Metrical irrationality results related to values of the Riemann $ζ$-function
我们引入了一个单参数系列的家庭与黎曼$ζ$ -功能，并证明了这个家庭的元素的值在整数是线性无关的有理数几乎所有的参数值，几乎所有的是关于任何足够好的措施。我们也给出了类似的结果为欧拉-Mascheroni常数，$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}$和$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! +1}$。最后，对所使用的判别准则进行了专门化，给出了$ζ(k)$、Euler-Mascheroni常数和后两个级数的无理性的新判别准则。
2018-02-12 math.NT
On the Uniqueness of Ein(1) among Linear Combinations of the Euler-Mascheroni and Euler-Gompertz Constants
该研究探讨Euler-Mascheroni常数与Euler-Gompertz常数线性组合的超越性与收敛性，证明$α=1/e$是使对应Borel可和发散级数线性组合后常规收敛的唯一系数，并将该唯一性推广到Gumbel分布矩定义的广义线性组合序列。
2025-09-30 math.CA math.CV math.NT
On Euler-Kronecker constants and the generalized Brauer-Siegel conjecture
作为欧拉-马斯切罗尼常数$γ$的自然推广，Y.伊原介绍了欧拉-克罗内克常数$γ_K$附加到任何数字字段$K$。本文证明了塔数域$\mathcal{K}$中$γ_K$的某个界蕴含Tsfasman和Vlaughduppet提出的关于$\mathcal{K}$的广义Brauer-Siegel猜想.此外，我们使用已知的界限$γ_K$的分圆域，以获得一个更好的估计的零点的数量的戴德金ζ函数$ζ_K(s)$在临界带。
2019-08-08 math.NT
On finite analogues of Euler's constant
本文在有限多重zeta值的框架下引入欧拉常数的有限模拟，从正则化ζ(1)及级数表达式定义候选值，并证明其差异属于由1和对数有限模拟值张成的有理向量空间。
2025-01-23 math.NT
On Robin's inequality
设$σ(n)$表示正整数$n$的因子和函数。罗宾证明了黎曼假设成立的充要条件是不等式$σ(n) < e^γn \log \log n$对每一个正整数$n \geq 5041$成立，其中$γ$是欧拉-马斯切罗尼常数。本文建立了一类新的整数族，使Robin不等式$σ(n) < e^γn \log \log n$成立.进一步，我们建立了因子和函数的一个新的无条件上界。为此目的，我们使用切比雪夫的$\vartheta$ -函数和某些产品定义在素数的近似。
2021-10-29 math.NT
Divisors of the Euler and Carmichael functions
本文研究了Euler函数和Carmichael函数的因子分布。特别是，我们估计这些函数的值有多少次具有“密集”因子。
2008-05-08 math.NT
Divisor Problem and an Analogue of Euler's Summation Formula
用简单的初等方法，得到了除数问题余项的一个非常简单的表达式，并利用它得到了除数函数求和的Euler-Maclaurin模拟，同时得到了除数问题余项与黎曼ζ函数及其平方的近似函数方程的解之间的一个关系，其中自变量为正值.
