Curvature Functionals for Curves in the Equi-Affine Plane
Steven Verpoort
在给出了这类泛函的一般变分公式后，本文进一步研究了面积约束下等仿射曲率积分的临界点和全仿射弧长的临界点。
After having given the general variational formula for the functionals indicated in the title, the critical points of the integral of the equi-affine curvature under area constraint and the critical points of the full-affine arc-length are studied in greater detail.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Using the Blaschke-Berwald metric and the affine shape operator of a hypersurface M in the (n+1)-dimensional real affine space we can define some generalized curvature tensor named the Opozda-Verstraelen affine curvature tensor. In this paper we determine curvature conditions of pseudosymmetry type expressed by this tensor for locally strongly convex hypersurfaces M, n>2, with two distinct affine principal curvatures or with three distinct affine principal curvatures assuming that at least one affine principal curvature has multiplicity 1.
Geometric realizations of affine Kaehler curvature models
我们证明了每一个Kaehler仿射曲率模型都可以几何实现。
Affine curvature lines of surfaces in 3-space
本文研究三维空间中曲面的仿射主线。我们考虑了仿射曲率直线的二元微分方程，得到了这类曲线（椭圆曲线和双曲曲线）在仿射脐点附近的拓扑模型。我们还描述了仿射曲率线在仿射形状算子的双特征值点（但不是脐点）和抛物点邻域内的一般行为
The equi-affine curvatures of curves in 3-dimensional pseudo-Riemannian manifolds
本文借助于三维伪黎曼流形中非零非退化曲线的Frenet标架和Frenet曲率，刻画了Cartan标架和等仿射曲率.这样一条曲线的Frenet曲率的恒定性总是意味着等仿射曲率的恒定性。我们表明，相反的声明一般不成立。最后，我们研究了三维Lorentz流形中零曲线的等仿射曲率，并证明了它们与伪挠率有关。
The structure of the space of affine Kaehler curvature tensors as a complex module
利用Matzeu和Nikcevic的结果，将仿射Kaehler曲率张量空间分解为复空间中不可约模的直和
The equi-affine and Frenet curvatures of curves in pseudo-Riemannian 2-manifolds
对于伪Riemann（包括Riemann）2-流形中的任意非退化曲线，利用其Frenet（测地）曲率来表示等仿射曲率.
Real affine varieties of nonnegative curvature
设$X_{\mathbb{C}}$是具有紧实点$X_{\mathbb{R}}$的光滑实仿射簇.证明了$X_{\mathbb{C}}$与$X_{\mathbb{R}}$的法丛是同构的，只要$X_{\mathbb{C}}$有一个非负截面曲率的完备黎曼度量，且该度量在共轭下是不变的.
Curvature of multiply warped products with an affine connection
本文研究了具有半对称非度量联络的Einstein多重弯曲积和具有常数量曲率的半对称非度量联络的多重弯曲积，我们将所得结果应用于具有半对称非度量联络的广义Robertson-Walker时空和具有半对称非度量联络的广义Kasner时空，度量联络，并找到了Einstein仿射流形和具有常数数量曲率的仿射流形的新例子.我们还考虑了具有挠率为零的仿射联络的多重翘曲积.
This note derives parametrizations for surfaces of revolution that satisfy an affine-linear relation between their respective curvature radii. Alongside, parametrizations for the uniform normal offsets of those surfaces are obtained. Those parametrizations are found explicitly for a countably-infinite many of them, and of those, it is shown which are algebraic. Lastly, for those surfaces which have a constant ratio of principal curvatures, parametrizations with a constant angle between the parameter curves are found.
Projective affine Ossermann curvature models
曲率模型（V，A）是一个实向量空间V，它配备了一个“曲率算子”A（x，y）z，A具有与仿射曲率算子相同的对称性; A（x，y）z=-A（y，x）z和A（x，y）z+A（y，z）x+A（z，x）y=0。如果Jacobi算子J（y）的谱：x->A（x，y）y是射影常数，则这样的模型称为射影仿射Osserman。球面上向量场的亚当定理对这种模型施加了拓扑条件。本文构造了当维数为奇数、维数为2 mod 4和维数为4 mod 8时的射影仿射Osserman曲率模型，其中特征值结构满足Adam定理.
