Computing L-series of hyperelliptic curves
Kiran S. Kedlaya, Andrew V. Sutherland
利用点计数、群算法和p-adic方法，讨论亏格至多为3的Q上超椭圆曲线的L-级数的系数计算.
We discuss the computation of coefficients of the L-series associated to a hyperelliptic curve over Q of genus at most 3, using point counting, generic group algorithms, and p-adic methods.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Computing local p-adic height pairings on hyperelliptic curves
我们描述了一个算法来计算局部分量在p的科尔曼-格罗斯p-adic高度配对的因子上的超椭圆曲线。由于高度配对的科尔曼积分，我们还提供了新的技术来评估科尔曼积分的亚纯微分，并提出我们的算法，实现在Sage。
Computing isogenies between jacobians of hyperelliptic curves of arbitrary genus via differential equations
设$p$为奇素数，且为与$p$互质的整数.本文研究了$p$ -进数域$\mathbb{Q}\_p$的扩张$K$上任意亏格的超椭圆曲线的Jacobian之间的$(\ell,...,\ell)$ -同构的显式有理表示的算法.该算法在$\ell$和曲线的亏格上都具有拟线性复杂度。
Computing rational points on rank 0 genus 3 hyperelliptic curves
计算$\mathbb{Q}$上亏格$3$奇次超椭圆曲线$C$上的有理点，这些曲线的Jacobian为Mordell-Weil秩$0$ .该计算应用Chabauty-Coleman方法来找到$p$ -adic积分的某个系统的零点集，该系统已知是有限的并且包括有理点$C(\mathbb{Q})$的集合。我们在Sage中实现了一种算法，以在$5870$曲线数据库上执行Chabauty-Coleman方法。
Computing the Stable Reduction of Hyperelliptic Curves in Residue Characteristic 2
本文研究了特征零域上超椭圆曲线在剩余特征 2 下的稳定约化问题，证明了标定曲线稳定约化的一般性质，改进了现有计算算法，并给出了直至亏格 g=30 的具体算例。
Efficient computation of Cantor's division polynomials of hyperelliptic curves over finite fields
设$p$为奇素数。提出了一种利用进微分方程计算超椭圆曲线雅可比行列式的有理表示的算法，并对精度损失进行了分析.因此，在可能解除了问题的$p$ -adics，我们得出快速算法计算明确康托的划分多项式的超椭圆曲线定义在有限域。
Computing twists of hyperelliptic curves
本文给出了计算任意亏格的超椭圆曲线在任意可分域（特征不等于2）上的扭转方程的一个有效算法，并给出了一些有趣的例子.
Computing torsion subgroups of Jacobians of hyperelliptic curves of genus 3
给出了亏格为3的超椭圆曲线在有理数上的雅可比矩阵的有理挠子群的计算方法。我们应用岩浆实现我们的算法的曲线数据库，由于萨瑟兰低判别以及一系列的曲线系数小。在这个过程中，我们发现了一些以前没有在文献中描述的扭转结构。该算法是一个推广的算法属2由于斯托尔，我们扩展到满足一定条件的阿贝尔簇。我们的想法是计算p-adic扭转升降机的点在有限域使用库默尔品种，并检查他们是否合理使用高度。Stoll对亏格为3的超椭圆曲线的雅可比行列式都作了明确的表示。本文部分基于第二名作者的硕士论文。
Explicit Vologodsky Integration for Hyperelliptic Curves
Vologodsky的理论$p$进积分起着核心作用，在计算几个有趣的不变量算术几何。与Coleman提出的理论相比，它的优点是对$p$的还原类型不敏感。基于Besser和Zerbes最近的工作，我们描述了一个算法，用于计算Vologodsky积分的坏约化超椭圆曲线。这扩展了以前的联合工作与卡茨所有亚纯微分形式。我们说明了我们的算法在Sage中计算的数值例子。
Computing the Automorphism Groups of Hyperelliptic Function Fields
给出了一种计算亏格大于1的超椭圆函数域在特征大于2的基域及其代数扩张上的自同构群的有效方法.