2008-09-13 math.NT
The average number of divisors of the Euler function
Luca和Pomerance（见\cite{LP}）给出了Euler Phi函数和Carmichael Lambda函数的平均因子数的上界和下界.我们改进了下界，并提供了一个启发式的论点，这表明由\cite{LP}给出的上界确实是接近真理。
2017-02-22 math.NT
On linear forms containing the Euler constant
我们提出了含有Euler-Mascheroni和Euler-Gompertz常数的整系数的线性型。这些形式由四项递归关系定义。得到了形式及其系数的渐近性。
2009-02-28 math.CA math.NT
Explicit formulas for Euler's totient function and the number of divisors
该研究利用 Menon 关系及与 Pillai 算术函数的联系，给出 φ(n) 与 τ(n) 基于取整有限和或 gcd 的显式公式，可为算术函数新界提供工具。
2025-05-13 math.NT
Quadratic Euler-Kronecker constants in positive characteristic
本文通过Dirichlet $L$-函数对数导数研究有理全局函数域几何二次扩张上Euler-Kronecker常数的分布，利用概率模型证明其极限分布与偏差定理，并得出带CM的秩2 Drinfeld模高度的新分布结果。
2025-03-01 math.NT
Distribution mod $p$ of Euler's totient and the sum of proper divisors
本文研究了欧拉函数$ϕ(n)$与原因子和函数$s(n):=σ(n)-n$在模素数$p$的剩余类中的分布.我们证明了值$ϕ(n)$，$n\le x$，这是互质的$p$是渐近均匀分布的$p-1$互质剩余类模$p$，均匀$5 \le p \le (\log{x})^A$（与$A$固定，但任意）。我们还表明，$s(n)$的值，$n$复合，是均匀分布在所有$p$剩余类模每$p\le (\log{x})^A$。这些似乎是第一个结果，他们的同类中的模量是允许增长的$x$大幅。
2021-05-26 math.NT
Numerical computations on the zeros of the Euler double zeta-function II
研究了双ζ-函数$ζ_2(s_1,s_2)$的零因子的性质。在我们以前的论文\cite{MatSho14}中，我们研究了$s_1=s_2$的情况，但在本文中，我们考虑更一般的两个变量的情况。我们进行数值计算，以跟踪零因子的行为。我们观察到一些因子接近$s_2=0$的点，而另一些因子接近$ζ(s_2)=1$的解的点。
2019-04-12 math.NT
New proofs of some formulas of Guillera-Ser-Sondow
我们提出了对数系列的u，ln u和Euler-Mascheroni常数γ。J. Sondow指出定理4及其所有证明都是新的。所有的证明都是基本的。我们提出一些建议。
2010-01-29 math.AP math.NT
On primitive Dirichlet characters and the Riemann hypothesis
对于任何自然数$n$，令$X'_n$是本原狄利克雷特征标模$n$的集合。证明了如果黎曼假设成立，则不等式$|X'_{2n_k}|\le C_2 e^{-γ} ϕ(2n_k)/\log\log(2n_k)$对所有$k\ge 1$成立，其中$n_k$是第一个$k$素数的乘积，$γ$是欧拉-马斯切罗尼常数，$C_2$是孪生素数常数，$ϕ(n)$是欧拉函数.另一方面，如果黎曼假设是假的，那么有无穷多个$k$对同一不等式成立，也有无穷多个$k$对它不成立。
2008-06-24 math.NT
A Sequence of Nested Exponential Random Variables with Connections to Two Constants of Euler
我们研究递归生成的随机变量序列，该序列以具有参数的指数随机变量开始（即，inverse-mean）1，并继续附加指数，其每个随机参数拥有序列中先前项的分布。虽然这样的序列享有一些（有限的）适用性作为模型的参数不确定性，我们目前的兴趣主要是理论。具体来说，我们观察到，隐含的序列的分布函数表现出一个令人惊讶的连接到两个著名的数学量首先研究莱昂哈德欧拉：欧拉-Gompertz和欧拉-Mascheroni常数。通过对这个分布函数序列的一个成员的仔细分析，我们能够对这些常数有新的认识。
2023-03-29 math.NT math.PR
An Infinite Family of Apéry-like Recurrences for Euler's Constant
