Regularity and blow-up in a surface growth model
Dirk Blomker, Marco Romito
本文给出了一个表面生长模型的正则性结果和爆破准则，尽管它是一个标量方程，但它似乎具有与三维Navier-Stokes方程相似的性质。作为一个起点，我们专注于能量方法和李雅普诺夫泛函。
The paper contains several regularity results and blow-up criterions for a surface growth model, which seems to have similar properties to the 3D Navier-Stokes, although it is a scalar equation. As a starting point we focus on energy methods and Lyapunov-functionals.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Regularity of Leray-Hopf solutions to Navier-Stokes equations (II)-Blow up rate with small L^2(R^3) data
得到了L^2（R^3）中小数据情形下Navier-斯托克斯方程爆破速率的一个上界。
Linear inviscid damping for monotone shear flows in a finite periodic channel, boundary effects, blow-up and critical Sobolev regularity
在以前的文章中，\cite{Zill3}，我们已经建立了线性无粘阻尼的一个大类的单调剪切流在一个有限的周期性通道，并进一步表明，边界效应渐近导致形成的奇异性的衍生物的解决方案。作为本文的主要结果，我们详细描述了奇异性的形成，并建立了所有亚临界分数索伯列夫空间的稳定性和所有超临界空间的爆破。此外，我们讨论了爆破的影响，在有限的周期性通道，高的正则性将是必不可少的控制非线性效应的非线性无粘阻尼问题。
Regularity of Leray-Hopf solutions to Navier-Stokes equations
得到了不可压缩Navier-斯托克斯方程爆破解的极限性态.
Blow up and regularity for fractal Burgers equation
本文研究了分数阶耗散Burgers方程解的存在性、唯一性、爆破性和正则性。证明了Laplacian $α< 1/2,$的幂的有限时间爆破的存在性和$α\geq 1/2.$解的整体存在性以及解析性。我们还证明了具有非常粗糙的初始数据$u_0 \in L^p,$ $1 < p < \infty.$的解的存在性。
Boundary Characteristic Point Regularity for Navier-Stokes Equations: Blow-up Scaling and Petrovskii-type Criterion (a Formal Approach)
本文证明了抛物面边界上Dirichlet条件为零的三维Navier-斯托克斯方程的倒抛物面顶点的Wiener正则性是由热方程的Petrovskii判据（1934）给出的，即，非线性对流项不影响正则性结果。
Partial Regularity of solutions to the Four-dimensional Navier-Stokes equations at the first blow-up time
考虑了四维不可压Navier-斯托克斯方程的解。我们证明了该奇点集在第一个爆破时刻的二维Hausdorff测度等于零。
On regularity of a boundary point for higher-order parabolic equations: towards Petrovskii-type criterion by blow-up approach
证明了对于双调和方程，典型抛物面顶点的最优正则性准则可以用1934年导出的热方程的Petrovskii型Osgood-Dini积分条件表示.讨论了第一Fourier系数法在其它偏微分方程中的推广。综述了椭圆和抛物型偏微分方程的边界点正则性。
Regularity and blow up for active scalars
我们回顾了一类具有分数耗散的流体力学方程，称为主动标量的一些最近的结果。我们的主要例子是地表准地转方程、Burgers方程和Cordoba-Cordoba-Fontelos模式。我们讨论了非局部最大值原理方法，该方法可以证明临界耗散的整体正则解的存在性。我们还记得什么是已知的可能性有限时间爆破在超临界状态。
Refined regularity for the blow-up set at non characteristic points for the complex semilinear wave equation
本文考虑一维空间中具有幂非线性项的复值半线性波动方程的爆破解。证明了非特征点集$I_0$是开的，爆破曲线是$C^{1,μ_0}$类的，相位$θ$是$C^{μ_0}$.为了证明这个结果，我们引入了一个刘维尔定理。
