one
表征了粗糙化温度下晶体表面自由能的奇异凸泛函的次微分。能量泛函定义在-1阶的索伯列夫空间上，因此次微分在数学上表示能量梯度，其形式上涉及表面高度的四阶空间导数。在任意维数的负索伯列夫空间中，分别施加周期边界条件和Dirichlet边界条件，分析了次微分的性质.基于次微分的特征定理，计算了Dirichlet边界条件下球对称曲面能量次微分中包含的最小元.
2011-04-19 math.AP
Dirichlet-to-Neumann operator for the Helmholtz problem with general wavenumbers on the $n$-sphere
Institut für Mathematik, Universität Zürich（苏黎世大学数学研究所）
研究外部球域上带Dirichlet边界条件和辐射条件的亥姆霍兹问题，证明DtN算子的波数显式连续性估计，并导出波数无关的迹和Friedrichs型不等式。
2026-06-23 cs.NA math.AP math.NA
Nonlinear Dirichlet problem for the nonlocal anisotropic operator $L_K$
本文研究了一类由非局部各向异性算子驱动的具有齐次Dirichlet边界条件的方程。利用变分方法和莫尔斯理论，我们找到了至少三个非平凡解：一个正解，一个负解和一个未知符号解。给出了解的正则性的一些结果，如$L^{\infty}$ -界和Hopf引理，对于后者我们先考虑非负非线性，然后考虑严格负非线性.此外，我们证明了，对于相应的功能，局部极小就$C^0$ -拓扑加权与适当的权力，从边界的距离实际上是局部极小的$X(Ω)$ -拓扑。
2018-09-28 math.AP
Zaremba problem with degenerate weights
本文研究带退化权重的Laplacian和p-Laplacian的Zaremba问题，在Dirichlet条件仅施加于正加权容量集合的极小边界条件下，证明了加权Sobolev-Poincaré不等式和梯度更高可积性的Meyers估计。
2024-03-28 math.AP
Special cases of the planar least gradient problem
本文研究了平面最小梯度问题的两种特殊情形。在第一种方法中，边界条件被施加在部分严格凸区域上。在第二种情况下，我们施加的Dirichlet数据的边界上的矩形，一个例子的凸，但不是严格凸域。我们显示的解决方案的存在性，并研究其性质的特定情况下的数据。
2016-05-19 math.AP
Continuity properties of Neumann-to-Dirichlet maps with respect to the $H$-convergence of the coefficient matrices
我们研究边界算子，如Neumann-to-Dirichlet映射，关于基本椭圆型方程的系数矩阵的连续性。我们表明，对于非光滑系数的正确的概念的收敛是一个由$H$ -收敛（或$G$ -收敛对称矩阵）。我们证明了与用于解决所谓的逆电导率问题的变分方法相关的最小问题的存在性结果，至少如果我们允许电导率是各向异性的。在各向同性电导率的情况下，我们表明，在某些情况下存在的极小可能会失败。
2014-11-07 math.AP
On a Bernoulli problem with geometric constraints
研究了具有几何约束的Bernoulli自由边界问题。域$\Om$被约束为位于由$x_1\geq 0$确定的半空间中，并且其边界包含施加非齐次狄利克雷条件的超平面$\{x_1=0\}$的一段。然后，我们寻找的解决方案的偏微分方程满足狄利克雷和诺依曼边界条件同时在自由边界。的存在性和唯一性的解决方案已经得到解决，本文致力于第一次研究的几何和渐近性质的解决方案，然后使用形状优化制定的问题的数值处理。本文的主要难点和创新之处在于几何约束的处理。
2010-10-15 math.AP
Asymptotic Behavior of Least Energy Solutions to the Lane--Emden Problem on Metric Graphs
Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）
本文研究紧度量图上Lane--Emden问题最小能量解在$p\to\infty$时的渐近行为，刻画了两种边界条件下的极限变分问题，并证明解收敛到由格林函数或最大距离点对决定的极限轮廓。
2026-09-15 math.AP
First characterization of a new method for numerically solving the Dirichlet problem of the two-dimensional Electrical Impedance Equation