In this paper we define the class of constant affine mean curvature (CAMC) discrete asymptotic nets, which contains the well-known classes of affine spheres and affine minimal asymptotic nets. This class is defined by considering fields of compatible interpolating quadrics, i.e., quadrics that have common tangent planes at the edges of the net. We show that, for CAMC asymptotic nets, ruled discrete asymptotic nets is equivalent to ruled compatible interpolating quadrics. Moreover, we prove discrete counterparts of some known properties of the Demoulin transform of a smooth CAMC surface.
Algebraic theory of affine curvature tensors
我们使用曲率分解构造生成集的代数曲率张量的空间和空间的张量具有相同的对称性的无挠的，里奇对称连接;后者自然出现在相对超曲面理论。
Singularities of improper affine spheres and surfaces of constant Gaussian curvature
本文从切触点几何的角度研究了反常（抛物）仿射球方程，给出了方程几何解中出现的奇异性的一般分类及其奇异性的一般形式。我们也给出了常高斯曲率曲面和可展曲面的结果。特别是，我们确认，一般奇点出现在这样的表面只是尖形的边缘和燕尾。
We introduce a new approach for computing curvature of sub-Riemannian manifolds. Curvature is here meant as symplectic invariants of Jacobi curves of geodesics, as introduced by Zelenko and Li. We describe how they can be expressed using a compatible affine connection and induced tensors, without any restriction on our sub-Riemannian manifold or the choice of connection. In particular, we obtain a universal Bonnet-Myers theorem of Riemannian type. We also give universal formulas for the canonical horizontal frame along each geodesic and an algorithm for computing the curvature in general. Seve…
The classification of complete improper affine spheres with singularities of low total curvature and new examples
本文研究了幺模仿射三维空间中带奇异性的完备非固有仿射球，给出了总曲率大于等于$-6π$及$-8π$情形的分类，并提供了亏格0和1的新例子及嵌入端的渐近行为分析。
Regular domains and surfaces of constant Gaussian curvature in three-dimensional affine space
本文推广Minkowski空间依赖区域概念，定义了仿射空间中相对于真凸锥的正则区域，并证明三维真正则区域被常仿射高斯曲率曲面唯一叶状化，基于Monge-Ampère方程分析。
The behaviour of curvature functions at cusps and inflection points
在给定平面曲线$γ(t)$的3/2尖点处，欧几里得曲率$κ_g$和仿射曲率$κ_A$都发散。本文证明了在3/2尖点处的$\sqrt{|s_g|}κ_g$和$(s_A)^2 κ_A$（分别称为欧几里德和仿射归一化曲率）是变量$t$的光滑函数，其中$s_g$（分别称为Euclidean和仿射归一化曲率）是变量$t$的光滑函数. $s_A$）是欧几里得（分别为仿射）弧长参数的曲线对应的3/2尖$s_g=0$（分别）。$s_A=0$）。此外，我们给出了曲率函数$κ_g$和$κ_A$在3/2-尖点处的行为的特征。另一方面，拐点也是仿射几何中曲线的奇点。我们给出了仿射曲率函数在一般拐点附近的一个类似的刻画。作为应用，给出了3/2-尖点和一般拐点的仿射不变量。
Given a pair of real functions $(k,f)$, we study the conditions they must satisfy for $k+λf$ to be the curvature in the arc-length of a closed planar curve for all real $λ$. Several equivalent conditions are pointed out, certain periodic behaviours are shown as essential and a family of such pairs is explicitely constructed. The discrete counterpart of the problem is also studied. Finally, the characterization obtained is used to show that a sufficient analogue of the 4-vertex theorem cannot be developed.
