On the Hilbert depth of the Hilbert function of a finitely generated graded module
本文研究了有限生成分次模Hilbert函数的Hilbert深度，利用超几何函数理论证明了多项式环及其完全相交单项式理想商环的Hilbert深度，并给出了模张量扩张后Hilbert深度的下界关系。
2024-02-17 math.AC
On the depth of tensor products of modules
研究了Gorenstein局部环上模的张量积的深度.对于Gorenstein局部环R上的有限生成模M和N，在有限个Tate模和相对同调模为零的条件下，利用深度（M）和深度（N）确定了深度（$M\otimes N$）.
2017-02-27 math.AC
Squarefree monomial ideals with maximal depth
设$(R,\mm)$是一个Noether局部环，$M$是一个Noether生成的$R$ -模.我们说$M$具有最大深度，如果存在$M$的相关联素数$\pp$使得$\depth M=\dim R/\pp$。本文研究了具有极大深度的无平方根单项理想。对圈图的边理想、横截多拟阵理想和连通二部图的高次幂进行了分类。
2019-07-27 math.AC math.CO
Depth and Stanley depth of powers of the edge ideals of some caterpillar and lobster trees
设$S$是域上多个变量的多项式环.本文给出了$t\geq1$的$S/I^t$型模的深度和Stanley深度的下界，其中$I$是某些毛虫树和龙虾树的边理想.这些新的界限比我们所考虑的理想类的现有界限要尖锐得多。
2022-02-26 math.AC
On associated graded modules of maximal Cohen-Macaulay modules over hypersurface rings
设$(A,\mathfrak{m})$是一个维数为$d$的超曲面环，而$M$是一个MCM $A-$模，其上有红色的$(M)\leq 2$和$μ(M)=2$或$3$，则证明了深度为$G(M)\geq d-μ(M)+1$ .如果$e(A)=3$和$μ(M)=4$，那么在这种情况下，我们已经证明了深度为$G(M)\geq d-3$。接下来我们考虑当$e(M)=μ(M)i(M)+1$和证明深度$G(M)\geq d-1$。当$A = Q/(f)$，其中$Q = k[[X_1,\cdots, X_{d+1}]]$，然后我们给估计$\depth G(M)$在$M$的最小介绍。本文首次系统地研究了超曲面环上MCM模的相伴分次模的深度。
2022-03-13 math.AC
Bounds for numbers of generators for a class of submodules of a finitely generated module
设$(R,\frak m)$是局部环，$M$是维数为$d\ge 1$的有限$R$ -模，$\frak q$是由$M$上的参数系生成的$R$的理想.设$N$是带有$\depth M/N\ge d-1$的$M$的子模块。然后是$\ell(N/\frak qN)\le\ell(M/\frak qM)$。
2002-10-01 math.AC
Hilbert depth of powers of the maximal ideal
模M的希尔伯特深度是所有具有与M相同的希尔伯特函数的模中出现的最大深度。本文计算了标准分次多项式环中无关极大理想的幂的Hilbert深度。
2010-10-19 math.AC math.CO
Depth formula for modules of finite reducing projective dimension
本文证明 Cohen-Macaulay 局部环上两个有限生成 Tor-独立模在其一具有有限约化投射维数时满足深度公式，推广了 Bergh-Jorgensen 关于可约复杂度的定理。
2023-12-12 math.AC
Grothendieck groups, convex cones and maximal Cohen-Macaulay points
设A是交换诺特环.设H（A）是A-模生成的Grothendieck群与伪零模生成的子群之商。设实向量空间H（A）_R = H（A）\otimes_Z R具有有限维.设C（A）（resp. C_r（A））是H（A）_R中极大Cohen-Macaulay A-模（分别为C_r（A））所张成的凸锥.秩r的极大Cohen-Macaulay A-模）。我们研究了C（A）的内部、闭包和边界以及凸多面体子锥。本文根据C_r（A）的拓扑性质，给出了A在C_r（A）中只有2/3秩r的极大Cohen-Macaulay点的各种等价条件.最后，我们考虑秩为1的极大Cohen-Macaulay模作为除子类群Cl（A）的元素.