针对欧拉常数无理性未证、类阿佩里近似稀少的问题，研究提出含Meijer G函数的恒等式，经推广后基于Conservative Matrix Field构造生成无穷多个类阿佩里近似。
2026-10-12 cs.SC math.NT
Euler-Kronecker constants for cyclotomic fields
Euler-Mascheroni常数$γ=0.5772\dots\!$是数域$K.$的Euler-Kronecker常数$γ_K$的$K=\mathbb{Q}$例子。在本文中，我们考虑了分圆域$K_q:=\mathbb{Q}(ζ_q).$的$γ_q=γ_{K_q}$的大小。假设Elliott-Halberten猜想（EH），我们在$Q$中一致地证明了$$\frac{1}{Q}\sum_{Q<q\le 2Q} \left |γ_q - \log q\right |= o(\log Q).$$换句话说，在EH下，这些范围内的$γ_q / \log q$收敛于$1$处的一点分布。这个定理改进和推广了Ford，Luca和Moree关于素数$q.$的一个结果
2022-04-19 math.CO math.NT
Exceptional sets for compositions involving Euler's function,the divisor-sum function and Dedekind's function
Anhui Normal University（安徽师范大学）
该数论研究针对欧拉函数、除数和函数与戴德金函数的四类复合函数，推导了相关例外集的定量上界与密度为零的估计，改进了已有研究成果。
2026-09-09 math.NT
New recurrences for divisor sum functions and triangular numbers
欧拉发现了递归的除数和函数的结果，五边形数定理。基于类似的思想，并受Ewell在1977年工作的启发，我们证明了某些因子和函数与三角数的新递归性。
2022-07-12 math.NT
Conjunctions of Three "Euler Constants" in Poisson-Related Expressions
本文研究了欧拉数、欧拉-马歇罗尼常数和欧拉-贡珀茨常数在泊松相关表达式中的两次联合出现，分别涉及Hardy方程和递归条件指数分布生成的概率序列，并推广初步观察以提供更全面的结果，包括Hardy方程的扩展。
2025-07-01 math.NT math.PR
On sums involving powers of harmonic numbers
本文研究由调和数幂生成的Dirichlet级数，推导相关级数并分析其解析性质与渐近行为，进而揭示其与Euler-Mascheroni常数无理性证明之间的可能联系。
2025-07-03 math.NT
The Median Largest Prime Factor
令$M(x)$表示区间$[1,x]$中整数的中值最大素因子。我们证明了$$M(x)=x^{\frac{1}{\sqrt{e}}\exp(-\text{li}_{f}(x)/x)}+O_ε(x^{\frac{1}{\sqrt{e}}}e^{-c(\log x)^{3/5-ε}})$$，其中$\text{li}_{f}(x)=\int_{2}^{x}\frac{\{x/t\}}{\log t}dt$。由此，我们得到渐近的$$M(x)=e^{\frac{γ-1}{\sqrt{e}}}x^{\frac{1}{\sqrt{e}}}(1+O(\frac{1}{\log x})),$$，其中$γ$是欧拉-马斯切罗尼常数。这回答了Martin提出的一个问题，改进了Selfridge和Wunderlich的一个结果。
2013-03-12 math.NT
The number of prime factors of integers with dense divisors
我们证明了，对于整数$n$，其连续因子的比率以上有界的任意常数，素因子的数量的正常顺序是$C \log \log n$，其中$C=(1-e^{-γ})^{-1} = 2.280...$和$γ$是欧拉常数。我们探讨了几个应用程序，并解决了Margenstern关于实际数的猜想。
2021-11-11 math.NT
A demonstration of a theorem on the order observed in the sums of divisors
欧拉的《Demonstratio theoretical circa ordinem in summis divisorum observatum》（1760）。Enestroem指数中的E244。在他以前的论文E243中，欧拉陈述了五边形数定理，并假设它证明了因子函数和的递归关系。在E244中，欧拉证明了五边形定理，然后重复了递归的证明。在命题1中，欧拉证明了$\prod_{n=1}^\infty (1-a_n)=1-\sum_{n=1}^\infty a_n(1-a_1)...(1-a_{n-1})$。在命题2中，他明确地陈述了$a_n=x^n$的情况。然后在命题3中，欧拉应用命题2，然后收集项：每次从序列$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$中留下两项。这是详细解释在一份文件中，我的工作约欧拉的工作，五边形数定理。
