Non-linear evolution equations and hyperelliptic covers of elliptic curves
Armando Treibich
本文研究了Korteweg-deVries方程、sine-Gordon方程、非线性薛定谔方程和一维Toda方程的双周期解的谱曲线的一般性质，并构造了任意亏格的例子.
We study the general properties of spectral curves associated to doubly-periodic solutions of Korteweg-deVries, sine-Gordon, Non-linear Schrödinger and 1D Toda equations, and construct examples of arbitrary genus.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Hyperelliptic curves covering an elliptic curve twice
本文证明了对特征不等于2和3的域上的任意椭圆曲线（j不变量不为0或1728），存在亏格为5的超椭圆曲线H，H具有两个到给定椭圆曲线的独立映射.我们还表明，如果我们希望这样的曲线是几何超椭圆的，所以有一个度2映射到一个圆锥曲线，那么有一些亏格3。
In this note, we investigate Goppa codes which are constructed by means of Elliptic function field and Hyperelliptic function field. We also give a simple criterion for self-duality of these codes.
Consider a hyperelliptic integral $I=\int P/(Q\sqrt{S}) dx$, $P,Q,S\in\mathbb{K}[x]$, with $[\mathbb{K}:\mathbb{Q}]<\infty$. When $S$ is of degree $\leq 4$, such integral can be calculated in terms of elementary functions and elliptic integrals of three kinds $\mathcal{F},\mathcal{E},Π$. When $S$ is of higher degree, it is typically non elementary, but it is sometimes possible to obtain an expression of $I$ using also elliptic integrals when the Jacobian of $y^2=S(x)$ has elliptic factors. We present an algorithm searching for elliptic factors and a modular criterion for their existence. Then,…
Exceptional points in the elliptic-hyperelliptic locus
紧致黎曼曲面的模空间中的例外点是唯一的曲面类，其全自同构群具有三角签名。允许共形对合与椭圆曲线有商的曲面称为椭圆-超椭圆曲面;允许反共形对合的曲面称为对称曲面。本文在拓扑共轭的条件下，确定了椭圆-超椭圆轨迹上对称例外点的共形和反共形自同构的完全群。我们确定这样的曲面的任何对称的椭圆的数量。我们表明，虽然椭圆超椭圆轨迹可以包含任意大量的例外点，不超过四个对称。
The article is devoted to the classical problems about the relationships between elliptic functions and hyperelliptic functions of genus 2. It contains new results, as well as a derivation from them of well-known results on these issues. Our research was motivated by applications to the theory of equations and dynamical systems integrable in hyperelliptic functions of genus 2. We consider a hyperelliptic curve $V$ of genus 2 which admits a morphism of degree 2 to an elliptic curve. Then there exist two elliptic curves $E_i$, $i=1,2$, and morphisms of degree 2 from $V$ to $E_i$. We construct hy…
Methods for constructing elliptic and hyperelliptic curves with rational points
我提供的方法来构建椭圆和超椭圆曲线在全球领域的有趣的有理点在给定的领域或超过大的域扩张。给出了定义在任意给定数域上的椭圆曲线的一个有理点，（分别为）有两个有理点）和最简三次域上有两个有理点的有理数上的椭圆曲线。我还提供了亏格超过任何给定数的超椭圆曲线在任何给定数域上，其点（在给定数域上）跨越该曲线的雅可比矩阵的有理点组中的秩至少为$g$的子群。我还提供了一种方法来构建超椭圆曲线的有理函数域上的有理点定义在域扩张与大型有限简单伽罗瓦群，如马蒂厄组$M_{24}$。
We establish a connection between torsion packets on curves of genus $2$ and pairs of elliptic curves realized as double covers of the projective line $\mathbb{P}_{x}^{1}$ that have many common torsion $x$-coordinates. This can be used to show that the set of common torsion $x$-coordinates has size at least $22$ infinitely often and has $34$ elements in some cases. We also explain how we obtained the current record example of a hyperelliptic torsion packet on a genus $2$ curve.