2020-12-12 math.AC math.RT
Representation schemes and rigid maximal Cohen-Macaulay modules
设k是一个代数闭域，A是一个中心有限的非负分次（不一定是交换的）k-代数.本文构造了分次极大Cohen-Macaulay A模的一个表示方案。我们的主要应用断言，当A与一个孤立奇点交换时，对于一个固定的重数，只有200多个不可分解的刚性（即，没有非平凡的自扩张）MCM模直到移位和同构。我们求助于Keller、Murfet和Van den Bergh的结果来证明作为分次环的完备的环的类似结果。最后，我们讨论了如何有限性的结果刚性MCM模块有关最近的工作，Iyama和Wemarty的最大修改模块在复合杜瓦尔奇点。
2015-09-18 math.AC math.AG
Necessary conditions for the depth formula over Cohen-Macaulay local rings
设$R$是Cohen-Macaulay局部环，$M$和$N$是非零环生成的$R$ -模.本文研究了深度公式$\depth(M)+\depth(N)=\depth(R)+\depth(M\otimes_{R}N)$成立的必要条件。证明了在一定条件下，$M$和$N$满足深度公式的充要条件是对所有$i\geq 1$，$\Tor_{i}^{R}(M,N)$为零.我们还研究了$M\otimes_RN$的良好深度和$\Ext$模块的消失之间的关系，具有各种应用。
2011-04-22 math.AC
Finitely generated saturated multi-Rees algebras
本文研究了饱和多重Rees代数的有限生成问题及相关长度函数的渐近行为，并在excellent local domains、二维local UFDs及多项式环商等设定下证明了有限生成性及长度函数的多项式或准多项式性质。
2024-01-11 math.AC
Modules of G-dimension zero over local rings with the cube of maximal ideal being zero
设$(R, \m)$是与$\m^3 =(0)$交换的Noether局部环.给出了$R$存在G维为零的非自由模的一个条件.我们还将在射影空间的开子集中构造一族带参数的G维零的非同构不可分解模。最后我们将证明，由$R$上G维零模组成的子范畴不一定是有限生成的$R$-模范畴中的逆变有限子范畴。
2003-03-07 math.AC
An extension of a depth inequality of Auslander
本文考虑交换Noether局部环上的一个Auslander深度不等式，该不等式对交换Noether生成的Tor-刚性模成立.我们提出了这样一个深度不等式是否可以推广到$n$ -Tor-刚性模的问题，并对2-Tor-刚性模是一般自由的得到了肯定的回答.此外，在附录中，我们利用Dao的eta函数，确定了非分歧正则局部环的商超曲面上的新的Tor-rigid模类。
2021-08-18 math.AC
Remarks on the Hilbert depth of powers of the maximal graded ideal
本文提出了一种新方法，用于计算多项式环中极大分次理想幂的Hilbert深度。
2024-02-16 math.AC math.CO
The second Hilbert coefficient of modules with almost maximal depth
本文针对深度至少为维数减一的模，推广了第二 Hilbert 系数的上下界结果，并给出了等号成立与相伴分次模深度相关的条件。
2025-06-21 math.AC
Regular local algebras over a Pruefer domain: weak dimension and regular sequences
一个不一定是Noether局部环O称为正则环，如果O的每一个N-生成理想I具有有限的投射维数.本文研究了Pruefer整环R上素数为q的平坦代数A的局部化O的正则性：证明了O的正则性等价于弱同调维数wdim（O）的有限性.提供了计算wdim（O）的公式。进一步研究了O的极大理想M内的正则序列：证明了O的正则性蕴含着存在长度为wdim（O）的极大正则序列.如果高度（p）是有限的，其中p是q与R的交集，那么这个序列可以被选择，使得由序列的成员生成的理想的根等于M。证明了若O是正则的，则（Noether）因子环O/pO是Cohen-Macaulay环.如果pR_p不是随机生成的，则O/pO本身是正则的。
2004-06-19 math.AC
On the depth of invariant rings of infinite groups
设K是一个代数闭域。对于一个R生成的分次K代数R，令cmdef R：= dim R - depth R表示R的Cohen-Macaulay-亏.设G是K上可约但非线性可约的线性代数群.我们证明了存在G的一个忠实的有理表示V（我们将显式地给出）使得对所有k，cmdef K[ \sum_i = 1 ^k V]^G >= k-2.我们在G = SL 2的情况下给出了改进。
2008-12-11 math.AC
Finitely generated powers of prime ideals
设R是交换环。若P是R的极大理想，且其a幂是n-生成的，则证明了P是n-生成的，若R是局部凝聚环、算术环或整体维数为$\le$ 2的环上的多项式环.若P是R的素理想，且其a幂是n-生成的，则当R是约化凝聚环或约化算术环上的多项式环时，P是n-生成的.这些结果推广了Roitman在2001年发表的关于凝聚整环的素理想的一个定理.