Moduli of Hyperelliptic Curves and Multiple Dirichlet Series
本文给出了与二次Dirichlet L-级数的乘积相关联的$distinctive$重狄利克雷级数的一个显式构造，我们认为它应该与Kac-Moody群的双覆盖上的广义亚格Whittaker函数紧密相连.为了做到这一点，我们首先强加一组公理，独立于任何一组函数方程，上述对象应该满足。由此，我们推出多重狄利克雷级数的$p$-部分的系数满足一定的递推关系.这些关系导致一族恒等式，在某些容许双覆盖的模空间的组合结构中，它是$encoded$。最后，通过这一关键的联系，我们应用Deligne的理论的重量来表示归纳的$p$-部分的系数的Frobenius的特征值作用于$\ell$-adic tale上同调的局部系统上的模$\mathscr{H}_{g}[2]$的超椭圆曲线的属$g$与2级结构。
Computing Hasse-Witt matrices of hyperelliptic curves in average polynomial time, II
给出了一种算法，该算法计算给定Q上超椭圆曲线在直到给定界N的所有好约化素数处的Hasse-Witt矩阵.它比作者以前提出的算法更简单、更快。
Computing integral points on hyperelliptic curves using quadratic Chabauty
给出了奇次超椭圆曲线上亏格等于其雅可比行列式的Mordell-Weil秩的有理数上整点的计算方法。我们的方法包括一个组合的$p$ -进近似技术在以前的工作中介绍了Mordell-Weil筛
Computing Hasse-Witt matrices of hyperelliptic curves in average polynomial time
基于Harvey最近提出的平均多项式时间算法，提出了一种计算超椭圆曲线C/Q模所有素数的Hasse-Witt矩阵的有效算法.亏格2和亏格3的超椭圆曲线的实现比N = 2^26的替代方法快数量级以上。
Arithmetic inflection formulae for linear series on hyperelliptic curves
本文研究了超椭圆曲线在$\mathbb{A}^1$-同调理论中线性系列的算术折点公式的几何意义。
Hyperelliptic Curves over Small Finite Fields and GPU Accelerators
提出了一种硬件加速计算固定有限域上给定亏格的所有超椭圆曲线的Hasse-Weil不变量的方法.我们的主要动机是确定Frobenius上同调对应的模栈La Bergström-Faber-van-der-Geer的迹。本文还对基于查找表的Zech算法在图形处理器（GPU）上的性能进行了案例研究。GPU现在在数字运算中无处不在，在某种程度上，它们的发展本身就是由科学计算推动的。代数计算从硬件设计的进步中获益甚少。我们建议，具体的计算可以有益地调整到GPU与相对较少的努力。
Computing Néron-Tate heights of points on hyperelliptic Jacobians
Faltings和Hriljac证明了曲线雅可比矩阵上一点的Néron-Tate高度可以表示为曲线正则模型上相应因子的自相交。我们使这明确，并使用它来给一个算法计算Néron-Tate高度的雅可比矩阵的超椭圆曲线。为了证明我们的算法的实用性，我们说明它通过计算Néron-Tate高度的超椭圆曲线的雅可比矩阵的亏格从1到9。
Computing L-series of geometrically hyperelliptic curves of genus three
设C/Q是亏格为3的曲线，给定为平面二次曲线的双重覆盖。这样的曲线在Q的代数闭包上是超椭圆的，但在Q上可能没有通常形式的超椭圆模型。我们描述了一个算法，计算C的局部zeta函数在所有奇素数的好约化到一个规定的界限N。该算法依赖于适应的“累积剩余树”的矩阵中的一个二次域的条目。我们报告的实施，并比较其性能与以前的算法的普通超椭圆的情况下。
Fast computation of hyperelliptic curve isogenies in odd characteristic
设p为奇素数，g $\ge$ 2为整数.本文给出了一个计算p进数域Qp的扩张K上亏格为g的超椭圆曲线的Jacobian之间同构的显式有理表示的算法。它依赖于一阶微分方程系统的有效分辨率，具有p-adic精度的对数损失。