Elliptic and Hyperelliptic Solutions of Discrete Painlevé I and Its Extensions to Higher Order Difference Equations
离散的潘勒韦方程I的解是用椭圆和超椭圆$ψ$函数构造的，它们分别对应于1和2个代数曲线。对于亏格为2的情形，出现了高阶差分方程，它自然包含离散的潘勒韦方程I作为特例.
Genus 3 hyperelliptic curves with (2, 4, 4)-split Jacobians
研究了定义在$\mathbb C$上亏格为3的超椭圆曲线的2次和4次椭圆子覆盖.亏格为3的超椭圆曲线族是超椭圆模$\mathcal H_3$的一个二维子变种，它对椭圆曲线$E$有2次覆盖，对椭圆曲线$E_1$和$E_2$有4次覆盖。我们明确地确定这个子变种。对于任何给定的模点$\mathfrak p \in \mathcal H_3$，我们明确地确定相应的亏格3曲线$\mathcal X$是否属于这样的家庭。当它这样做时，我们可以确定椭圆子覆盖$E$，$E_1$和$E_2$在绝对不变量$t_1, \dots, t_6$的\cite{hyp_mod_3}。该簇提供了一个新的亏格为3的超椭圆曲线族，其中Jacobian完全分裂。当$E_1$同构于$E_2$时，该族的子轨迹是我们明确确定的一维簇.我们还可以从$E_1$的$j$ -不变量开始确定$\mathcal X$和$E$。
Reduction of bielliptic hyperelliptic functions of genus 3
针对亏格3超椭圆函数的约化问题，受方程理论与超椭圆函数可积动力系统应用启发，研究人员将具有2次椭圆曲线态射的亏格3超椭圆曲线的对应超椭圆函数，用Weierstrass椭圆函数和亏格2超椭圆函数表示。
Some addition formulae for Abelian functions for elliptic and hyperelliptic curves of cyclotomic type
讨论亏格为1和亏格为2的特殊曲线上的Weierstrass函数的一族多项加法公式。在亏格一的情况下，我们发现新的加法公式的等调和和双纽线的情况下，在亏格二，我们发现一些新的加法公式的曲线，包括伯恩赛德曲线。
Maximal singular curves over finite fields from elliptic and hyperelliptic curves
本文构造有限域上达到Aubry-Perret界的极大奇异曲线族，利用椭圆/超椭圆曲线的线性投影和Gorenstein曲线理论，并确定所得曲线的gonality。
An algorithm for computing the Weierstrass normal form of hyperelliptic curves
给出了计算超椭圆曲线规范形的一种算法。椭圆的情况下已处理在以前的文件。本文讨论超椭圆情形。
Counting rational points on elliptic and hyperelliptic curves over function fields
结合2-下降、Riemann-Roch和Bézout定理，给出函数域上椭圆与超椭圆曲线有界高度有理点及S-整点数的上界，并应用于小有限域上雅可比簇挠部分，改进了已知上界。
Prym varieties of étale covers of hyperelliptic curves
众所周知，超椭圆曲线的一个椭圆循环覆盖的Prym簇与两个Jacobian的乘积是同构的。此外，如果覆盖的次数是奇数或全等于2 mod 4，则标准同构是同构。我们计算的程度，这是同构在其余的情况下，并表明，只有在覆盖的程度4，它是一个同构。
Klein coverings over hyperelliptic genus 3 curves
本文研究了超椭圆亏格为3的曲线的克莱因覆盖的模空间，证明了普里姆映射的单射性，并展示了其普里姆映射的有限性。
Hyperelliptic curves and Hitchin tangential covers
在\cite{kim11}中，我们将Treibich-Verdier理论\cite{trei89,tv90,trei97}中关于椭圆孤子的一个相切条件推广到Hitchin系统中。作为这一推广的应用，我们将定义所谓的Hitchin超椭圆切覆盖，并证明它们在所有Hitchin切覆盖中的有限性。
On hyperelliptic modular curves over function fields
证明了$\mathbb{F}_q(T)$上的$D$ -椭圆层的超椭圆的模曲线只有1000条.在奇特征中，我们给出了这类曲线的一个完全分类。
Derived equivalences of canonical covers of hyperelliptic and Enriques surfaces in positive characteristic
证明了正特征的代数闭域上交换曲面的任何Fourier-Mukai伙伴同构于Gieseker稳定层的模空间。我们应用这一事实表明，傅立叶-Mukai集的规范覆盖的超椭圆和Enriques表面上的代数闭域的特征大于3是平凡的。这些结果推广到Bridgeland-Maciocia和Sosna的积极特征的早期结果。
