The De Giorgi conjecture on elliptic regularization
Ulisse Stefanelli
证明了De Giorgi关于有限时间情形下半线性波动方程椭圆正则化的一个猜想。
We prove a conjecture by De Giorgi on the elliptic regularization of semilinear wave equations in the finite-time case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
De Giorgi Techniques Applied to The Holder Regularity of Solutions to Hamilton-Jacobi Equations
本文致力于证明Hamilton- Jacobi方程的C^α正则化效应.证明是基于De Giorgi方法。正则化与哈密顿量的正则性无关。
On the De Giorgi type conjecture for an elliptic system modeling phase separation
本文研究了问题\[Δu=uv^2,Δv=vu^2,u,v>0 \text{in} \mathbb{R}^n,\]的整体解的一维对称性问题，其中对所有的$n\geq 2$ .我们证明，如果解决方案$(u,v)$是一个局部极小，并在无穷大线性增长，那么它是一维的，即只依赖于一个变量。在证明中，我们还得到了解的整体Lipschitz连续性仅在线性增长的假设。
De Giorgi's regularity theory for elliptic, parabolic and kinetic equations
本书系统梳理了椭圆、抛物线和动能方程的正则性理论，从经典椭圆问题到最新动能方程发展，涵盖德·吉奥吉和纳什等人的核心方法与贡献。
De Giorgi-Nash-Moser and H{ö}rmander theories: new interplay
我们报告最近的结果和一个新的研究路线的交叉点的两个主要理论在分析偏微分方程。著名的De Giorgi-Nash-Moser理论给出了具有粗系数的一致椭圆型或抛物型方程的H{<$}lder估计和Harnack不等式。H{<$}rmander的亚椭圆性理论表明，在一般的“括号”条件下，当椭圆性在某些方向失效时，一阶和二阶导数算子组合的偏微分方程解的正则性。我们讨论最近扩展的De Giorgi-Nash-Moser理论的亚椭圆方程的Kolmogorov（动力学）型粗糙系数。这些方程将一阶斜对称算子与仅涉及某些变量的导数的二阶椭圆算子相结合，并且具有粗糙系数。然后，我们讨论了动力学理论中的玻尔兹曼和朗道方程的应用，并提出了一些悬而未决的问题的研究计划。
De Giorgi type results for elliptic systems
考虑椭圆方程组Δu = \nabla H（u）\ \\text{in} \ \ \mathbf{R}^N，其中$u:\mathbf{R}^N\to \mathbf{R}^m$和$H\in C^2(\mathbf{R}^m)$，证明了在非线性$H$的各种条件下，至少在低维情况下，只要$u_i$的每个分量在一个方向上单调，解$u=(u_i)_{i=1}^m$必然是一维的.就像在2维（Ghoussoub-Gui）和3维（Ambrosio-Cabré）中证明经典的De Giorgi猜想一样，关键步骤是线性系的Liouville定理。我们还给出了一个扩展的几何庞加莱不等式系统，并用它来建立德乔治型结果稳定的解决方案，以及额外的刚性属性，说明解决方案的各个组成部分的梯度必须是平行的。我们引入并利用{ \it一个可定向系统}的概念，这似乎是处理三个或更多方程的系统的关键。对于这样的系统，变分意义下的稳定解的概念与点态（或谱）稳定性的概念一致。
Some connections between results and problems of De Giorgi, Moser and Bangert
利用Bangert定理，我们证明了一个刚性结果，它表明了Bangert对Moser型椭圆被积函数提出的一个问题，在没有自相交的极小解的情况下，是如何与De Giorgi关于相变的一个著名猜想相连接的。
A necessary condition in a De Giorgi type conjecture for elliptic systems in infinite strips
给定一个有界Lipschitz域$ω\subset\mathbb{R}^{d-1}$和一个下连续函数$W:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}$，该函数在有限集上为零且在无穷远处由一个正常数从下到上有界，证明了每个映射$u:\mathbb{R}\timesω\to\mathbb{R}^N$与\[ \int_{\mathbb{R}\timesω}\big(\lvert\nabla u\rvert^2+W(u)\big)\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d} x_1\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}x'<+\infty\]都有一个极限$u^\pm\in\{W=0\}$为$x_1\to\pm\infty$ .这种收敛在$L^2(ω)$中成立，在$ω$中几乎处处成立。我们还证明了类似的结果，更一般的潜力$W$的情况下，所考虑的地图$u$是发散自由的$\mathbb{R}\timesω$与$ω$是$(d-1)$ -环面和$N=d$。
