The depth formula for modules with reducible complexity
Petter Andreas Bergh, David Jorgensen
证明了Cohen-Macaulay局部环上的$\Tor$ -独立模的深度公式在某些情况下成立，只要其中一个模具有可约复杂度.
We prove that the depth formula holds for $\Tor$-independent modules in certain cases over a Cohen-Macaulay local ring, provided one of the modules has reducible complexity.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Modules with reducible complexity
对于交换Noether局部环，我们定义并研究了具有可约复杂度的模类，这类模包含所有有限完全交维数的模.给出了这类模的各种性质，以及关于同调和上同调消失的结果。
On modules with reducible complexity
本文推广了Araya和Yoshino以及Iyengar独立证明的关于局部环上深度相等的一个结果。我们的结果利用复杂性，这是一个概念，最初定义的Alperin的有限生成模的群代数，介绍和研究局部代数的Avramov，随后进一步发展的Bergh。
Depth formula for modules of finite reducing projective dimension
本文证明 Cohen-Macaulay 局部环上两个有限生成 Tor-独立模在其一具有有限约化投射维数时满足深度公式，推广了 Bergh-Jorgensen 关于可约复杂度的定理。
A note on the depth formula and vanishing of cohomology
证明了：若局部环R上的有限模M和N之一具有可约复杂性和有限Gorenstein维数，则当i>>0时，若TorRi（M，N）= 0，则深度公式成立.我们还研究了有限完全交维数模的上同调消失问题。
Depth and Stanley depth of multigraded modules
我们研究了深度和Stanley深度沿多阶模的短正合序列和模元约化下的行为。
On the depth of tensor products of modules
研究了Gorenstein局部环上模的张量积的深度.对于Gorenstein局部环R上的有限生成模M和N，在有限个Tate模和相对同调模为零的条件下，利用深度（M）和深度（N）确定了深度（$M\otimes N$）.
Maximal depth property of finitely generated modules
设$(R,\mathfrak{m})$是一个Noether局部环，$M$是一个Noether生成的$R$ -模.我们说$M$具有最大深度，如果存在$M$的关联素数$\mathfrak{p}$，使得深度为$M=\dim R/\mathfrak{p}$。本文研究了具有极大深度的有限生成模。结果表明，在一些重要的模运算下，最大深度性质保持不变。对具有极大深度的广义Cohen-Macaulay模进行了分类.最后，对$i<\mathrm{dim} M$考虑了$H^i_{\mathfrak{m}}(M)$的附加素数.
Decomposition of local cohomology tables of modules with large E-depth
引入了多项式环上分次模的E-深度的概念，用来度量某些Ext模的深度.首先，我们刻画了具有（充分）大E-深度的多项式环上的分次模，即其（充分）部分一般初始子模保持局部上同调模在无关极大理想上支撑的Hilbert函数的模，推广了Herzog和Sbarra关于序列Cohen-Macaulay模的一个结果.其次，我们描述了锥的局部上同调表的模具有足够高的E-深度，建立在以前的工作的第二作者和Smirnov。最后，我们得到了一个由Kustin和Ulrich证明的socle引理的非Artinian版本。
On Auslander`s depth formula
我们证明了如果Auslander的深度公式对1维Cohen-Macaulay局部环上的非零Tor-独立模成立，那么它对任何Cohen-Macaulay局部环上的这类模也成立.更一般地，我们证明了深度为1的局部环上具有有限Cohen-Macaulay维数的非零Tor-无关模的深度公式蕴涵了任何正深度局部环上这类模的深度公式.