Computing superspecial hyperelliptic curves of genus 4 with automorphism group properly containing the Klein 4-group
本文提出算法，在Magma上枚举或寻找自同构群真包含Klein 4群的亏格4超特殊超椭圆曲线，成功枚举了$19 \leq p < 500$的所有曲线，并为$19 \leq p < 7000$的每个$p$找到一条。
Character Sums, Gaussian Hypergeometric Series, and a Family of Hyperelliptic Curves
研究了特征标和\[ϕ_{(m,n)}(a,b)=\sum_{x\in\mathbb{F}_q}ϕ\left(x(x^{m}+a)(x^{n}+b)\right),\textrm{ and, } ψ_{(m,n)}(a,b)=\sum_{x\in\mathbb{F}_q}ϕ\left((x^{m}+a)(x^{n}+b)\right)\]，其中$ϕ$是定义在$\mathbb{F}_q$上的二次特征标.这些和用$\mathbb{F}_q$上的高斯超几何级数表示。然后利用这些表达式给出了超椭圆曲线族及其雅可比簇上$\mathbb{F}_q$ -有理点的个数。
Explicit Coleman integration for hyperelliptic curves
科尔曼的p-adic积分理论在数个数论应用中有着突出的地位，例如寻找曲线上的挠和有理点，以及计算K理论中的p-adic调节器（包括椭圆曲线上的p-adic高度）。给出了一种计算超椭圆曲线上Coleman积分的算法，并在Sage中实现了该算法.
Rational and isolated quadratic points on hyperelliptic curves of rank 0 and small genus
本文提出一种利用Kummer簇上Mordell-Weil群像来计算秩0超椭圆曲线有理点和孤立二次点的方法，并用Magma实现，在大量曲线上验证。
Hyperelliptic curves over $\mathbb{F}_q$ and Gaussian hypergeometric series
令$d\geq2$为整数。分别用$E_d$和$E'_{d}$表示由$$E_d: y^2=x^d+ax+b~~~ \text{and} ~~~E'_d: y^2=x^d+ax^{d-1}+b,$$给出的$\mathbb{F}_q$上的超椭圆曲线。本文以$d-1$，$d$，$2(d-1)$，$2d$，$2d(d-1)$为参数，利用${_{d}}F_{d-1}$和${_{d-1}}F_{d-2}$高斯超几何级数的特殊值，给出了$E_d$和$E'_d$上$\mathbb{F}_q$ -点的个数.这给出了一个问题的解决方案所提出的小野肯\cite [p. 204]{ono 2}上的特殊值的${_{n+1}}F_n$高斯超几何级数的$n > 2$。我们还证明了Lennon \cite{lennon1}和作者\cite{BK3}关于椭圆曲线的Frobenius迹的结果遵循主要结果。
Computing p-adic heights on hyperelliptic curves
本文提出一种计算双曲曲线在p处的局部Coleman-Gross p进高度的算法，该算法比之前的算法更高效且适用于奇数和偶数次双曲曲线。
p-adic integration on bad reduction hyperelliptic curves
本文介绍了一种计算坏约化超椭圆曲线上p-adic积分的算法。对于坏约化曲线，有两种p-adic积分的概念：可以局部执行的Berkovich-Coleman积分和具有理想数论性质的阿贝尔积分。通过用环和基本大开集覆盖一条坏约化的超椭圆曲线，将Berkovich-Coleman积分的计算归结为好约化的超椭圆曲线上的已知算法.这是由于Balakrishnan，Bradshaw和Kedlaya，以及Balakrishnan和Besser的正则和亚纯1-形式的好约化曲线，分别。然后，我们采用热带几何技术，由于第一命名的作者与拉宾诺夫和Zureick-Brown转换成阿贝尔积分的Berkovich-Coleman积分。我们提供了我们的算法的例子，验证某些阿贝尔积分之间的扭转点消失。
Computing binary curves of genus five