If $c, \overline c\colon [a,b]\to \mathbb R^2$ are two convex planar curve parameterized by affine arc length and $A\colon [a,b]\to [0,\infty)$ is the area bounded by the restriction $c\big|_{[a,s]}$ and the segment between $c(a)$ and $c(s)$ with $\overline A$ the corresponding function for $\overline c$, and the affine curvature of $c$ pointwise less than the affine curvature of $\overline c$. Then $A(s)\ge \overline A(s)$. Also for any point of a convex curve we define \emph{adapted affine coordinates} centered at the point and give sharp estimates on the coordinates of the curve in terms of…
Constant curvature curves in dual affine and dual Lorentz-Minkowski planes
本文研究了双仿射和双洛伦兹-闵可夫斯基平面中曲率恒为双常数的曲线性质，揭示了其几何特征和分类方法。
Motion by weighted mean curvature is affine invariant
假设曲线在平面中通过曲率移动，但将平面嵌入$R^3$中并从一个角度观察平面。然后，缩小到一个圆点的圆看起来就像是缩小到一个“椭圆点”的椭圆，表面能就像迁移率一样是各向异性的。本文的结果是，如果使用表观表面能和表观迁移率，则在表观平面中具有迁移率的加权曲率运动与原始平面中的曲率运动相同，但从角度看。该结果不仅适用于各向同性的情况，而且适用于平面中的任意表面能函数和迁移率，适用于3空间中的表面，并且（在表面能函数是二次可微的情况下）适用于通过畸变透镜观察的运动的情况（即，也是（）。这一结果是要对比与早期的结果，该结果指出，面积保持仿射变换的平面，其中的能量和流动性也没有被转换，运动的曲率的1/3（而不是1）的权力是不变的。
An integral formula for affine connections
在这篇文章中，我们引入了一个$2$ -参数族的仿射联络，并推导出了里奇曲率。我们首先建立一个积分Bochner技术。一方面，这种方法为我们最近在次静态流形的\cite{LX}中的工作提供了一个新的证明。另一方面，在更一般的里奇曲率条件下，这种方法得到了各种几何不等式和特征值估计.新的里奇曲率条件介于静态Ricci张量和$1$ -Bakry-Emery Ricci之间，并包括共形Ricci作为中间情形.
$W^{4, p}$ solution to the second boundary value problem of the prescribed affine mean curvature and Abreu's equations
仿射中曲率方程的第二边值问题是一个非线性四阶几何偏微分方程。它是由Trudinger和Wang在2005年在他们对仿射几何中的仿射高原问题的研究中引入的。Trudinger-Wang，Chau-Weinkove和作者以前的工作在对仿射中曲率的符号或可积性的某些限制下，在$W^{4,p}$中解决了这个整体问题。当仿射中曲率属于$L^p$且$p$大于维数时，本文去掉了这些限制，得到了第二类边值问题的$W^{4,p}$解.我们的独立分析也涵盖了Abreu方程的情况。
Surface immersions in normed spaces from the affine point of view
本文从仿射微分几何的角度研究三维赋范空间中浸入曲面的微分几何。我们赋予表面一个有用的黎曼度量，这是密切相关的法曲率，并从这个我们重新计算闵可夫斯基高斯和中曲率。这些曲率也重新获得的环境仿射距离函数，并作为一个结果，我们表征极小曲面的解决方案，一定的微分方程。我们还调查在哪些情况下，它是可能的，仿射法线和伯克霍夫法向量领域的沉浸重合，证明这只会发生时，几何是欧几里得。
On affine connections in a Riemannian manifold with a circulant metric and two circulant affinor structures
本文考虑一类V维三维黎曼流形M，M具有一个度量g和两个仿射张量q和S.在M中定义了另一个度量\bar{g}。所有这些张量的局部坐标是循环矩阵。发现：1）g和\bar{g}的曲率张量R和\bar{R}之间的关系; 2）当曲率张量\bar{R}为零时g的曲率张量R的恒等式; 3）\{x，qx\}型2-截面的截面曲率与M的数量曲率之间的关系。
A class of new complete affine maximal type hypersurfaces
本文分类了Calabi仿射几何中具有负常截面曲率的特殊Calabi超曲面，并构造了满足仿射极大类型方程和负常标量曲率Abreu方程的新完备仿射超曲面。
Choi-Wang inequality for affine connections
本文扩展了 Choi-Wang 不等式到 Li-Xia 类型仿射连接的正曲率环境，研究最小超曲面的拉普拉斯算子特征值下界。
Linear Independence of Covariant Derivatives and Space-Curvatures
它是由（S. M. Minčić，[14，15]）关于非对称仿射联络空间的曲率张量和伪张量.在非对称仿射联络空间中，有多少种共变导数是可以定义的。这一结果得到了解释。在此基础上，我们研究了非对称仿射联络空间中有多少曲率张量和伪张量是线性无关的。其次，研究了是否可以将所有的曲率张量表示为伪张量的线性组合。在本文的最后，我们考虑了这些结果在物理学中的可能应用。
Differential geometry of general affine plane curves
本文研究了仿射空间$A^2$中曲线的一般仿射几何。对于规则的平面曲线，我们定义了两种活动标架。第一个是所有活动标架中的最小阶，第二个是Frenet活动标架。得到了这些活动标架的运动方程。证明了曲率和签名是正则曲线的完全不变量。作为应用，我们给出了$A^2$中常曲率曲线的完全分类.