2009-07-30 math.HO math.NT
On Dirichlet Products Evaluated at Fibonacci Numbers
在这项工作中，我们讨论Dirichlet产品评估斐波那契数。作为这些结果的初步应用，我们得到了斐波那契数的欧拉函数表示，本原素除子个数的上界以及一些相关的欧拉积的表示.此外，我们还对Fibonacci数的所有本原因子上的函数求和，得到了这种运算的一个非平凡的不动点。
2016-06-06 math.NT
The Nicolas and Robin inequalities with sums of two squares
1984年，G. Robin证明了Riemann假设成立的充要条件是Robin不等式$σ(n)<e^γn\log\log n$对每个整数$n>5040$成立，其中$σ(n)$是约数和函数，$γ$是Euler-Mascheroni常数。我们展示了广泛的一类子集$\cS$的自然数，使罗宾不等式成立，但许多$n\in\cS$。作为一种特殊情况，我们确定了不满足Robin不等式的$n=a^2+b^2$形式的100多个数.事实上，我们用Nicolas不等式$n/ϕ(n)<e^γ\log \log n$证明了我们的断言;由于$σ(n)/n<n/ϕ(n)$对$n>1$，我们对Robin不等式的结果立刻就得到了。
2007-10-12 math.NT
Prime number decomposition of the Fourier transform of a function of the greatest common divisor
最大公因数的离散傅里叶变换是一个乘性函数，如果相对于单位的原根的相同阶进行，这是众所周知的事实。因此，变换可以表示为自变量的素因子，本文证明了其显式形式。随后，它示出了如何可以推广到离散傅里叶变换的函数的最大公因数的过程。从这个表示中，建立了关于欧拉函数及其推广的一些有趣的关系。
2014-10-08 math.NT
Theorems about the divisors of numbers contained in the form $paa \pm qbb$
欧拉陈述了aa+Nbb形式的数的素除子的形式，但没有证明。参见Ed Sandifer的How Euler Did It，``Factors of Forms '，2005年12月，http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html上的论文摘要。
2006-06-02 math.HO math.NT
An observation on the sums of divisors
从欧拉的“观察summis divisorum”（1752年）的拉丁文翻译。Enestroem指数中的E243。五边形数定理是$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$。本文假定了五角数定理，并利用它证明了因子函数和的一个递推关系。“五边形数”一词来源于多边形数。欧拉求两边的对数导数。然后将两边乘以$-x$后，左边等于$\sum_{n=1}^\infty σ(n) x^n$，其中$σ(n)$是$n$的约数之和，例如$σ(6)=12$。这就产生了$σ(n)$的递归关系。我一直在详细研究所有欧拉的工作五边形数定理，更普遍的无穷乘积。我特别有兴趣看看是否还有其他人在欧拉和雅可比之间研究过类似的产品和系列，我很乐意听到任何对此有所了解的人的声音。
2009-07-18 math.HO math.NT
Maximal order for divisor functions and zeros of the Riemann zeta-function
本文将黎曼ζ函数的无零点区域与除数幂和函数的极大阶关联，给出了用除数的1/2次幂和函数及黎曼ζ函数部分欧拉乘积表示的黎曼假设等价条件。
2024-11-28 math.NT
The Abundancy Index of Divisors of Odd Perfect Numbers
如果$N = {q^k}{n^2}$是一个奇完满数，其中$q$是欧拉素数，那么我们证明了$n < q$对于Sorli猜想$k = ν_{q}(N) = 1$成立是充分的.我们还证明了$q^k < 2/3{n^2}$和$I(q^k) < I(n)$，其中$I(x)$是$x$的抽象指数。
2012-08-03 math.NT
On a Curious Biconditional Involving Divisors of Odd Perfect Numbers
我们研究了一个奇怪的涉及奇数完满数的因子的双连通性的含义，如果Dris猜想$q^k < n$成立，其中$q^k n^2$是一个具有欧拉素数$q$的奇数完全数.然后，我们表明，这双连续性无条件地举行。最后证明了不等式$q<n$无条件成立.
