Depth and Stanley depth of multigraded modules
Asia Rauf
我们研究了深度和Stanley深度沿多阶模的短正合序列和模元约化下的行为。
We study the behavior of depth and Stanley depth along short exact sequences of multigraded modules and under reduction modulo an element.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Alexander duality and Stanley depth of multigraded modules
本文应用Miller关于多项式环上多阶模的理论，研究了这类模的Stanley深度.发展了Stanley猜想的几种工具，并给出了一些部分答案。例如，我们表明，采取亚历山大对偶两次（但不同的“中心”）是有用的这个主题。推广了Apel的一个结果，证明了Stanley猜想对于同属单项式理想的商成立。
Stanley Depth of Multigraded Modules
研究了Cohen-Macaulay多重分次模上的Stanley猜想，特别是在2维模上.在余维2中，Herzog、Soleyman-Jahan和Yassemi得到了类似的结果。作为我们的结果的结果斯坦利的猜想举行的5个变量。
Some remarks on the Stanley's depth for multigraded modules
证明了Stanley猜想对任何具有$\sdepth(M)=0$的多阶$S$ -模$M$成立，其中$S=K[x_1,...,x_n]$ .同时，我们给出了$S$中极大无关理想的幂的Stanley深度的一些界。
Sliding functor and polarization functor for multigraded modules
定义了“滑动函子”，它是多项式环上的多分次模的正合内函子。它们保留了模的几个不变量，特别是（通常的）深度和Stanley深度。以类似的方式，我们也可以定义“极化函子”。虽然这个想法已经出现在文件的Bruns-Herzog和Sbarra，我们给略有不同的方法。记住这些函子，我们对待单纯领域的比尔-穆莱型。
How to compute the Stanley depth of a module
本文给出了多项式环$\mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n]$上多重阶化模$M$的Stanley深度的计算方法。作为应用，我们给出了一个模块的斯坦利深度严格大于其syzygy模块的深度的例子。特别是，我们获得完整的答案，赫尔佐格提出的两个开放的问题。此外，我们表明，问题是否$M$有斯坦利深度至少$r$可以减少到的问题，是否有一定的组合定义的多面体$\mathscr{P}$包含一个$\mathbb{Z}^n$ -格点。
An algorithm for computing the multigraded Hilbert depth of a module
在[16]中给出了一个计算模的多阶Hilbert深度的方法。在本文中，我们改进的方法，我们介绍了一个有效的算法进行计算。在特定情况下，该算法还可以容易地适于计算模块的斯坦利深度。我们进一步提出了有趣的例子，发现与实验实现的算法的帮助。这样，我们完全解决了Herzog在[12]中提出的几个公开问题。
Cohomological properties of non-standard multigraded modules
本文研究了非标准多重分次模及其Veronese变换的上同调性质。在其他数字字符，我们研究了一个模块的广义深度，我们看到，它是不变的，通过采取Veronese变换。证明了多阶化模的局部上同调模的若干消灭定理，作为这些结果的推论，我们得到Veronese模的深度是渐近常数.
How to compute the multigraded Hilbert depth of a module
本文的目的是介绍一种计算多项式环$K[X_1,..., X_n]$上的多重阶化模$M$的Hilbert分解（从而计算Hilbert深度）的方法，将问题归结为新定义的Hilbert划分的有限集的计算.此外，在最后一节中，我们表明希尔伯特分区也可以用于计算模块$M$的斯坦利深度。
An inequality between depth and Stanley depth
我们证明了五元平方自由单项理想的Stanley猜想成立，即五元平方自由单项理想的Stanley深度大于或等于它的深度.