基于现代伪解析函数理论的基本原理，分析了一种数值逼近二维电阻抗方程Dirichlet边值问题解的新方法。通过插值分段可分离变量电导率函数进行分析，这些电导率函数最终用于数值计算，以获得有限组的正交函数，其线性组合成功地接近所施加的边界条件。为了保证数值方法的有效性，我们研究了六个不同的电导率的例子。考虑电阻抗方程的一个精确解，选择每种情况的边界条件。本文的工作旨在讨论这些结果对电阻抗断层成像领域的贡献。
2012-02-21 math-ph math.AP math.MP
Conservation and invariance properties of submarkovian semigroups
设${\cal E}$是$L_2(X)$上的Dirichlet型，$Ω$是$X$的开子集.然后，可以定义狄利克雷形式${\cal E}_D$或${\cal E}_N$，对应于${\cal E}$，但具有狄利克雷或诺依曼，施加在$Ω$的边界$\partialΩ$上的边界条件。如果$S$，$S^D$和$S^N$是相应的子马尔可夫半群，在正则性和局部性的一般假设下，我们证明了对于所有的$ϕ\in L_2(Ω)$和$t>0$，$S_tϕ= S^D_tϕ$当且仅当$\partial Ω$相对于$Ω$的容量${\mathop{\rm cap}}_Ω(\partialΩ)$为零.此外，如果$S$是保守的，即随机完全的，则当且仅当$S^D$对$L_2(Ω)$是保守的，则${\mathop{\rm cap}}_Ω(\partialΩ)=0$。在稍微更严格的假设下，我们还证明了相对容量的消失对于所有的$ϕ\in L_2(Ω)$和$t>0$都等价于$S^D_t ϕ= S^N_t ϕ$。
2009-03-31 math.AP
Vanishing viscosity solutions of a $2 \times 2$ triangular hyperbolic system with Dirichlet conditions on two boundaries
考虑区域$(t, x) \in ]0, + \infty[ \times ]0, l[$上的$2 \times 2$抛物型方程组\begin{equation*} u^ε_t + A(u^ε) u^ε_x = εu^ε_{xx} \end{equation*}，在$x=0$和$x=l$上施加Dirichlet边界条件.假设矩阵$A$是三角形形式的，并且是严格双曲的，并且边界不是特征的，即，$A$的特征值不同于0。我们表明，如果初始和边界数据有足够小的总变差，那么解决方案$u^ε$存在的所有$t \geq 0$和依赖Lipschitz连续$L^1$的初始和边界数据。此外，作为$ε\to 0^+$，解$u^ε(t)$在$L^1$中收敛到唯一的极限$u(t)$，该极限可以看作是拟线性双曲型系统\begin{equation*} u_t + A(u)u_x = 0, \quad x \in ]0, l[. \end{equation*}的消失粘性解。该解$u(t)$在$L^1$中关于初始和边界数据连续地依赖于Lipschitz。我们还精确地描述了在这个意义上的边界数据假设的双曲系统的解决方案。2000年数学学科分类：35L65。关键词：双曲型方程组，守恒律，初边值问题，粘性近似。
2005-11-11 math.AP
Existence of three positive solutions for a nonlocal singular dirichlet boundary problem
本文证明了如下非局部奇异问题\begin{equation*} (P_\la)\left\{ \begin{split} (-\De)^su &= \la\frac{f(u)}{u^q}, \; \; u>0 \;\; \text{in}\;\; \Om,\\ u &= 0\;\; \text{in}\;\; \mb R^n \setminus \Om \end{split} \right. \end{equation*}至少存在三个正解，其中$(-\De)^s$表示$s\in (0,1)$，$n>2s$，$q \in (0,1)$，$\la>0$的分数Laplace算子，$\Om$是$\mb R^n$中的光滑有界区域.这里$f :[0,\infty) \to [0,\infty)$是满足$\lim\limits_{u\to \infty}\frac{f(u)}{u^{q+1}}=0$的连续非减映射。我们表明，在某些额外的假设$f$，$(P_\la)$拥有至少三个不同的解决方案，一定范围内的$\la$。利用亚上解方法和Amann \cite{amann}的临界点定理证明了我们的结果。此外，我们证明了一个新的存在性结果的一个合适的无限半正非局部问题，发挥了至关重要的作用，以获得我们的主要结果，是独立的兴趣。\medskip
2018-01-19 math.AP
Nodal Solutions for sublinear-type problems with Dirichlet boundary conditions