Let $K$ be a field of characteristic different from $2$, $\bar{K}$ its algebraic closure. Let $n \ge 3$ be an odd integer. Let $f(x)$ and $h(x)$ be degree $n$ polynomials with coefficients in $K$ and without repeated roots. Let us consider genus $(n-1)/2$ hyperelliptic curves $C_f: y^2=f(x)$ and $C_h: y^2=h(x)$, and their jacobians $J(C_f)$ and $J(C_h)$, which are $(n-1)/2$-dimensional abelian varieties defined over $K$. Suppose that one of the polynomials is irreducible and the other splits completely over $K$. We prove that if $J(C_f)$ and $J(C_h)$ are isogenous over $\bar{K}$ then there is …
On the Prym map of degree 4 cyclic covers of hyperelliptic curves
本文研究四次无挠覆盖的普里姆映射，证明当g≥3时映射在特定组件上是单射的，并在g=2时描述了非空纤维的结构。
Let $n$ be an integer such that the modular curve $X_0(n)$ is hyperelliptic of genus $\ge2$ and such that the Jacobian of $X_0(n)$ has rank $0$ over $\mathbb Q$. We determine all points of $X_0(n)$ defined over quadratic fields, and we give a moduli interpretation of these points. As a consequence, we show that up to $\overline{\mathbb Q}$-isomorphism, all but finitely many elliptic curves with $n$-isogenies over quadratic fields are in fact $\mathbb Q$-curves, and we list all exceptions. We also show that, again with finitely many exceptions up to $\overline{\mathbb Q}$-isomorphism, every $\m…
Nonlinear Schrödinger equation in terms of elliptic and hyperelliptic $σ$ functions
本文用超椭圆sigma函数将非线性薛定谔方程的代数微分关系从亏格一推广到亏格二和亏格三，扩展了椭圆函数解的理论。
Hyperelliptic curves over F_2 of every 2-rank without extra automorphisms
证明了对任意一对整数0 \leq r \leq g，使得g \geq 3或r>0，存在亏格g和2秩r的F2上的（超）椭圆曲线C，其自同构群仅由单位元和（超）椭圆对合组成.作为应用，我们证明了F_2上g维2秩r的主极化阿贝尔簇（A，λ）的存在性，使得\Aut（A，λ）={ \pm 1}.
Average size of 2-Selmer groups of Jacobians of hyperelliptic curves over function fields
本文计算了函数域上两类带标记点的超椭圆曲线的2-Selmer群的平均长。结果将通过几何方法获得，该方法可以被认为是先前由Q. P. Ho，V.B. Le Hung和B. C. Ngo的方法得到了椭圆曲线的2-Selmer群的平均长度。
Geometric, algebraic and analytic properties of $\mathrm{al}_{ab}$ function for hyperelliptic curves of genus $g$
本文研究双曲曲线X的al_ab函数的几何、代数和分析性质，这些函数是Jacobi椭圆函数的推广，并推导出新的可积非线性偏微分方程。
Unirational quasi-hyperelliptic surfaces in characteristic five
本文研究特征5下的单有理拟超椭圆曲面，对其奇异纤维分类，给出算术亏格和典范除子自交数公式，并作为推论通过确定奇异纤维组合、定义方程和截面分类有理拟超椭圆曲面。
Hyperelliptic Integrable Systems on K3 and Rational Surfaces
我们给出了几个与特殊K3和有理曲面相关的可积系统的例子（例如，椭圆K3曲面、由射影平面的双重覆盖给出的K3曲面、有理椭圆曲面等）。的建设，Beauvilles的一般思想的基础上，大大简化的事实，即所有的例子描述的超椭圆曲线和雅可比。这也使得比较这些可积系统与更经典的可积系统，如诺依曼系统和周期Toda链，这也与合理的表面。一个微妙的区别的情况下，K3和合理的表面指出。
