Counting points on hyperelliptic curves of type $y^2=x^{2g+1} + ax^{g+1} + bx$
本文研究了有限域$\mathbb{F}_q, q = p^n, p > 2$上的$C: y^2 = x^{2g+1} + ax^{g+1} + bx$型超椭圆曲线.对于$g = 3$和$4$的情况下，我们提出的算法来计算的雅可比曲线的复杂性$\tilde{O}(\log^4{p})$和$\tilde{O}(\log^8{p})$的点的数量。对于亏格为$2-7$的曲线，我们给出了Frobenius自同态模$p$的特征多项式的完整列表.
2019-02-15 math.NT
Non-isogenous elliptic curves and hyperelliptic jacobians II
设$K$是一个不同于$2$的特征域，$\bar{K}$是它的代数闭包.令$n \ge 3$为奇数。设$f(x)$和$h(x)$是次数$n$多项式，系数在$K$中，没有重根。让我们考虑亏格$(n-1)/2$超椭圆曲线$C_f: y^2=f(x)$和$C_h: y^2=h(x)$，以及它们的雅可比算子$J(C_f)$和$J(C_h)$，它们是定义在$K$上的$(n-1)/2$维阿贝尔簇。假设其中一个多项式是不可约的，另一个多项式在$K$上完全分裂。证明了若$J(C_f)$和$J(C_h)$在$\bar{K}$上同构，则存在一个（奇）素数$\ell$分割$n$，使得$J(C_f)$和$J(C_h)$的自同态代数都包含一个与$1$的$\ell$次根域同构的子域.
2022-12-08 math.AG math.NT
Cyclic covers of the projective line, their jacobians and endomorphisms
研究曲线$y^p=f(x)$的复雅可比矩阵$J(C)$的自同态环$End(J(C))$，其中$p$是奇素数，$f(x)$是一个无重根的复系数$n>4$次多项式.假设$f$的所有系数都位于一个（子）域$K$中，并且$K$上的$f$的伽罗瓦群是全对称群$S_n$或交替群$A_n$。然后证明了$End(J(C))$是在$p$ th分圆域上的整数环，如果$p$是Fermat素数（例如，$p=3,5,17,257$）。作者在Math. Res. Lett. 7（2000），123- 132.
2001-03-13 math.AG math.NT
Counting points on genus-3 hyperelliptic curves with explicit real multiplication
我们提出了一个Las Vegas概率算法来计算定义在有限域$\mathbb F_q$上的亏格-3超椭圆曲线的zeta函数，并在全实三次域中用一阶$\mathbb Z[η]$进行显式实数乘法。我们的主要结果表明，该算法需要一个预期数量的$\widetilde O((\log q)^6)$位操作，在$\widetilde O()$中的常数取决于环$\mathbb Z[η]$和多项式的次数表示的自同态$η$。作为概念验证，我们计算在64位素域上定义的曲线的zeta函数，并通过$\mathbb Z[2\cos(2π/7)]$进行显式实数乘法。
2018-09-20 cs.SC math.AG math.NT
Homomorphisms of hyperelliptic jacobians
在他以前的论文中（Math. Res. Letters 7（2000），123- 13; Progress in Math.195（2001），473- 490; Math. Res. Letters 8（2001），429- 435; Moscow Math.J.2（2002），issue 2，403-431; Proc.Amer.Math.Soc.131（2003），no.1，95- 102），作者引入了某些没有非平凡自同态的超椭圆Jacobian的显式构造。在本文中，我们讨论当这些雅可比矩阵是相互非同构的。另外，我们的定理1.2的一个特殊情况（$n=m=3$）提供了椭圆曲线$C_f: y^2=f(x)$和$C_h: y^2=h(x)$为非同构的以下准则。(Here $f(x)$和$h(x)$是三次多项式，其系数在特征为零的域$K$中。）设$f(x)$和$h(x)$在$K$上不可约，它们在$K$上的伽罗瓦群与全对称群$S_3$重合，它们的分裂域在$K$上线性无缘.则椭圆曲线$C_f$和$C_h$在$K$的代数闭包上是非同构的。
2021-03-30 math.AG math.NT
Hyperelliptic $\mathcal{S}_7$-curves of prime conductor
素导体$N$的阿贝尔三重$A_{/{\mathbb Q}}$是有利的，如果它的2-分割域$F$是${\mathbb Q}$上的${\mathcal S}_7$ -扩张，其分歧指数为7，${\mathbb Q}_2$。令$A$是有利的，令$B$是维数$3d$和导体$N^d$的半稳定阿贝尔簇，其中$B[2]$被$A[2]$的拷贝过滤。我们给出了$F$的一个充分的可计算的类场论判据，以保证$B$与$A^d$是同构的.
