A Note on Degenerate Multi-poly-Bernoulli numbers and polynomials
本文考虑了退化的多重多Bernoulli数和多项式，它们是由多重多Bernoulli数和多项式的多重多项式和退化形式定义的.我们研究了这些数和多项式的一些性质。此外，我们还给出了退化多重多Bernoulli数和多项式的一些恒等式和关系式。
2020-05-15 math.NT
Representations of degenerate poly-Bernoulli polynomials
众所周知，多伯努利多项式是根据多对数函数定义的。近年来，作为这类函数和多项式的退化形式，引入了退化多对数函数，利用退化多对数函数定义了退化多伯努利多项式，并研究了它们的一些性质.本文利用最近发展起来的投影演算中的三个公式，进一步研究了退化多伯努利多项式的一些性质。更详细地说，除其他事项外，我们表示的退化多伯努利多项式的高阶退化伯努利多项式和高阶退化错位多项式。
2020-12-11 math.NT
Representing polynomials by degenerate Bernoulli polynomials
本文考虑用退化的伯努利多项式和更一般的高阶退化的伯努利多项式表示任何多项式的问题。我们推导出显式公式与阴影演算的帮助下，并说明我们的结果与一些例子。
2021-08-11 math.NT
Symmetric identities of higher-order degenerate q-Bernoulli polynomials
本文给出了由Zp上的p-adic q-积分导出的高阶退化q-伯努利多项式的对称恒等式.
2016-08-17 math.NT
Some identities of Carlitz degenerate Bernoulli numbers and polynomials
本文研究了Carlitz退化Bernoulli数和多项式，给出了与之相关的一些公式和恒等式。
2015-06-13 math.NT
Some identities for degenerate Bernoulli numbers of the second kind
我们引入退化的第二类伯努利数作为第二类伯努利数的退化版本。我们推导出一族非线性微分方程，满足一个函数密切相关的生成函数，这些号码。我们得到了这些微分方程中的系数和第二类退化伯努利数的显式表达式。此外，作为应用，从这些微分方程中，我们得到了一个恒等式，该恒等式用高阶数表示第二类退化伯努利数。
2018-04-26 math.NT
Generalized degenerate Bernoulli numbers and polynomials arising from Gauss hypergeometric function
在以前的论文中，Rahmani通过高斯超几何函数引入了一个新的p-Bernoulli数和多项式族。受本文的启发，利用Gauss超几何函数再次引入了广义退化Bernoulli数和多项式，作为这些数和多项式的退化形式.此外，我们还引入了退化型欧拉数作为欧拉数的退化形式。对于广义退化Bernoulli数，我们用退化第二类Stirling数、退化型Eulerian数、退化第二类$p$ -Stirling数和单位区间上的积分表示.对于广义退化的伯努利多项式，我们用退化的第二类Stirling多项式表示。
2021-01-06 math.NT
Some applications of degenerate poly-Bernoulli numbers and polynomials
本文考虑Zp上退化的多伯努利数和多项式与多对数函数和p-adic不变积分的关系。利用Umbral演算，我们得到了这些数和多项式的一些恒等式
2015-06-10 math.NT
Some identities of type 2 Degenerate Bernoulli polynomials of the second kind
近年来，许多数学家研究了一些特殊多项式的各种退化形式，并发现了许多有趣的结果。本文引入了第二类2型退化伯努利多项式及其高阶类似多项式，并研究了这类多项式的一些恒等式和表达式.特别地，我们得到了第二类退化伯努利多项式与第二类退化伯努利多项式之间的一个关系，以及这些多项式的高阶模拟与第二类退化stirling数之间的一个恒等式，和表达式的高阶类似物的那些多项式在较高的-二阶二型退化伯努利多项式和第一类退化Stirling数。
2019-08-19 math.NT
On type 2 degenerate Bernoulli and Euler polynomials of complex variable
最近Masjed-Jamei-Beyki-Koepf在没有利用复变数的欧拉多项式的情况下，研究了所谓的新型欧拉多项式。本文研究了这些新型欧拉多项式的退化形式和2型形式，即2型退化余弦欧拉多项式和2型退化正弦欧拉多项式，以及相应的伯努利多项式，即2型退化余弦伯努利和2型退化正弦，本文通过对复变数的退化欧拉多项式和退化伯努利多项式的研究，并将其实部和虚部分开处理，得到了一个新的伯努利多项式。我们得到了这些新多项式的显式表达式和与之相关的恒等式。在这里，我们注意到，分离实部和虚部的想法分别给出了一个肯定的回答问题所提出的Belbachir。
2019-08-29 math.NT
Degenerate Fubini-type polynomials associated with degenerate Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials of order α
本文通过引入退化的Fubini型多项式，利用Faà di Bruno公式和Bell多项式的一些性质以及母函数方法，给出了几个关系式.此外，我们还得到了Fubini型多项式和数的一些新的显式公式和递推关系。将新定义的退化Fubini型多项式与退化伯努利多项式和退化α阶Apostol-欧拉多项式联系起来，给出了一些退化特殊多项式和数的附加关系.