考虑\[ -Δu=f(u) \text{ in } Ω, \qquad u=0 \text{ on } \partial Ω, \]型非线性二阶椭圆问题，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 2$中的一个开$C^{1,1}$ -域，在一些一般的非线性假设下，包括次线性纯幂$f(s)=|s|^{p-1}s$和$0<p<1$的情况，以及Allen-Cahn型$f(s)=λ(s-|s|^{p-1}s)$和$p>1$和$λ>λ_2(Ω)$（Laplacian的第二Dirichlet特征值）的情况.我们证明了存在一个最小的能量节点（即符号变化）的解决方案，并通过山型的节点解决方案。然后，我们给出明确的例子域的相关水平不一致。对于$Ω$是一个球或环和$f$是类$C^1$的情况下，我们证明，而不是水平一致，最少的能量节点的解决方案是非径向，但轴对称的功能。最后，我们提供了更强的Allen-Cahn型的非线性$Ω$的情况下，无论是一个球或一个正方形的结果。特别是，我们给出了一个完整的描述的解决方案集$λ\sim λ_2(Ω)$，计算莫尔斯指数的解决方案。
2020-03-30 math.AP
Multiple solutions for a class of nonhomogeneous elliptic systems with Dirichlet boundary or Neumann boundary
本文利用单调算子理论和空间增维技巧，证明了一类带有Dirichlet或Neumann边值的非齐次拟线性椭圆系统在参数特定开区间内至少存在三个非平凡解。
2024-06-27 math.AP
Prescribed Scalar Curvature Problem under Conformal Deformation of A Riemannian Metric with Dirichlet Boundary Condition
本文首先证明了对于所有具有非空光滑边界且维数至少为3的紧致黎曼流形，存在一个度量，它逐点共形于原度量，内部具有常数数量曲率，边界上也具有常数数量曲率，并将边界看作是它自己的维数至少为2的流形.然后，我们显示了一系列规定的数量曲率的结果，在内部和边界上，逐点保形变形。这类结果既是Kazdan和Warner的“三分定理”在不同类型流形上的类比和推广。这类问题的关键是求一个带Dirichlet边界条件的Yamabe方程的正的光滑解。
2022-08-24 math.AP math.DG
Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions
考虑了上边界为Dirichlet边界条件，下边界为频繁交替边界条件的平面带中的拉普拉斯算子。交替引入的周期性分区的边界上的狄利克雷和诺依曼条件轮流施加到小的部分。证明了在一定条件下齐次算子是Dirichlet Laplacian算子，并证明了齐次算子的一致预解式收敛性。扰动算子的谱仅由其本质部分组成，并且具有带结构。我们构造了第一带函数的渐近展开的首项。我们还构造了谱底的完全渐近展开。
2009-05-04 math.AP math.SP
Generic properties of the spectrum of the Stokes system with Dirichlet boundary condition in R^3
设（SD_Ω）是定义在R^3的有界区域Ω上的具有Dirichlet边界条件的Stokes算子。证明了一般地对于具有C^5边界的区域Ω，（SD_Ω）的谱满足C. Foias和J.C. Saut将Navier-Stokes方程组在R^3的有界区域Ω中线性化，并带有Dirichlet边界条件。为此目的，我们首先证明，一般地关于具有C^5边界的区域Ω，（SD_Ω）的所有特征值都是单的。这肯定地回答了J. H. Ortega和E.祖阿祖阿这些结果的证明遵循一个标准的策略，基于一个矛盾的论点，需要形状分化。在仔细选择的域变化的方向上，一个人需要形状微分至少两倍于初始问题。矛盾论证的主要步骤是研究与这些域变化相关的狄利克雷-诺依曼算子的评价。
2013-03-18 math.AP
Heat flow from polygons
本文研究了$\R^2$中开有界集$D$的热流问题，该集具有多边形边界$\partial D$。初始条件是$D$的指示函数。一个Dirichlet $0$边界条件已被施加到$\partial D$的一些但不是所有的边缘。我们计算$D$在$\R^2$中的$t$的热含量，直到指数小的余数为$t\downarrow 0$。
2019-08-29 math.AP
On the relationship of continuity and boundary regularity in PMC Dirichlet problems
1976年，Leon Simon证明了如果一个域的边界的一个紧致子集是光滑的并且有负中曲率，那么具有Lipschitz连续Dirichlet边界数据的非参数最小面积问题有一个广义解，它在域和这个边界的紧致子集的并集上是连续的，即使这个广义解不取预定的边界数据。Simon的结果已被其他作者推广到给定中曲率方程的边值问题.本文构造了具有角点的区域上的狄利克雷问题，并证明了这些狄利克雷问题的变分解在角点处是不连续的，从而说明Simon关于区域边界正则性的假设是必要的.