Ratliff-Rush Filtration, Regularity and depth of Higher Associated graded modules: Part I
本文引入一种新的方法来研究相伴分次模。设$(A,\m)$是具有$\depth A \geq 2$的Noether局部环.我们的技术给出了一个充要条件，$\depth G_{\m^n}(A) \geq 2$的所有$n \gg 0$。其他应用也包括在内;最值得注意的是关于Ratliff-Rush过滤的上界。
maximal depth property of bigraded modules
设$S=K[x_1, \dots, x_m, y_1, \dots, y_n]$是域$K$上的标准双分次多项式环.设$M$是一个双阶化$S$ -模和$Q=(y_1, \dots, y_n)$ .我们说$M$相对于$Q$具有最大深度，如果存在$M$的一个相关联的素数$\pp$使得$\grade(Q, M)=\cd(Q, S/\pp)$。本文研究了关于$Q$的具有极大深度的双阶化模.证明了关于$Q$的序列Cohen-Macaulay模具有关于$Q$的最大深度.实际上，极大深度性质推广了序列Cohen-Macaulayness的概念.接下来，我们表明，如果$M$有最大的深度相对于$Q$与$\grade(Q, M)>0$，那么$H^{\grade(Q, M)}_{Q}(M)$是不重复生成。因此，具有“关于$Q$的最大深度“的“关于$Q$的广义科恩-麦考利模“是关于$Q$的科恩-麦考利模。对所有相对于$Q$具有最大深度的超曲面环进行了分类。
How to compute the Stanley depth of a module
本文给出了多项式环$\mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n]$上多重阶化模$M$的Stanley深度的计算方法。作为应用，我们给出了一个模块的斯坦利深度严格大于其syzygy模块的深度的例子。特别是，我们获得完整的答案，赫尔佐格提出的两个开放的问题。此外，我们表明，问题是否$M$有斯坦利深度至少$r$可以减少到的问题，是否有一定的组合定义的多面体$\mathscr{P}$包含一个$\mathbb{Z}^n$ -格点。
On associated graded modules of maximal Cohen-Macaulay modules over hypersurface rings
设$(A,\mathfrak{m})$是一个维数为$d$的超曲面环，而$M$是一个MCM $A-$模，其上有红色的$(M)\leq 2$和$μ(M)=2$或$3$，则证明了深度为$G(M)\geq d-μ(M)+1$ .如果$e(A)=3$和$μ(M)=4$，那么在这种情况下，我们已经证明了深度为$G(M)\geq d-3$。接下来我们考虑当$e(M)=μ(M)i(M)+1$和证明深度$G(M)\geq d-1$。当$A = Q/(f)$，其中$Q = k[[X_1,\cdots, X_{d+1}]]$，然后我们给估计$\depth G(M)$在$M$的最小介绍。本文首次系统地研究了超曲面环上MCM模的相伴分次模的深度。
The derived depth formula for modules of finite quasi-projective dimension
本文推导了模的有限准射影维数和有限准注入维数的多种新公式，包括扩展的Auslander深度公式、宽度变体、Ischebeck公式扩展及Jorgensen风格的依赖公式。
$S_r$ properties of generalized Cohen--Macaulay modules and rings having liftable local cohomology via Serre depth
研究通过局部上同调模的马蒂斯对偶探讨塞尔深度，关联模与正则元商的塞尔深度，刻画广义科恩 - 麦考利模的\(S_r\)性质，证明在特定假设下该性质可降至约化结构。
$j$-multiplicity and depth of associated graded modules
设$R$是Noether局部环.定义了有限$R$ -模上任意$R$ -理想的极小$j$ -重数和几乎极小$j$ -重数.对Cohen-Macaulay模$M$上的任意具有极小$j$ -重数或几乎极小$j$ -重数的理想$I$，证明了在某些剩余假设下，相应的分次模${\rm gr}_I(M)$分别是Cohen-Macaulay或几乎Cohen-Macaulay.我们的工作推广了Sally，Rossi，Valla，Wang，Huckaba，Elias，Corso，Polini和VazPinto关于极小重数和几乎极小重数的结果。
Bounds on depth of tensor products of modules
设$R$是局部完备交环，$M$和$N$是非零的可生成$R$ -模.我们采用Auslander的转置的消失的Tor的研究，并获得有用的界限的深度的张量积$M\otimes_{R}N$。我们的主要论点的应用表明，如果$M$是局部自由的$R$的打孔频谱上，那么要么$\depth(M\otimes_{R}N)\geq \depth(M)+\depth(N)-\depth(R)$，或$\depth(M\otimes_{R}N)\leq \cod(R)$。同时推广了D. A. Jorgensen，并确定确保所有更高$\Tor_i^R(M,N)$消失所需的$\Tor_i^R(M,N)$连续消失的数量。