Theta-duality and Prym-Torelli for cyclic covers of hyperelliptic curves
本文通过theta对偶性重构方法，研究超椭圆曲线奇素数度循环覆盖的Prym映射的通用单射性，识别出额外剩余轨迹，并在不同度下给出单射性条件。
Involutions on hyperelliptic curves and Prym maps
本研究从Prym理论视角探究带额外对合的光滑超椭圆曲线几何，证明了正亏格超椭圆曲线上超椭圆$\n\mathbb{Z}_2^2$-覆叠的Prym映射的单射性。
We complete the computation of all $\mathbb{Q}$-rational points on all the $64$ maximal Atkin-Lehner quotients $X_0(N)^*$ such that the quotient is hyperelliptic. To achieve this, we use a combination of various methods, namely the classical Chabauty--Coleman, elliptic curve Chabauty, quadratic Chabauty, and the bielliptic quadratic Chabauty method combined with the Mordell-Weil sieve. Additionally, for square-free levels $N$, we classify all $\mathbb{Q}$-rational points as cusps, CM points (including their CM field and $j$-invariants) and exceptional ones. We further indicate how to use this …
Weierstrass semigroups from cyclic covers of hyperelliptic curves
本文研究了超椭圆曲线循环覆盖的 Weierstrass 半群可实现性问题，证明了其可实现性由超椭圆 Jacobi 簇中相关除子类在 $j$ 倍乘法下的行为决定。
Hyperelliptic curves on $(1,4)$ polarised abelian surfaces
研究了一般复阿贝尔曲面上光滑超椭圆曲线的个数和几何性质。我们证明了这类曲线族的唯一可能性是$2,3,4$和$5$。我们专注于Genus 5的案例。证明了在平移之前，一般$(1,4)$极化阿贝尔曲面的线性系中存在唯一的超椭圆曲线。此外，曲线是不变的关于一个子群的翻译同构的克莱因群。我们给出了这样的曲线的雅可比矩阵分解成交换子簇，显示商曲线的雅可比矩阵和Prym簇。受此构造的启发，证明了如下命题：超椭圆曲线的每一个étale Klein覆盖都是超椭圆曲线，条件是定义覆盖的$2$ -扭点群关于Weil对是各向异性的，并且这个群的每一个元素都可以表示为两个Weierstrass点的差.
On the Mahler measure of hyperelliptic families
我们证明博伊德的“意想不到的巧合”的马勒措施的两个家庭的二元多项式定义曲线的亏格2。我们进一步等同于相同的措施，以马勒措施的多项式$y^3-y+x^3-x+kxy$的零轨迹定义椭圆曲线$k\ne0,\pm3$。
Let $K$ be a field of characteristic different from $2$, $\bar{K}$ its algebraic closure. Let $n \ge 3$ be an odd prime such that $2$ is a primitive root modulo $n$. Let $f(x)$ and $h(x)$ be degree $n$ polynomials with coefficients in $K$ and without repeated roots. Let us consider genus $(n-1)/2$ hyperelliptic curves $C_f: y^2=f(x)$ and $C_h: y^2=h(x)$, and their jacobians $J(C_f)$ and $J(C_h)$, which are $(n-1)/2$-dimensional abelian varieties defined over $K$. Suppose that one of the polynomials is irreducible and the other reducible. We prove that if $J(C_f)$ and $J(C_h)$ are isogenous ove…
Some explicit elliptic modular surfaces
我们考虑代数曲面，最近构造的Schreieder，这是光滑的模型的商的自产品的一个复杂的超椭圆曲线的$(\mathbb{Z}/3^c\mathbb{Z})$ -行动。我们表明，这些表面是椭圆模表面的Shioda的意义上，特别是这意味着他们是普遍的家庭明确的模量的椭圆曲线。
From hyperelliptic to superelliptic curves
本文综述了将椭圆与超椭圆曲线理论推广到所有超椭圆曲线的框架，涵盖自同构群、模空间分层、不变量、最小模型、雅可比簇等核心内容，并总结了最新进展与开放问题。
