AI 中文总结
本文研究第二类混合斯特林数，建立其递推关系与指数生成函数，分析其模素数$p$及$p^2$的性质，推广经典Touchard同余式，揭示其具有区别于经典集合分拆的独特数论特征。
AI 中文摘要
我们研究第二类混合斯特林数$\boldsymbol{\nmathcal{S}}(n; \mathbf{c})$，该数用于计数将$n$个不同元素划分为$m$个无标号非空块和$k$个带标号非空块的分拆，其中$\boldsymbol{\nmathbf{c} = (m, 1^k)}$。我们建立了它们的递推关系和指数生成函数，并分析了它们模素数$p$及$p^2$的性质，特别地，我们将经典的Touchard同余式推广到该混合框架下。研究结果表明，这些分拆结构具有与经典集合分拆不同的独特数论特征。
英文摘要
We investigate the mixed Stirling numbers of the second kind, $\mathcal{S}(n; \mathbf{c})$, which count partitions of $n$ distinct elements into $m$ unlabeled and $k$ labeled non-empty blocks encoded by $\mathbf{c} = (m, 1^k)$. We establish their recurrence relations and exponential generating functions, and analyze their behavior modulo a prime $p$ and $p^2$. In particular, we extend the classical Touchard congruence to this mixed framework. Our results show that these configurations possess unique number-theoretic signatures distinct from classical set partitions.