Stanley Depth of Multigraded Modules
研究了Cohen-Macaulay多重分次模上的Stanley猜想，特别是在2维模上.在余维2中，Herzog、Soleyman-Jahan和Yassemi得到了类似的结果。作为我们的结果的结果斯坦利的猜想举行的5个变量。
An extension of a depth inequality of Auslander
本文考虑交换Noether局部环上的一个Auslander深度不等式，该不等式对交换Noether生成的Tor-刚性模成立.我们提出了这样一个深度不等式是否可以推广到$n$ -Tor-刚性模的问题，并对2-Tor-刚性模是一般自由的得到了肯定的回答.此外，在附录中，我们利用Dao的eta函数，确定了非分歧正则局部环的商超曲面上的新的Tor-rigid模类。
Some remarks on the Stanley's depth for multigraded modules
证明了Stanley猜想对任何具有$\sdepth(M)=0$的多阶$S$ -模$M$成立，其中$S=K[x_1,...,x_n]$ .同时，我们给出了$S$中极大无关理想的幂的Stanley深度的一些界。
Asymptotic stability of depths of localizations of modules
设R是交换的诺特环，I是R的理想，M是R-生成的R-模. M的商模M/I^n M的渐近性是交换代数中一个非常活跃的研究课题。本文的主要结果是：对于不依赖于素理想的大整数n，M/I^n M在R的任意素理想上的局部化深度是稳定的，如果模M或M/I^n M是Cohen-Macaulay，其中n>0，或者环R是下列之一：Cohen-Macaulay环、半局部环、优环、拟优环和悬链线环以及可接受环的同态像。
Alexander duality and Stanley depth of multigraded modules
本文应用Miller关于多项式环上多阶模的理论，研究了这类模的Stanley深度.发展了Stanley猜想的几种工具，并给出了一些部分答案。例如，我们表明，采取亚历山大对偶两次（但不同的“中心”）是有用的这个主题。推广了Apel的一个结果，证明了Stanley猜想对于同属单项式理想的商成立。
Asymptotic depth of Ext modules over complete intersection rings
设$(A,\mathfrak{m})$是局部完备交环，$I$是$A$中的理想.设$M, N$是随机生成的$A$ -模块。然后，对于$l = 0,1$，值$depth \ Ext^{2i+l}_A(M, N/I^nN)$变得独立于$i,n \gg 0$的$i, n$。我们还表明，如果$\mathfrak{p}$是一个素理想在$A$然后$j^{th}$巴斯数$μ_j\big(\mathfrak{p},\ Ext^{2i+l}_A(M,N/{I^nN})\big)$有多项式增长在$(n,i)$与合理的系数，所有足够大的$(n,i)$。
Quasilifting of hulls and depth of tensor product of modules
本文研究局部环上有限生成模的张量积深度，利用Huneke等人的提升构造，恢复相关结果、否定特定问题并建立下界，推导局部完全$\mathcal{TE}$环上的张量积深度结果，还研究了包络和逼近存在的一般条件。
An algorithm for computing the multigraded Hilbert depth of a module
在[16]中给出了一个计算模的多阶Hilbert深度的方法。在本文中，我们改进的方法，我们介绍了一个有效的算法进行计算。在特定情况下，该算法还可以容易地适于计算模块的斯坦利深度。我们进一步提出了有趣的例子，发现与实验实现的算法的帮助。这样，我们完全解决了Herzog在[12]中提出的几个公开问题。
How to compute the multigraded Hilbert depth of a module
本文的目的是介绍一种计算多项式环$K[X_1,..., X_n]$上的多重阶化模$M$的Hilbert分解（从而计算Hilbert深度）的方法，将问题归结为新定义的Hilbert划分的有限集的计算.此外，在最后一节中，我们表明希尔伯特分区也可以用于计算模块$M$的斯坦利深度。
The eventual stability of depth, associated primes and cohomology of a graded module
分次模的分次片的几个同调不变量的渐近稳定性在过去的几十年里引起了人们的广泛关注。我们在这篇文章中提供了几个稳定性的结果，以及它稳定的程度的估计。在我们建立这些正则性结果之前，我们证明了几个关于分次生成理想的深度和上同调维数以及关于分次模的Castelnuovo-Mumford正则性的事实.
