Nonlocal minimal surfaces
极小曲面的de Giorgi理论包括研究其指示函数是BV范数的（局部）最小值的集合。在本文中，我们用$H^σ$范数代替BV范数，用$σ<1/2$，并试图理解极小化器是什么样子的。平行于de Giorgi理论，我们证明，如果一个极小的边界是足够平坦的单位球，那么它是一个光滑的一块超曲面。
2009-05-08 math.AP
Regularity and Bernstein-type results for nonlocal minimal surfaces
我们证明了在每个维度上，Lipschitz非局部极小曲面都是光滑的。此外，我们扩展到非局部设置一个著名的德Giorgi定理指出，有效性的伯恩斯坦定理在尺寸$n+1$是一个后果的不存在的$n$维奇异极小锥在$\R^n$。
2013-06-30 math.AP
Harnack inequality for nonlocal problems with non-standard growth
Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）
本文基于作者此前相关研究，证明了具有非标准增长的非局部问题的局部极小值与弱解的完整Harnack不等式，核心辅助结果为对应De Giorgi类函数的局部有界性及弱Harnack不等式。
2022-02-09 math.AP
Regularity of weak solutions for mixed local and nonlocal double phase parabolic equations
本文研究了混合局部与非局部双相抛物型方程，利用 De Giorgi-Nash-Moser 迭代证明了弱解的局部有界性，并基于能量估计和 De Giorgi 型引理讨论了弱上下解的点态行为与半连续性。
2023-06-25 math.AP
Regularity results for mixed local and nonlocal double phase functionals
本文研究了局部和非局部混合泛函极小元的De Giorgi-Nash-Moser理论，其中$0<s<1<p \le q$和$a(\cdot) \ge 0$是以\[ v \mapsto \int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\dfrac{|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{n+sp}}\,dxdy+\int_Ωa(x)|Dv|^{q}\,dx, \]为模型的.特别地，我们在$s,p,q$和$a(\cdot)$上证明了Hölder正则性和Harnack不等式.
2023-01-16 math.AP
Regularity for nonlocal problems with non-standard growth
Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）
该研究针对具有(p,q)型非标准增长的非局部泛函极小值点与相关非局部方程弱解，通过研究De Giorgi类，得到了其局部有界性与Hölder连续性的鲁棒正则性估计结果。
2021-11-17 math.AP
Phase transitions in two-component Bose-Einstein condensates with Rabi frequency (II): The De Giorgi conjecture for the nonlocal problem in $\mathbb{R}^{2}$ or $\mathbb{R}^{3}$
本文研究了两组分玻色-爱因斯坦凝聚体的非局部问题，证明了在特定条件下单调解必须为一维，并扩展了De Giorgi型定理到新的非局部耦合系统。
2025-11-21 math-ph math.AP math.MP
A symmetry result in $\mathbb{R}^2$ for global minimizers of a general type of nonlocal energy
在这篇文章中，我们感兴趣的一般类型的非局部能量，定义在一个球$B_R\subset \mathbb R^n$为某些$R>0$为\[ \mathcal E (u, B_R)= \iint_{\mathbb R^{2n}\setminus (\mathcal C B_R)^2} F( u(x)-u(y),x-y)\, dx \, dy+\int_{B_R} W(u)\, dx.\]我们证明了在$\mathbb R^2$，在适当的假设下的功能$F$和$W$，有界连续的整体能量极小是一维的。这证明了一个德乔治猜想极小在二维，一般类型的非局部能量。
2019-11-29 math.AP
Hölder Continuity for Fully Fractional Parabolic Equations with Space-time Nonlocal Operators
本文研究含空间分数阶扩散与Marchaud型分数阶时间导数的全分数阶抛物型方程，在不假设解和非齐次项有界的条件下，引入时间依赖非局部尾项，利用非局部De Giorgi迭代技术证明弱解的局部有界性与局部Hölder连续性。
2024-06-13 math.AP
Fractional De Giorgi conjecture in dimension 2 via complex-plane methods
本文利用复平面方法，结合 Farina 方法和 Caffarelli-Silvestre 的 $s$-调和延拓，为二维全指数范围 Allen-Cahn 方程的分数阶 De Giorgi 猜想提供了新证明，并建立了带 Neumann 边界条件的加权椭圆方程有限能量弱解的表示公式。
2025-03-08 math.AP
On the singular limit problem for a discontinuous nonlocal conservation law