Stanley depth of complete intersection monomial ideals
我们计算了不可约单项式理想的Stanley深度，并证明了单项式完全交理想的Stanley深度与它的根式的Stanley深度相同。同时，我们也给出了单项完全交理想的Stanley深度的一些界。
Stanley depth of edge ideals
给出了$k$ -部完全图的边理想$I$的Stanley深度的一个上界，并证明了Stanley猜想对$I$成立.并给出了$k$ -一致完全二部超图的边理想的Stanley深度的一个上界。
On the Stanley depth and Hilbert depth of some classes of edge ideals of graphs
本文研究了路径图、循环图、广义星图和双扫帚图边理想的Stanley深度与Hilbert深度。
Values and bounds of the Stanley depth
给出了域$K$上多项式代数$S$的单项理想$I$的Stanley深度的不同界.例如，我们证明了$I$的斯坦利深度小于或等于与$S/I$相关的任何素理想的斯坦利深度。我们还表明，斯坦利猜想成立$I$和$S/I$时，相伴素理想理想的$S/I$产生的不相交的变量集。
Depth and Stanley depth of the path ideal associated to an $n$-cyclic graph
我们计算了$n$ -循环图的长为$3$的路理想的商环的深度和Stanley深度，给出了$n\not\equiv 1\,(\mbox{mod}\ 4)$时的深度、$n\equiv 1\,(\mbox{mod}\ 4)$时的紧界和$n\equiv 0,3\,(\mbox{mod}\ 4)$时的Stanley深度、$n\equiv 1,2\,(\mbox{mod}\ 4)$时的紧界的精确公式.给出了长为$n-1$和长为$n$的路理想的商的深度和Stanley深度的计算公式.
Stanley depth of powers of the path ideal
给出了路理想的幂商的Stanley深度的一个公式。由此，我们建立了路理想的幂商的Stanley深度与Brodmann关于深度的一个经典结果相同.
In this paper we study depth and Stanley depth of the edge ideals and quotient rings of the edge ideals, associated to classes of graphs obtained by taking the strong product of two graphs. We consider the cases when either both graphs are arbitrary paths or one is an arbitrary path and the other is an arbitrary cycle. We give exact formulae for values of depth and Stanley depth for some sub classes. We also give some sharp upper bounds for depth and Stanley depth in the general cases.
Upper bounds for the Stanley depth
设$I\subset J$是域上多项式代数$S$的单项理想.则$J/I$的斯坦利深度小于或等于$\sqrt{J}/\sqrt{I}$的斯坦利深度。我们还给出了两个准素单项式理想$Q$，$Q'$的交的Stanley深度的一个上界，如果$Q$，$Q'$是不可约的，HT $(Q+Q')$是奇数的，且$\sqrt{Q}$，$\sqrt{Q'}$没有公共变量，则达到这个上界.
On the Stanley depth of the path ideal of a cycle graph
给出了圈图的路理想的商环的Stanley深度的紧界。特别地，我们证明了它满足斯坦利不等式。
Stanley depth and size of a monomial ideal
Lyubeznik介绍了概念的大小的一个单项理想，并表明，大小的一个单项理想增加了$1$是一个下界，其深度。我们表明，大小也是一个下界的斯坦利深度。利用Alexander对偶，我们得到了无平方因子单项理想的正则性和Stanley正则性的上界.
On the Stanley depth of edge ideals of k-partite clutters
我们给出了某些k-部杂波的边理想的Stanley深度的上界。特别地，推广了Ishaq关于完全二部图的边理想的Stanley深度的一个结果. Pournaki，Seyed Fakhari和Yassemi的一个结果暗示Stanley猜想对d-一致完全d-部杂波成立。在这里，我们给这个事实的一个更短的和不同的证明。
Depth and Stanley Depth of the Canonical Form of a factor of monomial ideals
本文证明了两个单项理想的因子的深度和Stanley深度在取标准形时是不变的。很容易得出斯坦利猜想对因子成立当且仅当它对它的标准型成立。特别是，我们构建了一个算法，简化了深度计算，并使用规范形式，我们大大减少了运行时间的sdepth计算。
Stanley depth of quotient of monomial complete intersection ideals
本文计算了完全交单项式理想之商在特殊情形下的Stanley深度，给出了一般情形下的精确界，并证明了该情形满足Stanley猜想。
Depth and Stanley depth of the edge ideals of the powers of paths and cycles
令$k$为正整数。我们计算与路径在$n$顶点上的$k^{th}$幂相关的边理想的商环的深度和Stanley深度。我们表明，深度和斯坦利深度有相同的值，并可以在$k$和$n$。对于$n\geq 2k+1$，设为$n\equiv 0,k+1,k+2,\dots, n-1(\mod(2k+1))$。然后给出了与$n$顶点上的圈的$k^{th}$幂相关的边理想的商环的深度和Stanley深度的值，并给出了除此之外的紧界，即$n$和$k$ .我们还计算与$k^{th}$权力的路径和循环的边缘理想的斯坦利深度的下界，并证明了猜想的赫尔佐格在\cite{HS}这些理想。
Stanley depth of monomial ideals
设$I\supsetneq J$是$\geq d$度生成域上多项式代数的两个单项理想，分别为. $\geq d+1$。利用\cite{IKM}最近关于极化的结果，研究了Stanley猜想对$I/J$何时成立.
