De Giorgi's regularity theory for elliptic, parabolic and kinetic equations
本书系统梳理了椭圆、抛物线和动能方程的正则性理论，从经典椭圆问题到最新动能方程发展，涵盖德·吉奥吉和纳什等人的核心方法与贡献。
2026-01-21 math.AP
Nonlocal parabolic De Giorgi classes
Department of Mathematics of the University of Bologna（博洛尼亚大学数学系）；Institute of Natural Sciences, Nihon University（日本大学自然科学研究院）
本文研究非局部抛物De Giorgi类函数的局部行为，证明了局部Hölder连续性及Liouville型刚性性质，并应用该方法证明了非局部Trudinger方程的非局部Harnack不等式。
2026-07-21 math.AP
Gamma-convergence of integral functionals depending on vector-valued functions over parabolic domains
De Giorgi在1979年指出，如果一个抛物泛函序列Gamma收敛到一个极限泛函，那么相应的梯度流在适当改变时间尺度后也会收敛。本文研究了一类抛物泛函的Gamma收敛性，证明了De Giorgi猜想.
2003-01-15 math.AP
Parabolic De Giorgi classes with doubly nonlinear, nonstandard growth: local boundedness under exact integrability assumptions
该研究定义了含非平衡能量估计的抛物型De Giorgi函数类$\mathcal{PDG}$，证明其在奇异抛物算子的三类增长条件下局部有界，次临界情形的结果为全新成果，无需额外可积性条件。
2025-06-17 math.AP
A Nash Type result for Divergence Parabolic Equation related to Hormander's vector fields
本文考虑一类与H有关的系数有界可测的发散抛物型方程Ormander的向量场，并建立纳什型结果，即，当地H较老的弱解的正则性。在导出抛物型Sobolev不等式后，给出了H的（1，1）型Poincaré不等式Ormander的向量场和De Giorgi型引理，H利用抛物Campanato空间与抛物H空间的同构性以及解的振动性估计，证明了方程弱解的一个较早的正则性老空间作为结果，我们通过证明De Giorgi类中函数正性的一个扩张性质，给出了弱解的Harnack不等式.
2017-05-17 math.AP
Introduction to quantitative De Giorgi methods
本课程回顾了椭圆和抛物情形下的经典 De Giorgi 方法，并重点介绍了基于轨迹构造的定量方法及其在动力学理论中亚椭圆方程的最新推广。
2025-10-13 math.AP
A Parabolic Problem with a Fractional-Time Derivative
研究了一类具有分数阶时间导数和空间分数阶扩散的抛物型方程的正则性。我们的主要结果是散度型方程解的De Giorgi-Nash-Moser Holder正则性定理。我们还证明了结果的存在性，唯一性和更高的规律性的时间。
2015-01-28 math.AP
Hölder regularity for mixed local and nonlocal $p$-Laplace parabolic equations
本文给出了具有指数$1<p<\infty$的局部和非局部混合$p$-Laplace型抛物型方程弱解的Hölder正则性的统一证明.我们的证明是基于积极性的扩展与能量估计和De Giorgi型引理。
2022-06-30 math.AP
Weak Harnack estimates for supersolutions to doubly degenerate parabolic equations
建立了一类双退化抛物方程正的弱上解的弱Harnack不等式.这类方程的原型是$$\partial_tu-\operatorname{div}|u|^{m-1}|Du|^{p-2}Du=0,\quad p>2,\quad m+p>3.$$。我们的证明是基于Caccioppoli不等式、De Giorgi估计和Moser的迭代法。
2017-10-31 math.AP
De Giorgi-Nash-Moser and H{ö}rmander theories: new interplay
我们报告最近的结果和一个新的研究路线的交叉点的两个主要理论在分析偏微分方程。著名的De Giorgi-Nash-Moser理论给出了具有粗系数的一致椭圆型或抛物型方程的H{<$}lder估计和Harnack不等式。H{<$}rmander的亚椭圆性理论表明，在一般的“括号”条件下，当椭圆性在某些方向失效时，一阶和二阶导数算子组合的偏微分方程解的正则性。我们讨论最近扩展的De Giorgi-Nash-Moser理论的亚椭圆方程的Kolmogorov（动力学）型粗糙系数。这些方程将一阶斜对称算子与仅涉及某些变量的导数的二阶椭圆算子相结合，并且具有粗糙系数。然后，我们讨论了动力学理论中的玻尔兹曼和朗道方程的应用，并提出了一些悬而未决的问题的研究计划。
