The automorphism groups of relatively free groups of infinite rank
Vladimir Tolstykh
这是一篇综述文章，介绍了关于无限秩的相对自由群的自同构群的一些最近的代数和模型论结果。内容包括拓扑方面，生成集，自同构的描述和一阶理论的表达能力。
A survey article that presents some recent algebraic and model-theoretic results on the automorphism groups of relatively free groups of infinite rank. The topics include topological aspects, generating sets, descripition of automorpisms and expressive power of the first-order theories.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Automorphisms of Groups and a Higher Rank JSJ Decomposition I: RAAGs and a Higher Rank Makanin-Razborov Diagram
JSJ分解编码了双曲群的自同构和虚循环分裂。对于一般的群，JSJ分解只对它们的分裂进行编码。在这一系列的文件中，我们研究的自同构的分层双曲群，满足一些弱非圆柱性条件。为了研究这些自同构，我们构造了一个对象，它可以被看作是一个更高秩的JSJ分解。在第一篇论文中，我们证明了我们的建设的情况下，直角Artin组。为了研究一般HHG的自同构，我们构造了我们认为是更高秩的Makanin-Razborov图，这是构造更高秩JSJ的第一步。
Automorphisms of Groups and a Higher Rank JSJ Decomposition II: The single ended case
本文研究满足弱无柱条件的层级双曲群(HHG)的自同构，通过构造高秩JSJ分解来编码单个自同构的动力学及HHG外自同构群的结构。
Automorphism groups of finite topological rank
我们给出了一个判据，证明了超齐次结构的自同构群是拓扑2-生成的，甚至有一个循环稠密的共轭类。然后，我们展示了如何有限的拓扑秩的自同构群的$ω$范畴结构可以下降到约简。总之，这些结果证明了大量的$ω$范畴结构，出现在文献中有一个有限拓扑秩的自同构群。事实上，我们不知道任何$ω$ -范畴结构，他们不适用（假设自同构群没有紧的子）。最后，我们提出几个问题和建议。
Automorphism groups of relatively free groups of infinite rank: a survey
本文是在无限秩相对自由群的自同构的框架内对一些问题的综述。我们讨论了它的驯服性、伸缩性、小指数、Bergman性等性质。
Small groups of finite Morley rank with a supertight automorphism
本文研究具有有限莫利秩和 Prüfer 2-秩1的无限单群，在超紧自同构作用下固定点子群均为伪有限的条件下，证明该群同构于某特征不为2的代数闭域上的 PGL₂(K)。
On Bergman's property for the automorphism groups of relatively free groups
我们说一个群$G$具有伯格曼性质（有限宽度的普适性的性质），如果对于$G$的每个生成集$X$与$X=X^{-1}$，我们有$G=X^k$对于某个自然数$k.$该性质以乔治·伯格曼命名，他最近证明了无限对称群是普适有限宽度的群。第一个具有伯格曼性质的无限群的例子是由Shelah（1980年代）提出的。最近又发现了一些其他的例子：双传递链的自同构群（Droste-Holland），作为Borel空间的实数的自同构群（Droste-Göbel）和除环上的无限维一般线性群。本文证明了任意无限生成的自由幂零群$N$的自同构群$Aut(N)$具有Bergman性质，是由对合生成的，是完备的，其上确界性大于$rank(N).$。同时，我们还部分地回答了Bergman提出的一个问题：可数无限秩自由群的自同构群是泛有限宽群。
Automorphism and outer automorphism groups of Right-angled Artin groups are not relatively hyperbolic
本文证明定义图至少含3个顶点的右角Artin群的自同构群，以及非实质上同构于单顶点或不连通定义图的外自同构群，均不是相对双曲的。
Fixed subgroups of automorphisms of relatively hyperbolic groups
设G是一个n-生成的相对双曲群.证明了如果G的任何一个周边子群都不是相对于一个真子群集合的双曲子群，则G的每个自同构的固定子群都是相对拟凸的。由此可见，固定子群本身相对于一个自然的周边子群族是相对双曲的。如果G的所有周边子群都是细长的（分别是细长的和凝聚的），则我们的结果意味着G的每个自同构的不动点子群都是双生成的（分别是双表示的）.特别地，当G是一个极限群时会发生这种情况，因此对于G的任何自同构，Fix（）是G的一个极限子群。
Linear automorphism groups of relatively free groups
设G是群中的一个自由群，但G不是绝对自由的.证明了自同构自同构群Aut（G）是线性的当且仅当G是虚幂零群.