Stanley depth of complete intersection monomial ideals and upper-discrete partitions
设$I$是$S=K[x_1,...,x_n]$中的$m$生成的完全交单项理想.我们证明了$I$的Stanley深度为$n-\floor{\frac{m}{2}}$ .我们还研究了单项理想的上离散结构，证明了如果$I$是极小由3个元素生成的无平方的单项理想，则$I$的Stanley深度是$n-1$ .
Stanley depth of the path ideal associated to a line graph
考虑线图的路理想，计算其商环的\texttt{sdepth}，并指出它与其商环的\texttt{depth}相等.它满足斯坦利不等式。
Computing the Stanley depth
设$Q$和$Q'$是域上多项式代数$S$的两个单项准素理想.我们给出了一个上界的斯坦利深度的$S/(Q\cap Q')$达到$Q$，$Q'$是不可约的。本文还证明了当$Q_1\cap Q_2$，$S/(Q_1\cap Q_2\cap Q_3)$，$(Q_i)_i$是$S$的不可约单项式理想时，Stanley猜想成立.
Let $S$ be a ring of polynomials in finitely many variables over a field. In this paper we give lower bounds for depth and Stanley depth of modules of the type $S/I^t$ for $t\geq1$, where $I$ is the edge ideal of some caterpillar and lobster trees. These new bounds are much sharper than the existing bounds for the classes of ideals we considered.
Stanley depth of weakly polymatroidal ideals
设$\mathbb{K}$是一个域，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$是域$\mathbb{K}$上的$n$变量的多项式环。本文证明了当$I$是弱多拟阵理想时，Stanley猜想对$S/I$成立.
Depth and Stanley depth of the facet ideal associated to a line-type simplicial complex
我们考虑与线型单纯复形相关联的面理想。我们计算了它的商环的\texttt{depth}和\texttt{sdepth}。特别地，刻面理想及其商环满足Stanley不等式.
On the Stanley depth of edge ideals of line and cyclic graphs
证明了线图和圈图的边理想及其商环满足Stanley猜想。我们计算斯坦利深度的商环的边理想的长度$n$的循环图，给出了精确的公式为$n\equiv 0,2 \pmod{3}$和紧界为$n\equiv 1 \pmod{3}$。此外，我们给出的斯坦利深度的商的两个单项理想，在组合方面。
Size and Stanley depth of monomial ideals
多项式环$S$的单项理想$I$的Lyubeznik尺寸是$I$的Stanley深度减$1$的下界。证明了赫尔佐格-Popescu-Vladoiu有一个差距，这是解决这里。
Stanley depth of monomial ideals in three variables
我们证明了$\depth(S/I)=0$当且仅当$\sdepth(S/I)=0$，其中$I\subset S=K[x_1,...,x_n]$是一个单项理想。本文给出了计算$S/I$的Stanley深度的一个算法，其中$I\subset S=K[x_1,x_2,x_3]$是单项式理想.证明了由三个单项式极小生成的单项式理想$I\subset K[x_1,x_2,x_3]$具有$\sdepth(I)=2$ .
Stanley depth on five generated, squarefree, monomial ideals
设$I\supsetneq J$是$\geq d$次生成域上多项式代数的两个无平方单项式理想. $\geq d+1$。假设$I$是由四个次数为$d$和其他次数为$\geq d+1$的无平方根单项式生成的，或者是由五个次数为$d$的特殊单项式生成的。如果$I/J$的斯坦利深度是$\leq d+1$，则$I/J$的通常深度也是$\leq d+1$。
On the Behaviour of Stanley Depth under Variable Adjunction
设$S=K[x_1,...,x_n]$是域$K$上的$n$变量的多项式环。对于整数$1\leq t< n$，考虑$S$中的理想$I=(x_1,...,x_t)\cap(x_{t+1}, ...,x_n)$。本文从理想$I'=(I,x_{n+1},...,x_{n+p})\subset S'=S[x_{n+1},...,x_{n+p}]$的Stanley深度出发，给出了理想$I'=(I,x_{n+1},...,x_{n+p})\subset S'=S[x_{n+1},...,x_{n+p}]$的Stanley深度.我们给出了类似的上界的斯坦利深度的理想$(I_{n,2},x_{n+1},...,x_{n+p})$，其中$I_{n,2}$是平方自由Veronese理想度2 $n$变量。
Special Stanley Decompositions
设$I$是域上多项式代数$S$的三个单项素理想的交.给出了$I$的一个特殊Stanley分解，它给出了$I$的Stanley深度的一个下界，大于或等于$\depth\ (I)$，即Stanley猜想对$I$成立.