2018-08-01 math.AP
A stochastic flow approach to De Giorgi-Nash-Moser estimates for SPDEs with smooth transport noise
针对带输运噪声的抛物型SPDEs正则性理论中Hölder连续性这一开放问题，本工作在噪声系数空间足够正则的假设下，基于Kunita随机特征线方法结合新先验估计与适配公式，解决该问题并确立拟线性SPDEs全局正则解的存在性。
2025-11-16 math.AP math.PR
Gaussian estimates for fundamental solutions of higher-order parabolic equations with time-independent coefficients
College of Mathematics and System Science, Shandong University of Science and Technology（山东科技大学数学与系统科学学院）
研究高阶抛物方程的De Giorgi-Moser-Nash估计，获得基本解的高斯上界和Hölder正则性估计。
2026-03-25 math.AP
Some local properties of subsolutons and supersolutions for a doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equation
建立了一类双非线性抛物型分数阶$p$ -Laplace方程弱子解的局部有界性估计.我们的论点依赖于能量估计和De Giorgi方法的抛物非局部版本。利用一个新的代数不等式，证明了正的弱上解满足一个逆的赫尔德不等式.最后，我们还证明了正上解的对数衰减估计。
2020-10-12 math.AP
Stochastic De Giorgi Iteration and Regularity of Stochastic Partial Differential Equation
在一般条件下，我们证明了形式为\[ \partial_t u = \mathrm{div} (A \nabla u) + f(t,x, u) + g_i (t,x,u) \dot{w}^i_t \]的随机抛物型偏微分方程的解在空间和时间变量上几乎必然是Hölder连续的.
2016-01-10 math.AP math.PR
The local boundedness of gradients of weak solutions to elliptic and parabolic phi-Laplacian systems
本文给出了退化奇异椭圆型和抛物型phi-Laplacian方程组解的梯度有界性的统一证明方法。首先证明了一个Cacciopoli型能量不等式，其中附加函数f可以自由选择.然后，Di Giorgi的方法应用水平集，这将导致L-无穷的梯度上的弱解的估计。
2016-03-15 math.AP
Global a priori bounds for weak solutions to quasilinear parabolic equations with nonstandard growth
本文研究了一类具有非线性边界条件和非标准增长项的拟线性抛物问题。它包括具有$p(t,x)$ -拉普拉斯算子的方程的重要情况。利用局部化方法和DeGiorgi迭代技巧，我们得到了这类问题弱解的整体先验界.我们的结果似乎是新的，即使在常数指数的情况下。
2015-12-14 math.AP
Applications of P-functions to Fully Nonlinear Elliptic equations: Gradient Estimates and Rigidity Results
本文引入全非线性方程的P-函数概念，建立一般准则，获得梯度界、De Giorgi型性质与刚性结果，推广Modica不等式，并证明Harnack型不等式及高阶方程的Liouville定理。
2025-03-28 math.AP
On the regularity theory for mixed local and nonlocal quasilinear parabolic equations
考虑了$p$ -Laplace型拟线性混合局部和非局部抛物型方程，讨论了这类方程的弱解的几个正则性.更精确地说，我们建立了弱下解的局部有界性，弱上解的下半连续性以及弱下解的上半连续性。我们还讨论了非连续代表的点态行为。我们的主要结果是有效的符号变化的解决方案。我们的方法是纯粹的分析，是基于能量估计和德乔治理论。
2021-10-05 math.AP
Regularity theory for mixed local and nonlocal parabolic p-Laplace equations
研究了局部和非局部抛物型$p$ -Laplace方程\begin{align*} \partial_t u(x,t)-Δ_p u(x,t)+\mathcal{L}u(x,t)=0, \end{align*}，其中$Δ_p$是局部$p$ -Laplace算子，$\mathcal{L}$是非局部$p$ -Laplace算子.基于适当的Caccioppoli型不等式和对数引理与De Giorgi-Nash-Moser迭代的结合，我们建立了这类方程的弱解的局部有界性和Hölder连续性.
