On hyperelliptic modular curves over function fields
Mihran Papikian
证明了$\mathbb{F}_q(T)$上的$D$ -椭圆层的超椭圆的模曲线只有1000条.在奇特征中，我们给出了这类曲线的一个完全分类。
We prove that there are only finitely many modular curves of $D$-elliptic sheaves over $\mathbb{F}_q(T)$ which are hyperelliptic. In odd characteristic we give a complete classification of such curves.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bielliptic and Hyperelliptic modular curves X(N) and the group Aut(X(N))
我们确定了所有超椭圆或双椭圆的模曲线X（N）（用$N\geq 7$）.本文证明了X（N）的自同构群与$Γ(N)$在$\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})$中的正规化子重合.
Automorphisms of hyperelliptic modular curves $X_0(N)$ in positive characteristic
研究素数$ p\nmid N$上模曲线$X_0(N)$的约化$X_0(N) \times \bar{\mathbb{F}}_p$的自同构群.
Igusa's map on modular forms vanishing on the hyperelliptic locus
本文将Igusa映射$ρ$扩展至Siegel上半空间超椭圆轨迹上消失的模形式，利用一般Thomae公式计算其最低非零导数作为向量值模形式，并以亏格$3$和$4$的例子进行说明。
Rational points on hyperelliptic Atkin-Lehner quotients of modular curves and their coverings
我们完成了所有$64$极大Atkin-Lehner商$X_0(N)^*$上的所有$\mathbb{Q}$ -有理点的计算，使得商是超椭圆的。为了实现这一点，我们使用各种方法的组合，即经典的Chabauty-科尔曼，椭圆曲线Chabauty，二次Chabauty，和双椭圆二次Chabauty方法结合Mordell-Weil筛。另外，对于无平方的$N$，我们将所有的$\mathbb{Q}$ -有理点分为尖点、CM点（包括CM域和$j$ -不变量）和例外点.我们进一步指出如何使用它来计算$\mathbb{Q}$ -有理点的所有模块覆盖。
Non-hyperelliptic modular curves of genus 3
本文研究了亏格为3的非超椭圆模曲线的模性，提出了一种判定其模性的条件和计算其方程的算法，并探讨了新的模曲线的定义。
Hyperelliptic curves and their invariants: geometric, arithmetic and algorithmic aspects
我们应用经典的不变量理论的二进制形式明确的同构类的小亏格的超椭圆曲线的特点，相反，提出了算法重建超椭圆模型从给定的不变量。我们主要研究亏格为3的超椭圆曲线。几何和算术方面被认为是。
Hyperelliptic curves covering an elliptic curve twice
本文证明了对特征不等于2和3的域上的任意椭圆曲线（j不变量不为0或1728），存在亏格为5的超椭圆曲线H，H具有两个到给定椭圆曲线的独立映射.我们还表明，如果我们希望这样的曲线是几何超椭圆的，所以有一个度2映射到一个圆锥曲线，那么有一些亏格3。
Pointless Hyperelliptic Curves
本文研究了在$\FF_q$上是否存在亏格为$g$的超椭圆曲线，该曲线在$\FF_q$上没有有理点，且对不同的对$(g,q)$ .