The behavior of Stanley depth under polarization
设$K$是一个域，$R=K[X_1, ..., X_n]$是多项式环，$J \subsetneq I$是$R$中的两个单项理想.在本文中，我们证明了$\mathrm{sdepth}\ {I/J} - \mathrm{depth}\ {I/J} = \mathrm{sdepth}\ {I^p/J^p}-\mathrm{depth}\ {I^p/J^p}$，其中$\mathrm{sdepth}\ I/J$表示斯坦利深度和$I^p$表示极化。这解决了赫尔佐格的一个猜想，并将著名的斯坦利猜想（对于形式为$I/J$的模）简化为无平方的情况。因此，$R/I$形式的代数的斯坦利猜想和著名的关于每个科恩-麦考利单纯复形都是可分的组合猜想是等价的。
How to compute the Stanley depth of a monomial ideal
设$J\subset I$是单项理想。我们表明，斯坦利深度的$I/J$可以计算在有限数量的步骤。我们还介绍了$\fdepth$的单项理想，这是定义在素过滤，并表明它也可以计算在有限的步骤。在这两种情况下，它表明，这些不变量可以通过考虑分区适当的有限偏序集到区间。
Stanley depth of weakly polymatroidal ideals and squarefree monomial ideals
设$I$是多项式环$S$的弱多拟阵理想或无平方根的单项理想.本文给出了$I$和$S/I$的Stanley深度的一个下界.特别地，我们证明了：如果$I$是一个单次生成的无平方单项式理想，则有${\rm sdepth}(I)\geq n-\ell(I)+1$和${\rm sdepth}(S/I)\geq n-\ell(I)$，其中$\ell(I)$表示$I$的解析扩展.这证明了作者在特殊情况下的一个猜想。
On the Stanley depth of powers of some classes of monomial ideals
本文研究了多项式环张量积中单项式理想之和的幂及其商环的 Stanley 深度，并以此分析其渐近行为，解决了单项式完全交的情形。
Stanley depth and the lcm-lattice
在本文中，我们表明，斯坦利深度，以及通常的深度，基本上是由lcm-晶格。更确切地说，我们表明，对于单项式理想$J\subset I$的不变量$I/J$，这两个不变量的行为单调的某些映射定义在其lcm格。这允许简单和统一的证明许多新的和已知的结果斯坦利深度。特别地，我们得到了我们在参考文献[IKMF 14]中提出的关于极化的结果的推广。我们还得到了一个有用的描述类的所有单项式理想与一个给定的lcm格，这是独立于我们的应用程序的斯坦利深度。
Stanley's conjecture for critical ideals
设S=K[x_1，x_2，.，x_n]是域K上的n元多项式环。Stanley猜想对模I和S/I成立，当I是一个临界单项式理想时。当I是正则临界单项式理想时，我们计算了S/I的Stanley深度。对于非临界单项式理想，我们证明了具有相同深度和Hilbert函数的Stanley理想的存在性。
Lcm-lattices and Stanley depth: a first computational approach
令$\mathbb{K}$为域，并且令$S=\mathbb{K}[X_1, ..., X_n]$为多项式环。设$I$是$S$的单项式理想，至多有5个生成元.在本文中，我们提出了一个计算实验，使我们能够证明，$\mathrm{depth}_S S/I = \mathrm{sdepth}_S S/I < \mathrm{sdepth}_S I$。这表明Stanley猜想对$S/I$和$I$成立，如果$I$可以由至多5个单项式生成。这个结果也为赫尔佐格的一个猜想提供了额外的计算证据。
Stanley decompositions and localization
我们研究了斯坦利深度在局部化操作下关于变量的行为。
Gröbner bases of syzygies and Stanley depth
设F.是多项式环K[x_1，.，x_1，.，x_1，.，x_1，.，x_1，.上自由模的Z^n-分次子模的任意自由分解x_n]。我们证明了对于F上的一个合适的项序，第p个合合模Z_p的初始模由项m_ie_i生成，其中m_i是K[ x_{p+1}，.，x_n]。同样对于一大类自由分解F.，在Eliahou-Kervaire分解的基础上，我们证明了Z_p的Gröbner基由F_p的生成元的边界给出.我们应用上述结果给出了合冲模Z_p的Stanley深度的下界，特别是证明了它至少为p+1.我们还证明了，如果I是K[x_1，...，x_n]，则I的Stanley深度至少是2n的平方根的数量级。
Remarks on the Stanley depth and Hilbert depth of monomial ideals with linear quotients