Differential operators and hyperelliptic curves over finite fields
Boix，De Stefani和Vanzo用定义的三次齐次多项式的水平刻画了$\mathbb{F}_p$上的普通/超奇椭圆曲线。我们将他们的研究推广到任意亏格，特别证明了亏格$g\geq 2$的每一条普通超椭圆曲线$\mathcal{C}$都有水平$2$ .我们提供了大量的例子，并提出了一个猜想。
The tropical Abel--Prym map
本文证明双曲度量图自由二重覆盖的热带Abel--Prym映射是度数2的调和映射，给出部分逆命题，分析源图双曲性对映射单射性的影响，刻画Abel--Prym图性质并统计相关覆盖数量。
Disproof of modularity of moduli space of CY 3-folds of double covers of P3 ramified along eight planes in general positions
证明了在一般位置上来自$P^3$的8个平面的Calabi-Yau 3-folds的模空间不是模空间.事实上，我们显示更强的声明，Zalski封闭的monodromy组实际上是整个$Sp(20,R)$。我们构造了一个有趣的子模，我们称之为\emph{hyperelliptic locus}，在这个子模上，权为3的$Q$ -Hodge结构是权为1的$Q$ -Hodge结构在相应的超椭圆曲线上的第三个楔积。证明了真Shimura子簇的超椭圆轨迹在模空间内的不可延拓性。
Genus drop involving non-hyperelliptic curves in Feynman integrals
本文探讨了非超椭圆曲线在费曼积分中的亏格下降现象，通过双覆盖机制解释了亏格变化，并指出存在无明显亏格下降的非超椭圆费曼积分。
Moduli spaces of hyperelliptic curves with A and D singularities
我们引入了拟容许超椭圆覆盖的模空间，它们在最坏情况下具有A和D奇点。这些模空间的稳定性条件取决于两个参数描述允许的奇异性。通过改变这些参数，我们插值之间的堆栈的稳定极限的A和D奇异性和连续的变形空间的A和D奇异性之间的一个自然的$\mathbb{G}_m$行动。
Efficiently computable endomorphisms for hyperelliptic curves
椭圆曲线有一个众所周知的和明确的理论，用于构造和应用自同态，可以应用于提高性能的标量乘法。最近的工作已经扩展这些技术的超椭圆雅可比，但一个障碍是缺乏明确的曲线模型，以及一个有效的可计算的自同态。在超椭圆曲线的情况下，有有限的例子，大多数方法集中在特殊的CM曲线或在一个小的字段上定义的曲线。在这篇文章中，我们描述了三个无限族的曲线，承认一个有效的可计算的自同态，并给出算法，其有效的应用。
Cyclic Automorphisms groups of genus 10 non-hyperelliptic curves
本文给出了循环自同构子群$H$中存在光滑射影非超椭圆六次曲线$C$且满足$H\preceq Aut(C)$的所有循环自同构子群。此外，我们附加到每个组的一个定义方程的平面六次曲线，正是有这个组的循环自同构子群。这些方程同构地覆盖了所有具有非平凡自同构的平面非奇异六次曲线。
Hyperelliptic genus 3 curves with involutions and a Prym map
本文刻画了含两个额外对合的亏格3超椭圆曲线，给出显式方程，并证明在固定椭圆商曲线时Prym映射为2:1，同时构造了不与对偶同构的极化阿贝尔曲面族。
Teichmüller curves in hyperelliptic components of meromorphic strata
本文完整分类了亚纯微分层超椭圆分量中的Teichmüller曲线，通过非存在性判据排除了除特定Hurwitz覆盖外的所有候选者。
Hasse principle violation for algebraic families of del Pezzo surfaces of degree 4 and hyperelliptic curves of genus congruent to 1 modulo 4
本文构造了无限多个显式单参数代数族，包含次数为4的del Pezzo曲面和亏格模4余1的超椭圆曲线，证明其每个K成员都违反Hasse原则，并由Brauer-Manin障碍解释。
Arithmetic-geometric means for hyperelliptic curves and Calabi-Yau varieties
本文定义了由θ常数的$2τ$ -公式激发的$2^g$项之间的广义算术-几何平均数$μ_g$.本文利用Reynae公式，给出了初始项满足一定条件时$μ_g$的两种表达式。一个是关于亏格为$g$的超椭圆曲线$C$的周期积分。另一种方法是利用$g$ -维射影空间$\mathbf{P}^g$的双覆盖给出的某个Calabi-Yau $g$ -重的周期积分。
Semistable types of hyperelliptic curves
本文研究了双曲曲线的半稳定类型，通过三种组合描述建立一一对应关系，并引入分类方案和命名惯例，以理解其局部不变量。
Hyperelliptic surfaces with $K^2 < 4χ- 6$
