On a conjecture of De Giorgi related to homogenization
对于一个周期向量场$\bf F$，让${\bf X}^ε$解决动力系统\begin{equation*} \frac{d{\bf X}^ε}{dt} = {\bf F}\left(\frac {{\bf X}^ε}ε\right) . \end{equation*}在\cite{DeGiorgi}恩尼奥德乔治询问是否从存在的限制${\bf X}^0(t):=\lim\limits_{ε\to 0}{\bf X}^ε(t)$可以得出结论，$ \frac{d{\bf X}^0}{dt}= constant$。我们的主要结果解决了这个猜想下相当一般的假设$\bf F$，这也可能取决于$t$ -变量。一旦上述问题得到解决，人们就可以将结果以标准的方式应用于输运方程。这一点在下文中也有所涉及。
2017-04-25 math.AP
On the De Giorgi type conjecture for an elliptic system modeling phase separation
本文研究了问题\[Δu=uv^2,Δv=vu^2,u,v>0 \text{in} \mathbb{R}^n,\]的整体解的一维对称性问题，其中对所有的$n\geq 2$ .我们证明，如果解决方案$(u,v)$是一个局部极小，并在无穷大线性增长，那么它是一维的，即只依赖于一个变量。在证明中，我们还得到了解的整体Lipschitz连续性仅在线性增长的假设。
2013-10-04 math.AP
On De Giorgi's Conjecture of Nonlocal approximations for free-discontinuity problems: The symmetric gradient case
本研究将De Giorgi关于自由不连续问题非局部逼近的猜想推广至对称梯度泛函情形，通过推广Fréchet-Kolmogorov方法证明能量等有界形变的紧性与Gamma收敛，借助GSBD空间新刻画确定极限空间，建立极限表示。
2025-10-03 math.AP
A De Giorgi conjecture on the regularity of minimizers of Cartesian area in 1D
该研究证明了当有界开区间上的$g$的$L^\infty$范数足够小时，含积分项的笛卡尔面积泛函的BV极小值子具有$C^{1,1}$正则性，部分证实了一维余维一的De Giorgi猜想，并将结果推广到各向异性情形。
2025-05-21 math.AP math.CA
Fractional De Giorgi conjecture in dimension 2 via complex-plane methods
本文利用复平面方法，结合 Farina 方法和 Caffarelli-Silvestre 的 $s$-调和延拓，为二维全指数范围 Allen-Cahn 方程的分数阶 De Giorgi 猜想提供了新证明，并建立了带 Neumann 边界条件的加权椭圆方程有限能量弱解的表示公式。
2025-03-08 math.AP
A necessary condition in a De Giorgi type conjecture for elliptic systems in infinite strips
给定一个有界Lipschitz域$ω\subset\mathbb{R}^{d-1}$和一个下连续函数$W:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}$，该函数在有限集上为零且在无穷远处由一个正常数从下到上有界，证明了每个映射$u:\mathbb{R}\timesω\to\mathbb{R}^N$与\[ \int_{\mathbb{R}\timesω}\big(\lvert\nabla u\rvert^2+W(u)\big)\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d} x_1\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}x'<+\infty\]都有一个极限$u^\pm\in\{W=0\}$为$x_1\to\pm\infty$ .这种收敛在$L^2(ω)$中成立，在$ω$中几乎处处成立。我们还证明了类似的结果，更一般的潜力$W$的情况下，所考虑的地图$u$是发散自由的$\mathbb{R}\timesω$与$ω$是$(d-1)$ -环面和$N=d$。
2019-05-27 math.AP
Stable De Giorgi conjecture of the Allen--Cahn equation in $\mathbb{R}^3$
Beijing Technology and Business University（北京工商大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Wuhan University（武汉大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Yunnan Normal University（云南师范大学）
证明$\mathbb{R}^3$中Allen--Cahn方程的有界稳定整体解必为一维，进而推出$\mathbb{R}^4$中完整De Giorgi猜想成立；方法是将稳定性条件归结为零集上的弱稳定性条件并利用Gauss-Bonnet公式构造矛盾。
2026-09-21 math.AP math.DG
Phase transitions in two-component Bose-Einstein condensates with Rabi frequency (I): The De Giorgi conjecture for the local problem in $\mathbb{R}^{3}$
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