本文研究具有线性商的单项式理想的深度性质，证明了depth(S/I)=n-2时对应Stanley深度的等式及无平方因子情形下的Hilbert深度等式，还给出了满足特定条件时Stanley深度不小于普通深度的结论。
Let $I_{n,m}:=(x_1x_2\cdots x_m,\; x_2x_3\cdots x_{m+1},\; \ldots,\; x_{n-m+1}\cdots x_n)$ be the $m$-path ideal of the path graph of length $n$, in the ring $S=K[x_1,\ldots,x_n]$. We prove that: $$\mathtt{depth}(S/I_{n,m}^t)=\begin{cases} n-t+2 - \left\lfloor \frac{n-t+2}{m+1} \right\rfloor - \left\lceil \frac{n-t+2}{m+1} \right\rceil, & t \leq n+1-m \\ m-1,& t > n+1-m \end{cases},\text{ for all }t\geq 1.$$ Also, we prove that $\mathtt{depth}(S/I_{n,m}) \geq \mathtt{sdepth}(S/I_{n,m}^t) \geq \mathtt{depth}(S/I_{n,m}^t)$ and $\mathtt{sdepth}(I_{n,m}^t)\geq \mathtt{depth}(I_{n,m}^t)$, for all $…
Bounds on the Stanley depth and Stanley regularity of edge ideals of clutters
设$I$是多项式环$S$中杂波$\mathcal{C}$的边理想。在本文中，我们提出了估计的斯坦利深度的$I$以及斯坦利规律的$S/I$，在组合数据的杂波$\mathcal{C}$。
Stanley decompositions and Hilbert depth in the Koszul complex
多项式环上多阶模$M$的Stanley分解是近年来研究的热点.有一个自然的深度概念，与斯坦利分解，称为斯坦利深度。Stanley解释说，模块$M$的Stanley深度总是至少为$M$的（经典）深度。在本文中，我们引入了一种较弱的分解类型，我们称之为希尔伯特分解，因为它只依赖于$M$的希尔伯特函数，以及类似的深度概念，称为希尔伯特深度。由于斯坦利分解是希尔伯特分解，后者为斯坦利分解的存在性设置了上界。希尔伯特分解的优点是它们更容易找到。我们测试我们的新概念上的syzygy模块的剩余类域的$K[X_1,...,X_n]$（通常确定与$K$）。对$k$次合冲模写出$M(n,k)$，证明了M（n，1）的Hilbert深度为$\lfloor(n+1)/2\rfloor$ .进一步证明了对于$n > k \ge \lfloor n/2\rfloor$，$M(n,k)$的Hilbert深度等于$n-1$ .我们推测斯坦利深度也是如此。对于范围$n/2 > k > 1$，似乎不可能得出希尔伯特深度的简洁公式。相反，我们提供了非常精确的渐近结果，因为$n$变得很大。
Monomial ideals of minimal depth and trivial modifications
设$S$是域上的多项式代数。我们研究类的单项理想（例如lexsegment理想）的$S$具有最小的深度。特别是，斯坦利猜想持有这些理想。此外，我们表明，如果斯坦利的猜想举行的平方自由单项理想，那么它持有的所有平凡的修改。
Stanley depth of square free Veronese ideals
本文计算了无平方 Veronese 理想商环的 Stanley 深度，并给出该理想的深度界，从而证明二者均满足 Stanley 猜想。
Combinatorial Reductions for the Stanley Depth of $I$ and $S/I$
我们开发了组合工具来研究单式理想$I$的斯坦利深度和它的互补，$S/I$的斯坦利深度之间的关系。利用这些结果，我们能够证明：如果$S$是至多有5个不定元的多项式环，$I$是无平方单项式理想，则$S/I$的Stanley深度严格大于$I$的Stanley深度.利用计算机搜索，我们能够将这个严格不等式推广到至多有7个不定元的多项式环。这部分回答了Propescu和Qureshi以及Herzog提出的问题。