Existence of a ground state and blow-up problem for a nonlinear Schrodinger equation with critical growth
本文证明了当空间维数为$d\geq4$时，具有次临界项扰动的能量临界非线性最小二乘方程基态解的存在性。然而，在三维，我们表明，当扰动足够小，那么这样的解决方案不存在。对于发展方程，我们证明了能量低于基态能量的径向对称解的有限时间爆破的存在性。
Global regularity of solutions to systems of reaction-diffusion with Sub-Quadratic Growth in any dimension
本文研究了一类反应项具有次二次增长的反应扩散方程组解的正则性。在没有小性假设的情况下，我们证明了在任意维数$N$上解的全局有界性和正则性。证明是基于爆破技术。系统的自然熵在分析中起着至关重要的作用。它使我们能够使用De Giorgi型方法介绍了粗糙系数的椭圆正则性。尽管这些系统是熵超临界的，但在临界标度下，通过很弱的范数来控制假设的爆破是可能的。与Navier-斯托克斯方程的类比在引言中简要讨论。
The regularity properties and blow-up for convolution wave equations and applications
本文研究了线性和非线性卷积波方程的Cauchy问题，该方程包含具有一般核函数的卷积项，核函数的傅里叶变换是定义在巴拿赫空间E中的算子函数，并满足一定的增长条件.在此，假设初值和算子函数具有足够的光滑性，利用给定的扇形算子函数的分数阶幂，证明了解的局部、整体存在性、唯一性和正则性.此外，有限时间爆破的条件。通过对空间E和算子的选择，得到了物理学中广泛存在的一类非局部波动方程的正则性。
Higher Order Regularity and Blow-up Criterion for Semi-dissipative and Ideal Boussinesq Equations
本文建立了$\mathbb{R}^n , n = 2,3$中粘性零热扩散Boussinesq方程的$H^s$强解的局部时间存在唯一性.在三维涡量的$BMO$范数下建立了Beale-Kato-Majda型爆破准则。我们进一步证明了非粘性完全理想Boussinesq系统的局部存在性和爆破准则。Kato和Ponce（1988）\cite {KP}和Fenchman et.等人（2014）\cite {Fe}在计算中发挥重要作用。
A regularity result for the bound states of $N$-body Schrödinger operators: Blow-ups and Lie manifolds
我们证明了加权Sobolev空间中薛定谔型算子的$L^2$ -本征函数的正则性估计，该算子的位势在无穷远处具有平方反比奇点和一致径向极限。特别地，我们的结果覆盖了通常的具有库仑型奇异势的$N$体哈密顿量：在这种情况下，权重是$δ_{\mathcal{F}}(x) := \min \{ d(x, \bigcup \mathcal{F}), 1\}$，其中$d(x, \bigcup \mathcal{F})$是到碰撞平面集合$\bigcup\mathcal{F}$的并集$\bigcup\mathcal{F}$的通常的欧几里得距离。证明是基于爆破的流形与角落和李流形。更准确地说，我们从基础空间$X$的径向紧化$\overline{X}$开始，我们首先在碰撞平面$Y \in \bigcup\mathcal{F}$的无穷远处爆破球体$\mathbb{S}_Y \subset \mathbb{S}_X$，以获得Georgescu-Vasy紧化。然后我们将碰撞平面$\bigcup\mathcal{F}$放大。我们仔细研究如何李流形结构和相关的数据（度量，Sobolev空间，微分算子）的变化与每个爆破。我们的方法也适用于高阶微分算子，某些类的pseudodiomatic运营商，和矩阵的标量运营商。
Partial regularity of solutions to the 3D chemotaxis-Navier-Stokes equations at the first blow-up time
本文研究三维趋化-纳维-斯托克斯方程弱解在首次爆破时刻的部分正则性，通过建立局部能量不等式并处理非尺度不变量$n\ln n$，证明奇异集的$\frac53$维Hausdorff测度为零。
Higher regularity and finite time blow-up to nonlocal pseudo-parabolic equation with conical degeneration
针对已有研究的锥形退化非局部半线性伪抛物方程初边值问题，本文提高弱解正则性，并仅利用 Nehari 泛函与守恒积分建立有限时间爆破条件，去除了初始能量泛函假设。
Global regularity of wave maps VI. Abstract theory of minimal-energy blowup solutions
在本系列的前几篇文章中，关于二维Minkowski空间$\R^{1+2}$到双曲空间$\H^m$的波映射的整体正则性猜想被归结为在该猜想失败的情况下构造几乎周期模对称的最小能量爆破解的问题。在本文中，我们表明，这个问题可以进一步减少，显示的解决方案，在临界能量，无论是频率离域，空间分散，或空间离域有界的“熵”。后面的这些事实将在本系列的最后一篇论文中得到证明。