亏格5曲线可以是超椭圆曲线、三角曲线或非超椭圆非三角曲线，其模型是$\mathbb{P}^4$中三个二次曲面的完全相交。我们提出并解释算法，我们用来确定，直到同构在$\mathbb{F}_2$，所有属5曲线定义在$\mathbb{F}_2$，我们这样做分别为每一个提到的三种类型。我们考虑这些曲线在$\mathbb{F}_2$上的Jacobian或Newton多边形的等距类，并且对于这三种类型中的每一种，我们计算$\mathbb{F}_2$上的曲线的数量，这些曲线由它们的$\mathbb{F}_2$ -自同构群的大小加权。
Point counting in families of hyperelliptic curves
设E_G是一族由Y ^2 =Q（X，G）定义的超椭圆曲线，其中Q定义在一个具有奇特征的小有限域上.然后，当g在这个小域上的一个扩张度为n的域上时，利用刚性上同调的Dwork变形，给出了计算曲线E_g的zeta函数的一个确定性算法.该算法的时间复杂度为O（n^（2.667）），所需内存为O（n^（2.5））位。时间复杂度为O（n^2），空间复杂度为O（n^3）。最后一个结果的实现证明对于足够大的n是相当有效的。
The Dieudonné modules and Ekedahl-Oort types of Jacobians of hyperelliptic curves in odd characteristic
给定特征为$p$的代数闭域$k$上维数为$g$的主极化阿贝尔簇$A$，$p$扭$A[p]$是秩为$p^{2g}$的有限平坦$p$ -扭群概型.确实存在$2^g$可能的组方案，可以作为某些这样的$A[p]$出现。在本文中，我们研究了哪些群方案可以发生$J[p]$，其中$J$是定义在$\mathbb{F}_p$上的超椭圆曲线的雅可比矩阵。我们这样做是通过计算明确的公式的行动Frobenius和它的对偶的德拉姆上同调的超椭圆曲线相对于一个给定的基础。一个定理小田的在[Oda 69]允许我们将这些行动的$p$ -扭转结构的雅可比矩阵。利用这些公式和计算机代数系统Magma，我们肯定地解决了Glass和Pries在[Cor 05]中提出的关于秩为$p^8$和$p^{10}$的某些群概型能否分别作为亏格为$4$和$5$的超椭圆曲线的$J[p]$出现的问题.
Genus 3 hyperelliptic curves with CM via Shimura Reciprocity
直到C上的同构，每个3维的简单主极化阿贝尔簇都是亏格为3的光滑射影曲线的雅可比矩阵。此外，该曲线是超椭圆曲线或平面四次曲线。给定一个六次CM域K，证明了如果存在一个CM乘K的超椭圆Jacobian，则所有与之共轭的主极化阿贝尔簇都是超椭圆的.利用Shimura的倒易律，我们给出了一个算法计算近似的初始曲线的不变量，以及它们的伽罗瓦共轭。这使得我们可以定义和计算类多项式亏格3超椭圆曲线与CM。
Improved Weil and Tate pairings for elliptic and hyperelliptic curves
本文给出了计算椭圆曲线上的Weil和Tate对的平方以及超椭圆曲线上的Tate对的平方的算法。本文介绍的平方配对的优点是，我们的算法来评估它们是确定性的，不依赖于一个随机选择的点。我们的配对比通常的配对节省约20-30%。
Improved Complexity Bounds for Counting Points on Hyperelliptic Curves
本文提出了一种概率Las Vegas算法，用于计算定义在$\mathbb{F}_q$上的亏格为$g$的超椭圆曲线的局部zeta函数.它是基于Schoof和Pila的方法，结合结构多项式系统的$\ell$ -扭转的建模。我们的主要结果表明，存在一个常数$c>0$，使任何固定的$g$，该算法具有预期的时间和空间复杂度$O((\log q)^{cg})$作为$q$增长和特征是足够大的，以前已知的复杂度界限的改善。
Hyperelliptic jacobians without complex multiplication, doubly transitive permutation groups and projective representations