2015-08-05 math.AP
Direct and Indirect Physics-Informed Neural Networks for Dirichlet Boundary Control of Semilinear Parabolic Equations: A Conditional Error Analysis
Faculty of Mathematics and Informatics, Hanoi University of Science and Technology（河内科技大学数学与信息学院）
本研究针对半线性抛物方程Dirichlet边界控制问题，提出并分析了直接与间接两种物理信息神经网络方法，建立了间接方法的条件误差估计框架，并通过数值实验验证了其行为。
2026-09-15 math.AP
Rigidity of inverse problems for nonlinear elliptic equations on manifolds
针对带边界 Riemannian 流形上半线性椭圆方程的系数反问题，论文证明其一般不可行，并通过刚性表述证明：在适当条件下，DN 映射与线性方程一致即强制方程为线性。
2023-06-09 math.AP
Exact Controllability for a Schrödinger equation with dynamic boundary conditions
本文研究了具有混合边界条件的薛定谔方程在边界的不相交子集上的能控性：Wentzell型动态边界条件和Dirichlet边界条件.本文的主要结果是通过相关伴随系统的新Carleman估计给出的，其中构造了专门适应域几何形状的权函数。利用这些估计，我们证明了系统的精确可控性与边界控制只作用在边界的Dirichlet条件的一部分。此外，我们还得到了系统的分布精确能控性结果。
2023-01-06 math.AP math.OC
Dirichlet boundary values on Euclidean balls with infinitely many solutions for the minimal surface system
我们作出系统的发展Lawson-Osserman建设有关的狄利克雷问题（单位磁盘）的极小曲面的高余维在1977年学报论文。特别地，我们证明了边界函数的存在性，其中无穷多个分析解和至少一个非光滑Lipschitz解同时存在。这一新发现的有趣现象丰富了对劳森-奥瑟曼哲学的理解。
2019-05-21 math.AP math.DG
Optimal design problems for the first $p-$fractional eigenvalue with mixed boundary conditions
本文研究了具有混合边界条件的分数阶$p-$拉普拉斯算子第一特征值的最优形状设计问题。优化变量是施加狄利克雷条件的集合（其被限制为具有等于规定量$α$的度量）。我们证明了一个最优设计的存在性，并分析了当分数参数$s\uparrow 1$获得独立于$α$的渐近界时的渐近行为。
2017-02-14 math.AP
BIE and BEM approach for the mixed Dirichlet-Robin boundary value problem for the nonlinear Darcy-Forchheimer-Brinkman system
本文对二维有界Lipschitz区域上非线性Darcy-Forchheimer- Brinkman方程组的混合Dirichlet-Robin边值问题的弱解进行了数学分析，并将所得结果应用于不可压缩粘性流体在多孔介质中的方腔内的盖驱动流动问题的研究.首先利用变分方法对相应的边界积分方程进行求解，得到了具有Dirichlet-Neumann边界条件的线性Brinkman系统的适定性结果.将所得结果推广到Brinkman系统的Poisson问题和Dirichlet- Robin边界条件。进一步，我们研究了Dirichlet和Robin型的非线性Darcy-Forchheimer- Brinkman边值问题.利用对偶互易边界元法（DRBEM），数值研究了一类特殊的非线性Darcy-Forchheimer-Brinkman方程组的Dirichlet-Robin边值问题，即：盖子驱动的空腔流动问题。通过不同雷诺数和达西数下流体流线的几何形状，讨论了这种流动的物理性质。此外，一个额外的滑动参数施加在移动的墙壁上，我们通过将上盖分割成两个相对的移动段来显示它的重要性。
2018-10-12 math-ph math.AP math.MP
Multiplicity Results for the Nonlinear Weighted Laplacian Equation on the Sierpiński Gasket
Institute of Mathematics, Lodz University of Technology（罗兹理工大学数学研究所）；Department of Mathematics, Silesian University of Technology（西里西亚理工大学数学系）
研究 Sierpiński 垫片上加权拉普拉斯方程 Dirichlet 边值问题，通过直接法、山路定理及相关多重性定理，在非线性项满足适当增长条件下给出解的存在性与多重性结果。
2026-06-12 math.AP
Operator estimates for non-periodically perforated domains with Dirichlet and nonlinear Robin conditions: strange term
考虑一般二阶线性方程在具有细穿孔区域上的边值问题。后者是由小空腔制成的;空腔的形状及其分布都是任意的。腔体的边界要么服从Dirichlet条件，要么服从非线性Robin条件。在穿孔上，施加某些相当弱的条件，以确保在均匀化下，我们在非穿孔区域中获得类似的问题，在方程中具有通常称为奇异项的附加势。我们的主要结果状态的扰动问题的解决方案的$W_2^1$ -和$L_2$ -规范均匀的$L_2$-规范的右手边的方程。建立了收敛速度的估计，并讨论了它们的阶数的尖锐性.