Reducing the conjugacy problem for relatively hyperbolic automorphisms to peripheral components
本研究将自由群与无挠双曲群的外自同构共轭问题归约为多项式增长自同构映射环面的相关算法问题，求解了多类新外自同构的共轭问题，为彻底解决$Out(F_n)$的共轭问题提供了可行路径。
On the residual finiteness of outer automorphisms of relatively hyperbolic groups
证明了共轭可分相对双曲群的外自同构群的每个虚扭自由子群是剩余有限的。作为一个直接结果，我们得到极限群的外自同构群是剩余有限的。
Normal automorphisms of relatively hyperbolic groups
群$G$的自同构$α$是正规的，如果它固定$G$的每个正规子群。给出了相对双曲群的正规自同构的代数描述。特别地，我们证明了对于任何相对双曲群$G$，$Inn(G)$在正规自同构的子群$Aut_n(G)$中具有有限指数。此外，若$G$是非初等的且没有非平凡的有限正规子群，则$Aut_n(G)=Inn(G)$。作为应用，我们证明了对于每个具有不止一个端点的单生成剩余有限群$G$，$Out(G)$是剩余有限的.
Intersections of automorphism fixed subgroups in the free group of rank three
证明了在秩为3的自由群中，给定任意多个自同构，它们的固定子群的交等于另一个单自同构的固定子群。
Small conjugacy classes in the automorphism groups of relatively free groups
设F是无限生成自由群，R是F的全不变子群，使得（a）R包含在F的换位子群F'中，（b）商群F/R是剩余无挠幂零群.则群F/R'的自同构群Aut（F/R'）是完备的。特别地，任何无限生成的自由可解群的自同构群的导出长度至少为2是完备的。这推广了Dyer和Formanek（1977）关于有限生成群F_n/R'的一个结果，其中F_n是有限秩n至少为2的自由群，R是F_n的特征子群.
On the residual finiteness of outer automorphisms of relatively hyperbolic groups
证明了共轭可分双曲群的外自同构群的每个虚扭自由子群是剩余有限的。由此，我们能够证明：每一个可生成的富克斯群和每一个自由有限群的外自同构群都是剩余有限的.对于相对双曲群，我们也推广了主要结果。
A remark on the rank of finite $p$-groups of birational automorphisms
本文改进了Prokhorov和Shramov关于有理连通簇的双有理自同构群的有限$p$ -子群的秩的一个结果.已知的例子表明，它们在许多情况下是尖锐的。
Involutive automorphisms of $N_\circ^\circ$ groups of finite Morley rank
我们对一类有限Morley秩的小群进行了分类：$N_\circ^\circ$ -群，它是Thompson的$N$ -群的无限类似物.更确切地说，我们限制的$2$ -结构的有限Morley秩包含一个可定义的，正常的，不可溶的，$N_\circ^\circ$ -子群的群体。
Residual properties of automorphism groups of (relatively) hyperbolic groups
我们证明了Out（G）是剩余有限的，如果G是一个单端群，是双曲相对于几乎多环子群。更一般地说，如果G是单端的，并且是相对于真剩余有限子群的双曲的，则保持外围结构的外自同构群是剩余有限的。我们还证明了Out（G）对每个素数p都是虚p-剩余有限的，如果G是单端的且是相对双曲的，或者是无穷端的且是虚p-剩余有限的.