2017-08-25 math.NT
Stirling-Ramanujan constants are exponential periods
Instituto de Matemática Interdisciplinar and Departamento de Álgebra, Geometría y Topología, Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）；CNRS, IMJ-PRG, Université Paris Cité（巴黎西岱大学）
研究斯特林 - 拉马努金常数，通过找到其在\(\mathbb{Q}(t,e^{-t})\)域中作为指数周期的自然积分表示，揭示其超代数性质，给出新积分公式，还可推广证明其他常数是该域上的指数周期。
2026-07-21 math-ph math.CA math.CV
A boundary example for the Volterra decomposition of arithmetic error terms
National Institute of Technology, Gunma College（群马国立高等专门学校）
研究sigma_1(n)求和函数相关的解析部分，并在黎曼猜想下给出显式上界。
2026-11-04 math.NT
Arithmetic Functions of Balancing Numbers
研究了两个涉及欧拉函数与平衡数因子的$k$次幂和的不等式.
2018-03-14 math.NT
The Non-Euler Part of a Spoof Odd Perfect Number is Not Almost Perfect
如果$n$是奇数，则称$n$为欺骗奇数完满数，如果$n$是奇数，则称$n=km$为两个整数$k,m>1$，使得$σ(k)(m+1)=2n$，其中$σ$是除数和函数。在本文中，我们将展示如何建立类似于奇完满数的结果，欺骗奇完满数（在文献中称为笛卡尔数）。特别地，我们证明了$k$不是几乎完美的。
2017-08-25 math.NT
Expression of Farhi's integral in terms of known mathematical constants
本文证明了 Farhi 积分 $\eta=2\int_0^1\log\Gamma(x)\sin(2\pi x)dx$ 等于 $(\gamma+\log(2\pi))/\pi$，其中 $\gamma$ 为欧拉-马歇罗尼常数，并给出两种证明方法。
2024-11-07 math.NT
Shifted Euler constants and a generalization of Euler-Stieltjes constants
本文的目的是双重的。首先，我们引入了常数$ζ_k(α,r,q)$，其中$α\in (0,1)$，并沿着Briggs，Dilcher，Knopfmacher，Lehmer和其他一些作者对等差数列$γ(r,q)$中欧拉常数所做的工作的路线来研究它们。这些常数用于计算具有同余条件的Dirichlet除数问题的某些含误差项的积分，并给出了一类Dirichlet L-级数在任意实临界点的值的封闭形式表达式.在本文的后半部分，我们考虑的Laurent Stieltjes常数$γ_k(χ)$的主要特征$χ.$的行为特别是，我们研究了“广义欧拉常数“的推广钻石和福特在2008年推出。最后，我们给出了Blagouchine在2015年给出的第一个广义Stieltjes常数$γ_1(r/q)$的封闭形式表达式的简短证明。
2019-07-11 math.NT
On the Reciprocal of the Binary Generating Function for the Sum of Divisors
如果\(A \)是一组包含\(0 \)的自然数，则存在一个唯一的非空的自然数“倒数”集合\(B \)（包含\(0 \)），使得每个正整数都可以写成\(a + b \)的形式，其中\(a \in A \)和\(b \in B \)以偶数种方式表示。此外，\(A \)和\(B \) over \(\FF_2 \)的生成函数在\(\FF_2 [[q]] \)中是倒数。我们考虑包含\(0 \)和所有整数使得\(σ(n) \)是奇数的集合\(A \)的倒数集合\(B \)，其中\(σ(n) \)是\(n \)的所有正因子之和。这个问题是由欧拉的“五边形数定理”激发的，其推论是自然数集合\(n \)使得整数\(n \)的分区数\(p(n) \)是奇数是广义五边形数集合（形式为\(k(3k\pm1)/2 \)的整数，其中\(k \)是自然数）的倒数。Parkin和Shanks在1967年提出的一个旧猜想是，整数\(n \)的密度使得\(p(n) \)是奇数（等价地，偶数）是\(1/2 \)。欧拉还发现\(σ(n) \)满足与五边形数定理给出的几乎相同的递归，因此我们希望通过计算包含\(σ(n) \)为奇数的自然数（按照惯例为\(σ(0)=1 \)）的集合的倒数的密度来阐明帕金-香克斯猜想。我们推测这个特定的密度是\(1/32 \)，并证明它位于\(0 \)和\(1/16 \)之间。最后，我们在某…