2022-08-23 math-ph math.AP math.MP
Inequalities for eigenvalues of Schrödinger operators with mixed boundary conditions
本文研究有界凸区域上带混合边界条件的薛定谔算子特征值问题，证明了不同边界条件选择下最低特征值之间的不等式，以及多维多面体区域上高阶混合特征值与纯狄利克雷特征值之间的不等式。
2024-08-16 math-ph math.AP math.MP
Asymptotic behavior of generalized capacities with applications to eigenvalue perturbations: the higher dimensional case
本文建立三维及更高维中广义 $u$-容量的完整渐近展开，并将其用于分析区域内小正则子集施加 Dirichlet 条件时特征值的扰动行为。
2023-09-26 math.AP math.SP
Nonlinear nonhomogeneous Dirichlet equations with a superlinear reaction
考虑一类由非线性非齐次微分算子驱动的非线性椭圆Dirichlet方程，该方程包含一个$(p-1)$ -超线性的Carathéodory反应，但不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件.首先，我们证明了一个三解定理，它推广了Wang（Ann.Inst.H。庞加莱肛门。Non Linéaire 8（1991），no. 1，43- 57）。随后，通过对反应$f(x,\cdot)$施加额外的条件，我们产生了两个以上的非平凡常数符号的解决方案和一个节点的解决方案，总共有五个非平凡的解决方案。在特殊的情况下，$(p,2)$ -方程，我们证明了第二个节点解的存在性，共六个非平凡的解决方案给出了完整的符号信息。最后，我们研究了一个非线性本征值问题，我们表明，该问题至少有两个非平凡的正解的所有参数$λ>0$足够小，其中一个解决方案消失的Sobolev规范为$λ\to 0^+$和其他一个爆破（再次在Sobolev规范）为$λ\to 0^+$。
2013-09-28 math.AP
On the Large Time Behavior of Solutions of the Dirichlet problem for Subquadratic Viscous Hamilton-Jacobi Equations
本文研究了次二次粘性Hamilton-Jacobi方程狄利克雷问题解的大时间行为。在超二次情形下，第三作者证明了这些解只能有两种不同的行为：要么演化方程的解收敛到相关的平稳广义狄利克雷问题的解（只要它存在），要么它的行为类似于$-ct+φ(x)$，其中$c\geq0$是一个常数，通常称为“遍历常数”，而$φ$是所谓“遍历问题”的解。在本次二次情形中，我们证明了情况稍微复杂一些：如果方程中的梯度增长类似于$|Du|^m$与$m>3/2,$，则类似的结果与超二次情况相同，至少如果$c>0.$，但是，相反，如果$m\leq 3/2$或$c=0,$，则出现另一个不同的行为，因为$u(x,t) + ct$可以从下面无界，其中$u$是次二次粘性Hamilton的解。雅可比方程
2009-12-17 math.AP
Hardy inequalities for p-Laplacians with Robin boundary conditions
本文研究了凸区域上p-Laplace算子在Robin边界条件下的Hardy不等式中的最佳常数.我们表明，特别是，最好的常数等于$((p-1)/p)^p$每当Dirichlet边界条件施加在一个子集的边界的非零措施。我们还讨论了对非凸区域的一些推广。
2014-07-21 math.AP math.SP
Inverse spectral problems in rectangular domains
本文考虑了n维矩形区域上的Schrodinger算子，在面上具有Dirichlet或Neumann边界条件，研究了固定算子的谱对位势的约束，并研究了t趋于0时热核的渐近性.