On the sharp Hölder exponent in the De Giorgi--Nash--Moser theory
本文构造了三维及以上空间中具有可测系数的均匀椭圆方程的解，其Hölder指数α=exp(-c_n K)，证明了除二维情形外，Bombieri-Giusti Harnack不等式得到的Hölder指数对椭圆率常数K的依赖是最优的。
Formalization of De Giorgi--Nash--Moser Theory in Lean
本文在勒恩中正式化了均匀椭圆散度型方程的内部德吉奥-纳什-莫泽理论，包括弱次解的局部有界性、正弱超解的弱赫尔曼不等式、正弱解的莫泽赫尔曼不等式及内部霍尔德正则性，是现代PDE理论重要定理的首个机器验证正式化。
Introduction to quantitative De Giorgi methods
本课程回顾了椭圆和抛物情形下的经典 De Giorgi 方法，并重点介绍了基于轨迹构造的定量方法及其在动力学理论中亚椭圆方程的最新推广。
Flipping regularity via the Harnack approach and applications to nonlinear elliptic problems
我们证明了一个抽象的结果，确保单边几何控制产生双边估计满足一般条件的功能。我们的研究结果在非线性椭圆问题的背景下产生共鸣，包括完全非线性椭圆方程和De Giorgi类函数的超解。在我们的抽象结果的后果是正则性估计，和条件的连续函数是在类的黏性解。我们还证明了单侧几何控制产生$L^pL^\infty$ -估计。它提供了一个逆的含义在德乔治-纳什-莫泽理论。
Eventual regularization for the slightly supercritical quasi-geostrophic equation
本文证明了一类略超临界准地转方程的弱解在长时间内是光滑的。我们证明它使用德乔治型参数使用的想法从最近的一篇论文由Caffarelli和Vasseur。
A note on the proof of Hölder continuity to weak solutions of elliptic equations
本文借用抛物理论的思想，结合De Giorgi和Moser的方法，给出了椭圆型方程弱解的Hölder连续性的证明.
Regularization for the supercritical quasi-geostrophic equation
受Caffarelli和Vasseur在最近的一篇论文中使用的De Giorgi型论证的启发，我们在对初始数据作最小假设的情况下，证明了超临界准地转方程的弱解的Hölder正则性.
A priori bounds for weak solutions to elliptic equations with nonstandard growth
本文研究了具有非线性余法向导数边界条件的非标准增长项的椭圆型方程。利用局部化方法和DeGiorgi迭代技巧，我们得到了这类问题弱解的整体先验界.
Symmetry of global solutions to a class of fully nonlinear elliptic equations in 2D
证明了一类二维完全非线性方程的整体有界单调解是一维的。我们的结果也给出了一个新的（非变分）证明著名的德乔治猜想。
A note on the Harnack inequality for elliptic equations in divergence form
1957年De Giorgi [3]证明了散度型椭圆型方程的Hölder连续性，1960年Moser [7]给出了一个新的证明.第二年，Moser [8]得到了Harnack不等式。本文指出文[3]中隐含的Harnack不等式。
Local Boundedness of a Direction Dependent Double Phase Nonlocal Elliptic Equation
本文通过改进的能量估计和De Giorgi型技术，研究了方向依赖的双相非局部椭圆方程弱解的局部有界性。
Regularity of solutions for a class of quasilinear elliptic equations related to Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality
研究了一类与Caffarelli-Korn-Nirenberg不等式有关的含位势的拟线性椭圆型方程.利用经典的De Giorgi技巧证明了该方程弱解的局部有界性和Hölder连续性.我们的结果推广了Serrin \cite{Serrin64}和Corolado和Peral \cite{CP04}的结果.