2021-04-18 math.NT
Degenerate Algorithms for degenerate Bernoulli and Euler numbers
Kwangwoon University（光云大学）；Sogang University（西江大学）
本文提出退化A和B算法，通过引入参数lambda推导出退化伯努利和欧拉数的显式公式，并建立生成函数之间的关系。
2026-01-01 math.NT
An Algebraic Approach to Degenerate Bernoulli Numbers
本文研究了退化伯努利多项式$\tildeβ_{k}(m,x)$的一个新的代数变体的性质，并研究了相应的退化Bernoulli数$\tildeβ_{k}(m,1)=m^{k}β_{k}(1/m)$，其中$β_{k}(λ), λ\neq 0$是标准退化Bernoulli数.我们的方法依赖于一个新的代数生成函数的框架和行动的象征性评价功能的权力多项式。我们发现，$\tildeβ_{k}(m,x)$显示令人惊讶的联系与其他数学对象（如循环矩阵和伽罗瓦域），并享有许多有趣的代数，对称和动力学性质，可以部署执行有效的计算。
2021-10-27 math.NT
A study of degenerate Bernoulli and Euler numbers via operators
Kwangwoon University（光云大学）；Sogang University（西江大学）
本文引入新型算子类，推导退化欧拉数与2型退化欧拉数的显式表达式，建立退化伯努利数与退化欧拉数的关系，为特殊数研究提供新方法。
2026-08-14 math.NT
Some identities of symmetry for the degenerate q-Bernoulli polynomials under symmetry group of degree n
最近，Kim-Kim在n次对称群下给出了q-伯努利多项式的一些有趣的对称性恒等式.本文研究了退化的q-欧拉多项式，得到了由Zp上的p进q-积分引起的这类多项式的对称性的一些恒等式.
2016-08-01 math.NT
Degenerate Euler- Seidel Method for degenerate Bernoulli, Euler, and Genocchi polynomials
Kwangwoon University（光云大学）；Sogang University（西江大学）；Yeungnam University（岭南大学）
本文提出退化欧拉-塞德尔方法，用于推导退化伯努利、欧拉和戈尼奇多项式的新的组合恒等式。
2025-12-23 math.NT
Some identities of special numbers and polynomials arising from p$-adic integrals on Zp
近年来，研究各种特殊多项式和数的退化形式吸引了许多数学家。本文介绍了退化的第二型伯努利多项式、完全退化的第二型伯努利多项式和退化的第二型欧拉多项式及其相应的数，作为伯努利数和欧拉数的退化和第二型版本.对于这些多项式和数，我们利用伯努利多项式得到了第一个$m$正整数的幂的伯努利解释的一些恒等式、分布关系、Witt型公式和类似公式.本研究是利用玻色子和费米子$p$ -进积分在$\mathbb{Z}_p$上进行的.
2019-03-11 math.NT
Degenerate Sheffer-type polynomials and degenerate Sheffer polynomials associated with a random variable
本文研究退化Sheffer型多项式并引入与随机变量Y相关联的退化Sheffer多项式，推导其性质，同时给出高阶退化Bernoulli与Euler多项式的新结果。
2025-07-27 math.NT
Representations by probabilistic Bernoulli and degenerate Bernoulli polynomials
Sogang University（西江大学）；Kwangwoon University（光云大学）
本文利用概率伯努利和退化伯努利多项式表示任意多项式，借助阴影演算给出显式公式，并针对离散和连续随机变量展示结果。
2025-10-24 math.NT math.PR
Degenerate Bernstein Polynomials
本文考虑退化的伯恩斯坦多项式作为伯恩斯坦多项式的退化形式，这是由Simsek最近的工作“多维伯恩斯坦多项式的统一生成函数及其应用”（[15，16]）和Carlitz的退化伯努利多项式所激发的.得到了它们的生成函数、对称恒等式、递推关系以及它们与广义落阶乘多项式、高阶退化伯努利多项式和第二类退化Stirling数的关系.