设$S$是具有极小亏格$g$的超椭圆曲线束的一般型光滑极小曲面.证明了如果$K_S^2<4χ(\mathcal O_S)-6,$，则$g$是有界的.表面$S$是由分支轨迹的覆盖$S\rightarrow S/i,$ $i$是超椭圆对合的$S.$对于$K_S^2<3χ(\mathcal O_S)-6,$，我们展示了如何确定这种分支曲线的可能性。作为应用，给定$g>4$和$K_S^2-3χ(\mathcal O_S)<-6,$，我们计算$χ(\mathcal O_S).$的最大值。
In his previous papers (Math. Res. Letters 7 (2000), 123--13; Progress in Math. 195 (2001), 473--490; Math. Res. Letters 8 (2001), 429--435; Moscow Math. J. 2 (2002), issue 2, 403-431; Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), no. 1, 95--102) the author introduced certain explicit constructions of hyperelliptic jacobians without nontrivial endomorphisms. In the present paper we discuss when these jacobians are mutually non-isogenous. In addition, a special case ($n=m=3$) of our Theorem 1.2 provides the following criterion for elliptic curves $C_f: y^2=f(x)$ and $C_h: y^2=h(x)$ to be non-isogenous. (H…
{\it $(N,γ)$-hyperelliptic} semigroups were introduced by Fernando Torres to encapsulate the most salient properties of Weierstrass semigroups associated to totally-ramified points of $N$-fold covers of curves of genus $γ$. Torres characterized $(2,γ)$-hyperelliptic semigroups of maximal weight whenever their genus is large relative to $γ$. Here we do the same for $(3,γ)$-hyperelliptic semigroups, and we formulate a conjecture about the general case whenever $N \geq 3$ is prime.
Generic hyperelliptic Prym varieties in a generalized Henon-Heiles system
已知一条代数曲线的雅可比矩阵包含一个超椭圆Prym簇，该代数曲线是一条在两点分歧的超椭圆曲线的2重覆盖。它的显式代数描述适用于一些可积Henon-Heiles系统与非多项式的潜力。也就是说，我们确定了通用的复杂不变流形的系统作为一个超椭圆Prym子品种的雅可比矩阵的谱曲线的相应的拉克斯表示。系统的精确离散化被描述为Prym簇上的平移。
Ekedahl-Oort strata of hyperelliptic curves in characteristic 2
设$X$是定义在特征为$p=2$的代数闭域$k$上的亏格为$g$的超椭圆曲线.我们证明了$X$的de Rham上同调分解成由超椭圆覆盖的分支点索引的片段。这使我们能够计算同构类的$2$ -扭转群计划$J_X[2]$的雅可比矩阵的$X$的Ekedahl-Oort型。有趣的特点是，$J_X[2]$只依赖于$X$的一些离散不变量，即与分支点相关的分歧不变量。给出了任意亏格的超椭圆$k$ -曲线的Jacobian的$2$ -扭群格式的完全分类。
Extremality of loci of hyperelliptic curves with marked Weierstrass points
当n<=6时，具有n个标记Weierstrass点的亏格2曲线的轨迹在具有n个标记点的亏格2曲线的模空间内具有余维数n.众所周知，对于n=1所得到的除数的闭包的类跨越有效除数类的锥的极值射线。我们推广了这个结果：我们证明了亏格为2的曲线的轨迹的封闭类与n个标记的Weierstrass点跨越锥的一个极值射线的余维n的有效类，n<=6。一个相关的结构产生的极值nef曲线类在模空间的尖椭圆曲线。
Point Counting on Non-Hyperelliptic Genus 3 Curves with Automorphism Group $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ using Monsky-Washnitzer Cohomology