Modules with Pure Resolutions
我们证明了标准分次代数R是科恩-麦考利的性质的特征是存在一个纯科恩-麦考利R-模，对应于最大深度（R）处长度的任何度序列。对于满足条件dim（R）- depth（R）= dim（M）- depth（M）的纯R-模M，我们给出了一个关于分次贝蒂数的关系，称为Herzog-Kuhl方程.当R是Cohen-Macaulay模时，我们证明了刻画所有分次Cohen-Macaulay R-模的一个类似结果.
The Depth Formula for modules over quotients of Gorenstein rings
本文推广了Huneke-Trivedi的深度公式，将其从正则环同态像扩展到有限维Gorenstein环的同态像，并给出了新证明及有限性维数的类似公式。
An algorithm to compute the Hilbert depth
基于Uliczka定理给出了计算分次模的Hilbert深度的一个算法。连接到赫尔佐格的问题，我们看到，希尔伯特深度的直和模可以严格大于希尔伯特深度的所有被加数。
Hilbert depth of graded modules over polynomial rings in two variables
本文主要考虑任意域F上的正Z-分次多项式环R=F[X，Y]和Z-生成分次R-模的Hilbert级数。中心结果是这样一个级数是某个正深度R-模的希尔伯特级数的算术判据。在一般情况下，即X和Y的度互质，这个准则可以用由这些度生成的数值半群来表示。
A study of Tate homology via the approximation theory with applications to the depth formula
本文主要讨论绝对模、相对模和Tate Tor模。本文的第一部分利用Auslander-Buchweitz逼近论推广了Avramov和Martsinkovsky的一个结果，得到了绝对Tor模与相对Tor模和Tate Tor模之间的一个新的正合序列.在本文的第二部分中，我们考虑一个深度相等，称为深度公式，这已最初介绍了Auslander和进一步发展的Huneke和Wiegand。作为主要结果的应用，推广了Yassemi的一个结果，给出了有限Gorenstein模和有限内射维数模的深度公式成立的一个新的充分条件.
Ratliff-Rush Filtration, regularity and depth of Higher Associated graded modules: Part II
设$(A,\m)$是一个Noether局部环，$M$是一个维数为$r \geq 2$的随机生成的PDMATHABMOPDMATHABMP-模，$I$是$M$的一个理想.设置$L^I(M) = \bigoplus_{n\geq 0}M/I^{n+1}M$。本文第一部分证明了$L^I(M)$是$I$的Rees代数$\R$上的模，并给出了$L^I(M)$在研究伴随分次模$G_I(M)$中的应用.在本文中，我们给出了许多进一步的应用，我们的技术，最值得注意的是一个重新制定的经典结果由于成田在Ratliff拉什过滤。该重构可以扩展到所有维度$\geq 2$。
Cohomological properties of non-standard multigraded modules
本文研究了非标准多重分次模及其Veronese变换的上同调性质。在其他数字字符，我们研究了一个模块的广义深度，我们看到，它是不变的，通过采取Veronese变换。证明了多阶化模的局部上同调模的若干消灭定理，作为这些结果的推论，我们得到Veronese模的深度是渐近常数.