Regularity theory for $2$-dimensional almost minimal currents III: blowup
我们分析了$2$维积分电流在奇点在适当意义下几乎最小化的渐近行为。我们的分析是第二部分的论点，它显示了离散的奇异集为以下三类$2$维电流：面积最小化黎曼流形，半校准和球形截面的$3$维面积最小化锥。
The propagation of regularity and dispersive blow-up phenomenon to higher-order generalized KdV equations
本文研究了高阶广义 KdV 方程初值问题的光滑性与奇异性，证明了正则性以无穷大速度传播，并通过构造光滑初始数据揭示了由短波或长波聚焦引起的色散爆破现象。
Mass-concentration of low-regularity blow-up solutions to the focusing 2D modified Zakharov-Kuznetsov equation
本文考虑二维空间中的聚焦修正Zakharov-Kuznetsov（mZK）方程。我们证明了解决方案，在有限的时间内爆破的$H^1(\R^{2})$规范的财产，他们集中了非平凡的一部分，他们的质量（更准确地说，至少等于质量的基态）在爆破时间。对于$\frac{17}{18} < s < 1$在$H^s(\R^2)$范数下的有限时间爆破解，我们证明了一个稍弱的结果。此外，我们证明了更强的浓度的结果可以扩展到范围$ \frac{17}{18} < s \le 1$的额外假设下的爆破速度的上界。这里使用的主要工具是$I$ -方法和一个有界的$H^1(\R^{2})$函数族的剖面分解定理。
Refined regularity of the blow-up set linked to refined asymptotic behavior for the semilinear heat equation
我们考虑$u(x,t)$，$\partial_tu = Δu + |u|^{p-1}u$的一个解，它在某个时刻$T > 0$爆炸，其中$u:\mathbb{R}^N \times[0,T) \to \mathbb{R}$，$p > 1$和$(N-2)p < N+2$。定义$S \subset \mathbb{R}^N$为$u$的爆破集，即所有爆破点的集合。在适当的非退化条件下，我们证明了如果$S$对某个$\ell \in \{1,\dots, N-1\}$包含一个$(N-\ell)$维连续统，那么$S$实际上是一个$\mathcal{C}^2$流形.关键的一步是导出$u$在爆破附近的精细渐近行为。为了得到这样的精细行为，我们必须放弃显式轮廓函数作为一阶近似，并采取非显式函数作为奇异行为的一阶描述。这样，我们就避开了变量$(T-t)$的对数标度，并达到了某些$μ> 0$的多项式阶数$(T-t)^μ$中的显著小项。改进的渐近行为产生几何约束的爆破集，导致更多的$S$上的规律性。
Global solutions to the supercooled Stefan problem with blow-ups: regularity and uniqueness
我们考虑过冷Stefan问题，它捕获了冻结的过冷液体，在一个空间维度。一个概率重新制定的问题，允许定义全球的解决方案，即使在存在爆破的冻结率。我们提供了一个完整的描述，这样的解决方案，有关的温度分布在液体中的冰生长过程的规律性。后者是过渡之间（i）连续可微，（ii）H连续性;（三）不连续性。特别是，在第二个政权，我们重新发现的平方根行为的增长过程中指出的斯特凡在他的开创性论文[Ste 89]从1889年的普通斯特凡问题。在我们的第二个主要定理中，我们建立了唯一性的整体解决方案，第一个结果，这种增长过程的背景下，奇异自激爆破时存在。
$L^\infty$-regularity thresholds for a generalized Gross-Pitaevskii equation: dispersive blow-up vs. nonlinear stability
该研究针对激子-极化激元玻色-爱因斯坦凝聚体相关的广义Gross-Pitaevskii方程，揭示了稳定弛豫机制与色散爆破的竞争产生$L^\infty$正则性阈值，明确了不同光滑度扰动的爆破与稳定性特性，并在调制空间中完成稳定性分析。
Sharp regularity of gradient blow-up solutions in the Camassa-Holm equation
本文研究Camassa-Holm方程的奇异性形成，通过构造自相似爆破轮廓、采用调制理论建立估计，证明其梯度爆破解为$C^{3/5}$尖点，首次确定该精细正则性，且发现其与Hunter-Saxton方程奇异性类型一致。
Liquid Crystal Equations with Infinite Energy Local Well-posedness and Blow Up Criterion
本文考虑$n$维不可压缩液晶方程的Cauchy问题。证明了具有$L^\infty$初始值的液晶方程温和解的局部适定性，特别是当初始能量为无穷大时。我们证明了该解对于远离初始时刻的空间变量是光滑的。在此正则性估计的基础上，利用Blow-up定理和Liouville型定理，建立了本文所建立的第Ⅰ型温和解的涡度方向型Blow-up准则.