本文给出了一个计算有限域上任意亏格为3的非超椭圆平面曲线$C$的zeta函数的算法，该曲线具有自同构群$G = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$。该算法计算曲线的Monsky-Washnitzer上同调。利用$C$的Monsky-Washnitzer上同调和它的商$E := C/G$之间的关系，计算分成两部分：一部分在Monsky-Washnitzer上同调的子空间中，另一部分在椭圆曲线$E$上减少到点计数。前者对应于维数$2$阿贝尔曲面$\mathrm{ker}(\mathrm{Jac}(C) \rightarrow E)$，在其上我们可以用较低的精度和较小维数的矩阵进行计算。因此，我们得到一个更快的算法比直接工作的曲线$C$。
Separating semigroup of hyperelliptic curves and of genus 3 curves
实代数曲线$C$上的有理函数称为分离的，如果它只在实点处取实值。这样的函数定义覆盖$\Bbb R C\to\Bbb{RP}^1$。设$A_1,\dots,A_n$是$C$的连通分支。在最近的一篇论文中，M。Kummer和K. Shaw将$C$的分离半群定义为所有序列$(d_1(f),\dots,d_n(f))$的集合，其中$f$是分离函数，$d_i(f)$是$f$对$A_i$的限制度.本文描述了超椭圆曲线和亏格为3的曲线的分离半群。
This paper is the second in a series of four papers aiming to describe the (almost integral) Chow ring of $\Mbar_3$, the moduli stack of stable curves of genus $3$. In this paper, we introduce the moduli stack $\Htilde_g^r$ of hyperelliptic $A_r$-stable curves and generalize the theory of hyperelliptic stable curves to hyperelliptic $A_r$-stable curves. In particular, we prove that $\Htilde_g^r$ is a smooth algebraic stacks which can be described using cyclic covers of twisted curves of genus $0$ and it embeds in $\Mtilde_g^r$ (the moduli stack of $A_r$-stable curves) as the closure of the mod…
Let $p:S\to S_g$ be a finite $G$-covering of a closed surface of genus $g\geq 1$ and let $B$ its branch locus. To this data, it is associated a representation of a finite index subgroup of the mapping class group $\operatorname{Mod}(S_g\smallsetminus B)$ in the centralizer of the group $G$ in the symplectic group $\operatorname{Sp}(H_1(S,{\mathbb Q}))$. They are called \emph{virtual linear representations} of the mapping class group and are related, via a conjecture of Putman and Wieland, to a question of Kirby and Ivanov on the abelianization of finite index subgroup of the mapping class grou…
Hyperelliptic $d$-osculating covers and rational surfaces
设$\mathbb{P}^1$和$(X,q)$分别表示射影直线和在原点标记的固定椭圆曲线，两者都定义在具有任意特征$\emph{\textbf{p}} \neq2$的代数闭域$\mathbb{K}$上。我们将考虑所有有限可分标记态射$π:(Γ,p)\rightarrow (X,q)$，使得$Γ$是$ \mathbb{P}^1$的度- $2$覆盖，在光滑点$p \in Γ$分歧.与$π$规范相关的是将$Γ$嵌入到其\emph{generalized Jacobian}、$A_p: Γ\to Jac\,Γ$和$\{0\} \subsetneq V^1_{Γ,p}...\subsetneq V ^g_{Γ,p}$中的Abel（有理）嵌入，$\{0\} \subsetneq V^1_{Γ,p}...\subsetneq V ^g_{Γ,p}$是在$A_p(p)\in Jac\,Γ$处与$A_p(Γ)$超密切平面的标志（参见图1）。\textbf{2.1. & 2.2.}）。另一方面，我们也有同态$ι_π: X \to \Jac\,Γ$，通过对偶$π$得到。存在最小正整数$d$，使得$ι_π( X)$的切线包含在$V^d_{Γ,p}$中。我们称之为$π$的\emph{the osculating order}。研究、刻画和构造具有给定\textit{osculating order} $d$…
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