2022-02-05 math.NT
Isolated Curves for Hyperelliptic Curve Cryptography
引入了孤立亏格两条曲线的概念。由于没有已知的有效算法来显式地构造具有大导体间隙的两个亏格的两条曲线之间的同构，离散对数问题（DLP）不能有效地从孤立曲线转移到大的同构曲线集合。因此，孤立亏格两条曲线可能是更安全的DLP基于超椭圆曲线密码。建立了极大CM阶自同态环的指数的显式表达式，并对三类不同的四次CM域给出了指数为素数或几乎素数的条件.我们还得到了在任意固定的四次CM域上，孤立亏格两条CM曲线的密度和分布的启发式渐近结果。计算结果，这也显示了三个明确的例子，同意与启发式预测的误差在可容忍的范围内。
2012-02-26 math.NT
Counting points on hyperelliptic curves with explicit real multiplication in arbitrary genus
给出了一个概率Las Vegas算法，用于计算定义在$\mathbb F_q$上的亏格- $g$超椭圆曲线的局部zeta函数，该曲线在度- $g$全实数域上用显式实数乘（RM）乘以阶数$\Z[η]$.它基于Schoof和Pila的方法，在一个更有利的情况下，我们可以将$\ell$ -挠分解为自同态的$g$核，如Gaudry，Kohel和Smith在亏格2中介绍的那样。为了处理这些内核在任何属，我们采用的技术，作者，Gaudry和Spaenlehauer介绍了模型的$\ell$ -扭转结构多项式系统。将这种技术应用于核，我们得到的系统要小得多，求解它们的复杂性也要小得多。我们的主要结果是存在一个常数$c>0$，使得对于任何固定的$g$，随着$q$的增长，该算法具有期望的时间和空间复杂度$O((\log q)^{c})$，并且特征足够大。我们证明了$c\le 9$，并猜想这个结果对$c=7$也成立.
2019-10-15 cs.SC math.AG math.NT
Linear Complexity of Sequences on Koblitz Curves of Genus 2
在本文中，我们考虑超椭圆模拟的Frobenius自同态生成器，并表明，它产生的序列具有大的线性复杂度的雅可比矩阵的亏格2曲线。
2022-03-25 cs.IT math.IT math.NT
Most odd degree hyperelliptic curves have only one rational point
考虑曲线y ^2 =f（x）的光滑投影模型C，其中f（x）在Z[x]中是一元的，且是2g+1次可分的。我们证明了，对于g >= 3，这些正分数只有一个有理点，在无穷远无穷远点。我们证明了这个分数的下界，趋于1的g趋于无穷大。最后，我们表明，C（Q）可以算法计算这样的曲线的一部分。该方法可以概括如下：利用p-adic分析和McCallum的思想，我们发展了Chabauty方法的一个重新表述，表明某些可计算条件意味着#C（Q）=1;另一方面，利用进一步的p-adic分析，算术曲面理论，关于超椭圆曲线上挠点的一个新结果，关键的是非零2-Selmer群元素的Bhargava-Gross等分布定理，我们证明了当p=2时，这些条件经常满足.
2014-06-15 math.NT
The Q-curve construction for endomorphism-accelerated elliptic curves
我们给出了一个详细的说明使用$\mathbb{Q}$ -曲线约简构造椭圆曲线上的$\mathbb{F}\_{p^2}$与有效的可计算的自同态，它可以用来加速椭圆曲线为基础的密码系统中相同的方式Gallant-Lambert-Vanstone（GLV）和Galbraith-Lin-Scott（GLS）的自同态。像GLS（这是我们构造的退化情况）一样，我们提供了从更广泛的曲线范围中选择GLV的优势，从而在\(p\)固定以有效实现时找到安全的群阶。与GLS不同的是，我们还提供了构建扭曲安全曲线的可能性。构造了$\mathbb{F}\_{p^2}$上的几个单参数椭圆曲线族，并对每个$p \textgreater{} 3$配置了有效的自同态，给出了$\mathbb{F}\_{p^2}$上的扭安全曲线的例子，证明了有效的Mersenne素数$p = 2^{127}-1$ .