First vertices for hyperelliptic curves in characteristic two
研究了特征$2$中$0$秩超椭圆曲线的zeta函数分子的牛顿多边形.我们确定了它们的第一个通用顶点，以及在其他一些非通用情况下的第一个顶点。
Modular invariants for genus 3 hyperelliptic curves
在这篇文章中，我们证明了一个类似的定理的Lachaud，Ritzenthaler，和Zykin，这使我们能够连接不变量的二元oc-tics西格尔模形式的亏格3。我们使用这种连接表明，某些模函数，当限制到超椭圆轨迹，假设值的乘积是相关的超椭圆曲线的坏约化素数的权力。我们用显式计算来说明我们的定理。这项工作的动机是研究这些模函数的价值在CM点的西格尔上半空间，其中，如果他们的分解器是已知的，可以用来有效地计算模型（超椭圆，在我们的情况下）曲线CM。
Counting hyperelliptic curves
给出了有限域$k=\mathbb{F}_q$上亏格为$g$的超椭圆曲线的个数$\operatorname{hyp}(g)$的一个闭公式.这些数$\operatorname{hyp}(g)$表示为$q$中的多项式，其整数系数取决于$q-1$和$q+1$的约数集。作为副产品，我们得到了亏格$g$的自对偶曲线个数的一个闭公式。超椭圆曲线是自对偶的，如果它是$k$ -同构于它自己的超椭圆扭曲。
Jacobian Nullwerte, Periods and Symmetric Equations for Hyperelliptic Curves
我们提出了一个解决方案的超椭圆肖特基问题，基于使用的雅可比零和对称模型的超椭圆曲线。这两种成分本身都很有趣，因为第一种提供了可以几何描述的周期矩阵，第二种具有显着的算术性质。
Fields of moduli of hyperelliptic curves
设F是一个代数闭域，char（F）不等于2，F/K是一个Galois扩张，X是定义在F上的一条超椭圆曲线.设i是X的超椭圆对合。我们证明了如果Aut（X）/<i>不是循环的，则X可以定义在它的模域F/K上.当Aut（X）/<i>是循环的时，我们构造了在其模域上不可定义的超椭圆曲线的显式例子.
Galois groups of Mori trinomials and hyperelliptic curves with big monodromy
本文计算了S. S. S引入的有理数域上一类多项式的伽罗瓦群。Mori和研究相应的超椭圆雅可比算子的单值性。
Algorithmic study of superspecial hyperelliptic curves over finite fields
本文提出了研究超特殊超椭圆曲线的算法方法。本文提出的算法是：一个计算有限域上亏格为$\mathbb{F}_q$的超特殊超椭圆曲线的算法，以及一个计算有限域上（不一定是超特殊）超椭圆曲线的自同构群的算法。第一种算法适用于任何$(g,q)$，使得$q$和$2g+2$互质且$q>2g+1$。作为应用，我们在计算机代数系统Magma上实现了亏格为$g=4$的超特殊超椭圆曲线在$\mathbb{F}_{p}$上对$11 \leq p \leq 23$和在$\mathbb{F}_{p^2}$上对$11 \leq p \leq 19$的计算.此外，我们发现了最大的超椭圆曲线和最小的超椭圆曲线在$\mathbb{F}_{p^2}$从列举的超特殊。第二个算法计算一个自同构作为一个具体的元素（的商）的线性组在一般线性组的程度$2$。
Efficient computation of Cantor's division polynomials of hyperelliptic curves over finite fields
设$p$为奇素数。提出了一种利用进微分方程计算超椭圆曲线雅可比行列式的有理表示的算法，并对精度损失进行了分析.因此，在可能解除了问题的$p$ -adics，我们得出快速算法计算明确康托的划分多项式的超椭圆曲线定义在有限域。
Modular Form Representation for Periods of Hyperelliptic Integrals
对于每一条超椭圆曲线，都可以赋予全纯微分和亚纯微分上积分的周期。通过比较所谓的投射联系的两种表示，可以用第一种表示来重新表示后面的时期。这导致表达式仅包括曲线的参数$λ_j$和模形式。通过改变亚纯微分的基，可以进一步简化这个表达式。我们讨论了这些明确给出的基础，我们称之为贝克和克莱因基础，分别的优点。
Computing L-series of hyperelliptic curves
利用点计数、群算法和p-adic方法，讨论亏格至多为3的Q上超椭圆曲线的L-级数的系数计算.