The local boundedness of gradients of weak solutions to elliptic and parabolic phi-Laplacian systems
本文给出了退化奇异椭圆型和抛物型phi-Laplacian方程组解的梯度有界性的统一证明方法。首先证明了一个Cacciopoli型能量不等式，其中附加函数f可以自由选择.然后，Di Giorgi的方法应用水平集，这将导致L-无穷的梯度上的弱解的估计。
Fractional De Giorgi conjecture in dimension 2 via complex-plane methods
本文利用复平面方法，结合 Farina 方法和 Caffarelli-Silvestre 的 $s$-调和延拓，为二维全指数范围 Allen-Cahn 方程的分数阶 De Giorgi 猜想提供了新证明，并建立了带 Neumann 边界条件的加权椭圆方程有限能量弱解的表示公式。
Maximum Principle for Higher Order Operators in General Domains
我们首先证明了在$W^{1,t}(Ω)$，$Ω\subset\mathbb{R}^N$，与$t>N\geq 2$函数的De Giorgi型水平估计。这种增广的可积性使我们能够建立一个新的Harnack型不等式的功能，不一定属于德Giorgi的类中得到的[迪Benedetto-Trudinger，AIHP（1984）]的功能在$W^{1,2}$。作为结果，我们证明了强最大值原理的有效性的一致椭圆算子的任何偶数阶，在相当一般的域中的二维和三维，提供二阶导数考虑。
De Giorgi type results for equations with nonlocal lower-order terms
对于具有非零漂移的半线性椭圆型方程，De Giorgi猜想在二维空间中不成立，一般情况下，当$q=(0,-c)$对$c\neq 0$时，$$ Δu+ q\cdot \nabla u+f(u)=0 \ \ \text{in } \ \ \mathbb R^2, $$成立.这个方程出现在本生灯火焰的模型中。本生火焰通常由两种火焰组成：扩散火焰和预混火焰。在这篇文章中，我们证明了De Giorgi型结果，和稳定性猜想，为以下的本地-非本地对应的上述方程（与非本地预混火焰）在二维，$$Δu + c L[u] + f(u)=0 \quad \text{in} \ \ \mathbb R^n, $$当$L$是一个非本地运营商，$f\in C^1(\mathbb R)$和$c\in\mathbb R^+$。此外，我们提供了一个先验估计上述方程，当$n\ge 1$，与各种跳跃内核。算子$Δ+cL$是概率论中跳跃扩散过程的无穷小生成元。
The weak Harnack inequality for unbounded minimizers of elliptic functionals with generalized Orlicz growth
本文证明了具有广义 Orlicz 增长的椭圆泛函的无界极小元属于 De Giorgi 类，并在此基础上建立了依赖于 $L^s$-范数的弱 Harnack 不等式，为多种泛函的 Harnack 型估计提供了更广泛的解释。
Regularity for Mixed Local and Nonlocal Degenerate Elliptic Equations in the Heisenberg Group
本文研究了Heisenberg群中混合局部与非局部退化椭圆方程的正则性，通过推导Caccioppoli型不等式和对数估计，证明了弱解的局部有界性、Hölder连续性及Harnack不等式。
Regularity and explicit $L^\infty$ estimates for a class of nonlinear elliptic systems
该研究针对边界具有临界或次临界增长的非线性椭圆耦合系统，利用De Giorgi-Nash-Moser迭代格式及Gagliardo--Nirenberg插值不等式，确立了弱解的$L^\infty$正则性并给出显式估计。
Continuous differentiability of a weak solution to very singular elliptic equations involving anisotropic diffusivity