2006-09-27 math.AP math.SP
On a nonlinear parabolic problem arising in the quantum diffusive description of a degenerate fermion gas
本文从理论和数值两方面研究了零温极限下描述费米子气体的非线性漂移-扩散方程。该方程被认为是一个有界域的边界被分为一个“绝缘”的部分，其中施加均匀的诺依曼条件，和一个“接触”的部分，其中分配非齐次狄利克雷数据。通过假设一个简单的区域配置，证明了一类合适的Dirichlet数据的平稳解的存在性。对于更复杂的畴结构，通过数值实验研究了含时解的长时间行为。
2020-06-04 math-ph math.AP math.MP
Existence of solutions for Kirchhoff-type fractional Dirichlet problem with $p$-Laplacian
研究了一类含Riemann-Liouville分数阶导数和参数$λ$的$p$ -Laplacian分数阶Kirchhoff型方程组解的存在性.利用山路引理，对每个给定的大参数$λ$，在一定的局部超二次条件下，得到了系统至少存在一个非平凡弱解$u_λ$.得到了参数$λ$的一个具体下界，进而得到了弱解$u_λ$的两个估计.当$λ$趋向于$\infty$时，我们还得到了$u_λ\to 0$.最后，我们提出了一个例子作为我们的结果的应用。
2019-11-28 math.AP math.DS
Detecting inclusions with a generalized impedance condition from electrostatic data via sampling
本文导出了一种采样方法，用以解决从静电柯西数据中恢复具有广义阻抗条件的夹杂的形状反问题。广义阻抗条件是应用于夹杂边界的二阶微分算子。我们假设狄利克雷到诺依曼映射是通过测量外边界上的电流来给出的。一个简单的数值例子表明，所提出的反演方法恢复夹杂物的有效性。我们还考虑了从Dirichlet到Neumann映射确定材料参数的逆阻抗问题，假设内含物已被重建，其中证明了系数重建的唯一性。
2019-05-28 math-ph math.AP math.MP
A classical Perron method for existence of smooth solutions to boundary value and obstacle problems for degenerate-elliptic operators via holomorphic maps
利用Perron方法的一个新版本，证明了退化椭圆型线性二阶偏微分算子在部分Dirichlet边界条件下的边值问题和障碍问题解的存在性.所考虑的椭圆算子沿着区域边界的一部分具有退化性，这类似于Daskalopoulos和Hamilton（1998）在多孔介质方程的研究中确定的模型线性算子的退化性或数学金融中的Heston算子（1993）的退化性。存在一个解决方案的狄利克雷问题的半球，其中运营商成为退化的平坦边界和狄利克雷条件只施加在球形边界上，提供了关键的额外成分所需的Perron方法。半球上的狄利克雷问题的解可以通过一个合适的在二维上全纯的双同态转化为无限平板上的狄利克雷问题。所需的Schauder正则性理论和存在的解的狄利克雷问题的板，但可以得到使用以前的工作，作者和C。流行[arXiv：1210.6727]。我们的Perron方法依赖于退化椭圆算子的弱最大值原理和强最大值原理、退化椭圆算子的边界值和障碍问题的连续子解和上解的概念以及作者以前开发的最大值和比较原理估计[arXiv：1204.6613]。
2013-04-18 math.AP math.DG math.PR
Stability and continuity of functions of least gradient
本文证明了在度量测度空间上，最小梯度函数以及面积泛函（在测度为零的集合上修改后）的局部极小元在其跳集外处处连续.作为一种工具，我们发展了最小梯度函数序列的一些稳定性性质。我们还应用这些工具来证明一个最大值原理的最小梯度的功能，出现作为解决方案的狄利克雷问题。
2014-10-09 math.AP math.MG math.OC
Spectral results for mixed problems and fractional elliptic operators