On associated graded modules of maximal Cohen-Macaulay modules over hypersurface rings
设$A=Q/(f)$是一个维数为$d+1$的完备正则局部环，对于某些$i\geq 2$和$M$，$f\in \mathfrak{n}^i\setminus\mathfrak{n}^{i+1}$是一个具有$e(M)=μ(M)i(M)+1$的MCM $A-$模，则我们证明了深度为$G(M)\geq d-1$ .如果$(A,\mathfrak{m})$是一个维数为$d$的完备超曲面环，它具有无穷剩余域和$e(A)=3$，则我们证明了$M$是一个MCM $A$ -模，它具有$μ(M)=2$或$3$，那么我们的深度为$G(M)\geq d-μ(M)+1$ .本文首次系统地研究了超曲面环上MCM模的相伴分次模的深度。
A note on the use of Frobenius map and D-modules in local cohomology
Frobenius深度由Hartshorne-Speiser在1977年定义，后来由Lyubeznik在2006年以不同的方式定义，用于正特征环。本文的第一个目的是将F-深度与形式阶进行比较，并利用形式局部上同调修正Lyubeznik的一些结果。然后考虑局部上同调模的自同态环。作为应用，我们重新证明了Huneke-Koh关于局部上同调模零化子的正特征和Lyubeznik关于局部上同调模零化子的特征零点的结果.
Vanishing of Tate homology and depth formulas over local rings
Auslander关于正则局部环上的Tor-无关模对的深度公式，深度（M \otimes N）=深度（M）+深度（N）-深度（R），在过去的四十年中得到了几个方向的推广.本文建立了Gorenstein局部环上Tate Tor-独立模对的深度公式。它包含以前的推广Auslander的公式，并产生确切的界限消失的上同调在某些Gorenstein环。
Necessary conditions for the depth formula over Cohen-Macaulay local rings
设$R$是Cohen-Macaulay局部环，$M$和$N$是非零环生成的$R$ -模.本文研究了深度公式$\depth(M)+\depth(N)=\depth(R)+\depth(M\otimes_{R}N)$成立的必要条件。证明了在一定条件下，$M$和$N$满足深度公式的充要条件是对所有$i\geq 1$，$\Tor_{i}^{R}(M,N)$为零.我们还研究了$M\otimes_RN$的良好深度和$\Ext$模块的消失之间的关系，具有各种应用。
The second Hilbert coefficient of modules with almost maximal depth
本文针对深度至少为维数减一的模，推广了第二 Hilbert 系数的上下界结果，并给出了等号成立与相伴分次模深度相关的条件。
Sliding functor and polarization functor for multigraded modules
定义了“滑动函子”，它是多项式环上的多分次模的正合内函子。它们保留了模的几个不变量，特别是（通常的）深度和Stanley深度。以类似的方式，我们也可以定义“极化函子”。虽然这个想法已经出现在文件的Bruns-Herzog和Sbarra，我们给略有不同的方法。记住这些函子，我们对待单纯领域的比尔-穆莱型。
Bigraded structures and the depth of blow-up algebras
设$R$是Cohen-Macaulay局部环，$I\subset R$是具有最小约化的理想$J$ .在本文中，我们附加到对$I$，$J$一个非标准的双阶化模$Σ^{I,J}$。对$\SIJ$的双分次Hilbert函数的研究，使我们能够证明Wang猜想的一个改进版本和Sally猜想的一个弱版本，这两个版本都是关于分次环$gr_I(R)$的深度的.模块$\SIJ$可以被认为是由W.瓦斯康塞洛斯
Gröbner bases of syzygies and Stanley depth
设F.是多项式环K[x_1，.，x_1，.，x_1，.，x_1，.，x_1，.上自由模的Z^n-分次子模的任意自由分解x_n]。我们证明了对于F上的一个合适的项序，第p个合合模Z_p的初始模由项m_ie_i生成，其中m_i是K[ x_{p+1}，.，x_n]。同样对于一大类自由分解F.，在Eliahou-Kervaire分解的基础上，我们证明了Z_p的Gröbner基由F_p的生成元的边界给出.我们应用上述结果给出了合冲模Z_p的Stanley深度的下界，特别是证明了它至少为p+1.我们还证明了，如果I是K[x_1，...，x_n]，则I的Stanley深度至少是2n的平方根的数量级。
Vanishing of relative homology and depth of tensor products
对于Gorenstein局部环$R$上的有限生成模$M$和$N$，有$depth M + depth N= depth(M\otimes N) +depth R$，即，如果$M$和$N$是Tor独立的，并且Tate同源性$\hat{Tor}_{i}^{R}(M,N)$对于所有$i\in\mathbb{Z}$都为零，则深度公式成立。我们在较弱的假设下建立了相同的结论：如果$M$和$N$是$\mathcal{G}$ -相对Tor-独立的，则对于所有$i\le 0$，$\hat{Tor}_{i}^{R}(M,N)$的消失足以使深度公式成立。分析了模的张量积的深度，得到了深度公式用$\mathcal{G}$ -相对同调表示的一个必要条件.