Large Cyclic Subgroups of Jacobians of Hyperelliptic Curves
本文给出了由Weng（2003）和Gaudry（2005）描述的复乘方法生成的亏格为2的超椭圆曲线的Jacobian的群阶的因子的条件.例子，这些条件意味着雅可比矩阵有一个大的循环子群，给出。
Fast computation of isomorphisms of hyperelliptic curves and explicit Galois descent
我们展示了如何利用协变量来加速超椭圆曲线同构的计算。我们还获得了新的理论和实际结果，这些曲线的模型在其领域的模量。
The p-rank strata of the moduli space of hyperelliptic curves
证明了特征p > 2时，p阶地层与超椭圆曲线模空间边界相交的结果。在此基础上，我们证明了亏格为g，p秩为f的超椭圆曲线的层H_g^f的每个不可约分支的Z/ \ell -单值性是辛群Sp_{2g}（Z/ \ell），如果g > 2，f > 0，且\ell是不同于p的奇素数.这些结果给出了亏格为g，p秩为f的超椭圆曲线的通有性的应用.第一个应用是亏格g > 2且p秩为0的一般超椭圆曲线不是超奇异的。其他应用是关于绝对简单的雅可比行列式和类群的一般行为和给定亏格的超椭圆曲线的zeta函数和有限域上的$p$ -秩。
The integral monodromy of hyperelliptic and trielliptic curves
我们计算了超椭圆曲线和三椭圆曲线的模空间的每个不可约分支的$\integ/\ell$和$\integ_\ell$单值性。特别地，证明了亏格为$g$的超椭圆曲线的模空间的$\integ/\ell$单值性是辛群$\sp_{2g}(\integ/\ell)$ .证明了具有$(r,s)$签名的三椭圆曲线的模空间的$\integ/\ell$单值性是特殊酉群$\su_{(r,s)}(\integ/\ell\tensor\integ[ζ_3])$ .
Computing local p-adic height pairings on hyperelliptic curves
我们描述了一个算法来计算局部分量在p的科尔曼-格罗斯p-adic高度配对的因子上的超椭圆曲线。由于高度配对的科尔曼积分，我们还提供了新的技术来评估科尔曼积分的亚纯微分，并提出我们的算法，实现在Sage。
The Number of Rational Points On Genus 4 Hyperelliptic Supersingular Curves in Characteristic 2
有限域上曲线领域的一个大问题是关于点的个数的分布：在亏格为$g$的曲线上，哪些数是点的个数？同样的问题也可以问到曲线的各种子类。本文对$2^n$，$n$奇阶有限域上亏格为4的超奇异超椭圆曲线上点数的可能性进行了分类.
Algebraic families of hyperelliptic curves violating the Hasse principle
在$2000$中，Colliot-Thélène和Poonen展示了如何构建代数族的属一曲线违反哈塞原则。Poonen明确地构建了一个代数家庭的属一立方曲线违反哈塞原则使用一般方法开发的Colliot-Thélène和他自己。本文的主要结果将Colliot-Thélène和Poonen的结果推广到任意高亏格的超椭圆曲线.更准确地说，对于$n > 5$和$n \not\equiv 0 \pmod{4}$，我们表明，有一个代数家庭的超椭圆曲线属$n$是反例哈塞原则解释的Brauer-Manin障碍。
Computing isogenies between jacobians of hyperelliptic curves of arbitrary genus via differential equations
设$p$为奇素数，且为与$p$互质的整数.本文研究了$p$ -进数域$\mathbb{Q}\_p$的扩张$K$上任意亏格的超椭圆曲线的Jacobian之间的$(\ell,...,\ell)$ -同构的显式有理表示的算法.该算法在$\ell$和曲线的亏格上都具有拟线性复杂度。
The 2-ranks of Hyperelliptic Curves with Extra Automorphisms
本文研究了定义在特征为2的代数闭域上的超椭圆曲线的自同构群与曲线的2-秩之间的关系。特别是，我们利用野生的分歧使用Deuring-Shafarevich公式，以分析的分歧超椭圆曲线，承认额外的自同构和使用这些数据施加限制的一般和2-秩的曲线。我们还展示了一些技术和结果结转的情况下，我们的基本领域的特点$p>2$。
The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point