在第一部分的文件中，我们显示Weyl型谱渐近公式的伪微分算子$P_a$的顺序$2a$，与类型和因子分解指数$a\in R_+$，限制到紧集的边界，这包括分数幂的拉普拉斯算子。描述了本征函数的定义域和正则性。在第二部分中，我们将其应用于研究二阶强椭圆对称微分算子$A$在有界光滑集$Ω\subset R^n$上的混合问题的$A_{χ,Σ_+}$在$L_2(Ω)$中的实现;这里将边界$\partialΩ=Σ$光滑地划分为$Σ=Σ_-\cup Σ_+$，将Dirichlet条件$γ_0u=0$强加于$Σ_-$，并将Neumann或Robin条件$χu=0$强加于$Σ_+$。证明了Dirichlet-to-Neumann算子$P_{γ,χ}$主要是$\frac12$型的，其因子分解指数为$\frac12$，相对于$Σ_+$ .上述理论允许$D(A_{χ,Σ_+})$与$H^{\frac32}(Ω)$以外的奇异元素的详细描述，并导致一个频谱渐近公式的克莱因预解式差$A_{χ,Σ_+}^{-1}-A_γ^{-1}$。
2014-07-16 math-ph math.AP math.FA
Median values, 1-harmonic functions, and functions of least gradient
受调和函数的中值性质的启发，我们引入了二元连续函数的局部中值性质和整体中值性质。我们证明了与局部中值性质相关的狄利克雷问题要么容易解决，要么不可能解决，并且证明了具有此性质的连续函数在粘性意义下是1-调和函数.最后，我们提出如下猜想：具有全局中值性质和给定边界值的连续函数与具有相同边界值的最小梯度函数重合。
2011-08-05 math.AP math.CA
Dirichlet eigenfunctions with nonzero mean value
本文研究光滑区域上 Dirichlet 特征函数的非零平均值计数，证明前 $n$ 个特征函数中至少约 $n^{1/d}/\sqrt{\log n}$ 个具有非零平均值，表明球域给出的速率在对数因子内最优。
2025-03-15 math.AP math.SP
A least-squares Galerkin gradient recovery method for fully nonlinear elliptic equations
本文提出了一种基于最小二乘Galerkin的梯度恢复方法来逼近狄利克雷问题，得到了线性椭圆型非发散问题的强解及其相应的先验和后验误差界.这种方法用于解决完全非线性椭圆问题，例如，Monge-Ampère，Hamilton-Jacobi-Bellman，使用光滑（香草）和半光滑牛顿线性化。我们讨论了数值结果，包括自适应方法的基础上的后验误差指标。
2020-07-30 cs.NA math.AP math.NA
Probabilistic representation of weak solutions to a parabolic boundary value problem on a non-smooth domain
抛物型边值问题弱解的概率表示在下面的框架中建立。该边值问题由定义在欧几里得空间中时变Lipschitz区域上的二阶抛物型方程和由Robin条件和齐次Dirichlet条件组成的混合边界条件组成。假设时变域包含在一个固定的光滑域中，并且时变域的边界的某一部分也包含在固定域的边界中，即固定边界。Robin条件被施加在包含在固定边界中的边界的一部分上，Dirichlet条件被施加在边界的其余部分上。这样的抛物型边值问题对于给定的数据总是有唯一的弱解;然而，它一般不具有经典解或强解，即使在常系数方程的情况下也是如此。还考虑了边值问题的随机解，通过证明两个解之间的相等性，得到了弱解的概率表示。此外，它是确保，对于弱解，随机解给出了一个版本，这是连续的区域的侧边界，除了相邻的地方施加的每个边界条件的边界。作为一个应用，它示出的连续性的功能（费用函数）有关的最优停止问题的反问题确定的形状的域的动机。
2020-03-26 math.AP math.PR
Inequalities between the lowest eigenvalues of Laplacians with mixed boundary conditions
考虑了有界、平面、凸区域上Laplacian算子的本征值问题，其中Dirichlet边界条件施加在边界的一部分上，Neumann边界条件施加在边界的补充上.给定两个不同的边界条件的选择相同的域，我们证明他们的最低特征值之间的不等式。作为特例，我们证明了关于三角形混合特征值阶的猜想的部分内容。
2023-01-25 math-ph math.AP math.MP