Depth Sensitivity of Hilbert Coefficients
本文研究了分次环上有限生成分次模的 Hilbert 系数的深度敏感性，主要结果推广了分次模的 Cohen-Macaulay 性质可由其重数刻画的已知事实。
Depth and amplitude for unbounded complexes
我们证明了在一个交换的诺特环的三种方法来引入深度的复合物：通过Koszul的同源性，通过Ext模块，并通过局部上同调，都产生相同的不变量。利用这个结果，我们建立了有限投射维数的有限生成模的深度的经典Auslander-Buchsbaum公式的一个广泛推广.我们还将Iversen的振幅不等式推广到无界复形。作为推论，我们推断：给定一个局部同态Q-->R，如果存在一个非零的R-生成R-模，且该R-模在Q和R上都具有有限平坦维数，则R在Q上的平坦维数是有限的.最后一个结果是Kunz和Rodicio关于特征p的正则局部环的一个刻画的模论推广
Stanley decompositions and Hilbert depth in the Koszul complex
多项式环上多阶模$M$的Stanley分解是近年来研究的热点.有一个自然的深度概念，与斯坦利分解，称为斯坦利深度。Stanley解释说，模块$M$的Stanley深度总是至少为$M$的（经典）深度。在本文中，我们引入了一种较弱的分解类型，我们称之为希尔伯特分解，因为它只依赖于$M$的希尔伯特函数，以及类似的深度概念，称为希尔伯特深度。由于斯坦利分解是希尔伯特分解，后者为斯坦利分解的存在性设置了上界。希尔伯特分解的优点是它们更容易找到。我们测试我们的新概念上的syzygy模块的剩余类域的$K[X_1,...,X_n]$（通常确定与$K$）。对$k$次合冲模写出$M(n,k)$，证明了M（n，1）的Hilbert深度为$\lfloor(n+1)/2\rfloor$ .进一步证明了对于$n > k \ge \lfloor n/2\rfloor$，$M(n,k)$的Hilbert深度等于$n-1$ .我们推测斯坦利深度也是如此。对于范围$n/2 > k > 1$，似乎不可能得出希尔伯特深度的简洁公式。相反，我们提供了非常精确的渐近结果，因为$n$变得很大。
Hilbert depth of powers of the maximal ideal
模M的希尔伯特深度是所有具有与M相同的希尔伯特函数的模中出现的最大深度。本文计算了标准分次多项式环中无关极大理想的幂的Hilbert深度。
Exterior depth and exterior generic annihilator numbers
研究了$E$ -模的外深度及其外泛零化子数.对于一个squarefree $E$ -模的外部深度，我们展示了它如何与相应的$S$ -模的对称深度相关，并对那些具有特定外部深度的单纯复形进行了外部移位分类。我们定义的外零化子数类似于Trung和Conca，Herzog和Hibi引入的多项式环上的零化子数.除了组合的零化子数的解释，我们展示了它们是如何相关的对称贝蒂数和Cartan-贝蒂数，分别。最后给出一个例子，证明了序列的零化子数中对称零化子数和外泛零化子数都不是极小的。
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