Let $\mathbb{K}$ be a field and $S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ be the polynomial ring in $n$ variables over $\mathbb{K}$. In 1982, R. Stanley associated a combinatorial invariant to any finitely generated $\mathbb{Z}^n$-graded $S$-module which is now called Stanley depth. Stanley conjectured that this invariant is an upper bound for the depth of module. Stanley's conjecture has been disproved by Duval et al. \cite{abcj}, and the counterexample is a quotient of squarefree monomial ideals. On the other hand, there are evidences showing that Stanley's inequality can be true for high powers of mono…
On the Stanley depth of a special class of Borel type ideals
我们给出了一类特殊的Borel型理想的Stanley深度的精确界。
When will the Stanley depth increase
设$I\subset S=\KK[x_1,...,x_n]$是由次数为$\ge d$的无平方单项式生成的理想.若$d$的次数极小生成单项式$μ_d(I)\le \min(\binom{n}{d+1},\sum_{j=1}^{n-d}\binom{2j-1}{j})$，则斯坦利深度为$\sdepth_S(I)\ge d+1$。
Depth of some square free monomial ideals
设$I\supsetneq J$是$\geq 1$次生成域上多项式代数的两个平方自由单项式理想. $\geq 2$。几乎总是当$I$恰好包含一个变量，其他生成元具有度$\geq 2$时，如果$I/J$的斯坦利深度是$\leq 2$，则$I/J$的通常深度也是$\leq 2$，即斯坦利猜想在这些情况下成立。
The Stanley Depth in the Upper Half of the Koszul Complex
设$R = K[X_1, ..., X_n]$是域$K$上的多项式环.本文证明了$R$的剩余域$K$的$k$次合模对$\lfloor n/2 \rfloor \leq k < n$具有Stanley深度$n-1$，正如Bruns等所证明的那样.在2010年。特别地，这给出了其分级组件具有大于$1$的维度的整个模块族的斯坦利深度。到目前为止，斯坦利深度只知道这种类型的几个例子。我们的证明包括在一个密切的分析匹配的布尔代数。
Stanley depth and complete $k$-partite hypergraphs
给出了完全$k$ -部超图的边理想的Stanley深度的一个上界，作为应用，给出了多项式环$S$中单项式理想的Stanley深度的一个上界.我们还给出了与完全$k$ -部超图相关联的循环模$S/I$的一个下界和一个上界。
Betti posets and the Stanley depth
设$S$是一个多项式环，$I \subseteq S$是一个单项理想.本文提出了一个猜想：$I$的Betti偏序集决定了$S/I$或$I$的Stanley投射维数.我们的主要结果是：这个猜想蕴涵了对$I$的Stanley猜想，也蕴涵了\[ \operatorname{sdepth} S/I \geq \operatorname{depth} S/I - 1.\]最近Duval等人发现了Stanley猜想的一个反例，并且他们的反例满足$\operatorname{sdepth} S/I = \operatorname{depth} S/I - 1$ .所以如果我们的猜想是正确的，那么结论是最好的。
Stanley depth and symbolic powers of monomial ideals
本文研究了无平方根单项理想的符号幂的Stanley深度。证明了对任意的无平方根单项理想$I$和任意的整数对$k, s\geq 1$，不等式${\rm sdepth} (S/I^{(ks)}) \leq {\rm sdepth} (S/I^{(s)})$和${\rm sdepth} (I^{(ks)}) \leq {\rm sdepth} (I^{(s)})$成立.此外，如果$I$是不混合的高度$d$，那么我们表明，对于每个整数$k\geq1$，${\rm sdepth}(I^{(k+d)})\leq {\rm sdepth}(I^{(k)})$和${\rm sdepth}(S/I^{(k+d)})\leq {\rm sdepth}(S/I^{(k)})$。最后，我们考虑了无平方单项式理想的符号幂的Stanley深度的极限行为。我们还介绍了一种比较单项理想的因子的Stanley深度的方法。
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