The automorphism group of a free-by-cyclic groups in rank 2
设$ϕ$是秩为$n$的自由群$F_n$的自同构，$M_ϕ=F_n \rtimes_ϕ \mathbb{Z}$是$ϕ$的映射环面.我们在一定的技术条件下研究了$Out(M_ϕ)$组对$ϕ$的影响。此外，在秩2的情况下，我们分类的情况下，当这个组是有限的或几乎循环的，这取决于共轭类的图像的$ϕ$在$GL_2(\mathbb{Z})$。
The automorphism group of the free group of rank two is a CAT(0) group
证明了四股辫群的自同构群忠实地几何地作用在CAT（0）2-复形上.这意味着秩为2的自由群的自同构群忠实地和几何地作用于CAT（0）2-复形，与秩为3及以上的情况相反。
The automorphism groups of small affine rank 3 graphs
本文研究仿射秩3图的自同构群，通过确定有限多个较小图的完整自同构群并结合已知结果，将一般问题归结为基座为非交换单群的情形。
The Automorphism Group of the Infinite-Rank Free Group is Coarsely Bounded
本文证明了可数无限秩自由群的完全自同构群和外部自同构群是粗有界的，即它们在度量空间上不存在具有无界轨道的连续作用，且具有一个点的拟等距类型。
On the logical strength of the automorphism groups of free nilpotent groups
考虑Saharon Shelah提出的一个问题的特殊情况，我们证明了一个无限生成的自由幂零群N的自同构群是一阶的，它解释了空语言中集合秩（N）的完全二阶理论.
Automorphisms of relatively hyperbolic groups and the Farrell--Jones Conjecture
本文证明了相对超几何群的悬垂群和单端超几何群的悬垂群在A-、K-和L-理论中满足Farrell-Jones猜想，并探讨了其在自同构群和延伸中的应用。
Automorphism groups of algebraic curves with p-rank zero
在正特征中，代数曲线可以有比经典Hurwitz界所期望的更多的自同构。甚至存在任意高亏格g的代数曲线，其自同构数超过16g^4。在许多场合已经观察到，最反常的例子总是具有零p秩。本文研究了定义在特征为2的代数闭域K上的零二阶代数曲线X的K-自同构群Aut（X）.主要结果是，如果曲线的亏格g大于或等于2，且|自动（X）|>24g^2，则Aut（X）在X上有一个不动点，除了少数例外。在特殊情况下，确定了Aut（X）和g的可能性.
Symmetric polytopes whose automorphism groups are 2-groups
研究了具有2-群自同构群的多面体，证明了其自同构群的继承性及扩展性质。
An Automorphism of A Free Metabelian Group Without Fixed Points
我们构造了秩$n\geq 3$的自由亚交换群的IA-自同构的一个例子，它没有非平凡的不动点。这对Shpilrain提出的问题给出了否定的答案。根据Bachelor \cite{Ba1}的结果，如果秩等于2，则不存在这样的自同构。
Elementary equivalence of the automorphism groups of reduced Abelian p-groups
考虑无界约化阿贝尔p-群（p > 2）A和A '.本文证明了：若自同构群Aut A和Aut A'初等等价，则在以A和A'的基本子群的末秩为界的二阶逻辑中，群A和A'等价.