2014-09-09 math.NT
Monotone non-decreasing sequences of the Euler totient function
本文研究使 Euler 函数非递减的最大子集规模，证明其渐近等于 $π(x)$，并对除数和函数得到类似结论。
2024-04-06 math.NT
The number of preimages of iterates of $ϕ$ and $σ$
本文将 Euler 函数 $ϕ$ 和 $σ$ 原像数量的渐近上界扩展至其迭代情形，并借此证明了 Konick 和 Katai 论文中的相关猜想及推论。
2024-01-08 math.NT
On some mean value results for the zeta-function and a divisor problem II
设$d(n)$为$n$的约数，$γ$为欧拉常数，$$ Δ(x) := \sum_{n\le x}d(n) - x(\log x + 2γ-1) $$为经典Dirichlet除数问题中的误差项，$ζ(s)$为Riemann zeta函数.它表明，$$ \int_0^TΔ(t)|ζ(1/2+it)|^2\,dt \ll T(\log T)^{4}. $$进一步，如果$2\le k\le 8$是一个固定的整数，那么我们证明了渐近公式$$ \int_1^{T}Δ^{k}(t)|ζ(1/2+it)|^2\,dt=c_1(k)T^{1+\frac k4}\log T+ c_2(k)T^{1+\frac k4}+O_\varepsilon(T^{1+\frac k4-η_k+\varepsilon}), $$其中$c_1(k)$和$c_2(k)$是显式常数，和其中$$η_2= 3/20, η_3= η_4=1/10,\ η_5=3/80,\ η_6=35/4742,\ η_7=17/6312,\ η_8=8/9433.$$的结果取决于$Δ(t)$和$E(T)$的幂矩，经典的误差项中的渐近公式的均方$|ζ(1/2+it)|$。
2015-02-11 math.NT
Quelques inégalités effectives entre des fonctions arithmétiques usuelles
让我们用$τ(n)$和$\si(n)$表示$n$的约数和约数之和，用$\vfi$欧拉函数表示。我们给出了$\frac{n}{\vfi(n)}$和$\frac{\si(n)}{n}$分别用$\vfi(n)$和$τ(n)$表示的有效上界.
2008-03-07 math.NT
Odd Multiperfect Numbers
如果为$σ(n)=kn$，则自然数$n$称为{ \it多完美}或{ \it $k$ -完美}，其中$σ(n)$是$k\ge2$的正约数之和。本文建立了类似于欧拉关于奇完满数的定理的奇多完满数的结构定理。证明了奇多完全数的欧拉部分的整除性，并刻画了奇完满数$n=π^αM^2$的形式，使得$π\equivα(\text{mod}8)$ .作为应用，我们还举例说明了奇完满数的不存在性。
2011-02-22 math.NT
The distribution of $\gcd(n,ϕ(n))$
本文研究 $\gcd(n,\phi(n))$ 及其因子的分布，推广了 Erdős 和 Pollack 的先前结果。
2025-01-23 math.NT
On the representation of number-theoretic functions by arithmetic terms
本文提出了数论中多个基本函数（如p进赋值、除数函数、欧拉函数等）的闭式表达式，这些表达式仅用初等运算表示，且为首次发现。
2024-07-17 math.NT
Numbers of the form $kf(k)$
对于函数$f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$，定义$N^{\times}_{f}(x)=\#\{n\leq x: n=kf(k) \mbox{ for some $ k $} \}$。设$τ(n)=\sum_{d|n}1$为除数函数，$ω(n)=\sum_{p|n}1$为素除数函数，$φ(n)=\#\{1\leq k\leq n: (k,n)=1 \}$为欧拉函数。我们证明了\begin{gather*} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 1) \quad N^{\times}_τ(x) \asymp \frac{x}{(\log x)^{1/2}}; \\ 2) \quad N^{\times}_ω(x) = (1+o(1))\frac{x}{\log\log x}; \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\! 3) \quad N^{\times}_φ(x) = (c_0+o(1))x^{1/2}, \end{gather*}，其中$c_0=1.365...$ \，.