证明了当所有亏格为$n\geq 1$且具有有理Weierstrass点的超椭圆曲线按高排序时，其Jacobian的2-Selmer群的平均大小等于3.由此可知，它们的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩至多为3/2。Chabauty的方法，然后可以被用来获得一个有效的界限上的合理的点的数量，这些超椭圆曲线，例如，我们表明，大多数的超椭圆曲线属$n\geq 3$与理性Weierstrass点有不到20个有理点。
Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves
Manjul Bhargava和Benedict Gross在文献[5]中考虑了$\Q$上的超椭圆曲线族具有固定的亏格和一个标记的有理Weierstrass点.他们表明，当按高度排序时，这些曲线的雅可比行列式的2-Selmer群的平均大小为3。本文考虑了$\Q$上的一类具有固定亏格和一个标记有理非Weierstrass点的超椭圆曲线.我们表明，当这些曲线的高度排序，其雅可比矩阵的2-Selmer群的平均大小是6。这就产生了这些超椭圆曲线的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩的上界为5/2。最后，使用等分布结果，我们修改了[16]的技巧，从而得出结论：当$g$趋于无穷大时，具有亏格$g$的这些一元偶次超椭圆曲线中趋于1的部分恰好具有两个有理点-无穷远处的标记无穷远点及其超椭圆共轭。
Fiber products of hyperelliptic curves
设$k$是数域，$S$是$k$的整数环的极大理想的有限集.在他1962年的ICM地址，Shafarevich问，如果只有1000多$k$ -同构类代数曲线的一个固定的属$g\ge 1$良好的减少外$S$。他验证了这一点$g=1$减少问题西格尔的定理。Parshin将这一论点扩展到所有的超椭圆曲线（参见也是Oort的作品）。一般情况下解决了法尔明斯的著名工作。本文利用de Franchis定理和关于超椭圆方程判别式的标准事实，将Shafarevich猜想简化为$g=1$的情形，给出了关于超椭圆曲线的猜想的一个简短证明.
Hyperelliptic modular curves $X_0(n)$ and isogenies of elliptic curves over quadratic fields
令$n$是整数，使得模曲线$X_0(n)$是亏格$\ge2$的超椭圆，并且使得$X_0(n)$的雅可比矩阵具有$0$超过$\mathbb Q$的秩。我们确定的所有点的$X_0(n)$定义在二次域，我们给这些点的模解释。因此，我们表明，直到$\overline{\mathbb Q}$ -同构，但100%以上的椭圆曲线与$n$ -同构的二次域实际上是$\mathbb Q$ -曲线，我们列出了所有例外。我们还表明，再次与许多例外高达$\overline{\mathbb Q}$ -同构，每个$\mathbb Q$ -曲线$E$在二次域$K$承认$n$ -同构是$d$ -isogenous，对于一些$d\mid n$，它的伽罗瓦共轭的扭曲的一些二次扩展$K$ $L$;我们确定$d$和$L$明确。
Fast computation of hyperelliptic curve isogenies in odd characteristic
设p为奇素数，g $\ge$ 2为整数.本文给出了一个计算p进数域Qp的扩张K上亏格为g的超椭圆曲线的Jacobian之间同构的显式有理表示的算法。它依赖于一阶微分方程系统的有效分辨率，具有p-adic精度的对数损失。
Methods for constructing elliptic and hyperelliptic curves with rational points
我提供的方法来构建椭圆和超椭圆曲线在全球领域的有趣的有理点在给定的领域或超过大的域扩张。给出了定义在任意给定数域上的椭圆曲线的一个有理点，（分别为）有两个有理点）和最简三次域上有两个有理点的有理数上的椭圆曲线。我还提供了亏格超过任何给定数的超椭圆曲线在任何给定数域上，其点（在给定数域上）跨越该曲线的雅可比矩阵的有理点组中的秩至少为$g$的子群。我还提供了一种方法来构建超椭圆曲线的有理函数域上的有理点定义在域扩张与大型有限简单伽罗瓦群，如马蒂厄组$M_{24}$。
Efficiently computable endomorphisms for hyperelliptic curves
椭圆曲线有一个众所周知的和明确的理论，用于构造和应用自同态，可以应用于提高性能的标量乘法。最近的工作已经扩展这些技术的超椭圆雅可比，但一个障碍是缺乏明确的曲线模型，以及一个有效的可计算的自同态。在超椭圆曲线的情况下，有有限的例子，大多数方法集中在特殊的CM曲线或在一个小的字段上定义的曲线。在这篇文章中，我们描述了三个无限族的曲线，承认一个有效的可计算的自同态，并给出算法，其有效的应用。
Embedding Degree of Hyperelliptic Curves with Complex Multiplication
考虑有限域上亏格为2的曲线的雅可比矩阵，它具有复乘。本文证明了如果Jacobian的l-Sylow子群不是循环的，则Jacobian关于l的嵌入度为1。