在他以前的论文（Math. Res. Letters 7（2000），123- 132）中，作者证明了，在特征零处，超椭圆曲线$C: y^2=f(x)$的雅可比$J(C)$在基域$K$的代数闭包$K_a$上只有平凡的自同态，如果不可约多项式$f(x) \in K[x]$的伽罗瓦群$Gal(f)$是对称群$S_n$或交替群$A_n$。这里$n>4$是$f$的度数。在下一篇论文（Progress in Math.195（2001），473- 490）中，我们将这个结果推广到某些“较小”伽罗瓦群的情况。特别地，我们处理了无穷级数$n=2^r+1, Gal(f)=L_2(2^r)$。小Mathieu组$M_n$（与$n=11,12)$一起使用）的病例也接受了治疗。本文研究了大Mathieu群$M_n$（含$n=22,23,24$）的情形.我们还处理了无穷级数$Gal(f)=L_m(2^r)$（除了$(m,r)=(3,2)$或$(4,1)$的情况外，还有$m>2$），假设$f$的根的集合$R$可以与特征为2的有限域$F_{2^r}$上的相应的射影空间$P^{m-1)(F_{2^r})$以这样一种方式标识，即在$R$上的伽罗瓦作用成为在射影空间上的$L_m(2^r)$的自然作用。
Addition of Divisors on Hyperelliptic Curves via Interpolation Polynomials
解决了两个问题：将任意次数的非特殊因子约化为与曲线亏格相等次数的等价因子，以及任意次数因子的加法。超椭圆的情况被认为是最简单的模型。在某些特殊情况下，给出了简化除子的显式公式，并以Jacobi反演问题的解的形式得到简化除子化因子，从而为计算任意非特殊因子的阿贝尔函数提供了方法.提出了一种有效的约简算法，它的优点是只涉及多项式的算术运算。与密码学中已知的加法算法相比，所提出的加法算法包含了更多的细节，与超椭圆函数理论中已知的加法算法相比，所提出的加法算法被推广到任意次数的因子。
Three-Torsion Subgroups and Wild Conductors of Genus 3 Hyperelliptic Curves
本文提出用复逼近、同伦延拓和格基约化计算亏格3超椭圆曲线雅可比簇三挠子群的实用方法，并将其应用于计算导子在2处局部指数的野部分。
Rational Points on a Family of Genus 3 Hyperelliptic Curves
本文研究一族亏格 3 超椭圆曲线的有理点，改进 Dem'yanenko–Manin 方法并结合根数约束 Jacobian 分解中椭圆曲线的秩，从而比 Chabauty–Coleman 方法更高效地确定 \\(C_a(\mathbb Q)\\)。
Twists of non-hyperelliptic curves
本文给出了一种计算定义在任意（完美）域$k$上的非奇异射影曲线的扭曲集的方法。该方法是基于扭转和解决方案之间的对应关系的伽罗瓦嵌入问题。当此外，这条曲线是非超椭圆，我们展示了如何计算方程的扭曲。如果$k = \mathbb{F}_{q}$，则该方法成为算法，因为在这种情况下，出现的伽罗瓦嵌入问题已知如何解决。作为一个例子，我们计算的扭曲的非超椭圆亏格$6$曲线$x^{7}-y^{3}z^{4}-z^{7} = 0$时，我们认为它定义在一个数域，使$[k(ζ_{21}):k] = 12$。对于每一个扭曲方程显示。
Computing a Group Action from the Class Field Theory of Imaginary Hyperelliptic Function Fields
本文研究虚超椭圆函数域类域论产生的交换群作用，提出高效计算算法并证明其求逆可归约为固定 τ-次 Drinfeld 模同源问题，借助 Wesolowski 算法实现多项式时间可解。
Efficient Algorithms for Isogeny Computation on Hyperelliptic Curves: Their Applications in Post-Quantum Cryptography
本文提出了计算超椭圆曲线间同源的高效算法，将亏格2曲线的计算复杂度降至O(g3)，并证明了其抗量子攻击能力，确立了其在后量子密码学中的潜力。
Semistable reduction of smooth quartics
研究离散赋值域上光滑平面四次曲线的半稳定约化，利用几何不变量理论和Bruhat-Tits建筑上的稳定性函数方法构造接近稳定的特殊纤维平面模型，并证明非超椭圆情形下GIT稳定平面模型与稳定模型的关系。
Hyperelliptic jacobians and projective linear Galois groups