Blow-up analysis and boundary regularity for variationally biharmonic maps
我们考虑双能\[ \int_Ω|Δu|^2\,d x, \]的临界点$u:Ω\to N$，其中$Ω\subset\mathbb{R}^m$是维数为$m\ge 5$的有界光滑区域，$N\subset\mathbb{R}^L$是无边界紧致子流形.更确切地说，我们考虑变分双调和映射$u\in W^{2,2}(Ω,N)$，它被定义为双能量的临界点，满足一定的平稳性条件的边界。对于变分双调和映射的弱收敛序列，我们证明了在目标流形中存在某些非常数的双调和$4$ -球面或$4$ -半球面是唯一能阻止强紧性达到边界的障碍.作为应用，在变分双调和映射球不存在的条件下，我们得到了变分双调和映射的全边界正则性。
Partial regularity and $L^3$-norm concentration effects around possible blow-up points for the micropolar fluid equations
本文研究微极流体方程，在速度场附加条件下证明弱解的光滑性，并给出速度场$L^3_x$范数在可能奇异时间附近的集中效应。
Construction of $L^2$ log-log blowup solutions for the mass critical nonlinear Schrödinger equation
本文研究了$\mathbb{R}^{2}$上质量临界非线性薛定谔方程在$L^{2}(\mathbb{R}^2)$正则粗糙结构扰动下的重对数爆破动力学.特别是，通过采用概率的方法，我们提供了一个家庭的$L^{2}(\mathbb{R}^2)$正则性解决方案，不在于任何$H^{s}(\mathbb{R}^2)$的任何$s>0$，并根据双对数动力学爆破的建设。
On possible isolated blow-up phenomena of the 3D-Navier-Stokes equation and a regularity criterion in terms of supercritical function space condition and smoothness condition along the streamlines
本文的第一个目标是给出Navier-斯托克斯方程解$u$的一种新的正则性准则，它是在超临界函数空间条件$u \in L^{\infty}(L^{α,*})$（含$\frac{3}{4}(17^{\frac{1}{2}} -1)< α< 3 $）和$\dv (\frac{u}{|u|})$沿u的流线的增长率的指数控制下给出的。该正则性准则大大改进了\cite{smoothnesscriteria}中的前一个正则性准则。本文的正则性判据的证明基本上遵循了\cite{smoothnesscriteria}中的证明。然而，我们也指出，全新的思想，包括使用新的超临界函数空间条件是必要的，我们的新的正则性准则在本文中的成功。我们的论文的第二个目标是构建一个发散自由矢量场$u$内的流动不变的管状区域，增加扭曲的流线向一端的一束流线。流线的增加扭曲以这样一种方式控制，即关联量$\|u\|_{L^α}$和$\|\dv(\frac{u}{|u|})\|_{L^{6}}$在保持有限能量性质$u\in L^{2}$的同时爆炸。这样一种解释的目的是为了证明超越某些以前的正则性标准（如\cite{Vasseur2}或\cite{Esca}）所涵盖的范围的必要性。
Regularity and singularity of the blow-up curve for a wave equation with a derivative nonlinearity and a scale-invariant damping
本文研究了一维阻尼非线性波动方程的破裂行为，证明在初始数据足够大且光滑的情况下，破裂曲线是连续可微的。通过将方程转换为一阶系统并应用Sasaki的方法扩展了Caffarelli和Friedman的方法。
A blowup criteria along maximum points of the 3D-Navier-Stokes flow in terms of function spaces with variable growth condition
利用变增长条件的函数空间构造了三维Navier Stokes流沿极大点的爆破准则。这一判据不同于Beale-Kato-Majda型判据和Constantin-February man型判据。若速度向量场在极大点附近的几何行为在可能的爆破时刻之前具有某种对称性，则在可能的爆破时刻之后，该解可以推广为强解.