Chabauty-Coleman experiments for genus 3 hyperelliptic curves
我们描述了一个计算有理点格为3的超椭圆曲线$C$定义在$\mathbb{Q}$的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩1。利用Chabauty和Coleman的方法，提出并在Sage中实现了一个计算两个Coleman积分的零轨迹的算法，并分析了由这些积分的消失所切出的有限集。我们运行的算法约17,000曲线从即将到来的数据库属3超椭圆曲线，并讨论了一些有趣的例子，其中零集包括全球点没有发现在$C(\mathbb{Q})$。
Explicit Galois obstruction and descent for hyperelliptic curves with tamely cyclic reduced automorphism group
本文给出了任意亏格的超椭圆曲线的Galois下降阻塞的显式描述，其约化自同构群是与其基域的特征互素的循环的.一路上，我们得到了一个算术标准的存在超椭圆下降。障碍是由所谓的算术二面角不变量的曲线问题。如果它为零，那么使用这些不变量也允许明确确定模域上的模型;如果不是，那么在这个域的2度扩张上得到超椭圆模型。
Elliptic curves with common torsion $x$-coordinates and hyperelliptic torsion packets
我们建立了扭转包之间的连接曲线的属$2$和椭圆曲线对实现为双覆盖的投影线$\mathbb{P}_{x}^{1}$，有许多共同的扭转$x$坐标。这可以用来表明公共扭转$x$坐标的集合具有至少$22$的大小，并且在某些情况下具有$34$元素。我们还解释了我们如何获得当前记录的例子超椭圆扭转包的亏格$2$曲线。
Two torsion in the Brauer group of a hyperelliptic curve
构造了表示超椭圆曲线的Brauer群中2-挠类的无分歧中心单代数，并证明了当曲线具有有理Weierstrass点或基域为C1时，每个2-挠类都可以这样构造.在一般情况下，我们表明，一个大的（但在一般情况下适当的）子群的2-挠类的建设。给出了数域上定义的超椭圆曲线算法的应用实例。
The functional equation for L-functions of hyperelliptic curves
我们计算了一大类代数曲线的$L$ -函数，并数值验证了预期的函数方程。我们的计算是基于我们以前的稳定约化的结果来计算局部$L$ -因子和导体指数在素数的坏约化。我们的例子大多是定义在$\mathbb{Q}$上的亏格$g\geq 2$的超椭圆曲线，它们在每个素数$p$处具有半稳定约化。我们也处理一些更一般的例子超椭圆曲线。
p-adic integration on bad reduction hyperelliptic curves
本文介绍了一种计算坏约化超椭圆曲线上p-adic积分的算法。对于坏约化曲线，有两种p-adic积分的概念：可以局部执行的Berkovich-Coleman积分和具有理想数论性质的阿贝尔积分。通过用环和基本大开集覆盖一条坏约化的超椭圆曲线，将Berkovich-Coleman积分的计算归结为好约化的超椭圆曲线上的已知算法.这是由于Balakrishnan，Bradshaw和Kedlaya，以及Balakrishnan和Besser的正则和亚纯1-形式的好约化曲线，分别。然后，我们采用热带几何技术，由于第一命名的作者与拉宾诺夫和Zureick-Brown转换成阿贝尔积分的Berkovich-Coleman积分。我们提供了我们的算法的例子，验证某些阿贝尔积分之间的扭转点消失。
On the number of point of given order on odd degree hyperelliptic curves
对于整数$N\geq 3$和$g\geq 1$，以Weierstrass点为基点，研究了落在亏格$g$的超椭圆曲线上的有序除$N$的点集的基数的界.这使我们重新审视除多项式介绍康托在1995年和加强整除结果证明了他。几个例子进行了讨论。
Semistable types of hyperelliptic curves
本文研究了双曲曲线的半稳定类型，通过三种组合描述建立一一对应关系，并引入分类方案和命名惯例，以理解其局部不变量。
On the linear bounds on genera of pointless hyperelliptic curves
$\mathbb{F}\_q$上的不可约光滑射影曲线称为\textit{pointless}，如果它没有$\mathbb{F}\_q$ -有理点.本文研究了固定有限域$\mathbb{F}\_q$上这类曲线的亏格的存在下界。利用超椭圆曲线的一些显式构造，我们建立了两个新的线性依赖于数$q$的界.在奇特性的情况下，这改进了R的结果。Becker和D.玻璃.当$q$为偶数时，我们也给出了一个类似的新界.