在本文中，我们考虑了一个非常奇异的椭圆型方程，涉及各向异性扩散算子，包括一个拉普拉斯算子，并扰动的$p$ -拉普拉斯型扩散算子与$1<p<\infty$。这个方程在小平面附近（梯度消失的地方）似乎很难解析处理。我们的主要目的是证明弱解是连续可微的，甚至在整个方面。在这里，它是感兴趣的，知道是否梯度是连续的，当它被截断附近的一个小平面。为了肯定地回答这个问题，我们考虑一个近似问题，并使用标准的方法，包括德Giorgi的截断和冻结系数的方法。
A note on the weak Harnack inequality for unbounded minimizers of elliptic functionals with generalized Orlicz growth
本文在局部 L^s 可积条件下证明 De Giorgi 类函数的弱 Harnack 不等式，将结果推广至非对数条件下的变指数与双相位广义 Orlicz 增长泛函。
Note on Regularity theory for Nonlinear elliptic equations
本文综述了非线性椭圆方程正则性理论的重要发展，涵盖De Giorgi-Nash-Moser理论及Krylov-Safonov和Evans-Safonov理论的核心贡献。
Existence and Regularity of Weak Solutions for a Thermoelectric Model
本文讨论了两种不同边界条件下的非定常热电模型。该模型是麦克斯韦方程组和椭圆型方程的非线性耦合系统。通过仔细分析方程的非线性结构，并借助于椭圆型方程的De Giorgi-Nash估计，得到了一般边界条件下Lipschitz区域上弱解的存在性.利用Campanato方法，我们建立了该方程弱解的正则性结果.
Uniform estimates for elliptic equations with Carathéodory nonlinearities at the interior and on the boundary
本文针对内部和边界同时具有Carathéodory非线性的略次临界椭圆问题，建立了弱解的显式一致先验估计，该估计以$H^1$范数的幂次表示，通过结合De Giorgi-Nash-Moser迭代、椭圆正则性和Gagliardo-Nirenberg插值不等式证明。
On the regularity theory for mixed local and nonlocal quasilinear elliptic equations
考虑局部和非局部$p$ -Laplace方程的组合，讨论了弱解的几个正则性性质.更精确地说，我们建立了弱子解的局部有界性，弱解的局部Hölder连续性，弱解的Harnack不等式和弱上解的弱Harnack不等式.我们还讨论了弱上解的下半连续性和弱下解的上半连续性。我们的方法是纯粹的分析，它是基于德乔治-纳什-莫泽理论，积极性的扩展和估计涉及一个尾部项。主要结果适用于符号变化的解决方案，并捕获本地和非本地功能的方程。
The boundedness and Hölder continuity of weak solutions to elliptic equations involving variable exponents and critical growth
本文证明了变指数拟线性椭圆问题在齐次Dirichlet边界条件和非齐次Neumann边界条件下的有界性和Hölder连续性.我们的工作的新颖性是，我们允许临界增长，甚至在边界上，所以我们关闭的差距，在文件中的范赵[非线性分析。36（1999），no. 3，295- 318.]和Winkert-Zacher [离散连续。动力学S 5（2012），no. 4，865- 878.]其中排除了危重病例。我们的方法是基于修改后的版本的De Giorgi的迭代技术以及本地化方法。作为我们的结果的结果，$C^{1,α}$ -正则性紧随其后。
Symmetry properties of stable solutions of semilinear elliptic equations in unbounded domains
考虑一类半线性椭圆型方程在齐次Neumann边界条件下的稳定解. Casten，Holland [20]和Matano [44]的一个经典结果指出，在凸有界区域中，所有稳定解都是常数。在本文中，我们将研究这一结果是否推广到无界凸区域。当R $\rightarrow$ + $\infty$时，我们对稳定的非退化解给出了肯定的回答，对稳定解，如果区域$Ω$进一步满足$\cap$ { |x| $\le$ R} = O（R^2）.如果区域是直圆柱体，则需要附加自然假设。这些结果可以看作是De Giorgi猜想的某些结果在更一般区域上的推广，作为应用，我们建立了当区域渐近满足几何性质时稳定解的渐近对称性.
