斯特林 - 拉马努金常数是指数周期
Stirling-Ramanujan constants are exponential periods
AI总结：
研究斯特林 - 拉马努金常数，通过找到其在\(\mathbb{Q}(t,e^{-t})\)域中作为指数周期的自然积分表示，揭示其超代数性质，给出新积分公式，还可推广证明其他常数是该域上的指数周期。
摘要：
拉马努金研究了一类斯特林常数，它们是一些自然发散级数的重求和，包括经典的欧拉 - 马歇罗尼、斯特林和格莱斯希尔 - 金克林常数。我们找到了这些常数在\(\mathbb{Q}(t,e^{-t})\)域中作为指数周期的自然积分表示，揭示了它们的自然超代数性质。我们猜想这些常数都是超越数。文中给出了格莱斯希尔 - 金克林常数及更高阶斯特林 - 拉马努金常数的新积分公式，该方法可推广证明许多其他常数是\(\mathbb{Q}(t,e^{-t})\)域上的指数周期。
英文摘要：
Ramanujan studied a general class of Stirling constants that are the resummation of some natural divergent series. These constants include the classical Euler-Mascheroni, Stirling and Glaisher-Kinkelin constants. We find natural integral representations for all these constants that appear as exponential periods in the field $\mathbb Q (t,e^{-t})$ which reveals their natural transalgebraic nature. We conjecture that all these constants are transcendental numbers. Euler-Mascheroni's and Stirling's integral formula are classical, but the integral formula for Glaisher-Kinkelin appears to be new, as well as the integral formulas for the higher Stirling-Ramanujan constants. The method presented generalizes naturally to prove that many other constants are exponential periods over the field $\mathbb Q(t,e^{-t})$.
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