Computing rational points on rank 0 genus 3 hyperelliptic curves
计算$\mathbb{Q}$上亏格$3$奇次超椭圆曲线$C$上的有理点，这些曲线的Jacobian为Mordell-Weil秩$0$ .该计算应用Chabauty-Coleman方法来找到$p$ -adic积分的某个系统的零点集，该系统已知是有限的并且包括有理点$C(\mathbb{Q})$的集合。我们在Sage中实现了一种算法，以在$5870$曲线数据库上执行Chabauty-Coleman方法。
Pairings on hyperelliptic curves
我们收集和重组最近的工作在该领域的超椭圆配对：我们调查的研究，构造超椭圆曲线适合于基于配对的密码。我们还展示了迄今为止提出的超椭圆配对，并开发了一个统一的框架。我们讨论了用于优化超椭圆曲线上的配对计算的技术，并提出了许多进一步研究的方向。
Numerical verification of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for hyperelliptic curves of higher genus over $\mathbb Q$ up to squares
Flynn，Leprévost，Schaefer，Stein，Stoll和Wetherell等用模方法对32条亏格为2的模超椭圆曲线的Jacobian证明了Birch和Swinnerton-Dyer猜想.在实际周期的计算中，有一点不准确，这可能会给在Néron模型的特殊纤维中具有非约化分量的曲线带来问题。在本文中，我们解释了如何计算的实际周期，以及如何验证已扩展到许多更多的超椭圆曲线，一些亏格3，4和5，而不使用模块的方法。
Infinitely many hyperelliptic curves with exactly two rational points
本文构造了一类具有两个有理点的亏格为$2$的无穷多条超椭圆曲线。在证明中，我们首先证明了这些超椭圆曲线的Mordell-Weil秩是$0$，然后利用Grant证明的超椭圆曲线的Lutz-Nagell型定理确定有理点集.
Hyperelliptic parametrizations of $\mathbb{Q}$-curves
对于一个无平方的整数$N$，我们提出了一个程序来计算$\mathbb{Q}$ -曲线参数化的有理点的模曲线$X_0^*(N)$时，这是超椭圆。
Two-cover descent on hyperelliptic curves
我们描述了一个算法，确定一组unramified覆盖的给定超椭圆曲线，与任何有理点将提升到一个覆盖的属性。特别地，如果算法返回空集，则超椭圆曲线没有有理点。这为超椭圆曲线的可解性提供了一个比较有效的检验准则。本文还讨论了该算法在亏格为1的曲线和具有有理点的曲线上的应用。
Selmer Ranks of twists of hyperelliptic curves and superelliptic curves
本文研究了超椭圆曲线和超椭圆曲线的挠率的Jacobian的Selmer秩的变化。我们找到了这样的曲线有无限多个扭曲的雅可比矩阵的塞尔默秩等于$r$，任何给定的非负整数$r$的充分条件。这推广了Mazur-Rubin关于椭圆曲线的早期结果。
On different expressions for invariants of hyperelliptic curves of genus 3
本文给出亏格为3的超椭圆曲线的不同不变量之间的一个通项公式，特别是Tsuyumine和Shioda不变量之间的通项公式.这需要得到Shioda不变量的模表达式，即，例如，用于证明CM亏格3超椭圆曲线的数值计算方程的正确性。另一方面，我们还得到了用定义超椭圆曲线的方程的根的差描述的Shioda不变量，它在研究曲线的约化类型方面有应用。在其雅可比矩阵满足一定条件的情况下，给出亏格为3的超椭圆曲线坏约化类型的判定准则。