Saddle-shaped solutions of bistable elliptic equations involving the half-Laplacian
在$\re^{2m}$空间中建立了椭圆型分数阶方程$(-Δ)^{1/2}u=f(u)$鞍形解的存在性和定性性质，其中$f$是双稳态型的.这些解对于西蒙斯锥是奇数，对于每个坐标是偶数。更准确地说，我们证明了鞍形解的存在性，在每个偶数维$2m$，以及它的单调性，渐近行为，和不稳定的尺寸$2m=4$和$2m=6$。这些结果是相关的模拟分数方程的猜想德乔治的1-D对称性的某些解决方案。鞍形的解决方案是最简单的候选人，除了1-D的解决方案，是全球最小的高维，尚未建立的属性。
Regularity bounds for a Gevrey criterion in a kernel-based regularization of the Cauchy problem of elliptic equations
本文给出了用正则化方法求解椭圆型方程柯西问题时Gevrey准则的正则性界。当使用正则化时，人们知道检查这样的标准基本上是有问题的，尽管它对工程环境很重要。因此，解决这个障碍有助于我们改进一些正则化方法在现实世界中的应用。这项工作也考虑了幂律非线性的存在。
Regularization estimates of the Landau-Coulomb diffusion
本文聚焦Landau-Coulomb方程的扩散算子，舍去反应项后，借助非线性泛函不等式与De Giorgi迭代，证明其L^1到L^∞正则化速率远强于线性Laplace算子，凸显非线性扩散的重要性并提出相关问题。
Regularity of weak supersolutions to elliptic and parabolic equations: lower semicontinuity and pointwise behavior
我们证明了一个测度理论方法来研究散度型椭圆型和抛物型方程弱上解的局部正则性。在第一部分中，我们证明了在零测度集上重新定义弱上解后，弱上解变为下连续的。该证明依赖于一个一般原理，即De Giorgi型引理，它为广泛的一类椭圆和抛物型方程，包括各向异性椭圆型方程、抛物型$p$ -Laplace方程和多孔介质方程提供了一个统一的方法。在第二部分中，我们将表明，抛物问题的下连续代表在一个瞬间可以恢复逐点从“esslimif”的过去的时间。我们还证明了它可以通过过去时间的某个积分平均的极限来恢复。证明依赖于弱上解的正性展开。我们的结果是偏微分方程的结构性质，与任何一种比较原理无关。
Applications of P-functions to Fully Nonlinear Elliptic equations: Gradient Estimates and Rigidity Results
本文引入全非线性方程的P-函数概念，建立一般准则，获得梯度界、De Giorgi型性质与刚性结果，推广Modica不等式，并证明Harnack型不等式及高阶方程的Liouville定理。
Elliptic regularization of some semilinear parabolic free boundary problems
该研究首次将椭圆正则化方法用于抛物型障碍问题，通过一致能量估计、取弱极限两步证明半线性抛物型自由边界问题强解存在性，还建立了相关非退化估计与最优正则性结果。
Global in Time Classical Solutions to the 3D Quasi-geostrophic System for Large Initial Data
本文证明了具有Ekman泵的三维准地转方程组对任意光滑初值（可能很大）在时间上整体经典解的存在性。该系统将$\mathbb{R}^3_+$中的无粘输运方程与迹线所满足的边界上的方程相耦合。证明结合了De Giorgi正则化效应的边界$z=0$ -类似于所谓的表面准地转方程-与Beale-Kato-Majda技术传播正则性$z>0$。一个位势论论点是用来加强正规化的影响，跟踪到Besov空间$\mathring{B}_{\infty,\infty}^1$。
Annealed estimates on the Green functions and uncertainty quantification