Regularity problem for the nematic LCD system with Q-tensor in $\mathbb R^3$
本文研究了具有局域组态的液晶模型的正则性问题。经典的Prodi-Serrin条件是否意味着这个模型的正则性是一个悬而未决的问题。应用波数分裂方法，我们证明了在某些推广的Beale-Kato-Majda条件下，解不爆破。这个正则性准则自动地意味着经典的Prodi-Serrin或Beale-Kato-Majda条件可以防止解的爆破。
Effect of additional regularity for the initial data on semi-linear $σ$-evolution equations with different damping types
本文研究初始数据额外正则性对半线性σ-发展方程不同阻尼类型临界指数的影响，建立了不同临界情形下整体解或爆破解的存在性，发现临界情形归属依赖初始正则性假设，并提供爆破时的 lifespan 估计。
Minimal-mass blow-up solutions for inhomogeneous nonlinear Schrödinger equations with growth potentials
在本文中，我们考虑以下方程：\[ i\frac{\partial u}{\partial t}+Δu+g(x)|u|^{\frac{4}{N}}u-Wu=0. \]我们构造了一个临界质量的解决方案，在有限的时间爆破，并描述在附近的爆破时间的解决方案的行为。Banica-Carles-Duyckaertz（2011）在假设$N\leq 2$、$g$和$W$充分光滑且它们的每个导数有界的情况下证明了临界质量爆破解的存在性。在本文中，我们证明了一个临界质量爆破解的存在性较弱的假设下光滑和有界的$g$和$W$。特别是，它包括$W$在空间无穷大处生长或不Lipschitz连续的情况。
Geometric blow-up criteria for the non-homogeneous incompressible Euler equations in 2-D
针对二维变密度不可压缩欧拉方程整体适定性未知的问题，提出仅需控制∇u沿X=∇⊥ρ方向分量的几何爆破准则，覆盖亚临界与临界正则性框架，且能恢复常密度情况的整体适定性。
Uniqueness of the blow-up at isolated singularities for the Alt-Caffarelli functional
本文证明了Alt-Caffarelli泛函极小解的自由边界在爆破点具有孤立奇点的点处爆破的唯一性和$C^{1,\log}$ -正则性。我们这样做是通过建立一个（日志）外周长不等式的Weiss能量的轨迹接近的一个锥与孤立奇点，其自由边界是图形和光滑的球体上的圆锥。通过对锥的附加假设，我们可以证明一个经典的上围不等式，并利用它导出一个$C^{1,α}$正则性结果。我们还表明，这些额外的假设是满足的De Silva-Jerison型锥，这是唯一已知的例子，最小化锥与孤立奇点。我们的方法绘制了一个连接epiperimetric不等式和juojasiewicz不等式，并据我们所知，提供了第一个正则性结果在奇点在一个阶段的伯努利问题。
Low-regularity a priori estimates, blow-up criterion, and self-intersection singularities for free-boundary ideal magnetohydrodynamics with surface tension
针对带表面张力的三维不可压缩自由边界理想MHD方程，在一般有界区域中建立了H^3先验估计，将门槛从H^6降低；提出了区分拓扑自交、边界正则性丧失等的有限时间爆破准则，揭示了磁场不对称性；构造了正则初始数据，证明表面张力和理想磁耦合不能阻止自由边界拓扑自交。
Blow-up of dynamically restricted critical norms near a potential Navier-Stokes singularity
在本文中，我们发展了新的方法来获得三维Navier-斯托克斯方程的动力学限制的端点临界范数的正则性准则：临界Lebesgue范数一般或临界弱Lebesgue范数在轴对称的情况下。这种类型的结果特别受到Neustupa（2014）的工作的启发，该工作处理某些非端点临界规范。我们的工作使得有一个更好的理解的非局部效应的压力的正则性的解决方案。
Global Regularity of the 4D Restricted Euler Equations
本文研究了限制欧拉方程中的临界阈值现象。使用频谱和跟踪动力学，我们确定的3D和4D限制欧拉方程的临界阈值。众所周知，3D RE解决方案会爆炸。投影到三维球面上，使有界稳定解的初始特征值集被简化为一个点，从而证实了三维RE爆破的一般性。相比之下，我们确定了一个令人惊讶的丰富的初始频谱上的4球产生全球平滑的解决方案，因此，4D的规律性是通用的。
On the Asymptotic Growth of Positive Solutions to a Nonlocal Elliptic Blow-up System Involving Strong Competition
对于一类具有\begin{equation*}\label{syst1} -(-Δ)^su=uv^2,\quad-(-Δ)^sv=vu^2,\quad u,v>0 \ \mathrm{in} \ \mathbb{R}^N, \end{equation*} whith $s\in(0,1)$的分数阶Laplacian的竞争扩散爆破系统，证明了其整体解的最大渐近增长率为$2s$ .此外，由于我们能够构造对称的解决方案的问题，当$N=2$与指定的增长任意接近的临界，我们可以得出结论，找到的渐近界是最优的。最后证明了当$N\geq 3$ .