2021-07-21 math.AP
Regularity of weak solutions for mixed local and nonlocal double phase parabolic equations
本文研究了混合局部与非局部双相抛物型方程，利用 De Giorgi-Nash-Moser 迭代证明了弱解的局部有界性，并基于能量估计和 De Giorgi 型引理讨论了弱上下解的点态行为与半连续性。
2023-06-25 math.AP
A Harnack's inequality for mixed type evolution equations
本文定义了一个二阶齐次抛物型De Giorgi类，它适合于一类混合型的发展方程，最简单的例子是$μ(x) \frac{\partial u}{\partial t} - Δu = 0$，其中$μ$可以是正的，零的和负的，因此特别包括椭圆抛物型和向前向后抛物型方程.对于属于这一类的功能，我们证明了局部有界性，并显示一个Harnack不等式，作为副产品，使Hölder连续性，特别是在接口$I$其中$μ$改变符号，和一个最大值原理。
2015-08-31 math.AP
Lower semicontinuity and pointwise behavior of supersolutions for some doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equations
讨论了一类双非线性抛物型分数阶$p$ -Laplace方程弱上解的逐点行为，其中包括分数阶抛物型$p$ -Laplace方程和分数阶多孔介质方程。更精确地说，我们证明了弱上解具有较低的连续代表性。我们还证明了在一个时刻的连续代表是由在以前的时间的值。这给出了在每一点上弱上解的逐点解释。相应的结果也适用于弱下解。我们的结果推广了最近的结果在局部抛物的情况下，在非局部椭圆的情况下，非局部抛物的情况下。我们证明了所需的能量估计和测量理论的De Giorgi型引理的分数设置。
2021-01-25 math.AP
Hölder Continuity for Fully Fractional Parabolic Equations with Space-time Nonlocal Operators
本文研究含空间分数阶扩散与Marchaud型分数阶时间导数的全分数阶抛物型方程，在不假设解和非齐次项有界的条件下，引入时间依赖非局部尾项，利用非局部De Giorgi迭代技术证明弱解的局部有界性与局部Hölder连续性。
2024-06-13 math.AP
A note on the proof of Hölder continuity to weak solutions of elliptic equations
本文借用抛物理论的思想，结合De Giorgi和Moser的方法，给出了椭圆型方程弱解的Hölder连续性的证明.
2010-05-27 math.AP
Local regularity for solutions to quasi-linear singular parabolic equations with anisotropic weights
本文提出了一种基于改进能量不等式和内在尺度因子的 De Giorgi 截断法，用于研究 $p$-Laplacian 型各向异性加权拟线性奇异抛物型方程解的局部正则性，并给出了无权情形下局部 Hölder 连续性的新证明。
2024-06-04 math.AP
Maximum principle for non-uniformly parabolic equations and applications
本文利用De-Giorgi迭代法研究了一类可能退化的抛物型方程解的整体有界性。作为应用，我们证明了具有奇异扩散和漂移系数的可能退化随机微分方程弱解的存在性。此外，利用Krylov [8]的马氏选择定理，我们还证明了伴随强马氏族的存在性.
2021-05-16 math.AP math.PR
Uniform BMO estimate of parabolic equations and global well-posedness of the thermistor problem
全球适定性的时间依赖性（退化）热敏电阻的问题仍然开放多年。在本文中，我们通过建立非齐次抛物型方程的时间一致BMO估计来解决这个问题。应用这个估计的温度方程，我们得到的BMO界的温度均匀相对于时间，这意味着电导率是一个$A_2$重量。然后，对带$A_2$系数的退化椭圆型方程应用De Giorgi-Nash-Moser估计，证明了电势的Hölder连续性.在已建立的弱解的正则性基础上，证明了解的唯一性。当初值和边界条件光滑时，我们的结果也暗示了整体经典解的存在性。
2013-04-24 math.AP
Hölder estimates for fractional parabolic equations with critical divergence free drifts
本文主要研究了具有分数阶耗散项的漂移扩散方程的$(-Δ)^α$.我们的主要结果是一个先验的Hölder估计光滑解的柯西问题，从初始数据与有限的能量。我们证明了对于某些$β\in (0,1)$，解的$C^β$范数只依赖于具有$q>2$和$γ\in (0,2α-1]$的$L^{q}_{t}(BMO^{-γ}_{x})$形式的临界空间中漂移的大小，以及初始数据的$L^{2}_{x}$范数.证明使用的Caffarelli/Vasseur变种德Giorgi的方法非本地方程。