Corrigendum to "Chern connection of a pseudo-Finsler metric as a family of affine connections"
本文给出了[2，命题3.3和定理3.4]的正确表述，并给出了用仿射联络$\nabla^V$的曲率张量$R^V$和陈氏张量$P$表示的陈氏曲率的一个公式.
The associativity of the multiplication on a Frobenius manifold is equivalent to the WDVV equation of a symmetric cubic form in flat coordinates. Frobenius manifold could be regarded a very special type of statistical manifold. There is a natural commutative product on each tangent space of a statistical manifold. We show that it is associative, hence making it into a manifold with Frobenius algebra structure, if and only if the sectional $K$-curvature vanishes. In other words, WDVV equation is equivalent to zero sectional $K$-curvature. This gives a curvature interpretation for WDVV equation.
In this paper, we compute sub-Riemannian limits of Gaussian curvature for a Euclidean $C^2$-smooth surface in the affine group and the group of rigid motions of the Minkowski plane away from characteristic points and signed geodesic curvature for Euclidean $C^2$-smooth curves on surfaces. We get Gauss-Bonnet theorems in the affine group and the group of rigid motions of the Minkowski plane.
Affine curvature homogeneous 3-dimensional Lorentz Manifolds
研究了一类三维Lorentz流形。族中的一些成员是0-曲率齐次的，1-仿射曲率齐次的，但不是1-曲率齐次的。有些是单曲率齐次的，但不是双曲率齐次的。它们都是不可分解局部对称空间上的0-模型。族中的一些成员是测地线完备的，另一些则不是。都有消失的标量不变量。
Positive biorthogonal curvature on $S^2 \times T^2$ via affine connection
本文通过引入带反对称挠率且经非平凡上同调类校准的仿射联络，克服 \\(S^2 \times T^2\\) 上 \\(χ=0\\) 的拓扑约束，在不要求度量相容性的条件下构造出严格正双正交曲率。
Projective Curvature Tensors of Second Type Almost Geodesic Mappings
本文考虑非对称仿射联络空间上的等扭第二型几乎测地映射。利用不同的计算方法，我们得到了这些映射的一些不变量。本文进一步推广了非对称仿射联络空间中第二类几乎测地映射的广义Thomas投影参数和Weyl投影张量。
Affine translation hypersurfaces in Euclidean and isotropic spaces
在本文中，我们推广的概念，仿射平移曲面介绍了刘和余（Proc.日本学术。数学科学A系89，111- 113，2013）在欧几里得空间R^{3}中到更高维的周围空间。本文证明了R^{n+1}中具有常Gauss-Kronocker曲率K_{0}的仿射平移超曲面是柱面，即K_{0} =0.作为进一步的应用，我们在满足一定条件的迷向曲率和拉普拉斯算子的迷向空间中描述了这样的超曲面。
A Steklov eigenvalue estimate for affine connections and its application to substatic triples
本文将Fraser-Li型Steklov特征值不等式从经典Ricci曲率下界条件推广到Wylie-Yeroshkin仿射联络的非负Ricci曲率情形，并证明其适用于加权流形与亚静态三元组。
Comparison theorems in centro-affine differential geometry
研究Bakry-Émery Ricci曲率下界加权流形的比较几何，特别针对有效维度N=1的情况，在中心仿射微分几何框架下给出新结果，并讨论旋转对称椭球和双曲面的刚性现象。
In this paper, we generalize the results in [Y. Wang: Affine connections on singular warped products. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 18(5), 2150076, (2021).] to singular multiply warped products and singular twisted products. We study singular multiply warped products and singular twisted products and their curvature with the semi-symmetric metric connection and the semi-symmetric non-metric connection. We also discuss Koszul forms associated with the almost product structure and their curvature of singular multiply warped products and singular twisted products. Finally, several examples are…