Automorphisms of a Free Centre-by-Centre-by-Metabelian Group of Rank 3
研究3阶自由中心-中心-可解群的自同构群，发现其包含一个稠密于形式幂级数拓扑的有限生成子群。
Simplicity of the automorphism groups of some Hrushovski constructions
我们证明了用Hrushovski合并方法得到的某些可数结构的自同构群是单群。我们考虑的结构是由从头算构造和（不稳定的）omega范畴伪平面得到的无限Morley秩的“未塌陷”结构。简单的自同构群，这些如下结果，推广工作的拉斯卡和帐篷和齐格勒。
On generic and supertight automorphisms
本文研究稳定群的通用自同构的超紧性质，证明其存在性，并探讨超紧自同构与基础域的关联，支持固定点伪有限性原理。
The knot quandles of Suciu's ribbon $n$-knots and automorphisms on the free group of rank two
本文通过分析秩二自由群自同构的共轭类，为 Suciu 的带状 n-纽结的纽结拟阵互不同构提供了新证明。
Splittings and automorphisms of relatively hyperbolic groups
研究了相对双曲群G的自同构。当G是单端的，我们描述出（G）使用首选的JSJ树的子群，几乎是循环或抛物线。特别地，当G是相对双曲的时，Out（G）实际上是由GL_n（Z）的映射类群和子群固定某些基元素构成的。当允许更一般的抛物群时，GL_n（Z）的这些子群必须用McCool群代替：抛物群的自同构平凡地（即通过共轭）作用于某些子群。给定一个双曲群G的一个反常拟凸子群P，我们认为G是相对于P的双曲群，我们应用前面的分析来描述P的自同构群Out（P to G）延伸到G：它实际上是一个McCool群。如果Out（P to G）是无限的，则P是G的一个分裂中的一个顶点群.如果P是无挠的，那么Out（P to G）是VF类型的，特别是VF呈现的。我们还确定了当G是相对双曲的时，Out（G）是无穷大的。有趣的情况是当G是无穷终结的并且有挠。当G是双曲群时，我们证明了Out（G）是无穷的当且仅当G在一个具有无穷中心的极大虚循环子群上分裂.在一般情况下，我们表明，无穷的出（G）来自于存在一个分裂与无限多的扭曲，或有一个顶点群，这是极大的抛物与无穷多个自同构平凡的事件棱道群。
Example of non-linearizable quasi-cyclic subgroup of automorphism group of polynomial algebra
众所周知，零特征域上秩为2的多项式代数的自同构群的每个有限子群都与线性自同构的子群共轭。我们证明了对于任意挠子群，它不是真的。构造了复数域上秩为2的多项式代数的自同构的交换$p$ -群的一个例子，它不与线性自同构的子群共轭。
On the low dimensional cohomology groups of the IA-automorphism group of a free group of rank three
本文利用组合群论和表示论研究了秩为3的自由群的IA-自同构群$\mathrm{IA}_3$的有理上同调群的结构.特别地，我们检测出$\mathrm{IA}_3$的第二上同调群中的非平凡不可约分支，它不包含在第一上同调群的上积映射的像中。我们还证明了第一上同调群的三重上积映射在第三上同调群中的象是平凡的。作为推论，我们得到$\mathrm{IA}_3$的下中心序列的第四项在Andreadakis-Johnson过滤中具有有限指数。
On chiral polytopes having a group PSL(3,q) as automorphism group
对于每个素幂$q\geq 5$，我们构造了一个秩为4的手征多面体，它具有一个自同构群$PSL(3,q)$和Schläfli型$\{q-1,\frac{2(q-1)}{(3,q-1)},q-1\}$ .我们还构造了秩为5的多面体的$q$的一些值，我们表明，有没有手征多面体的秩至少为6具有一个组$PSL(3,q)$或$PSU(3,q)$作为自同构群。
Automorphisms of Higher Rank Lamplighter Groups