2017-04-18 math.AC math.RA
Examples of non-Noetherian domains inside power series rings
设R* 是Noether整环R的理想adic完备化，L是R* 的全商环的子域，使得L包含R.设A表示L与R* 的交集。整环A有时继承了R* 的一些好的性质，比如诺特性质。对于某些域L，可以使用与A相关联的R上的多项式环的嵌套并的局部化B来近似A;如果B是诺特环，则B = A。如果B不是诺特的，我们有时可以确定B的不是非线性生成的素理想。对每个正整数s，我们得到了一个三维局部唯一分解整环B，使得B的极大理想是2-生成的，B恰好有s个高度为2的素理想，B的每个高度为2的素理想都不是2-生成的，而B的所有其它素理想都是2-生成的.在这个例子中，我们研究了从Spec A到Spec B的映射。我们还提出了这个例子的推广到4维。我们描述了一个4维局部非Noether UFD B，使得B的极大理想是3-生成的，B的素理想Q恰好存在一个高度为3的，且该素理想Q不是3-生成的.我们考虑了Q是否是B的唯一不是可生成的素理想的问题，但还没有回答这个问题。
2014-04-12 math.AC
Vanishing of relative homology and depth of tensor products
对于Gorenstein局部环$R$上的有限生成模$M$和$N$，有$depth M + depth N= depth(M\otimes N) +depth R$，即，如果$M$和$N$是Tor独立的，并且Tate同源性$\hat{Tor}_{i}^{R}(M,N)$对于所有$i\in\mathbb{Z}$都为零，则深度公式成立。我们在较弱的假设下建立了相同的结论：如果$M$和$N$是$\mathcal{G}$ -相对Tor-独立的，则对于所有$i\le 0$，$\hat{Tor}_{i}^{R}(M,N)$的消失足以使深度公式成立。分析了模的张量积的深度，得到了深度公式用$\mathcal{G}$ -相对同调表示的一个必要条件.
2017-01-30 math.AC
The logical complexity of finitely generated commutative rings
我们刻画了一类算术（参数）可双解的双生成交换环：双生成交换环$A$与$(\mathbb N,{+},{\times})$可双解当且仅当$A$的非极大素理想空间在Zerkki拓扑中非空且连通，且$A$的诣零根在$\mathbb Z$中有非平凡零化子.值得注意的是，通过构建一个非标准的算术模型上的非平凡推导，我们证明了$\mathbb Z$上的对偶数环与$\mathbb N$是不可双解的。
2016-10-15 math.AC math.LO
A topology on the set of isomorphism classes of maximal Cohen--Macaulay modules
本文引入了结合代数上有限生成模的同构类集合上的拓扑。然后重点研究了Cohen-Macaulay局部环上极大Cohen-Macaulay模的同构类集合上的相对拓扑。讨论了某些超曲面上的不可约分支。
2019-04-12 math.AC math.RT
On associated graded modules of maximal Cohen-Macaulay modules over hypersurface rings
设$A=Q/(f)$是一个维数为$d+1$的完备正则局部环，对于某些$i\geq 2$和$M$，$f\in \mathfrak{n}^i\setminus\mathfrak{n}^{i+1}$是一个具有$e(M)=μ(M)i(M)+1$的MCM $A-$模，则我们证明了深度为$G(M)\geq d-1$ .如果$(A,\mathfrak{m})$是一个维数为$d$的完备超曲面环，它具有无穷剩余域和$e(A)=3$，则我们证明了$M$是一个MCM $A$ -模，它具有$μ(M)=2$或$3$，那么我们的深度为$G(M)\geq d-μ(M)+1$ .本文首次系统地研究了超曲面环上MCM模的相伴分次模的深度。
2022-08-04 math.AC
Asymptotic depth of Ext modules over complete intersection rings
设$(A,\mathfrak{m})$是局部完备交环，$I$是$A$中的理想.设$M, N$是随机生成的$A$ -模块。然后，对于$l = 0,1$，值$depth \ Ext^{2i+l}_A(M, N/I^nN)$变得独立于$i,n \gg 0$的$i, n$。我们还表明，如果$\mathfrak{p}$是一个素理想在$A$然后$j^{th}$巴斯数$μ_j\big(\mathfrak{p},\ Ext^{2i+l}_A(M,N/{I^nN})\big)$有多项式增长在$(n,i)$与合理的系数，所有足够大的$(n,i)$。
2018-02-05 math.AC