本研究探讨双组分玻色-爱因斯坦凝聚体中的相变问题，通过分析局部问题，证明满足特定条件的解必须是一维的。
2025-12-23 math-ph math.AP math.MP
On stable solutions for boundary reactions: a De Giorgi-type result in dimension 4+1
我们证明了\[ (-Δ)^{1/2} u + f(u) =0 \qquad \mbox{in }\mathbb R^3\]的每一个有界稳定解都是一个一维轮廓，即，对于某些$e\in \mathbb S^2$，我们得到了$u(x)= ϕ(e\cdot x)$，其中$ϕ:\mathbb R\to \mathbb R$是一维非减有界稳定解。这证明了半拉普拉斯算子在$4$维上的De Giorgi猜想。等价地，我们给出了一个积极的回答德乔治猜想边界反应$\mathbb R^{d+1}_+=\mathbb R^{d+1}\cap \{x_{d+1}\geq 0\}$时$d = 4$，通过证明所有的临界点的$$ \int_{\{x_{d+1\geq 0}\}} \frac12 |\nabla U|^2 \,dx\, dx_{d+1} + \int_{\{x_{d+1}=0\}} \frac 1 4 (1-U^2)^2 \,dx $$是单调的$\mathbb R^d$（即，直到旋转，$\partial_{x_d} U>0$）是一维的。我们的结果类似于$\mathbb R^3$中的稳定嵌入极小曲面是平面的事实。注意，经典Allen-Cahn方程的稳定解的相应结果（即当半拉普拉斯算子被经典拉普拉斯算子取代时）仍然是开放的。
2017-05-08 math.AP
Modica type gradient estimates for reaction-diffusion equations and a parabolic counterpart of a conjecture of De Giorgi
本文继续研究了在\cite{BG}中提出的非齐次抛物型方程的Modica型梯度估计。首先，我们表明，抛物型极小曲面方程的半线性力项，如果一定的梯度估计满足$t=0$，那么它持有所有以后的时间$t>0$。然后，我们建立类似的结果，反应扩散方程，如\eqref{e0}以下在$\Om \times [0, T]$，其中$\Om$是一个epigraph，使平均曲率的$\partial \Om$是非负的。然后，我们把我们的注意力转移到这样的梯度估计是有效的，没有任何先验信息的估计是否在某个较早的时间。非常值得注意的是（见定理\ref{main3}，定理\ref{main5}和定理\ref{T:ricci}），这对$\Rn \times (-\infty, 0]$和$\Om \times (-\infty, 0]$是正确的，其中$\Om$是满足上述几何假设的上图，对$M \times (-\infty,0]$是正确的，其中$M$是具有非负Ricci张量的连通紧致黎曼流形。作为梯度估计\eqref{mo2}的结果，我们建立了\eqref{e0}的解的刚性结果（见下面的定理\ref{main6}），它是\cite{CGS}中定理5.1的类似物。最后，出于定理\ref{main6}，我们关闭的文件，提出了一个抛物线版本的著名猜想的德乔治也被称为$\ve$版本的伯恩斯坦定理。
2015-03-06 math.AP
De Giorgi type results for equations with nonlocal lower-order terms
对于具有非零漂移的半线性椭圆型方程，De Giorgi猜想在二维空间中不成立，一般情况下，当$q=(0,-c)$对$c\neq 0$时，$$ Δu+ q\cdot \nabla u+f(u)=0 \ \ \text{in } \ \ \mathbb R^2, $$成立.这个方程出现在本生灯火焰的模型中。本生火焰通常由两种火焰组成：扩散火焰和预混火焰。在这篇文章中，我们证明了De Giorgi型结果，和稳定性猜想，为以下的本地-非本地对应的上述方程（与非本地预混火焰）在二维，$$Δu + c L[u] + f(u)=0 \quad \text{in} \ \ \mathbb R^n, $$当$L$是一个非本地运营商，$f\in C^1(\mathbb R)$和$c\in\mathbb R^+$。此外，我们提供了一个先验估计上述方程，当$n\ge 1$，与各种跳跃内核。算子$Δ+cL$是概率论中跳跃扩散过程的无穷小生成元。
2019-05-30 math.AP math.PR
On the sharp Hölder exponent in the De Giorgi--Nash--Moser theory
Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, University of Cambridge（剑桥大学纯数学与统计数学系）
本文构造了三维及以上空间中具有可测系数的均匀椭圆方程的解，其Hölder指数α=exp(-c_n K)，证明了除二维情形外，Bombieri-Giusti Harnack不等式得到的Hölder指数对椭圆率常数K的依赖是最优的。
2026-08-27 math.AP
Reverse approximation of gradient flows as Minimizing Movements: a conjecture by De Giorgi
考虑Hilbert空间$\mathbb H$中由连续可微函数$ϕ:\mathbb H \to \mathbb R$生成的梯度流\begin{equation} \label{eq:81} \tag{$\star$} u'(t)=-\nablaϕ(u(t)),\quad t\ge 0;\quad u(0)=u_0, \end{equation}的Cauchy问题，并利用De Giorgi极小化运动方法研究了（$\star$）解的逆逼近.我们证明了如果$\mathbb H$有有限维且$ϕ$是下二次有界的（特别是如果$ϕ$是Lipschitz），则对于每个解$u$，（$\star$）（其可具有无限数目的解）存在以Lipschitz范数收敛到$ϕ$的扰动$ϕ_τ:\mathbb H \to \mathbb R \ (τ>0)$，使得$u$可通过由$Φ(τ,U,V):=\frac 1{2τ}|V-U|^2+ ϕ_τ(V)$的递归最小化产生的最小化运动方案来近似：\begin{equation} \label{eq:abstract} \tag{$\star\star$} U_τ^n\in \operatorname{argmin}_{V\in \mathbb H} Φ(τ,U_τ^{n-1},V)\quad n\in\mathbb N, \quad U_τ^0:=u_0. \end{equa…