For a polygon $x=(x_j)_{j\in \mathbb{Z}}$ in $\mathbb{R}^n$ we consider the midpoints polygon $(M(x))_j=\left(x_j+x_{j+1}\right)/2\,.$ We call a polygon a soliton of the midpoints mapping $M$ if its midpoints polygon is the image of the polygon under an invertible affine map. We show that a large class of these polygons lie on an orbit of a one-parameter subgroup of the affine group acting on $\mathbb{R}^n.$ These smooth curves are also characterized as solutions of the differential equation $\dot{c}(t)=Bc (t)+d$ for a matrix $B$ and a vector $d.$ For $n=2$ these curves are curves of constant …
In this paper, we define deformed Schouten-Van Kampen connections which are metric connections and compute sub-Riemannian limits of Gaussian curvature for a Euclidean C2-smooth surface associated to deformed Schouten-Van Kampen connections with two kinds of distributions in the affine group and the group of rigid motions of the Minkowski plane away from characteristic points and signed geodesic curvature for Euclidean C2-smooth curves on surfaces. According to above results, we get Gauss-Bonnet theorems associated to two kinds of deformed Schouten-Van Kampen connections in the affine group and…
Curvature and Gauss-Bonnet defect of global affine hypersurfaces
$\bC^{n+1}$中复超曲面的全曲率及其在族中的变化似乎不仅依赖于奇点，而且依赖于无穷远邻域的行为。我们发现的渐近损失的全曲率向无穷大，我们表示的全曲率和高斯-博内亏损的奇异性和切线在无穷大。
An affine characterization of quadratic curves
通过分析非退化平面曲线的仿射泰勒展开式，利用重力曲线的曲率性质，得到了这类曲线的特征。证明是基于对展开式中多项式的度奇偶性和首项系数的分析。
Affine functions on Alexandrov spaces
我们证明了每个曲率有界的有限维Alexandrov空间X正则嵌入到具有相同曲率界的Alexandrov空间和欧几里得空间的乘积中，使得X上的每个仿射函数来自欧几里得空间上的仿射函数。
Affine spheres with prescribed Blaschke metric
证明了等式$Δ\ln|κ-λ|=6κ$（其中$κ$是二维流形上度量张量g的高斯曲率）是度量作为仿射球的Blaschke度量局部可实现的充分和必要条件.
We classify closed convex $α$-curve shortening flows for sub-affine-critical powers $α\leq \frac{1}{3}$. In addition, we show that closed convex smooth finite entropy $α$-curve shortening flows with $\frac{1}{3}<α$ is a shrinking circle. After normalization, the ancient flows satisfying the above conditions converge exponentially fast to smooth closed convex shrinkers at the backward infinity. In particular, when $α=\frac{1}{k^2-1}$ with $3\leq k \in \mathbb{N}$, the round circle shrinker has non-trivial Jacobi fields, but the ancient flows do not evolve along the Jacobi fields.
Curvature bounded conjugate symmetric statistical structures with complete metric
本文将完备仿射球面的两个重要定理推广到抽象流形上的统计结构。用曲率满足不等式的假设代替了常截面曲率的假设。
The second boundary value problem of the prescribed affine mean curvature equation and related linearized Monge-Ampère equation
这些课堂讲稿关注的是规定的仿射中曲率方程的第二边值问题的可解性，以及蒙日-安培方程和线性化的蒙日-安培方程的相关正则性理论。规定的仿射中曲率方程是以下形式的完全非线性、四阶几何偏微分方程$$\sum_{i, j=1}^n U^{ij}\frac{\partial^2}{\partial {x_i}\partial{x_j}}\left[(\det D^2 u)^{-\frac{n+1}{n+2}}\right]=f$$，其中$(U^{ij})$是局部一致凸函数$u$的海森矩阵$D^2 u$的余因子矩阵。它的变种是有关的问题，寻找凯勒度量的常数标量曲率在复杂的几何。本文首先介绍了仿射中曲率方程的背景，该方程可以看作是Monge-Ampère方程和线性化的蒙日-安培方程的耦合系统。然后，我们陈述了关键的公开问题，并给出了第二个边值问题的解决方案，它规定了解$u$及其Hessian行列式$\det D^2 u$的边界值。它的证明使用了重要的工具，从边界正则性理论的蒙日-安培和线性化的蒙日-安培方程，我们将提出在课堂讲稿。
A few formulas and theorems for statistical structures are proved. They deal with various curvatures as well as with metric properties of the cubic form or its covariant derivative. Some of them generalize formulas and theorems known in the case of Lagrangian submanifolds or affine hypersurfaces.