2016-09-09 math.AP
Hele-Shaw flow with surface tension and kinetic undercooling as a sharp interface limit of a fully parabolic Patlak-Keller-Segel system with nonlinear diffusion
本文证明带退化非线性扩散的抛物-抛物 PKS 系统在大种群极限下收敛为含表面张力、动力学过冷及接触角条件的 Hele-Shaw 自由边界问题，并揭示相分离与 Modica-Mortola 能量结构的相容性。
2025-10-18 math.AP
Regularity of weak supersolutions to elliptic and parabolic equations: lower semicontinuity and pointwise behavior
我们证明了一个测度理论方法来研究散度型椭圆型和抛物型方程弱上解的局部正则性。在第一部分中，我们证明了在零测度集上重新定义弱上解后，弱上解变为下连续的。该证明依赖于一个一般原理，即De Giorgi型引理，它为广泛的一类椭圆和抛物型方程，包括各向异性椭圆型方程、抛物型$p$ -Laplace方程和多孔介质方程提供了一个统一的方法。在第二部分中，我们将表明，抛物问题的下连续代表在一个瞬间可以恢复逐点从“esslimif”的过去的时间。我们还证明了它可以通过过去时间的某个积分平均的极限来恢复。证明依赖于弱上解的正性展开。我们的结果是偏微分方程的结构性质，与任何一种比较原理无关。
2021-01-19 math.AP
Harnack, Holder, Gauss and Widder: Serrin's Parabolic Legacy
詹姆斯塞林的基本贡献理论的准线性椭圆型方程是众所周知的和广泛赞赏。他还作出了不太知名的贡献理论的准线性抛物型方程，我们讨论在本说明。Jurgen Moser利用一种新颖的迭代方法，对线性发散结构的椭圆型和抛物型微分方程的De Giorgi-Nash正则性结果给出了大大简化的证明。Serrin延长莫泽的技术，并将其应用于研究的分歧结构拟线性椭圆型方程，并与阿伦森，分歧结构拟线性抛物型方程。具体而言，除其他结果，他们证明了最大值原理，持有人连续性的广义解和推导出一个Harnack原则的一个非常广泛的一类准线性抛物型方程。在随后的工作中，Aronson应用这些结果来研究非负解的发散结构线性方程没有正则性假设的系数。结果包括一个双边高斯估计的基本解和推广的Widder表示定理。
2016-11-28 math.AP
Hölder regularity of weak solutions to nonlocal doubly degenerate parabolic equations
本文研究非局部双重退化抛物方程的局部正则性，在抛物尾部条件下，利用非局部De Giorgi技术和固有缩放方法，证明局部有界变号解的局部Hölder连续性。
2025-09-07 math.AP
Harnack estimates for the nonlocal Trudinger equation
University of Bologna（博洛尼亚大学）；Nihon University（日本大学）
研究非局部Trudinger方程的逐点正则性理论，通过改编精细德乔治 - 莫泽机制，在最优尾条件下建立定量上界及抛物型哈拿克不等式，克服非局部双非线性框架技术难题。
2026-07-21 math.AP
Gradient continuity for the parabolic $(1,\,p)$-Laplace system
本文针对抛物型$(1,p)$-拉普拉斯方程组，克服算子在梯度退化区一致椭圆性失效的难点，通过近似方程组与经典正则性方法证明截断梯度的局部赫尔德连续性，最终得到空间梯度的时空连续性，还拓展到带Uhlenbeck结构的广义方程组。
2025-03-21 math.AP
Continuity of the spatial gradient of weak solutions to very singular parabolic equations involving the one-Laplacian
本文证明了一类含一-Laplace型算子的极奇异抛物方程弱解空间梯度的时空连续性，通过截断梯度的Hölder估计和抛物近似方法，解决了宾汉流体模型中的长期公开问题。
2025-01-22 math.AP
A Harnack inequality for solutions of elliptic-parabolic equations
本文提出了一种针对强退化抛物方程解的Harnack不等式，通过定义特定的De Giorgi类并证明非齐次抛物Harnack不等式，从而获得解的Hölder连续性。
2025-11-20 math.AP
Regularity of Weak Solutions of Elliptic and Parabolic Equations with Some Critical or Supercritical Potentials