令$Γ_d(q)$表示其关于特定生成集的Cayley图是Diestel-Leader图$DL_d(q)$的群，如Bartholdi、Neuhauser和Woess所描述的。我们计算了$d \geq 2$的$Aut(Γ_d(q))$和$Out(Γ_d(q))$，并将我们的结果应用于计算$d \geq 3$时这些组中的扭曲共轭类。具体地说，我们证明了当$d \geq 3$，群$Γ_d(q)$有性质$R_{\infty}$，即每个自同构有无穷多个扭曲共轭类。相反，当$d=2$时，点灯组$Γ_2(q)=L_q = {\mathbb Z}_q \wr {\mathbb Z}$具有属性$R_{\infty}$当且仅当$(q,6) \neq 1$。
Automorphism groups of solvable groups of finite abelian ranks
本文研究了可解群的自同构群结构，通过有理代数包络的构造，探讨了S-算术子群的性质及外自同构群的算术像。
Maximal index automorphisms of free groups with no attracting fixed points on the boundary are Dehn twists
本文定义了一个称为自由群的外自同构的秩的量，它与[D. Gaboriau，A.耶格湾Levitt和M. Lustig，“An index for counting不动点for automorphisms of自由群”，Duke Math.J.93（1998）425-452]，而不计算边界上的不动点。我们进一步分析了最大秩的外自同构，得到了类似于[D. J. Collins和E. Turner，“An automorphism of a自由群of finite rank with maximum rank不动点subgroup fixes a本原元”，J. Pure and Applied Algebra 88（1993）43-49].我们还推导出所有这样的外自同构都可以用Dehn twists表示，从而证明了[M. M. Cohen和M. Lustig，“自由群的Dehn扭自同构的共轭问题”，《数学评论》，Helv。74（1999）179-200]，并指出了共轭问题的解决方案时，这样的自同构给出的基础的图像，从而提供了一个适度的推广科恩和卢斯蒂格的主要定理略有不同的方法。
Quotient groups of IA-automorphisms of a free group of rank 3
证明了对任意正整数$c$，McCool群$M_{3}$的下中心列的商群$γ_{c}(M_{3})/γ_{c+1}(M_{3})$同构于秩为$3$的自由群$F_{3}$的下中心列的商群$γ_{c}(F_{3})/γ_{c+1}(F_{3})$的两个拷贝为$\mathbb{Z}$ -模.进一步给出了$M_3$的伴随分次李代数${\rm gr}(M_{3})$是否自然嵌入$F_{3}$的IA-自同构的Johnson李代数${\cal L}({\rm IA}(F_{3}))$的一个充要条件.
On the automorphism groups of rank-4 primitive coherent configurations
置换群$G$的最小度是不被$G$的非单位元素固定的点的最小数目。最小度的下界对$G$有很强的结构影响。Babai证明了如果一个具有$n$顶点的本原相干构形不是Cameron概型，则对于某个常数$c>0$，它的自同构群有最小度$\geq cn$. 2014年，Babai证明了强正则图的自同构群的最小度的期望下界，从而证实了秩为3的本原凝聚构型的猜想。本文将Babai的结果推广到秩为4的本原相干构形，证实了在这种特殊情况下的猜想。证明结合结构和谱方法。
On several problems about automorphisms of the free group of rank two
设$F_n$是秩为$n$的自由群。本文讨论了与$F_2$的自同构有关的三个算法问题。如果$u$不具有负指数，则$F_n$的字$u$被称为正。如果$ϕ(u)$对于$F_n$的某个自同构$ϕ$是正的，则$F_n$中的字$u$被称为潜在正的。本文证明了在$F_2$中存在一个判定给定词是否为潜在正的算法，从而给出了[1]中问题F34 a在$F_2$情形下的肯定解.如果对于$F_n$的每个自同构$ϕ$，$ϕ(u)$和$ϕ(v)$的循环长度之比有界远离0和$\infty$，则称$F_n$中的两个元素$u$和$v$是有界平移等价的。我们提供了一个算法来确定$F_2$的两个给定元素是否是有界翻译等价的，从而回答了[1]在线版本中关于$F_2$的问题F38 c。进一步证明了存在一个判定$F_2$的一个给定的生成子群是否是$F_2$的某个自同构的不动点群的算法，从而在$F_2$的情况下肯定地解决了[1]中的问题F1b.