Blow up profiles for a quasilinear reaction-diffusion equation with weighted reaction with linear growth
本文研究了具有非均相反应的二阶反应扩散方程：$$ \partial_tu=\partial_{xx}(u^m) + |x|^σu, $$和$σ>0$的爆破剖面.通过这些研究，我们发现非齐次系数$|x|^σ$对解的爆破行为有很强的影响。首先，它遵循有限时间爆破发生自相似的解决方案$u$，一个功能，不出现在众所周知的自治情况下$σ=0$。此外，我们发现，有三种不同类型的爆破自相似配置文件，这取决于是否指数$σ$是接近于零或不。我们还发现了一个明确的爆炸轮廓。结果表明，当$σ>0$足够小时，\emph{global blow up}发生，而当$σ>0$足够大时，\emph{occurs only at infinity}爆破，并给出了这些现象的自相似解的原型.这项工作是一个更大的程序的一部分，了解非齐次权重的影响，爆破集和利率。
Finite-time blow-up of a non-local stochastic parabolic problem
目前的工作的主要目的是研究的条件下（有限时间）爆破的非局部随机抛物问题发生。首先证明了该问题的局部时间弱解的存在唯一性。手稿的第一部分涉及调查的条件，保证发生噪声引起的爆破。第二部分首先证明了解的$C^{1}$ -空间正则性。然后，基于这个正则性结果，并使用一个强正性结果，我们推导出，首次在文献中的SPDE，一个Hopf型边值点引理。前面的结果与卡普兰的特征函数方法，然后提供一个（非本地）漂移项诱导爆破的结果。在本文的最后一部分，我们提出了一种方法，它提供了一个上界的概率（非局部）漂移项诱导爆破。
The existence and blow-up criterion of liquid crystals system in critical Besov space
在临界Besov空间中考虑了液晶系统强解的存在性，给出了一个类似于Serrin关于Navier-斯托克斯方程弱解正则性的判据.
A road map to the blow-up for a Kirchhoff equation with external force
众所周知，经典的双曲基尔霍夫方程允许无限多个简单模式，即空间变量中只有一个傅里叶分量的时间周期解。在本文中，我们假设，对于一个适当的选择的非线性，有两个简单的模式与不同的频率之间的异宿连接。在这个假设下，我们构造了一个强迫基尔霍夫方程，它允许一个解在有限时间内爆破，尽管强迫项的正则性和有界性。强迫项的选择具有极大的正则性，从而避免了经典的整体存在性结果在解析类和拟解析类中的应用。
Asymptotic self-similar blow-up for the regularized Saint-Venant equations
研究正则圣文森特方程中奇点形成机制，通过非线性bootstrap论证建立自相似爆破轮廓稳定性，揭示哈密顿正则化对奇点形成结构的影响。
On the blow up criterion of 3D-NSE in Sobolev-Gevrey spaces
在\cite{JB1}中，Benameur证明了$(NSE)$的非正则解在Sobolev-Gevrey空间中的爆破结果.本文改进了这一结果，精确地给出了Sobolev-Gevrey空间中在初始条件下正则性较差的指数型爆炸。使用了傅里叶分析。
Blowup criterion for Navier-Stokes equation in critical Besov space with spatial dimensions $d \geq 4$
本文研究了高维空间中不可压Navier-斯托克斯方程温和解的爆破准则$d \geq 4$。通过建立一个$ε$正则性准则，我们证明了：如果初始数据为$\dot B^{-1+d/p}_{p,q}(\mathbb{R}^d) $的温和解$u$，$d<p,\,q<\infty$在有限时刻$T_*$处奇异，则$$ \limsup_{t\to T_*} \|u(t)\|_{\dot B^{-1+d/p}_{p,q}(\mathbb{R}^d)} = \infty. $$在三维情况下的相应结果已由I.Gallagher，G. S. KochandF. Planchon得到.作为副产品，我们还证明了临界Besov空间中Leray-Hopf解的正则性准则，推广了~ \cite{DoDu09}中的结果，其中得到了临界Lebesgue空间$L^d(\mathbb{R}^d)$中的爆破准则。
On the local existence and blow-up for generalized SQG patches