本文研究了空间中具有间断的非局部守恒律的奇异极限问题。对包含空间不连续性的非局部核的特殊选择，使它能够得到非局部方程的最大值原理。相应的局部方程可以被同构地变换为经典的标量守恒律，其中可以应用众所周知的Kružkov理论。然而，非局部方程并不以这种方式扩展，这就是为什么收敛性的研究是有趣的。对于非局部算子中的指数核，在速度不连续的条件下，证明了其收敛到相应的局部方程。我们用一些数值例子来说明我们的结果。
2022-12-23 math.AP
Local behavior of fractional $p$-minimizers
我们将De Giorgi-Nash-Moser理论推广到非局部的，可能退化的积分微分算子。
2015-05-02 math.AP
Local minimizers and Gamma-convergence for nonlocal perimeters in Carnot Groups
我们证明了卡诺群的半空间的局部极小的一类非局部泛函通常称为非局部周长。此外，在一类Carnot群中，De Giorgi的可求直定理成立，我们提供了一个下界的$Γ$ -limif的重新标度的能量的水平周长。
2020-04-05 math.AP math.MG
Lower semicontinuity and pointwise behavior of supersolutions for some doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equations
讨论了一类双非线性抛物型分数阶$p$ -Laplace方程弱上解的逐点行为，其中包括分数阶抛物型$p$ -Laplace方程和分数阶多孔介质方程。更精确地说，我们证明了弱上解具有较低的连续代表性。我们还证明了在一个时刻的连续代表是由在以前的时间的值。这给出了在每一点上弱上解的逐点解释。相应的结果也适用于弱下解。我们的结果推广了最近的结果在局部抛物的情况下，在非局部椭圆的情况下，非局部抛物的情况下。我们证明了所需的能量估计和测量理论的De Giorgi型引理的分数设置。
2021-01-25 math.AP
Local regularity for nonlocal double phase equations in the Heisenberg group
针对Heisenberg群中非局部双相方程弱解的研究问题，基于De Giorgi-Nash-Moser理论思想，通过建立局部关键Sobolev-Poincaré型不等式等，证明其内部有界性与Hölder连续性，解决了相关公开问题。
2023-05-19 math.AP
Gamma-convergence of nonlocal energies for partitions
本文证明了由可测集划分定义的含广义表面张力系数的非局部泛函Gamma-收敛到以周长为模型的局部泛函，揭示了极限中的松弛过程及新效应。
2025-06-25 math.AP math.FA
One-dimensional symmetry for integral systems in two dimensions
本文的目的是证明二维非局部积分方程组$$ L(u_i) = H_i(u) \quad \text{in} \ \ \mathbb R^2 , $$的稳定解的De Giorgi型结果，其中$u=(u_i)_{i=1}^m$对$u_i: \mathbb R^n\to \mathbb R$，$H=(H_i)_{i=1}^m$是一般非线性项.对于某些核$K$，算子$L$由$$L(u_i (x)):= \int_{\mathbb R^2} [u_i(x) - u_i(z)] K(z-x) dz,$$给出。这个想法是应用线性刘维尔定理的商的偏导数，就像在证明经典的德乔治猜想在较低的维度。由于没有与上述算子相关的Caffarelli-Silvestre局部扩张问题，我们通过某些积分估计直接处理这个问题。
2015-06-10 math.AP
Elliptic Harnack inequalities for mixed local and nonlocal $p$-energy form on metric measure spaces
National University of Defense Technology（国防科技大学）
本文在度量测度空间中提出混合局部和非局部 $p$-能量形式的公理化框架，并利用泊松不等式和截断塞伯里格不等式建立了弱和强椭圆哈纳克不等式，扩展了狄利克雷形式和欧几里得空间上混合能量形式的结果。
2026-03-05 math.AP math.FA
Discontinuity Analysis and Semi-Analytic Spectral Approximation for the Nonlocal Poisson Equation
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
研究非局部泊松方程中不连续源项的不连续性结构，分析积分核的正则性对解的影响，并提出半解析谱方法处理非局部不连续问题，提升计算精度与收敛性。
2026-05-02 cs.NA math.AP math.NA
Regularity for a Local-Nonlocal Transmission Problem
我们制定和研究一个椭圆形的传输问题相结合的本地和非本地元素。设$\mathbb{R}^{n}$被光滑超曲面$Γ$分成两个分量。在$Γ$的一侧，函数满足局部二阶椭圆型方程。另一方面，它满足一个低阶的非局部解。此外，一个非本地的传输条件施加在整个接口$Γ$，它有一个自然的变分解释。我们推导出相应的狄利克雷问题的解的存在性，并证明了在温和的假设下，他们是Hölder连续的，以下的De Giorgi的方法。主要的困难源于缺乏规模不变性附近的$Γ$，我们规避推导出一个特殊的能量估计，这是统一的标度参数。然后我们转向最优正则性和解的定性性质的问题，并证明了（在常系数和平坦$Γ)$的情况下）它们满足一种传递条件，其中在界面两侧的“分数余法向导数“之比是固定的.然后给出了一个摄动论证，说明如何获得具有光滑界面的变系数方程解的正则性。在整个过程中，我们特别注意一个非线性版本的问题与漂移的解决方案，这有一个解释的背景下，准地转动力学的奇异积分运营商。
2015-01-31 math.AP
A gradient estimate for nonlocal minimal graphs