本文证明了一致椭圆型和抛物型方程$Δu-\frac{A}{|x|^{2+β}}u=0,\,\,(β\geq 0)$，变二阶项系数情形$%% \begin{equation}\label{01} \partial_{i} (a_{ij}(x) \partial_{j}u(x)) - \frac{A}{|x|^{2+β}} u(x) =0\quad (A>0,\quadβ\geq 0), \end{equation} \begin{equation}\label{02} \partial_{i} (a_{ij}(x,t) \partial_{j}u(x,t)) - \frac{A}{|x|^{2+β}} u(x,t)-\partial_{t}u(x,t) =0\quad (A>0,\quadβ\geq 0), \end{equation} with critical or supercritical 0-order term coefficients which are beyond De Giorgi-Nash-Moser's Theory. We also prove, in some special cases, weak solutions are even differentiable. Previously P. Baras and J. A. Goldstein \cit…
2016-01-11 math.AP
Singular solutions to parabolic equations in one space dimension
Universit \'e Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de Math\' e matiques d'Orsay, 91405 Orsay, France
本文构造一维复系数抛物方程的奇异弱解，证明能量估计可积性最优，并揭示De Giorgi--Nash--Moser理论局部有界性在复系数下失效。
2026-09-16 math.AP math.CA
Some qualitative and quantitative properties of weak solutions to mixed anisotropic and nonlocal quasilinear elliptic and doubly nonlinear parabolic equations
本文研究混合各向异性与非局部p-Laplace算子及双重非线性抛物方程，建立存在唯一性、比较定理、Hardy不等式及正则性估计，并利用Picone恒等式与能量估计等方法。
2025-02-28 math.AP
On the Hölder regularity of signed solutions to a doubly nonlinear equation
建立了一类以\[ \partial_t\big(|u|^{p-2}u\big)-Δ_p u=0,\quad p>1. \]为原型的双非线性抛物型方程可能变号解的内部和边界的Hölder连续性.证明依赖于正性展开的性质和内禀尺度方法，所有这些都是通过De Giorgi迭代实现的.我们的方法，同时强调子（上）解的独特作用，是足够灵活的，以获得的Dirichlet型或Neumann型的初边值问题的解的Hölder正则性在一个圆柱形区域，抛物边界。此外，基于正性的展开，我们能够给出非负解的Harnack不等式的另一种证明。此外，作为内估计的结果，我们还得到了一个Liouville型结果.
2020-03-09 math.AP
Global well-posedness of large perturbations of traveling waves in a hyperbolic-parabolic system arising from a chemotaxis model
我们考虑一个一维系统所产生的肿瘤血管生成的趋化性模型，这是由一个Keller-Segel方程奇异灵敏度。已知该双曲抛物系统允许粘性激波（所谓的行波），并且在文献中，它们的非线性稳定性被认为是在某些平均零小扰动类中。我们证明了该解的全局存在性，而无需假设任何初始数据的平均零条件为索伯列夫空间$H^1$中行波周围的任意大扰动，同时假设冲击强度足够小。本文的主要创新之处是发展了任意大的$H^1$扰动行波连接两个不同的端态的整体适定性。端态的差异与相应通量的复杂性有关，这需要一种新的能量估计。为了克服这一问题，我们使用了Choi-Kang-Kwon-Vasseur证明的关于平移的加权相对熵泛函的先验压缩估计.移位的有界性意味着相对熵泛函在任何时间间隔上没有移位的先验界，这产生了$H^1$ -估计，这要归功于De Giorgi型引理。此外，为了消除真空出现的可能性，我们再次使用引理。
2019-10-23 math.AP
Green's function for second order parabolic systems with Neumann boundary condition