2018-06-17 math.NT
New degenerated polynomials arising from non-classical Umbral Calculus
本文介绍了基于Carlitz-Tsallis退化指数函数的Bernoulli、Euler和Genocchi多项式和数的新的推广以及与之相关的Umbral演算的概念，并给出了这类Bernoulli、Euler和Genocchi多项式之间的一些常见恒等式和联系的推广.此外，我们建立了一个新的类似的欧拉恒等式的退化伯努利数。
2018-11-06 math.CO math.NT
Explicit formula for even-index Bernoulli numbers
伯努利数通常用其较低的指数来表示（递归）。本文给出了偶数指数Bernoulli数的一个显式公式。这个公式包含了一系列引人注目的行列式。
2005-03-08 math.NT
On Some Explicit Formulas for Bernoulli Numbers and Polynomials
给出了Bernoulli数和伯努利多项式的几种显式的直接初等证明。作为我们的证明方法的副产品，我们提供了自然的定义广义伯努利数和多项式的复杂顺序。
2012-05-03 math.NT
A Series transformation formula and related degenerate polynomials
最近，Bovadzhiev研究了系数为二项式的幂级数，推广了一些涉及经典特殊函数和多项式的已知公式。本文的目的是采用他的思想来表示涉及“退化形式幂级数“的几个恒等式，包括退化第二类Stirling数、退化Bell多项式、退化Fubini多项式和退化多伯努利多项式.
2021-12-16 math.NT
Representations of degenerate Hermite polynomials
我们引入退化埃尔米特多项式作为普通埃尔米特多项式的退化版本。然后，除其他事项外，通过使用关于将一个Bernarda-Sheffer多项式表示为其他Bernarda-Sheffer多项式的公式，我们将退化的Hermite多项式表示为高阶退化的Bernoulli、Euler和Frobenius-欧拉多项式，反之亦然。
2020-10-28 math.NT
A closed formula for the generating function of p-Bernoulli numbers
本文利用几何多项式得到了p-Bernoulli数的一个生成函数。作为这个生成函数的结果，我们导出了包含第二类Stirling数的Bernoulli数和调和数的有限和的闭公式。
2017-02-20 math.NT
Some identities related to degenerate r-Bell and degenerate Fubini polynomials
从Carlitz提出的退化Bernoulli多项式和退化欧拉多项式开始，近年来人们对一些特殊多项式和数的退化形式进行了大量的探索。本文研究了退化r-Bell多项式、二元退化Fubini多项式和第二类退化r-Stirling数的一些性质、递推关系和恒等式.
2022-12-10 math.NT
Degenerate Daehee polynomials of the second kind
本文考虑了与以前介绍的Daehee数和多项式不同的第二类退化Daehee数和多项式。我们研究了这些数和多项式的一些性质。此外，我们还给出了第二类Daehee多项式与Carlitz退化伯努利多项式之间的一些新的恒等式和关系.
2017-07-29 math.NT
Some identities on degenerate hyperbolic functions arising from $p$-adic integrals on $\mathbb{Z}_p$
本文的目的是引入几种退化的双曲函数作为双曲函数的退化形式，计算退化双曲余弦函数和退化双曲正弦函数的Volkenborn积分和费米子$p$ -adic积分，并由此导出退化Bernoulli数、退化欧拉数和第一类Cauchy数的一些恒等式.
2023-03-04 math.NT
Generalized Bernoulli numbers and a formula of Lucas
E.利用生成函数证明了广义Bernoulli数的Lucas定理。然后，这是用来提供一个新的证明和一个新的形式的总和涉及经典伯努利数研究K。迪尔彻这个和的值然后在Meixner-Pollaczek多项式方面给出。
2014-02-12 math.NT
Closed formulas and determinantal expressions for higher-order Bernoulli and Euler polynomials in terms of Stirling numbers
本文利用Faà di Bruno公式和Bell多项式的一些性质，给出了高阶Bernoulli多项式和欧拉多项式的几个包含第二类Stirling数的闭公式和行列式表达式.