在他以前的论文（Math.Res.Letters 7（2000），123 - 132）中，作者证明了，在特征零处，超椭圆曲线$C: y^2=f(x)$的雅可比$J(C)$在基域$K$的代数闭包$K_a$上只有平凡的自同态，如果不可约多项式$f(x) \in K[x]$的伽罗瓦群$Gal(f)$是对称群$S_n$或交替群$A_n$。这里$n>4$是$f$的度数。在数学AG/0003002中，我们把这个结果推广到某些"较小"的伽罗瓦群的情况。特别地，我们处理了无穷级数$n=2^r+1, Gal(f)=L_2(2^r)$和$n=2^{4r+2}+1, Gal(f)=Sz(2^{2r+1})$。本文证明了$J(C)$在$K_a$上只有平凡自同态，如果$f$的根的集合可以与具有奇特征的有限域$F_q$上的$(m-1)$维射影空间$P^{m-1}(F_q)$相一致，使得作为其置换群的$Gal(f)$成为射影线性群$PGL(m,F_q)$或射影特殊线性群$L_m(q):=PSL(m,F_q)$.在这里，我们假设$m>2$。
An extension of Kedlaya's algorithm for hyperelliptic curves
在本文中，我们描述了一个概括和适应Kedlaya的算法计算的zeta函数的超椭圆曲线在一个有限域的奇特性，作者用于实现该算法的岩浆库。我们将该算法推广到偶度模型的情况。我们还分析了适应工作的$x^idx/y^3$，而不是$x^idx/y$差分基础。这个基础的计算优势，总是导致一个整体的变换矩阵，而后者未能在小的亏格的情况下。有一些理论上的微妙之处，出现在偶数度的情况下，两个微分基实际上导致不同的冗余特征值，必须丢弃。
The $a$-numbers of non-hyperelliptic curves of genus 3 with cyclic automorphism group of order 6
本文研究了具有阶为6循环自同构群的亏格3非超椭圆曲线，给出了其同构的充分必要条件，并利用高斯超几何级数描述Hasse-Witt矩阵，确定了可能的$a$-数及达到最大$a$-数的同构类数量。
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves II
该研究提出精细化方法证明带单有理魏尔斯特拉斯点的超椭圆曲线的Chabauty--Coleman--Kim集合有限性，给出模2 Bloch--Kato塞尔默群的2进与实进塞尔默条件计算方法，验证了多数LMFDB中秩2亏格2曲线的有限性，还得到超椭圆曲线雅可比簇二次下降的域论描述。
Computing canonical heights using arithmetic intersection theory
对于阿贝尔簇的算术中的几个应用，计算正则高是很重要的。继Faltings和Hriljac之后，我们展示了如何在实践中使用规则曲线模型上的算术相交理论来计算光滑射影曲线的雅可比矩阵上的正则高度。在超椭圆曲线的情况下，我们提出了一个完整的算法，已实施的岩浆。计算了几个例子，并讨论了运行时间的行为。
Algorithms for $p$-adic Heights on Hyperelliptic Curves of Arbitrary Reduction
本文提出计算任意约化类型超椭圆曲线上 Coleman--Gross $p$-进高度的算法，涵盖局部高度计算、Blakestad 分裂算法及数值实例，包括首个坏约化曲线的二次 Chabauty 示例。
Counting points on hyperelliptic curves with explicit real multiplication in arbitrary genus
给出了一个概率Las Vegas算法，用于计算定义在$\mathbb F_q$上的亏格- $g$超椭圆曲线的局部zeta函数，该曲线在度- $g$全实数域上用显式实数乘（RM）乘以阶数$\Z[η]$.它基于Schoof和Pila的方法，在一个更有利的情况下，我们可以将$\ell$ -挠分解为自同态的$g$核，如Gaudry，Kohel和Smith在亏格2中介绍的那样。为了处理这些内核在任何属，我们采用的技术，作者，Gaudry和Spaenlehauer介绍了模型的$\ell$ -扭转结构多项式系统。将这种技术应用于核，我们得到的系统要小得多，求解它们的复杂性也要小得多。我们的主要结果是存在一个常数$c>0$，使得对于任何固定的$g$，随着$q$的增长，该算法具有期望的时间和空间复杂度$O((\log q)^{c})$，并且特征足够大。我们证明了$c\le 9$，并猜想这个结果对$c=7$也成立.