Projective linear groups as automorphism groups of chiral polytopes
已知手征多面体的自同构群对任何素数幂$q$都不同构于$PSL(2,q)$或$PGL(2,q)$。本文证明了$PSL(2,q)$和$PGL(2,q)$决不是秩至少为$5$的手征多面体的自同构群.证明了对于每个$q\geq5$，$PGL(2,q)$是至少一个秩为$4$的手征多面体的自同构群.最后，我们确定哪些值的$q$的组$PSL(2,q)$是自同构群的手征多面体秩$4$，除了当$q=p^d\equiv3\pmod{4}$，其中$d>1$是不是一个素数的权力，在这种情况下，这个问题仍然没有解决。
On the outer automorphism groups of free groups
该研究证明了秩可数无穷的自由群的外自同构群具有完备性，丰富了自由群外自同构群相关的代数理论结论。
Automorphisms of free groups, I
我们描述了与自由群的自同构群相关联的李代数，直到其度等于秩。我们特别计算其齐次分量的秩，以及它们作为线性群上的模的结构。在此过程中，我们削弱了（但证实了一个较弱形式的）Andreadakis猜想，并回答了Bryant-Gupta-Levin-Mochizuki的一个问题。
Relative hyperbolicity for automorphisms of free products
我们证明了，对于一个自由产品$G$与自由因子系统$\mathcal{G}$，任何自同构$ϕ$保持$\mathcal{G}$，atoroidal（在某种意义上相对于$\mathcal{G}$），没有其权力发送两个不同的共轭的子群在$\mathcal{G}$上的共轭本身由同一个元素，产生一个半直积$G\rtimes_ϕ\mathbb{Z}$，这是相对于双曲的悬浮液组在$\mathcal{G}$。我们恢复了Gautero-Lustig和Ghosh的一个定理，即如果$G$是一个自由群，$ϕ$是$G$的自同构，而$\mathcal{G}$是它的多项式增长子群族，那么由$ϕ$得到的半直积相对于这些子群的悬置是双曲的.我们将第一个结果应用于阿贝尔群的自由积的某些自同构（环面和环面）的共轭问题。
Automorphismes du groupe des automorphismes d'un groupe de Coxeter universel
本文利用自由积的Guirardel-Levitt外空间，确定了秩$n \geq 4$的泛Coxeter群的自同构群及外自同构群的外自同构群结构。
PolExp growth for automorphisms of toral relatively hyperbolic groups
研究toral相对双曲群的自同构的PolExp增长，证明共轭长度和词长的增长形式，并推广多项式子群的性质。
Partial linear spaces with a rank 3 affine primitive group of automorphisms
部分线性空间是一对$(\mathcal{P},\mathcal{L})$，其中$\mathcal{P}$是点的非空集合，$\mathcal{L}$是称为线的$\mathcal{P}$的子集的集合，使得任何两个不同的点包含在至多一条线中，并且每条线包含至少两个点。一个部分线性空间是适当的，当它不是线性空间或图。当$G$在点上秩为3传递时，真部分线性空间的自同构群$G$作用在不同共线点的序偶和不同非共线点的有序序偶上传递.本文对除某些小群族（包括$AΓL_1(q)$的子群）外，允许秩为3的仿射本原自同构群的有限真部分线性空间进行了分类.直到这些例外，这完成了分类的有限适当的部分线性空间承认秩3本原自同构群。我们还提供了一个更详细的版本的秩3仿射本原置换群的分类，这可能是独立的利益。
Tree-irreducible automorphisms of free groups
我们引入一类新的自同构$φ$的非阿贝尔自由群$F_N$有限秩$N \geq 2$，其中包含所有iwips（=完全不可约自同构），但也任何自同构诱导的伪Anosov同胚的表面与任意多个边界组件。更一般地，可以存在秩为$\geq 2$的$F_N$的子组，其中$φ$限制于身份。我们证明了一些基本的事实，这样的{ \em树不可约}自同构，并表明，连同Dehn扭曲自同构，他们是自然的基本积木，任何自同构的$\FN$可以构建在一个训练轨道设置。然后，我们显示：{ \bf定理：} { \it $F_N$的每一个树不可约自同构都在外层空间的Thurston紧化$\bar{\rm CV}_N$上诱导了南北动力学。}最后，我们定义了一个“爆破”结构的顶点上的训练轨道地图，其中，从iwip开始，产生树不可约的自同构，在一般情况下不是iwip。