2015-03-24 cs.CR math.NT
Families of fast elliptic curves from Q-curves
我们构造了\(\FF_{p^2}\)上新的具有可有效计算的自同态的椭圆曲线族，它可以像Gallant-Lambert-Vanstone（GLV）和Galbraith-Lin-Scott（GLS）自同态一样用于加速基于椭圆曲线的密码系统.我们的结构是基于减少二次数域上的\(\QQ\) -curves-curves没有复乘，但与它们的伽罗瓦共轭模惰性素数同构。作为一般理论的第一个应用，我们构造，为每个\(p > 3\)，两个单参数家庭的椭圆曲线在\(\FF_{p^2}\)配备自同态，比加倍。像GLS（它是我们构造的退化情形）一样，我们提供了比GLV更大范围的曲线选择的优势，从而在\(p\)固定时找到安全的群序。与GLS不同的是，我们还提供了构建扭曲安全曲线的可能性。在我们的例子中，有素数阶曲线配备了快速自同态，几乎素数阶扭曲，在\(\FF_{p^2}\)为\(p = 2^{127}-1\)和\(p = 2^{255}-19\)。
2013-05-23 cs.CR math.NT
Integral points and orbits of endomorphisms on the projective plane
我们分析了$\mathbb{P}^2$中曲线的有限并集的补上的积分点何时是潜在稠密的。我们根据它们的对数Kodaira维数$\barκ$来划分这些仿射曲面的分析。当$\barκ = -\infty$，我们完全表征积分点的潜在密度在无限远的表面上的不可约组件的数量和多个成员的数量在一个铅笔自然相关的表面。当整点不是潜在的密集，我们表明，他们躺在许多有效的可计算曲线。当$\barκ = 0$，我们证明了整点总是潜在稠密的.我们的大部分分析涉及$\barκ=1$的微妙情况。我们确定的潜在密度的积分点在一些情况下，并开发工具，用于研究积分点的表面纤维在曲线上。最后，非密度的整点的情况下$\barκ=2$预测的Lang-Vojta猜想，我们没有什么新的补充。在一个相关的方向，我们研究积分点的轨道下的自同态$\mathbb{P}^2$。在Lang-Vojta猜想的假设下，证明了在$\mathbb{P}^2$的自同态$ϕ$下的轨道可以包含整点的Zerkiki稠密集（关于某个非平凡有效因子），仅当存在关于$ϕ$的非平凡完全不变真Zerkiki闭集.这可以看作是Silverman关于有理函数轨道积分点的一个结果的推广。我们提供了许多具体的例子，并结束了一些开放的问题。
2016-04-04 math.DS math.NT
Statistics for biquadratic covers of the projective line over finite fields
研究了当曲线在模空间的不可约分支中变化时，作为$\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{F}_{q}}$的四次非循环覆盖的亏格$g$曲线的Frobenius自同态的迹的分布.证明了当$q$固定时，Frobenius迹的极限分布等于$q + 1$独立随机离散变量之和.我们还表明，当这两个$g$和$q$去无穷大，规范化的轨迹有一个标准的复高斯分布。最后，我们将这些计算推广到一般情况下的任意覆盖的$\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{F}_{q}}$与伽罗瓦群同构的$r$副本的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。对于$r = 1$，我们恢复了已知的超椭圆情况。我们还包括一个附录，由Alina Bucur给出这些分布的启发式。
2015-10-20 math.NT
Statistics for traces of cyclic trigonal curves over finite fields
本文研究了q元域上亏格为g的循环三角曲线的Frobenius自同态的迹随曲线在模空间的不可约分量中的变化.我们证明了当q固定，g增加时，Frobenius迹的极限分布等于q+1个独立随机变量取0的概率为2/（q+2）和取1的概率为q/（3（q+2））的和，e^{（2 pi i）/3}，e^{（4pi i）/3}.这扩展了Kurlberg和Rudnick的工作，他们认为超椭圆曲线具有相同的极限。我们还证明了当g和q都趋于无穷大时，归一化迹具有标准的复高斯分布，以及如何将这些结果推广到投影线的p-折叠覆盖。
2009-09-11 math.NT