研究了一类含参数$α$，$0< α<2$的输运方程的补丁解，其中$α=0$和$α=1$分别对应于Euler方程和地面准地转方程.在本文中，使用几个新的取消，我们提供了以下新的结果。首先，我们证明了局部适定性$H^{2}$补丁在半空间设置为$0<α< 1/3$，允许自相交的固定边界。此外，我们能够扩展的范围内的$α$有限时间奇点已被证明在\cite{KYZ}和\cite{KRYZ}。其次，我们建立了$0<α<2$的补丁保持正则，只要弧弦条件和$δ>α/2$的$C^{1+δ}$阶正则性是时间可积的。这种有限时间奇异性准则适用于比\cite{CFMR}和\cite{ScottDritschel}数值模拟中所示的规律性更低的规律性，用于表面准地转斑块，其中轮廓的曲率在数值上爆炸。这是第一次证明了有限时间奇异性准则低于或等于数值中的正则性。最后，我们还改进了\cite{G}和\cite{CCCGW}中的结果，给出了$0<α< 1$的$H^{2}$和$1<α<2$的$H^3$中的局部适定性。
Regularity of the optimal sets for a class of integral shape functionals
本文证明了含积分泛函的形状最优化问题解的自由边界的{第一}正则性定理，其中区域$Ω$的能量是代价函数$j(u,x)$的积分，该代价函数依赖于$Ω$上某个PDE问题的解$u$.这些泛函的主要特点是域$Ω$的极小性不能转化为单个（实值或向量值）状态函数的变分问题。在本文中，我们专注于仿射成本函数的情况下，$j(u,x)=-g(x)u+Q(x)$，其中$u$是解的PDE $-Δu=f$ Dirichlet边界条件。从$Ω$的内向/外向最优性出发，得到了最优$u$的Lipschitz连续性和非退化性，然后利用$Ω$关于光滑向量场变分的稳定性，研究了状态函数$u$的爆破极限.通过三重连续爆破，证明了爆破序列收敛于单相Bernoulli问题的齐次稳定解的存在性，并根据爆破极限，将$\partialΩ$分解为奇异部分和正则部分.为了估计的豪斯多夫维数的奇异集的$\partialΩ$，我们给出了一个新的提法的概念，稳定的一个阶段的问题，这是保持爆破限制，并允许开发一个降维原则。最后，结合高阶边界Harnack原理和粘性方法，证明了当数据光滑时，自由边界正则部分的$C^\infty$正则性。
On the critical one component regularity for 3-D Navier-Stokes system: general case
考虑三维均匀不可压Navier-Stokes方程的初始数据$v_0$，其涡量属于$L^{\frac 32}\cap L^2$。我们证明了如果与$v_0$相关的解在有限时间$T^\star$爆破，则对于$]4,\infty[$中的任何$p$，以及$\R^3$的任何单位向量$e$，在时间上的$L^p$范数，其值在$\dot{H}^{\frac 12+\frac 2 p }$中为$(v|e)_{\R^3}$，在$T^\star$爆破
Nonlinear parabolic stochastic evolution equations in critical spaces Part II. Blow-up criteria and instantaneous regularization
本文是该项目第一部分的继续，在第一部分中，我们发展了一个新的局部适定性理论的非线性随机偏微分方程的高斯噪声。在当前的第二部分中，我们考虑爆破准则和正则化现象。在第一部分中，我们可以允许多项式增长的非线性，以及临界空间的粗糙初始值。在第一个主要结果中，我们得到了拟和半线性随机发展方程的几个新的爆破准则。特别地，对于半线性方程，我们得到了一个Serrin型爆破准则，它将Prüss-Simonett-Wilke（2018）的最近结果推广到随机环境。爆破准则可以用来证明SPDE的整体适定性。与第一部分一样，最大正则性技术和时间权重在证明中起着核心作用。我们的第二个贡献是一个新的方法来引导Sobolev和Hölder正则性的时间和空间，它不需要光滑的初始数据。爆破准则是这些新方法的基础。此外，在应用中，bootstrap结果可以与我们的爆破准则相结合，以获得有效的方法来证明整体存在性。这给出了新的结果，即使在经典的$L^2$ -设置，我们说明了一个具体的SPDE。在未来的工作准备中，我们应用目前的文件的结果，以获得全球适定性的结果，和几个具体的SPDE的规律性。这些包括随机Navier-Stokes方程、反应扩散方程和Allen-Cahn方程。我们的设置允许把这些SPDE到一个更灵活的框架，其中需要较少的非线性限制，我们能够从临界空间处理粗糙的初始值。此外，我们将获得更高阶的正则性结果。
The Gradient Flow of the Möbius energy: $\varepsilon$-regularity and consequences