Proper partial linear spaces affording imprimitive rank 3 automorphism groups
本研究针对真部分线性空间的对称分类问题，首次完成了半本原非本原秩3真部分线性空间的分类，涵盖本原传递、拟本原群情形，构造了多族无限实例及10个单独实例，多数为文献中新结果。
McCool groups of toral relatively hyperbolic groups
群G的外自同构群Out（G）作用在G的元素的共轭类的集合上。McCool证明了当G是自由的时，共轭类的有限集的稳定子$Mc(c_1,...,c_n)$是可解的.更一般地，我们考虑G的外自同构群$Mc(H_1,...,H_n)$ $Φ$平凡地作用于子群族$H_i$，在这个意义上，$Φ$有代表$α_i$，其中$α_i$等于$H_i$上的恒等式。当G是一个环面相对双曲群时，我们证明了这两个定义导致Out（G）的相同子群，我们称之为G的“McCool群”.我们证明了这样的McCool群是VF型的（某个有限指数子群有有限分类空间）。VF型也适用于G的自同构的自同构群保持G在阿贝尔群上的分裂。我们证明了McCool群满足一个一致链条件：对于G的McCool群的严格递减序列的长度，存在一个仅依赖于G的界。类似地，G的自同构的固定子群满足一致链条件。
The expansion factors of an outer automorphism and its inverse
秩为n的自由群F_n的全不可约外自同构φ有一个展开因子，它常常不同于φ的逆的展开因子。然而，我们证明了phi的展开因子的平方和与它的逆的平方和之间的比率是有界的，上面的常数仅取决于秩n。我们还证明了一个更一般的定理，它适用于F_n的任意外自同构及其逆，以及它们的展开因子的整个谱。
Flat groups of automorphisms of totally disconnected, locally compact groups
研究完全不连通、局部紧致群的平坦自同构群，揭示其结构特征及高秩群的可能来源。
Flat rank of automorphism groups of buildings
全不连通的局部紧群G的平坦秩记为flat-rk（G），是G的拓扑群结构的不变量.它是由G的紧开子群空间上的自然距离定义的。对于拓扑Kac-Moody群G和外尔群W，我们得到了不等式：alg-rk（W）\le flat-rk（G）\le rk（|W| \_0）.这里，alg-rk（W）是W的交换子群的最大$\mathbb{Z}$秩，rk（|W| \_0）是CAT 0实现|W| \_0中等距嵌入平面的最大维数。我们可以在较弱的假设下证明这些不等式。我们还证明了对任意整数n \geq 1，存在一个拓扑简单的、紧生成的、局部紧的、全不连通的群G，其中flat-rk（G）=n，且G不是线性的.
Taking the High-Edge Route Through Outer Space in Rank 3
本文研究了主完全不可约外自同构的train track maps，证明了哪些秩3图承载这些映射，并得出哪些秩3 Culler-Vogtmann Outer space单纯形被主轴穿过的推论。
Automorphisms of the graph of free splittings
证明了秩至少为3的自由群的自由分裂图的每一个单纯自同构都是由该自由群的外自同构诱导的。
On the action of relatively irreducible automorphisms on their train tracks
本文研究相对𝒢的指数型𝒢-不可约自同构的轨道轨点集（即最小位移集Min(φ)），证明其在φ生成的循环子群作用下余紧，得到相关辅助结果，并推广了自由群自同构中心化子的经典定理。
On minimal finite quotients of outer automorphism groups of free groups
证明了当n=3和4时，n阶自由群的外自同构群Out F_n的最小非交换有限因子群是线性群PSL_n（Z_2）（实际上，这对任意秩n > 2都成立）.本文还讨论了Aut F_n和Out F_n（n = 3和4）的低指数子群的计算结果。
Soluble Groups with few orbits under automorphisms
设$G$是一个群。Aut $(G)$对$G$的自然作用轨道称为$G$的“自同构轨道”，$G$的自同构轨道数记为$ω(G)$。证明了：若$G$是有限秩可解群，使得$ω(G)< \infty$，则$G$包含无挠特征幂零子群$K$，使得$G = K \rtimes H$，其中$H$是有限群.此外，我们还对有限秩的混合阶可解群进行了分类，使得$ω(G)=3$。
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