2017-11-20 math.AP math.CA
Phase transitions in two-component Bose-Einstein condensates with Rabi frequency (II): The De Giorgi conjecture for the nonlocal problem in $\mathbb{R}^{2}$ or $\mathbb{R}^{3}$
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
本文研究了两组分玻色-爱因斯坦凝聚体的非局部问题，证明了在特定条件下单调解必须为一维，并扩展了De Giorgi型定理到新的非局部耦合系统。
2025-11-21 math-ph math.AP math.MP
De Giorgi type results for elliptic systems
考虑椭圆方程组Δu = \nabla H（u）\ \\text{in} \ \ \mathbf{R}^N，其中$u:\mathbf{R}^N\to \mathbf{R}^m$和$H\in C^2(\mathbf{R}^m)$，证明了在非线性$H$的各种条件下，至少在低维情况下，只要$u_i$的每个分量在一个方向上单调，解$u=(u_i)_{i=1}^m$必然是一维的.就像在2维（Ghoussoub-Gui）和3维（Ambrosio-Cabré）中证明经典的De Giorgi猜想一样，关键步骤是线性系的Liouville定理。我们还给出了一个扩展的几何庞加莱不等式系统，并用它来建立德乔治型结果稳定的解决方案，以及额外的刚性属性，说明解决方案的各个组成部分的梯度必须是平行的。我们引入并利用{ \it一个可定向系统}的概念，这似乎是处理三个或更多方程的系统的关键。对于这样的系统，变分意义下的稳定解的概念与点态（或谱）稳定性的概念一致。
2012-04-23 math.AP
Extensions of Schoen--Simon--Yau and Schoen--Simon theorems via iteration à la De Giorgi
通过 De Giorgi 式迭代法，给出 Schoen--Simon--Yau 与 Schoen--Simon 定理的新证明，并推广至 6 维稳定极小浸入及弱接近超平面的情形，获得多值图描述。
2025-09-12 math.AP math.DG
Global Stable Solutions to the Free Boundary Allen--Cahn and Bernoulli Problems in 3D are One-Dimensional
Universität Basel（巴塞尔大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文证明三维自由边界Allen--Cahn方程的稳定De Giorgi猜想，并推论四维单调解情形，核心是分类三维单相Bernoulli全局稳定解。
2026-09-28 math.AP
A negative answer to a one-dimensional symmetry problem in the Heisenberg group
De Giorgi证明了Ginzburg-Landau方程的有界单调解在超平面上是常数，本文证明了在Heisenberg群中这一猜想在中心方向上不成立.
2001-08-29 math.AP
Some remarks on the classification of global solutions with asymptotically flat level sets
我们简化了\cite{S1}的一些技术步骤，其中解决了De Giorgi的一个猜想。为了完整性，我们使文件自包含和重新证明的分类某些整体有界解的半线性方程的类型$$\triangle u=W'(u),$$，其中$W$是一个双阱势。
2016-10-11 math.AP
On Chern's conjecture for minimal submanifolds of the sphere
MIT（麻省理工学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文针对球的极小子流形的陈省身猜想，证明其在n≥3且m≥4、偶n≥4且m≥3的情形不成立，补充了该猜想的反例情形。
2026-08-19 math.AP math.DG
Harmonic approximation and improvement of flatness in a singular perturbation problem
本文研究了De Giorgi型猜想，即在$\mathbb{R}^n$中，对所有$n\geq 2$，两分量椭圆型方程组整体解的一维对称性问题.我们证明，如果解$(u,v)$在无穷远处线性增长，那么它是一维的，即仅取决于一个变量。主要成分是一个改进的平坦度估计，这是通过调和近似技术适应奇异摄动的情况下实现的。
2014-01-15 math.AP
One-dimensional symmetry for integral systems in two dimensions
