Farhi 积分用已知数学常数的表达
Expression of Farhi's integral in terms of known mathematical constants
AI总结：
本文证明了 Farhi 积分 $\eta=2\int_0^1\log\Gamma(x)\sin(2\pi x)dx$ 等于 $(\gamma+\log(2\pi))/\pi$，其中 $\gamma$ 为欧拉-马歇罗尼常数，并给出两种证明方法。
摘要：
在一篇题为“关于欧拉 Gamma 函数的一个有趣公式”的文章中，Bakir Farhi 提出了一个开放性问题：是否有可能用已知数学常数（如 $\pi$、$\log\pi$、$\log 2$、$\Gamma(1/4)$、$e$ 等）来表示 $$ \boldsymbol\eta=2\int_0^1\log\Gamma(x)\\,\cdot\sin(2\pi x)\\,\mathrm{d}x=0.7687478924\dots $$。在本文中，我们证明了 $$ \boldsymbol\eta=\frac{1}{\pi}\left[\gamma+\log(2\pi)\right], $$ 其中 $\gamma$ 是通常的欧拉-马歇罗尼常数，并给出了两种不同的证明：第一种涉及 Glaisher-Kinkelin 常数，第二种基于 $\log\Gamma(x)$ 的 Malmstén 积分表示。所得公式也可以直接从 $\log\Gamma(x)$ 的傅里叶级数展开知识中获得。
英文摘要：
In an interesting article entitled "A curious formula related to the Euler Gamma function", Bakir Farhi posed the open question of whether it was possible to obtain an expression of $$ \boldsymbolη=2\int_0^1\logΓ(x)\,\cdot\sin(2πx)\,\mathrm{d}x=0.7687478924\dots $$ in terms of the known mathematical constants as $π$, $\logπ$, $\log 2$, $Γ(1/4)$, $e$, etc. In the present work, we show that $$ \boldsymbolη=\frac{1}π\left[γ+\log(2π)\right], $$ where $γ$ is the usual Euler-Mascheroni constant, and provide two different proofs, the first one involving the Glaisher-Kinkelin constant, and the second one based on the Malmstén integral representation of $\logΓ(x)$. The resulting formula can also be obtained directly from the knowledge of the Fourier series expansion of $\logΓ(x)$.
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