Brauer-Manin obstructions on hyperelliptic curves
本研究提出一种计算数域超椭圆曲线Brauer-Manin障碍的实用算法，无需依赖大次数数域类群与单位群计算，实验显示对亏格≥5的有理曲线有理点判定准确率超99%，还给出亏格50的反例，核心理论是扩展带限制分歧挠子的下降理论。
Towards the Sato-Tate Groups of Trinomial Hyperelliptic Curves
我们考虑$$C_1\colon y^2=x^{2g+2}+c, C_2\colon y^2=x^{2g+1}+cx, C_3\colon y^2=x^{2g+1} +c,$$形式的曲线的雅可比矩阵的Sato-Tate群的单位连通区，其中$g$是曲线的亏格，$c\in\mathbb Q^*$是常数。我们从三个方面来处理这个问题。首先，我们使用Kani-Rosen定理来确定亏格为4和5的$C_1$曲线的Jacobian的分裂，并证明在每种情况下Sato-Tate群的单位连通区是什么。然后，我们确定分裂的雅可比矩阵的高属$C_1$曲线找到映射到较低的属曲线，然后计算回调的微分1-形式。在使用这种方法时，我们能够将形式为$C_1$、$C_2$和$C_3$的曲线的雅可比行列式联系起来。最后，我们提出了一种计算这三种曲线族雅可比行列式的Sato-Tate群的单位连通区的新方法。我们使用这种方法来计算许多明确的例子，并发现令人惊讶的模式，这些家庭的曲线的单位连通区的形状。
Computing Zeta Functions of Nondegenerate Curves
本文利用Monsky-Washnitzer上同调，给出了计算有限域上非退化曲线zeta函数的p-adic算法.本文极大地推广了以前的工作，因为所有已知的情况下，例如超椭圆，超椭圆和C_{ab}曲线，可以转换为适合的非退化的情况。对于具有固定牛顿多面体的曲线，非退化的性质是通用的，因此该算法适用于几乎所有具有给定牛顿多面体的曲线。对于F_{p^n}上的亏格g曲线，预期运行时间为O（n^3g^6 + n^2g^{6.5}），而空间复杂度为O（n^3g^4），假设p是固定的。
Enumerating places of $\mathbf P^1$ up to automorphisms of $\mathbf P^1$ in quasilinear time
本研究提出两种相互依赖的拟线性时间算法，分别枚举有限域上射影直线n次位模PGL₂(k)作用的轨道与n次有效除子的轨道代表元，并基于后者在Magma中实现亏格2-4超椭圆曲线的快速计算，性能显著优于现有方法。
Real inflection points of real linear series on an elliptic curve
给定实部非空的实椭圆曲线$E$及其$g_2^1$，研究了$k\geq 3$的完备实线性级数$|\mathcal{L}_\mathbb{R}(kD)|$的特征子级数的实拐点.我们定义{ \it关键多项式}，其根索引线性级数的拐点的（$x$ -坐标），远离$E$在$\mathbb{P}^1$上分歧的点。这些都符合递归层次，以同样的方式，司多项式指数扭点。我们的研究是出于，并补充，分析如何曲折的轨迹变化的退化真正的{ \it超椭圆}曲线的一个度量化复杂的曲线与椭圆曲线组件，我们进行了我们的前一篇文章与Biswas。
Computing rational solutions to $Ax^p+By^p+Cz^p=0$
本综述探讨借助附属超椭圆曲线及其计算所得有理点，求解三元对角方程有理解的可行性。
Frobenius lifts and point counting for smooth curves
本文描述了一种计算有限域上一条适当的平滑曲线的zeta函数的算法，当曲线与一些辅助数据一起给出时。我们的方法是基于计算矩阵的作用的半线性Frobenius的第一个上同调群的曲线通过Serre对偶。所涉及的上积可以在局部计算，首先计算Frobenius的全局定义的提升的局部展开。由此产生的算法的复杂度是软立方的领域度，这也是与超椭圆情况下的Kedlaya的算法的情况。