本文的目的是证明二维非局部积分方程组$$ L(u_i) = H_i(u) \quad \text{in} \ \ \mathbb R^2 , $$的稳定解的De Giorgi型结果，其中$u=(u_i)_{i=1}^m$对$u_i: \mathbb R^n\to \mathbb R$，$H=(H_i)_{i=1}^m$是一般非线性项.对于某些核$K$，算子$L$由$$L(u_i (x)):= \int_{\mathbb R^2} [u_i(x) - u_i(z)] K(z-x) dz,$$给出。这个想法是应用线性刘维尔定理的商的偏导数，就像在证明经典的德乔治猜想在较低的维度。由于没有与上述算子相关的Caffarelli-Silvestre局部扩张问题，我们通过某些积分估计直接处理这个问题。
2015-06-10 math.AP
Stable solutions of the Allen--Cahn equation in dimension three are one-dimensional
Universität Basel（巴塞尔大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文证明三维空间中 Allen--Cahn 方程的有界稳定解均为一维，从而验证了四维空间中 De Giorgi 猜想的正确性。
2026-09-25 math.AP
A symmetry result for the Ornstein-Uhlenbeck operator
1978年E. De Giorgi提出了一个关于椭圆型方程Δu= F '（u）有界解的一维对称性的猜想，这些解在某个方向上是单调的.本文证明了方程Δu - <x，Du> = F '（u）的类似命题，其中Laplacian算子由Ornstein-Uhlenbeck算子代替.我们的定理在对周围空间的维数没有任何限制的情况下成立，这使得我们能够通过极限过程在无限维中得到类似的结果。
2012-04-24 math.AP
The Han-Li conjecture in constant scalar curvature and constant boundary mean curvature problem on compact manifolds
Han-Li猜想指出：设$(M,g_0)$是一个$n$维$(n\geq 3)$光滑紧致黎曼流形，其边界具有正的（广义）Yamabe常数，$c$是任意实数，则存在$g_0$的共形度量，它具有数量曲率$1$和边界中曲率$c$ .结合Z. C. Han和Y. Y. Li的结果，除了$n\geq 8$，边界是脐点，$M$的Weyl张量在边界上为零且有一个非零内点的情况外，我们肯定地回答了这个猜想.
2018-05-24 math.AP math.DG
Global strong solution for the Korteweg system with quantum pressure in dimension $N\geq 2$
本文证明了由J. EDunn和J.Serrin（1985）（见\cite{fDS}）导出的毛细管流体等温模型在$N\geq 2$维上的整体强解的存在性，该模型可作为相变模型.我们将把我们限制在所谓的可压缩Navier-Stokes系统的情况下，量子压力，相应的考虑毛细管系数$κ(ρ)=\frac{κ_1}ρ$与$κ_1>0$。在第一部分中，我们证明了大初始数据下$T^*$在有限时间内的强解的存在性。这取决于初始数据$(ρ_0,v_0)$的范数。第二部分证明了整体强解的存在性，并对毛细系数（其中$κ_1=μ^2$）和粘性张量（对应于粘性浅水情形$-2μ{\rm div}(ρDu)$）进行了特殊选择.为此，我们推导出不同的能量估计的密度和有效速度$v$，这确保了强解可以扩展到$T^*$之外。主要的困难在于控制真空，或者换句话说，估计$\frac{1}ρ$的$L^\infty$范数。证明主要依赖于De Giorgi \cite{DG}介绍的一种方法（也见Ladyzhenskaya等人在\cite{La}中的抛物情形），以获得具有不连续扩散系数和适当自举参数的椭圆方程的正则性结果。
2016-06-13 math.AP
On a new region for the Lane-Emden conjecture in higher dimensions
Zhengzhou University（郑州大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文利用Obata型积分不等式、Picone恒等式和尺度不变性，证明了高维（n≥5）Lane-Emden猜想在特定指数区域成立，扩展了该猜想的已知范围。
2025-10-08 math.AP
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: proof of Nadirashvili's conjecture and of the lower bound in Yau's conjecture
设$u$是单位球$B(0,1) \subset \mathbb{R}^n$，$n \geq 3$中的调和函数，使得$u(0)=0$ . Nadirashvili解释说，存在一个正常数$c$，仅取决于$n$的尺寸，因此$H^{n-1}(\{u=0 \}\cap B) \geq c$。证明了Nadirashvili猜想及其在$C^\infty$ -光滑黎曼流形上的对应猜想.后者给出了丘氏猜想的下界。也就是说，我们证明了，对于任何紧凑的$C^\infty$ -光滑黎曼流形$M$（无边界）的尺寸$n$存在$c>0$，使任何拉普拉斯特征函数$φ_λ$上$M$，它对应于本征值$λ$，以下不等式成立：$c \sqrt λ\leq H^{n-1}(\{φ_λ=0\})$。
2019-05-26 math.AP math.CA math.DG
A positive answer to the generalized Chang-Yang conjecture on $\mathbb{S}^N$
University of Macau（澳门大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
该研究针对$N\geq 3$的整数，通过积分表示公式和稳定临界点的刚性定理，证明了Beckner不等式成立，从而肯定回答了球面上的广义Chang-Yang猜想。
2026-08-14 math.AP