On the formal grade of finitely generated modules over local rings
设\fa是局部环（R，\fm）的理想，M是局部环生成的R-模.本文讨论了\fgrade（\fa，M）的概念，即M关于\fa的形式级（即最小整数i使得{ \vpl }_nH^ i_{\fm}（M/ \fa^n M）\neq 0）.证明了\fgrade（\fa，M）\geq \depth M- \cd_{\fa}（M），从而建立了Cohen-Macaulay模的一个新的刻画.作为这一刻画的应用，我们证明了：如果M是Cohen-Macaulay模，L是M的一个具有相同支集的纯子模，则\fgrade（\fa，L）= \fgrade（\fa，M）.同时，我们给出了不变环的Cohen-Macaulay性的Hochster-Eagon结果的一个推广。
2010-03-06 math.AC
Dimension and depth inequalities over complete intersections
本文针对完全交环上有限生成模对，研究维数和深度不等式，推广Hochster theta不变量以检测等号，并发展深度与复杂度的平行理论。
2025-04-22 math.AC
Ascending chains of finitely generated subgroups
证明了原$p$群的$n$生成子群的非空族有一个极大元.这表明“诺特归纳法”可用于发现前$p$组的非线性生成的亚组的新特征。为了证明这一点，我们证明了在各种$p$群$Γ$（例如自由$p$群，不可解Demushkin群）中，一个可解生成子群$H \neq 1$的分解子是包含$H$作为开子群的$Γ$的最大子群。我们还证明了极限群的$n$生成子群的上升序列必须终止（这推广了Takahasi，Higman和Kapovich-Myasnikov证明的自由群的类似结果）。
2016-01-09 math.AC math.GR
Depth and amplitude for unbounded complexes
我们证明了在一个交换的诺特环的三种方法来引入深度的复合物：通过Koszul的同源性，通过Ext模块，并通过局部上同调，都产生相同的不变量。利用这个结果，我们建立了有限投射维数的有限生成模的深度的经典Auslander-Buchsbaum公式的一个广泛推广.我们还将Iversen的振幅不等式推广到无界复形。作为推论，我们推断：给定一个局部同态Q-->R，如果存在一个非零的R-生成R-模，且该R-模在Q和R上都具有有限平坦维数，则R在Q上的平坦维数是有限的.最后一个结果是Kunz和Rodicio关于特征p的正则局部环的一个刻画的模论推广
2002-12-09 math.AC math.AG
Brauer-Thrall theory for maximal Cohen-Macaulay modules
Brauer-Thrall猜想，现在的定理，最初是针对有限维$\sk$ -代数上有限生成模提出的。他们说，粗略地说，无限表示类型意味着存在许多任意大的$\sk$ -维的不可分解模。这些性质在Cohen-Macaulay局部环上的极大Cohen-Macaulay模中有自然的解释。本文综述了这些移植植物的研究进展。
2012-11-14 math.AC math.RT
A theorem about maximal Cohen-Macaulay modules
证明了在局部强$F$ -正则环中存在自然数$e_0$，使得若$M$是任意的非生成极大Cohen-Macaulay模，则$M$在Frobenius自同态的第$e_0$阶下的前推包含自由和项.因此，局部强$F$ -正则环的除子类群子群的扭子群是有限的.
2020-06-02 math.AC math.AG
Depth Sensitivity of Hilbert Coefficients
本文研究了分次环上有限生成分次模的 Hilbert 系数的深度敏感性，主要结果推广了分次模的 Cohen-Macaulay 性质可由其重数刻画的已知事实。
2025-04-28 math.AC math.AG
Which series are Hilbert series of graded modules over polynomial rings?
该研究刻画了多重分次多项式环上有限生成模的Hilbert级数对应的形式Laurent级数，给出了给定深度模的Hilbert级数的必要条件，并完全分类了双分次下正深度有限生成模的Hilbert级数。
2016-03-20 math.AC math.CO
The eventual stability of depth, associated primes and cohomology of a graded module
分次模的分次片的几个同调不变量的渐近稳定性在过去的几十年里引起了人们的广泛关注。我们在这篇文章中提供了几个稳定性的结果，以及它稳定的程度的估计。在我们建立这些正则性结果之前，我们证明了几个关于分次生成理想的深度和上同调维数以及关于分次模的Castelnuovo-Mumford正则性的事实.