The $L_p$-floating area, curvature entropy, and isoperimetric inequalities on the sphere
该研究将欧氏几何中的$L_p$-仿射表面积等概念推广到球面空间，引入球面凸体的$L_p$-浮动面积与曲率熵，证明相关等周不等式、对偶公式与单调性，并推广到非负常曲率空间形式。
The moving frame on the fractal curves
利用活动标架和不变量，$\R^3$中任意离散曲线的中心仿射曲率和挠率都可以唯一识别。本文根据分形曲线的仿射曲率，如Koch曲线和Hilbert曲线，可以清楚地描述它们的迭代过程。有趣的是，通过仿射曲率，分形曲线可以量化和编码相应的序列。因此，更方便日后参考。给定三个起始点，我们可以在步骤$n, \forall n\in \mathbb{Z}^+$直接生成仿射Koch曲线和仿射Hilbert曲线。当然，如果初始三点是标准的，则曲线是传统的Koch曲线或Hilbert曲线。通过这种方法，可以将一些看起来不规则的分形曲线的特征量化，从而使分形特征更加明显。
Affine connections with W=0
对于流形M的切丛上的无挠联络，Weyl曲率W是Ricci压缩核中曲率的一部分。给出了Weyl结果的一个无坐标证明：Weyl曲率为零当且仅当流形（局部）同态于一个实射影空间，且当流形被输运到该射影空间时，其联络在Fubini-Study度量的Levi-Civita联络的射影类中.与偶维M上的联络相联系的是J（M）上的一个殆复结构，即M的切空间上的所有复结构的丛，参见。[O'Brian-Rawnsley].我们表明，这种结构是一个射影不变量，当可积可以从一个无挠连接，然后必须有W=0。我们还表明，两个无挠连接定义相同的殆复结构，当且仅当它们是射影等价的。
Hypersurfaces of constant Gauss-Kronecker curvature with Li-normalization in affine space
本文通过研究带梯度爆破边界条件的Monge-Ampère方程，证明了仿射空间中正则域被相对于Li-规范化的常Gauss-Kronecker曲率完备凸超曲面叶状化，并推广了$α=1$情形。
Chern connection of a pseudo-Finsler metric as a family of affine connections
我们考虑（圆锥）伪Finsler流形$(M,L)$的Chern联络为任意开子集$Ω\subset M$上的线性联络$\nabla^V$与$Ω$上任意处处非零的向量场$V$相关联.这种联系是无挠的，几乎与基本张量$g$度量相容。然后，我们给出了与$\nabla^V$相关的曲率张量$R^V$的一些性质，特别是证明了$R^V$沿测地线的Jacobi算子与由陈曲率给出的Jacobi算子一致.
In this paper, the isoperimetric inequality in centro-affine plane geometry is obtained. We also investigate the long-term behavior of an invariant plane curve flow, whose evolution process can be expressed as a second-order nonlinear parabolic equation with respect to centro-affine curvature. The forward and backward limits in time are discussed, which shows that a closed convex embedded curve may converge to an ellipse when evolving according to this flow.
Translating surfaces under flows by sub-affine-critical powers of Gauss curvature
本文分类了高斯曲率亚仿射临界幂次流下的平移曲面，列出所有可能建模II型奇点的平移孤子，并证明其整体图性质，对应退化蒙日-安培方程的刘维尔定理，模空间同胚于欧氏空间或圆柱。
Affine Geometry of Space Curves
本文从Cartan定理出发，对空间曲线在仿射变换下的完全分类进行了研究。Spivak已经介绍了这个方法，但还没有找到不变量。并首次提出了不变量的一个充要条件。然后，我们详细研究了常曲率空间曲线的形状，并提出了它们在物理、计算机视觉和图像处理中的应用。
General-affine invariants of plane curves and space curves
本文给出了仿射平面和仿射空间中曲线的基本理论，分别用广义仿射群${\rm GA}(2)={\rm GL}(2,{\bf R})\ltimes {\bf R}^2$和${\rm GA}(3)={\rm GL}(3,{\bf R})\ltimes {\bf R}^3$表示。我们定义了一般仿射长度参数和曲率，并展示了这样的不变量如何确定曲线一般仿射运动。然后，我们研究了广义仿射长度泛函的极值问题，得到了一个变分公式。给出了几个曲线的例子，并讨论了曲线的等仿射处理和射影处理之间的关系。
Compactification of certain Kähler manifolds with nonnegative Ricci curvature
证明了具有非负里奇曲率的完备Kähler流形的紧化定理.其中，我们证明了具有最大体积增长和二次曲率衰减的完备非紧Kähler-Ricci平坦流形是正规仿射代数簇的一个crepant分解。此外，这种仿射簇在两个步骤中退化到无穷远处的唯一度量切锥。
Floating bodies and duality in spaces of constant curvature
该研究在d维球面、双曲、de Sitter等常曲率空间中构造p-仿射表面积的自然类似物，证明其为对偶共轭非欧凸体浮动体的体积导数，建立了由常曲率控制的实解析统一框架，揭示了其与欧氏空间两类曲率测度的关联。
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