我们考虑一类定义在所有$\mathbb{R}^n$中的可测函数，这些函数在$\mathbb{R}^n$的球上产生非局部极小图。我们建立任何这样的函数的梯度是有界的内部球的权力，其振荡。这个估计，连同以前已知的结果，导致$C^\infty$规则的功能在球。虽然非局部极小图的光滑性在$n = 1, 2$中是已知的（但没有定量的界限），但在更高的维度中，只有它们的连续性被建立起来。为了证明梯度界，我们证明了非局部极小图的法线是截断分数Jacobi算子的超解，并证明了一个弱Harnack不等式。为此，我们在非局部极小曲面上建立了一个新的泛分式Sobolev不等式.我们的估计提供了一个扩展的分数设置的著名的梯度界的Finn和的Besieri，De Giorgi和米兰达的经典的中曲率方程的解决方案。
2018-11-21 math.AP math.DG
A minimization approach to hyperbolic Cauchy problems
发展了De Giorgi的一种新的纯变分方法，研究了一类散焦双曲型方程的Cauchy问题.主要的新特点是，解决方案是作为限制的功能，最大限度地减少适当的泛函在时空（其中的初始数据的柯西问题作为规定的边界条件）。这为双曲世界和变分法之间的新联系开辟了道路。也可以处理耗散方程。最后，我们讨论了几个例子的方程，适合在这个框架中，包括非局部方程，特别是分数拉普拉斯方程。
2013-10-25 math.AP
Local Behavior of Fractional Equations in Grushin-type Spaces
本文在Grushin型空间中建立了由非局部退化算子驱动的非线性方程的De Giorgi-Nash-Moser理论，证明了弱解的有界性和Hölder连续性，并给出了分数阶Caccioppoli型估计和对数型界。
2025-04-20 math.AP
Uniqueness and stability of the saddle-shaped solution to the fractional Allen-Cahn equation
本文证明了半线性非局部椭圆型方程$(-Δ)^γu = f(u)$在$\mathbb R^{2m}$中鞍形解的唯一性，其中$γ\in (0,1)$和$f$是Allen-Cahn型的.此外，我们还证明了当$2m\geq 14$ .由于这一结果和连接的问题与非局部极小曲面，我们表明，西蒙斯锥$\{(x', x'') \in \mathbb R^{m}\times \mathbb R^m \ : \ |x'| = |x''|\}$是一个稳定的非局部$(2γ)$ -极小曲面的尺寸$2m\geq 14$。分数阶Allen-Cahn方程的鞍形解是双径向的，关于Simons锥是奇的，并且只在这个集合中为零。已知这些解存在于所有偶数维中，并且在$2$、$4$和$6$维中是不稳定的。因此，在我们的结果之后，稳定性仅在维度$8$、$10$和$12$中仍然是一个开放的问题。研究这种类型的解决方案的重要性是由于它的关系与分数版本的猜想德乔吉。鞍形解是最简单的非一维候选者，在高维中是全局极小，尚未建立在任何维度的属性。
2019-09-03 math.AP
On nonlocal systems with jump processes of finite range and with decays
当$m\ge 1$，$u_i: \mathbb R^n \to \mathbb R$和$H=(H_i)_{i=1}^m$是一般非线性项序列时，我们研究了下列方程组$$ L_i(u_i) = H_i(u_1,\cdots,u_m) \quad \text{in} \ \ \mathbb R^n , $$.非局部算子$L_i$由$$L_i(f (x)):= \lim_{ε\to 0} \int_{\mathbb R^n \setminus B_ε(x) } [f(x) - f(z)] J_i(z-x) dz,$$给出，用于偶数，非负和可测量的跳跃核序列$J_i$。对于一般的跳跃核$J_i$，我们证明了上述系统稳定解的Poincaré不等式.特别地，对于标量方程的情况，即当$m=1$时，对于任何$η\in C_c^1(\mathbb R^{n})$和一些非负的$ \mathcal A_y(\nabla_x u)$和$ \mathcal B_y(\nabla_x u)$，它读取\begin{equation*}\label{} \iint_{ \mathbb R^{2n}} \mathcal A_y(\nabla_x u) [η^2(x)+η^2(x+y)] J(y) dx dy \le \iint_{ \mathbb R^{2n}} \mathcal B_y(\nabla_x u) [ …
2019-09-28 math.AP math.PR
On equivalence of weak and viscosity solutions to nonlocal double phase problems with nonhomogeneous data
本文研究非齐次非局部双相问题，在Lipschitz有界域上建立了弱解与粘性解的等价性，并利用De Giorgi类获得特殊情形下弱解的局部有界性。
2025-05-26 math.AP
Stationary Wave Profiles for Nonlocal Particle Models of Traffic Flow on Rough Roads
研究了一种描述粗糙路面上交通流的非局部粒子模型。在模型中，每个驾驶员根据前方的情况在一段时间内调整车速，从而形成一个非局部常微分方程系统，我们称之为FtLs（follow-the-leaders）模型。假设道路条件在原点处是不连续的，我们寻找通过这个不连续的常微分方程组的驻波剖面（见定义1.1）。我们得到了一个非局部的不连续系数的延迟微分方程，满足的配置文件，连同条件的渐近值为$x\to\pm\infty$。对于所有的情形，证明了存在性、唯一性和局部稳定性的结果。我们表明，根据情况，可能存在一个独特的配置文件，无限多的配置文件，或没有配置文件。稳定性结果也取决于情况。提出了各种数值模拟。最后，我们建立收敛这些配置文件的本地粒子模型，以及那些非本地偏微分方程模型。
2019-11-09 math.AP math.CA