2020-05-08 math.NT
On a duality formula for certain sums of values of poly-Bernoulli polynomials and its application
证明了多伯努利多项式的某些值和的对偶公式，推广了多伯努利数的对偶。我们首先计算两种类型的生成函数的这些总和，从对偶公式是显而易见的。其次，从我们以前对Arakawa-Kaneko型zeta函数的研究出发，给出了对偶性的一个解析证明。作为应用，我们给出了一个公式，将poly-Bernoulli数与Genocchi数联系起来。
2016-04-03 math.NT
A finite sum involving generalized falling factorial polynomials and degenerate Eulerian polynomials
该文致力于研究两个问题.首先，我们研究了广义降阶乘多项式的有限和，在某些特殊情况下，我们用退化的第二类Stirling数、退化的伯努利多项式和退化的Frobenius-欧拉多项式来表示它。其次，我们考虑了退化的欧拉多项式，推导了它们的母函数和递推关系。
2021-12-21 math.NT
Recurrence formulas with gaps for Bernoulli and Euler polynomials
令$\{B_n\}$、$\{B_n(x)\}$和$\{E_n(x)\}$分别为伯努利数、伯努利多项式和欧拉多项式。本文主要建立了$m=2,3,4$情形下的$\sum_{6\mid k-3}\binom nkB_{n-k}(x)$、$\sum_{6\mid k}\binom nkE_{n-k}(x)$和$\sum_{6\mid k-3}\binom nkm^kB_{n-k}$的计算公式。
2014-03-03 math.NT
Multi-indexed poly-Bernoulli numbers
作为poly-Bernoulli数的性质，建立了一些公式，如对偶公式、第二类Stirling数的显式公式和负上指标的周期性.对于Kaneko-Tsumura推广的多指标多Bernoulli数，在这些性质中，仅得到了对偶公式。本文对双指标poly-Bernoulli数进行了限制，并利用第二类Stirling数和负上指标的周期性给出了双指标poly-Bernoulli数的显式表达式。进一步，利用多指标多项式的星型形式定义了多指标poly-Bernoulli数的变体，并得到了这类双指标poly-Bernoulli数和三指标poly-Bernoulli数与多指标poly-Bernoulli数的关系.
2022-11-26 math.NT
Some identities of degeenrate ordered Bell polynomials and numbers arising from umbral calculus
本文从Carlitz退化Bernoulli多项式和欧拉多项式的观点出发，研究退化有序Bell多项式，并利用投影演算导出了退化有序Bell多项式与特殊多项式相联系的一些性质和新的恒等式.
2017-04-24 math.NT
An Explicit Formula for Restricted Partition Function through Bernoulli Polynomials
导出了正整数${\bf d}^m = \{d_1, d_2, ..., d_m\}$的限制分拆函数$W(s,{\bf d}^m)$及其准周期分量$W_j(s,{\bf d}^m)$（Sylvester波）的显式表达式.这些公式表示为高阶周期系数伯努利多项式的有限和形式。
2004-06-30 math.NT
A note on degenerate Bell numbers and polynomials
近年来，一些作者研究了退化的Bernoulli多项式和欧拉多项式，并给出了它们的一些有趣的恒等式。本文研究了退化Bell数和多项式，并结合一些特殊的数和多项式，给出了这些数和多项式的一些新的恒等式。此外，我们还研究了利用复合性概念导出的退化Bell多项式的一些性质。通过我们的研究，给出了退化Bell多项式与特殊多项式之间的一些新的关系。
2015-07-08 math.NT
Bernoulli and Faulhaber
在最近的工作中，Zielinski使用Faulhaber公式来解释为什么奇数伯努利数等于零。在这里，我们假设奇数伯努利数等于零来解释Faulhaber公式。
2022-04-11 math.NT
New results on p-Bernoulli numbers
我们认识到几何多项式和p-伯努利多项式与数都与一个整表示密切相关.因此，利用几何多项式，我们将伯努利多项式和数的一些性质，如递推关系、伸缩公式和Raabe公式推广到p-伯努利多项式和数.在这些结果的特殊情况下，我们建立了伯努利多项式和数的一些新结果.此外，我们评估的Faulhaber型求和的p-伯努利多项式。
2017-02-20 math.NT
Degenerate polyexponential functions and degenerate Bell polynomials
近年来，Carlitz在研究退化的Bernoulli多项式和欧拉多项式时，对一些特殊多项式的退化形式的研究，重新引起了学术界的兴趣。本文作为Hardy引入的多指数函数的一种退化形式，研究了退化多指数函数，得到了退化多指数函数的各种性质。此外，我们还引入了新的退化Bell多项式，它不同于以往研究的部分退化Bell多项式，而是在最近的退化零截尾Poisson随机变量的研究中自然产生的，并推导了它们的一些性质.此外，我们还得到了多指数函数与新型退化Bell多项式之间的一些恒等式。
2020-02-07 math.NT
Explicit formula for multi-indexed poly-Bernoulli numbers
本文推导了多索引多项式伯努利数的显式公式，并给出了其对偶性质的另一种证明方法。