Hyperelliptic continued fractions in the singular case of genus zero
在曲线的函数域中，通过展开为局部参数中的洛朗级数，可以定义元素的连分数展开。考虑多项式的平方根$\sqrt{D(t)}$导致一个有趣的理论有关的多项式佩尔方程。与经典的Pell方程不同，相应的多项式方程并不总是可解的，其可解性与由$y^2=D(t)$定义的曲线的雅可比（或广义雅可比矩阵）上的算术条件有关。在这种情况下，Zannier在\cite{zannier}中已经证明，$\sqrt{D(t)}$的连分数展开式的部分幂次的次数序列总是周期性的，即使展开式本身不是周期性的。本文详细地研究了曲线$y^2=D(t)$亏格为0的情形，建立了连分数展开式中出现一定次数的偏导数的显式几何条件。我们还表明，有非平凡的多项式$D(t)$与非周期性的扩展，使无限多的部分多项式的程度大于1。
Computing minimal Weierstrass equations
本文提出在主理想整环上计算超椭圆曲线极小 Weierstrass 方程的算法，并针对存在有理 Weierstrass 点的情形给出相应算法。
Computing zeta functions of arithmetic schemes
提出了计算有限域上代数簇的zeta函数的新算法。特别地，设X是算术概型（Z上有限型概形），对于素数p，设zeta_{X_p}（s）是其zeta函数的局部因子。我们给出了一个算法，它在时间p^（1/2+o（1））中计算单个素数p的zeta_{X_p}（s），以及另一个算法，它在时间N（log N）^（3+o（1））中计算所有素数p < N的zeta_{X_p}（s）。这些结果推广了作者以前的结果，从超椭圆曲线到完全任意曲线。
Factorization of Coefficients for Exponential and Logarithm in Function Fields
设$X$是$\mathbb F_q$上的椭圆曲线或分歧超椭圆曲线.我们将讨论如何因式分解这样的曲线上的Hayes模的指数和对数级数的系数。这使我们能够获得$v$ -进收敛的结果，这样的指数和对数系列，$v$一个“有限”的素数。作为一个应用，我们可以证明$v$ -adic Goss $L$ -值$L_v(1, Ψ)$对于适当的特征$Ψ$是对数代数的。
Generalizations of Jacobsthal sums and hypergeometric series over finite fields
对于非负整数$l_{1}, l_{2},\ldots, l_{n}$，我们定义了有限域上的特征和$φ_{(l_{1}, l_{2},\ldots, l_{n})}$和$ψ_{(l_{1}, l_{2},\ldots, l_{n})}$，它们分别是Jacobsthal和修正Jacobsthal和的推广.我们用Greene有限域超几何级数表示这些特征和。然后用特征和$φ_{(l_{1}, l_{2}, l_{3})}$和$ψ_{(l_{1}, l_{2}, l_{3})}$表示有限域上超椭圆曲线$y^2=(x^m+a)(x^m+b)(x^m+c)$和$y^2=x(x^m+a)(x^m+b)(x^m+c)$上的点的个数，最后得到用有限域超几何级数表示的表达式.
Curve equations from expansions of 1-forms at a nonrational point
本研究拓展2005年针对有理点的曲线方程计算算法，提出从正则1-形式在非有理点的幂级数展开计算可计算特征0域上代数曲线方程的方法，已用于计算L-函数与模形式数据库中无有理尖点的超椭圆模曲线在$\boldsymbol{\rm{Q}}$上的方程。
Computing period matrices and the Abel-Jacobi map of superelliptic curves
本文提出一种计算超椭圆曲线周期矩阵和阿贝尔-雅各布映射的算法，利用高斯方法或双指数方法进行数值积分，通过线性组合获得对称基上的真实周期，实现高精度计算。
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