研究了圆柱区域$\mathcal{Q}=Ω\times (-\infty,\infty)$中具有时间依赖可测系数的二阶发散散度型抛物方程组的Neumann Green函数，其中$Ω\subset \mathbb{R}^n$是一个开连通集，使得一个乘法Sobolev嵌入不等式在那里成立.这样的域包括，例如，有界Sobolev扩张域，特殊Lipschitz域和具有紧Lipschitz边界的无界域。在假设系统的弱解满足内部Hölder连续性估计的条件下，构造了$\mathcal{Q}$中的NeumannGreen函数.我们还建立了全局高斯边界的Neumann格林函数的一个额外的假设下，弱解与零Neumann数据满足局部有界估计。在标量的情况下，这样的局部有界性估计是De Giorgi-Moser-Nash理论在Sobolev扩张域中对具有有界可测系数的方程成立的结果，而在向量的情况下，可能需要对系统的系数以及域施加进一步的正则性假设以获得这样的估计。我们提出了一个统一的方法，适用于标量和向量的情况下，并讨论了我们的结果的一些应用，包括构造Neumann函数的二阶椭圆系统的可测系数在二维区域。
2013-01-08 math.AP
Hölder estimates of weak solutions to chemotaxis systems of fast diffusion type
Dipartimento di Matematica e Informatica（数学与信息学系）；Facoltà di Ingegneria e Architettura（工程与建筑学院）
本文研究了一类奇异类型的拟线性趋化系统，其中扩散算子为Δu^m（0<m<1），对应快速扩散情形，趋化漂移非线性。通过改进的De Giorgi-Di Benedetto迭代方案，建立了该系统有界解的Hölder正则性结果，推动了非线性扩散趋化模型精细正则性性质的理解。
2026-04-16 math.AP
Properties of Generalized Forchheimer Flows in Porous Media
当达西定律不适用时，用非线性Forchheimer方程来描述多孔介质中的流体流动。在这篇文章中，我们考虑了广义Forchheimer流动的轻微可压缩流体和研究所产生的退化抛物型方程的压力与时间相关的通量边界条件的初边值问题。我们估计$L^\infty$ -范数的压力和它的时间导数，以及其他勒贝格范数的梯度和二阶空间导数。强调了时间趋于无穷大时的渐近估计。然后，我们表明，解决方案（在内部$L^\infty$ -规范）和它的梯度（在内部$L^{2-δ}$ -规范）连续依赖于初始和边界数据，系数的Forchheimer多项式。这些都证明了有限的时间间隔和时间无限。De Giorgi和Ladyzhenskaya-Uraltseva迭代技术与均匀Gronwall型估计，特定的单调性，适当的抛物Sobolev嵌入和一个新的快速几何收敛结果相结合。
2014-05-27 math.AP
Hölder regularity for a non-linear parabolic equation driven by space-time white noise
考虑时空白噪声驱动的非线性方程$T^{-1} u+\partial_tu-\partial_x^2π(u)=ξ$，由于我们假设$π'$有界远离零和无穷大，所以它是一致抛物的。在进一步假设$π'$的Lipschitz连续性的条件下，我们证明了对于任何$α<\frac{1}{2}$ w，其定态解与线性情形一样，几乎必然是指数为$α$的Hölder连续解. R. t.抛物线度量更确切地说，我们表明，相应的本地Hölder范数拉伸指数矩。在随机方面，我们使用鞅参数的组合来获得二阶矩估计，并将测量参数的浓度提升到高斯矩。在确定性方面，我们首先执行Campanato迭代的基础上的De Giorgi-Nash定理以及有限和无穷小版本的$H^{-1}$ -收缩原理，这产生高斯矩较弱的Hölder范数。在第二步中，该估计被改进为最优的Hölder指数，但代价是削弱了对拉伸指数的可积性。
2015-12-18 math.AP math.PR
Solutions of the 4-species quadratic reaction-diffusion system are bounded and $C^\infty$, in any space dimension
我们建立了具有二次（实际上是略超二次）反应项的反应扩散系统的解的有界性，这些反应项满足自然熵耗散性质，在任何空间维度N>2。这个界意味着解的光滑性。这一结果推广了仅限于二维情形的理论。证明大量使用De Giorgi的迭代方案，这使我们能够获得局部估计。参数依赖于对偶推理，以获得新的估计系统的总质量，无论是在$L^{(N+1)/N}$规范和在一个适当的弱规范。后者使用$C^α$正则化性质的抛物型方程。
2017-09-17 math.AP
Nonlocal Harnack inequalities for nonlocal heat equations
本文利用De Giorgi方法，得到了由积分-微分算子$\rL_K$给出的非局部抛物型方程弱解的非局部Harnack不等式：\begin{equation*}\begin{cases} \rL_K u+\pa_t u=0 &\text{ in $\Om\times(-T,0]$ } u=g &\text{ in $\bigl((\BR^n\s\Om)\times (-T,0]\bigr)\cup\bigl(\Om\times\{t=-T\}\bigr)$ } \end{cases}\end{equation*}其中$g\in C(\BR^n\times [-T,0])\cap L^{\iy}(\BR^n\times(-T,0])$和$\,\Om\,$是$\BR^n$中具有Lipschitz边界的有界区域.进一步得到了该方程弱解的非局部抛物型弱Harnack不等式.