本文研究了O 'Hara在1991年提出的莫比乌斯能的梯度流。我们将展示一个基本的$\varepsilon$ -正则性结果，如果能量在一定尺度上很小，则该结果允许我们在一段时间内约束所有导数的无穷范数。这一结果使我们能够表征形成的奇点的能量集中，并允许我们构建一个爆破配置文件在一个可能的奇点。这解决了Zheng-Xu He列出的一个开放问题。排除平面曲线的爆破，我们将证明流将每个平面曲线转换为圆形。
Weak singularities of 3-D Euler equations and restricted regularity of Navier Stokes equation solutions with time dependent force terms
构造了三维不可压Euler方程的经典涡量解分支，其中对于H2中的规则数据，速度分量可以在有限时间后的某个点爆破。此外，对于H2中的数据，涡量在有限时间后会发生爆炸，并且在有限时间后的某个时空点上存在规则数据的经典解分支，这些分支会发展为弱奇性。这些时间局部解分支的构造是由时间反演的欧拉型方程的粘性扩展的粘性极限。然后，短时间（弱）奇点的初始值的局部解分支的时间反演欧拉型方程，这是通过（非时间可逆的）粘度扩展。这些解的3-D欧拉方程有一个简单的解释为不可压缩的Navier斯托克斯方程的解决方案与不定常的力项与限制的规律性或爆破的速度分量在某个点，因为时间相关的力项可以选择，使其取消不可压缩的Navier斯托克斯方程的粘度项。
Blow-Up Criteria and Weak--Strong Uniqueness for Compressible Fluid--Viscoelastic Shell Interactions
本文研究了压缩流体-粘弹性壳体相互作用系统强解的有限时间爆破准则及弱-强唯一性原理，通过高阶能量估计和Lipschitz型控制保证解的延展性。
Blow-up solutions of parabolic $p$-Laplacian inequalities on locally finite graphs
本文研究了局部有限连通加权图上带 $p$-Laplacian 算子的半线性抛物型不等式的爆破行为，推广比较原理并证明当非线性源增长率超过线性时存在爆破解。
Blow-up solutions to 3D Euler are hydrodynamically unstable
我们研究了不可压缩三维欧拉方程解的稳定性和正则性传播之间的相互作用。一个具有光滑初值的解是否能在有限时间内发展出奇异性，目前还不清楚。这篇文章解释了为什么预测这样的爆破，通过直接的数值实验，是如此困难。它描述了如何，在这样的情况下，解决方案变得不稳定的时间接近爆破时间。
Blow-up rate and local uniqueness for fractional Schrödinger equations with nearly critical growth
我们研究了非定域薛定谔方程$ (-Δ)^s u+V(x)u= u^{2_s^*-1-\varepsilon} \ \ \text{in}\ \ \mathbb{R}^N, $的基态的定量方面和浓度现象，其中$\varepsilon>0$，$s\in (0,1)$，$2^*_s:=\frac{2N}{N-2s}$，$N>4s$。我们证明了基态$u_{\varepsilon}$以下面的速率$\|u_{\varepsilon}\|_{L^\infty(\mathbb{R}^N)}\sim \varepsilon^{-\frac{N-2s}{4s}}$精确地爆炸，如$ε\rightarrow 0^+$。我们还本地化的浓度点，并在径向电位$V$的情况下，我们证明了当地的唯一性的基态序列表现出集中的行为。
Blow up criteria for the compressible Navier--Stokes equations
研究了三维可压缩Navier-斯托克斯方程的强解.本文提出了一个新的正压气体爆破判据，它是在不对物理粘性常数作任何限制的情况下，根据密度积分范数$ρ$和速度散度$\bu$来确定的。我们的爆破准则可以看作是一个基本原则的部分实现，即更高的可积性意味着有界性，然后最终的正则性。对导热气体也提出了类似的爆破准则。
Blow-up solutions to a class of nonlinear coupled Schrödinger systems with power-type-growth nonlinearities
该研究将二次增长非线性项耦合薛定谔方程组的爆破相关结果推广至p阶幂型增长情形，证明了适定性、基态解存在性，分析了全局存在与有限爆破二分性，并还原了两类特例的已知结论。
Partial regularity for minimizers of quasiconvex functionals with general growth
证明了一般增长拟凸变分局部极小解的一个部分正则性结果。主要的工具是一个改进的A-谐波近似，这应该是有趣的经典增长。
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