2026-03-16 math.NT
Non-recursive expressions for even-index Bernoulli numbers: A remarkable sequence of determinants
伯努利数通常用其较低的指数来表示（递归）。本文给出了偶数指数Bernoulli数的显式公式。这些公式包含了一系列显著的行列式。这些决定因素的价值为可变尺寸的调查。
2005-05-20 math.NT
On the integral of the product of four and more Bernoulli polynomials
1958年，L.J.莫德尔给出了两个伯努利多项式乘积的积分公式，他还评论道：“包含两个以上伯努利多项式乘积的积分似乎不会导致简单的结果。本文给出了$r$伯努利多项式乘积的积分的显式公式，其中$r$是任意正整数。许多作者在这方面的结果，包括Nörlund，Mordell，Carlitz，Agoh和Dilcher，都是本文公式的特例。
2013-09-02 math.NT
On reciprocity formula of character Dedekind sums and the integral of products of Bernoulli polynomials
利用欧拉-麦克劳林求和公式的特征标类比，给出了模不必相同的两个本原特征标对应的特征标Dedekind和的互易公式的一个简单证明.此外，我们推广了关于伯努利多项式乘积积分的已知结果，考虑了积分\[ \int\limits_{0}^{x}B_{n_{1}}(b_{1}z+y_{1})... B_{n_{r}}(b_{r}z+y_{r}) dz, \]，其中$b_{l}$、$(b_{l}\neq 0)$和$y_{l}$ $(1\leq l\leq r)$是实数.由于这一积分，我们建立了一个连接之间的相互作用关系的总和产品的伯努利多项式和戴德和。
2015-02-09 math.NT
Jacob's ladders, our old formula (1985) and new $ζ$-equivalent of the Fermat-Wiles theorem on two-parametric set of lemniscates of Bernoulli
Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学院大学）
本文利用1985年论文中构建的积分超额公式，提出了一种新的ζ等价式，用于伯努利双曲线lemniscates的双参数集上的费马-威尔斯定理。
2025-12-10 math.NT
Schur type poly-Bernoulli numbers
多伯努利数及其相关数由多对数级数的生成级数定义，我们分别称它们为$B$型和$C$型.作为这些poly-Bernoulli数的推广，我们引入了Schur型poly-Bernoulli数并研究了它们的性质.首先，我们定义了Arakawa-Kaneko多重zeta函数的一个推广，并得到了它们的Schur型Bernoulli数的表达式。其次，在Hook型的限制下，我们定义了Kaneko-Tsumura多重zeta函数的一个推广，并得到了Schur型Bernoulli数的类似表达式。最后，我们还研究了一些性质，如一个递推公式、Bernoulli数之间的关系公式以及用Stirling数描述的一些性质。
2018-12-27 math.NT
Weighted averages of Bernoulli polynomials and the Gamma function over regular integers modulo $n$
该研究推导了模n正则整数上伯努利多项式与伽马函数加权平均的显式渐近公式，并将其应用于恒等函数、默比乌斯函数等算术函数的渐近分析。
2026-08-04 math.NT
Degenerate Eulerian polynomials and numbers
本文引入并研究退化 Eulerian 多项式与退化 Eulerian 数，推导其恒等式、递推关系、生成函数及退化 Worpitzky 恒等式，并建立其与退化 Stirling 数和 Bernoulli 数的联系。
2024-12-04 math.NT
Carlitz q-Bernoulli numbers and q-Stirling numbers
本文考虑第一类和第二类Carlitz q-Bernoulli数和q-Stirling数。从这些数字，我们得到许多有趣的公式与q-Bernoulli数。
2007-08-24 math.NT
On hypergeometric Bernoulli numbers and polynomials
本文给出了超几何Bernoulli数和多项式的若干性质，包括乘积和恒等式、微分方程和递推公式。
2015-09-15 math.NT
On the weighted q-Bernoulli numbers and polynomials
本文考虑了与Carlitz的q-Bernoulli数和多项式不同类型的加权q-Bernoulli数和多项式。从这些数和多项式出发，我们得到了一些有趣的公式和恒等式。
2010-11-24 math.NT
Poly-Bernoulli polynomials arising from umbral calculus
本文给出了由投影演算导出的多Bernoulli数和多项式的一些递推公式和新的有趣的恒等式。
2013-06-28 math.NT
Some new identities on the Apostol-Bernoulli polynomials of higher order derived from Bernoulli basis
本文利用伯努利多项式基导出了高阶Apostol-伯努利多项式的新的有趣关系和恒等式.最后，利用我们的方法，我们还推出了公式的卷积的伯努利和欧拉多项式，表示为Apostol-伯努利多项式的高阶。
2015-01-20 math.NT