2018-07-09 math.AP math.CA
Boundedness of weak solutions to degenerate Kolmogorov equations of hypoelliptic type in bounded domains
本文针对相容于齐次 Lie 群的亚椭圆型退化 Kolmogorov 方程，结合 De Giorgi 迭代、重整化公式与基本解嵌入估计，证明了有界乘积区域内弱下解的有界性。
2025-02-20 math.AP
Weak and strong solutions for a class of quasilinear Allen--Cahn systems
Universität Regensburg（雷根斯堡大学）；Universität Heidelberg（海德堡大学）；Università degli Studi di Parma（帕尔马大学）
针对一类非凸梯度能量的拟线性Allen-Cahn系统，首次证明了局部强解和全局弱解的存在唯一性，并利用de Giorgi插值技术获得能量衰减性质。
2026-07-03 math.AP
Local $L_\infty$-estimates, weak Harnack inequality, and stochastic continuity of solutions of SPDEs
我们考虑随机偏微分方程在最小的假设：系数仅仅是有界的和可测的，并满足随机抛物性条件。特别地，扩散项被允许是缩放临界的。我们得到了局部上确界估计与随机适应的De Giorgi的迭代和建立一个弱Harnack不等式的解决方案。后者则用于获得逐点几乎必然连续性。
2016-10-17 math.AP math.PR
Local boundedness of solutions to parabolic equations associated with fractional $p$-Laplacian type operators
本文研究分数阶$p$-拉普拉斯型算子相关抛物方程局部弱解的局部有界性，通过新型水平集截断等方法推广了线性情形结果，对所有$p>1$建立了含时间$L^1$-范数非局部抛物尾项的局部有界性。
2024-12-04 math.AP
Maximum estimates for generalized Forchheimer flows in heterogeneous porous media
本文是对非均质多孔介质中广义Forchheimer流研究的继续。这种流动被用来解释偏离达西定律的情况。在非均质介质中，导出的压力非线性偏微分方程除了在大压力梯度下退化外，在空间变量上还可以是奇异的和退化的。在这里，我们得到的$L^\infty$ -范数的压力和它的时间导数的初始和时间依赖的边界数据的估计。它们是通过在加权范数的上下文中实现De Giorgi的迭代来建立的，加权范数的权重由Forchheimer方程的系数函数具体定义。利用这些权，我们证明了合适的加权抛物Poincaré-Sobolev不等式，并利用它们来方便迭代.此外，本地的时间$L^\infty$ -界相结合的一致Gronwall型能量不等式，以获得长期的$L^\infty$ -估计。
2015-10-30 math.AP
Regularity and Uniqueness for a Model of Active Particles with Angle-Averaged Diffusions
INRIA, Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL), Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS（法国国家信息与自动化研究所，雅克-路易·利翁斯实验室，索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心）；Scuola Normale Superiore, Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi（意大利高等师范学院，恩尼奥·德乔治数学研究中心）
该研究针对自驱动粒子模型极限产生的退化抛物方程，证明在温和非退化条件下弱解正时间光滑，并在更强条件下证明唯一性，方法结合漂移-扩散方程、De Giorgi方法和Galerkin逼近。
2026-09-14 math.AP
Estimates on fractional higher derivatives of weak solutions for the Navier-Stokes equations
本文研究了三维Navier-斯托克斯方程在全空间中的弱解问题，初始数据为$L^2$。证明了对于任何实$α$，$\nabla^αu $在时空中是局部可积的，使得$1< α<3$，也就是说几乎三阶导数是局部可积的。到目前为止，只有二阶导数$\nabla^2 u$已知是局部可积的标准抛物正则化。我们还提出了尖锐的估计，这些数量在弱$L_{loc}^{4/(α+1)}$。这些估计仅依赖于初始数据和积分域的$L^2$范数。此外，只要$u$是平滑的，它们甚至对于$α\geq 3$也是有效的。证明使用了一个很好的近似的Navier-Stokes和爆破技术，这让我们专注于本地的研究。对于局部研究，我们使用De Giorgi方法和新的压力分解。为了处理分数拉普拉斯算子的非局部性，我们将采用Hardy空间和极大函数的一些性质。
2011-05-08 math.AP