2022-09-30 math.NT
Some Diophantine equations involving arithmetic functions and Bhargava factorials
本文将 Luca 关于阶乘与 Euler 函数、除数和及除数计数函数的丢番图方程有限解结论，推广到多阶乘乘积和除数 k 次幂和函数，并扩展至 Bhargava 阶乘。
2024-07-04 math.NT
Class number and regulator computation in cubic function fields
给出了大基域上三次函数域的除子类数和调节子的计算结果。基本的方法是基于近似的欧拉积表示的zeta函数的这样一个字段。我们给出的签名$(3,1)$和$(1, 1; 1, 2)$，操作在理想类群和基础设施的功能领域，分别为纯立方函数字段的实现细节。我们的实现提供了数值证据，该算法的计算效率。除了特殊情况（例如由超椭圆曲线定义的纯三次函数域）之外，提供的示例是针对大素域上的三次函数域计算的最大约数类数和调节器。类数算法优化的基本思想可以反过来用于分析函数域的zeta函数的零点分布。我们提供了各种数据的除数类数的一定的分布，验证Katz和Sarnak的zeta函数的零点的分布上的统计学。
2016-01-13 math.NT
Euler and the pentagonal number theorem
``在本文中，我们给历史的莱昂哈德欧拉的工作对五边形数定理，和他的应用五边形数定理的除数函数，分拆函数和发散级数。我们试图给一个详尽的审查所有欧拉的信件和出版物的五边形数定理和他的应用。本文详尽地总结了欧拉关于五边形数定理的工作。我已经通过了所有欧拉的出版信件（除了杜莫佩屠斯和弗雷德里克二世）和他的论文，以找到每次他讨论的五边形数定理或应用。我已经翻译了拉丁美洲的许多部分，他的信件和论文，是不是在英语，也部分在法国和德国与博士保罗Mezo和基督教Leger。
2006-08-17 math.HO math.NT
Tweaking the Beukers Integrals In Search of More Miraculous Irrationality Proofs A La Apery
只有0次方的有理数，而有2次方的0次方的实数。因此，随机选择的实数是有理数的概率为0。然而，严格证明任何特定的、自然的、真实的常数是非理性的，通常是非常困难的，我们可以看到，仍然没有证据证明欧拉-马斯凯罗尼常数、加泰罗尼亚常数或泽塔常数是非理性的。受Frits Beukers对Aesthetan关于Zeta（2）和Zeta（3）的非理性的开创性证明的优雅演绎的启发，并大量使用算法证明论，我们系统地搜索了其他类似的积分，导致了非理性证明。我们发现了相当多的候选证明，包括Pi的平方根乘以Gamma（7/3）/Gamma（-1/6）和Gamma（19/6）/Gamma（8/3）除以Pi的平方根。
2021-01-20 math.CO math.NT
Inequalities for Taylor series involving the divisor function
设$$ T(q)=\sum_{k=1}^\infty d(k) q^k, \quad |q|<1, $$，其中$d(k)$表示自然数$k$的正约数。我们提出的单调性定义的$T$方面的功能。更具体地说，我们证明了$$ H(q) := T(q)- \frac{\log(1-q)}{\log(q)} $$在$ (0,1) $中严格递增，而$$ F(q) := \frac{1-q}{q} \,H(q) $$在$ (0,1) $中严格递减。然后应用这些结果得到各种不等式，其中之一指出双重不等式$$ α\,\frac{q}{1-q}+\frac{\log(1-q)}{\log(q)} < T(q)< β\,\frac{q}{1-q}+\frac{\log(1-q)}{\log(q)}, \quad 0<q<1, $$与最佳可能常数因子$α=γ$和$β=1$成立。这里，$γ$表示欧拉常数。这改进了Salem用$α=1/2$和$β=1$证明不等式的一个结果.
2020-10-10 math.CA math.NT
On the Algebraic Independence of a Set of Generalized Constants
针对欧拉-马歇罗尼常数等广义序列对，证明集合{γ^(n)+δ^(n)/e}_{n≥0}的代数无关性，推导得相关数的超越性及多组序列对的析取超越性，解决广义常数的代数性质问题。
2025-08-23 math.CA math.CV math.NT