证明了在$\mathbb{R}^d$上椭圆格林函数的导数和混合二阶导数的最优退火衰减估计，其中随机平稳可测系数满足对数Sobolev不等式，周期系数满足对数Sobolev不等式，推广了Otto和第二作者关于离散椭圆型方程的连续设置结果.作为一个主要的应用，我们获得了最佳估计的波动的线性椭圆型偏微分方程的解与“噪声”的扩散系数，不确定性量化的结果。作为衰减估计的直接推论，我们还证明了，对于这些系数类，著名的德乔治-纳什-莫泽理论的霍尔德指数可以任意地接近1（即远离奇点）。
Local Lipschitz bounds for solutions to certain singular elliptic equations involving one-Laplacian
研究了一类含单Laplacian算子的奇异椭圆型方程弱解的局部Lipschitz正则性。这里处理的方程还包含另一个表现良好的椭圆算子，例如具有$1<p<\infty$的$p$ -拉普拉斯算子。问题是单Laplacian算子在退化点（通常称为小平面）上过于奇异，这使得很难获得弱解的Lipschitz正则性。这个困难是克服了适当的近似方案，并通过避免分析方面的近似解决方案。关键的估计是正则化方程经典解的局部先验一致Lipschitz估计，并通过Moser迭代法证明了该估计.另一个局部先验一致Lipschitz界也可以通过De Giorgi截断得到。本文中局部Lipschitz估计的证明是相当经典和初级的，因为完全没有使用非线性势估计。
Convergence Rates of Tikhonov Regularizations for Elliptic and Parabolic Inverse Radiativity Problems
本文研究了Dirichlet边界条件下椭圆型和抛物型方程组辐射率恢复的Tikhonov正则化的Lipschitz型稳定性和收敛速度。Lipschitz型稳定性估计。针对高维空间中已有的源条件或非线性条件难以验证的问题，提出了一些新的变分源条件。在Lipschitz型稳定性估计下，在一般维空间中严格证明了这些条件，并获得了合理的收敛速度.
Gaussian estimates for fundamental solutions of higher-order parabolic equations with time-independent coefficients
研究高阶抛物方程的De Giorgi-Moser-Nash估计，获得基本解的高斯上界和Hölder正则性估计。
$C^{0}$-regularity for solutions of elliptic equations with distributional coefficients
本文针对具有分布系数的椭圆方程，提出Dini衰减和Kato类可积条件，证明弱解连续并给出几乎最优先验估计，推广了De Giorgi的Hölder正则性。
Elliptic-regularization of nonpotential perturbations of doubly-nonlinear gradient flows of nonconvex energies: A variational approach
本文提出了一种求解具有非凸能量和非位势扰动的双非线性（梯度）流（P）的变分方法（即，没有任何潜在结构的扰动项）。首先对原方程${\rm (P)}_\varepsilon$进行时间椭圆正则化，然后利用变分方法和不动点定理证明了正则化方程的强解的存在性.更确切地说，我们引入了一个功能（定义为每个完整的轨迹，包括一个小的近似参数$\varepsilon$），其欧拉-拉格朗日方程对应的椭圆时间正则化的未扰动（即无非潜在的扰动）双非线性流。其次，由于非位势扰动的存在，利用不动点论证构造了时间椭圆正则化方程${\rm (P)}_\varepsilon$的强解$u_\varepsilon$。这里，上述最小化问题定义了算子$S$，其不动点对应于${\rm (P)}_\varepsilon$的解$u_\varepsilon$。最后，通过将$u_\varepsilon$的极限传递为$\varepsilon \to 0$，获得原始方程（P）的强解。本文中开发的抽象理论的应用，具体的偏微分方程也展出。
An elliptic regularization approach to the Stefan problem
本文通过椭圆正则化方案证明了具有有限能量、可能非空糊状区域和空间依赖熔化温度的两相Stefan问题弱解的存在性，并建立了比较原理。
A regularization approach for an inverse source problem in elliptic systems from single Cauchy data