Numerical verification of Beilinson's conjecture for K2 of hyperelliptic curves
本文构造了Q上任意亏格g的超椭圆曲线族，其中K_2中至少有g个整元.对g= 2，3，4，5的几条曲线，我们也用数值方法验证了关于K_2的Beilinson定理。本文基本上是完备的，可以作为Beilinson关于曲线的K_2的构造的初步介绍。
Genus 3 hyperelliptic curves with CM via Shimura Reciprocity
直到C上的同构，每个3维的简单主极化阿贝尔簇都是亏格为3的光滑射影曲线的雅可比矩阵。此外，该曲线是超椭圆曲线或平面四次曲线。给定一个六次CM域K，证明了如果存在一个CM乘K的超椭圆Jacobian，则所有与之共轭的主极化阿贝尔簇都是超椭圆的.利用Shimura的倒易律，我们给出了一个算法计算近似的初始曲线的不变量，以及它们的伽罗瓦共轭。这使得我们可以定义和计算类多项式亏格3超椭圆曲线与CM。
Variation of Tamagawa numbers of Jacobians of hyperelliptic curves with semistable reduction
研究了在半稳定约化情形下，超椭圆曲线的Jacobian的Tamagawa数随基场或曲线的变化规律。我们发现，有很强的约束的行为出现，其中一些是意想不到的和特定的超椭圆曲线。我们的方法是明确的，并允许一个写下来的公式玉川数的无限家庭的超椭圆曲线，的那种用于证明的奇偶性猜想的Jacobian曲线的小属。
Computing twists of hyperelliptic curves
本文给出了计算任意亏格的超椭圆曲线在任意可分域（特征不等于2）上的扭转方程的一个有效算法，并给出了一些有趣的例子.
Rational and isolated quadratic points on hyperelliptic curves of rank 0 and small genus
本文提出一种利用Kummer簇上Mordell-Weil群像来计算秩0超椭圆曲线有理点和孤立二次点的方法，并用Magma实现，在大量曲线上验证。
A note on hyperelliptic curves with ordinary reduction over 2-adic fields
研究了2-adic域上一类半稳定的普通超椭圆曲线及其极小正则模型的特殊纤维。我们表明，这些曲线可以控制使用“集群图片”，类似的情况下，奇残留特征。
Rational points on Atkin-Lehner quotients of geometrically hyperelliptic Shimura curves
Guo和Yang给出了所有几何超椭圆Shimura曲线$X_0(D,N)$的定义方程。在本文中，我们计算$\mathbb{Q}$ -有理点上的Atkin-Lehner矩这些曲线使用各种技术。我们还确定哪些有理点是CM的许多这些曲线。
Isogenies and the Discrete Logarithm Problem in Jacobians of Genus 3 Hyperelliptic Curves
我们描述了使用显式的同源性来翻译的实例的离散对数问题（DLP）的超椭圆属3曲线的雅可比矩阵的非超椭圆属3曲线，在那里他们是容易受到更快的指数演算攻击。我们提供了显式公式同构的内核同构的$(\ZZ/2\ZZ)^3$（在一个代数闭包的基础领域）的任何超椭圆亏格3曲线的特征不2或3。这些isogenies是合理的，所有超椭圆亏格3曲线定义在一个有限域上的特征$p > 3$。在合理的假设下，我们的构造给出了一个明确和有效的减少的DLP的实例从超椭圆到非超椭圆雅可比约18.57%的超椭圆属3曲线在一个给定的有限域。最后，我们讨论这些想法扩展到更一般的内核的同源。这项工作的浓缩版出现在2008年欧洲议会PT会议的议事录中。
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