2012-03-20 math.AC math.AG
Polynomial bound for the nilpotency index of finitely generated nil algebras
利用$n$与$n$的元组的同时共轭不变量环的极小齐次生成系中的最大次数，给出了在正特征无限域上有界诣零指标$n$的生成诣零代数的幂零指标的一个上界.这是从Zubkov的一个结果推导出来的。因此，最近的度界由于Derksen和Makam的矩阵不变量的环的生成元产生的幂零指数的一个上界的一个生成的零代数是多项式的生成元和零指数。此外，对Kuzmin关于幂零指数的下界给出了特征自由的处理.
2018-03-31 math.AC math.RA math.RT
How to compute the multigraded Hilbert depth of a module
本文的目的是介绍一种计算多项式环$K[X_1,..., X_n]$上的多重阶化模$M$的Hilbert分解（从而计算Hilbert深度）的方法，将问题归结为新定义的Hilbert划分的有限集的计算.此外，在最后一节中，我们表明希尔伯特分区也可以用于计算模块$M$的斯坦利深度。
2013-10-21 math.AC math.CO
Modules Whose Classical Prime Submodules Are Intersections of Maximal Submodules
其中每一个素理想都是极大理想的交的交换环称为希尔伯特（或雅各布森）环。利用{ \it经典素}子模是极大子模的交这一性质定义了经典Hilbert模.证明了所有余半单模和所有Artin模都是经典Hilbert模。此外，零维环上的每个模都是经典希尔伯特。给出了经典Hilbert模和Hilbert环概念之间的联系。刻画了其上所有$R$ -模都是经典Hilbert的环$R$.进一步，我们确定了诺特环$R$的所有生成的$R$ -模都是经典Hilbert模.
2012-02-02 math.AC math.RA
Hilbert depth of graded modules over polynomial rings in two variables
本文主要考虑任意域F上的正Z-分次多项式环R=F[X，Y]和Z-生成分次R-模的Hilbert级数。中心结果是这样一个级数是某个正深度R-模的希尔伯特级数的算术判据。在一般情况下，即X和Y的度互质，这个准则可以用由这些度生成的数值半群来表示。
2012-08-01 math.AC math.CO
Conormal Geometry of Maximal Minors
设A是Noether局部整环，N是N-生成无挠模，M是一般等于N的真子模。设A[N]是A的一个任意阶化泛域，它由N的1次代数生成。设A[M]是M生成的子代数。设置C：=Proj（A[M]）和r：=dim C。构造素数p的Spec（A）的（闭）子集W，其中A[N]_p不是A[M]_p上的非生成模，用E表示W在C中的原像.我们证明了这一点：（1）dim E=r-1，如果（a）N是自由的且A[N]是对称代数，或（b）W是非空的且A是泛悬链线，（2）E是等维的，如果（a）成立且A是泛悬链线.我们的证明受到了加夫尼和梅西最近的一些工作的启发，我们简要介绍了这些工作;他们证明了（2）当A是复解析簇的芽环时，并将其应用于完善等奇异性理论中Thom的A_f-条件的刻画。从（1），我们恢复，新的证明，通常的高度不等式的极大子式和它的推广，作者在1992年获得。从后者，我们恢复了作者的推广到模的B“oger的标准的整体依赖的理想。最后，我们介绍了第二作者将（1）应用于射影簇的对偶簇的几何，并利用它得到了一个有趣的例子，其中（1）的结论不成立，而A[N]是A[M]上的一个n-生成模.
1998-05-15 alg-geom math.AC math.AG
Log Centres of Noncommutative Crepant Resolutions are Kawamata Log Terminal: Remarks on a paper of Stafford and van den Bergh
本文证明了满足特定极大Cohen-Macaulay模和全局维数条件的有限生成素代数，其中心与分歧除子构成的配对是Kawamata对数终端的。
2023-04-07 math.AC math.AG math.RA
Cotorsion pairs, thick subcategories, and finitely generated Gorenstein projective modules
University of Arkansas（阿肯色大学）；Central China Normal University（华中师范大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
在Cohen-Macaulay环上的诺特代数上，证明有限生成Gorenstein投射模构成遗传cotorsion对的左半部分，并回答Takahashi的问题，刻画左弱Gorenstein性质。
2026-06-11 math.AC math.RA math.RT
Serre depth and local cohomology
BCAM – Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）；Ikerbasque, Basque Foundation for Science（伊卡巴斯科，巴斯克科学基金会）
本文提出塞雷深度作为同调不变量，研究其在不同环上的性质及应用，包括等维性、稳定性等贡献。
2026-03-03 math.AC math.AG math.CO