本文研究了从Neumann和Dirichlet数据的单个噪声测量对中识别椭圆方程组中的源项的问题。提出了一种带Kohn-Vogelius型特殊失配项和二次稳定罚项的Tikhonov型正则化变分方法来求解该线性反问题.该方法也作为Lavrentiev正则化的变体出现。对于无穷维希尔伯特空间中的线性反问题，经典的Tikhonov正则化和Lavrentiev正则化的一般理论给出了收敛性和速度结果.使用变分离散化的概念，其中的偏微分方程离散与分段线性和连续有限元，我们显示的收敛性有限元近似的识别问题的解决方案。此外，我们得到了一个误差界和相应的收敛速度提供了一个合适的距离型源条件满足。对于数值解，我们提出了一种共轭梯度法。为了说明理论结果，数值案例研究支持我们的分析结果。
Harmonic approximation and improvement of flatness in a singular perturbation problem
本文研究了De Giorgi型猜想，即在$\mathbb{R}^n$中，对所有$n\geq 2$，两分量椭圆型方程组整体解的一维对称性问题.我们证明，如果解$(u,v)$在无穷远处线性增长，那么它是一维的，即仅取决于一个变量。主要成分是一个改进的平坦度估计，这是通过调和近似技术适应奇异摄动的情况下实现的。
A symmetry result for the Ornstein-Uhlenbeck operator
1978年E. De Giorgi提出了一个关于椭圆型方程Δu= F '（u）有界解的一维对称性的猜想，这些解在某个方向上是单调的.本文证明了方程Δu - <x，Du> = F '（u）的类似命题，其中Laplacian算子由Ornstein-Uhlenbeck算子代替.我们的定理在对周围空间的维数没有任何限制的情况下成立，这使得我们能够通过极限过程在无限维中得到类似的结果。
Elliptic regularization of the isometric immersion problem
我们介绍了一个椭圆正则化的PDE系统表示等距浸入的表面在$\mathbb R^{3}$。正则化是几何的，并且具有自然变分解释。
Harnack, Holder, Gauss and Widder: Serrin's Parabolic Legacy
詹姆斯塞林的基本贡献理论的准线性椭圆型方程是众所周知的和广泛赞赏。他还作出了不太知名的贡献理论的准线性抛物型方程，我们讨论在本说明。Jurgen Moser利用一种新颖的迭代方法，对线性发散结构的椭圆型和抛物型微分方程的De Giorgi-Nash正则性结果给出了大大简化的证明。Serrin延长莫泽的技术，并将其应用于研究的分歧结构拟线性椭圆型方程，并与阿伦森，分歧结构拟线性抛物型方程。具体而言，除其他结果，他们证明了最大值原理，持有人连续性的广义解和推导出一个Harnack原则的一个非常广泛的一类准线性抛物型方程。在随后的工作中，Aronson应用这些结果来研究非负解的发散结构线性方程没有正则性假设的系数。结果包括一个双边高斯估计的基本解和推广的Widder表示定理。
Continuity and Harnack inequalities for local minimizers of non uniformly elliptic functionals with generalized Orlicz growth under the non-logarithmic conditions
在对函数$λ(r)$和$Λ(x_{0}, r)$以及数$s$，$t >1$的某些假设下，研究了属于相应的De Giorgi类\begin{equation*} \int\limits_{B_{r(1-σ)}(x_{0})}\,\varPhi(x, |\nabla(u-k)_{\pm}|)\,dx \leqslant γ\,\int\limits_{B_{r}(x_{0})}\,\varPhi\bigg(x, \frac{(u-k)_{\pm}}{σr}\bigg)\,dx, \end{equation*}的函数的定性性质，其中$σ$，$r \in (0,1)$，$k\in \mathbb{R}$和函数$\varPhi$满足非对数条件\begin{equation*} \bigg(r^{-n}\int\limits_{B_{r}(x_{0})}[\varPhi\big(x,\frac{v}{r}\big)]^{s}\,dx\bigg)^{\frac{1}{s}}\bigg(r^{-n}\int\limits_{B_{r}(x_{0})}[\varPhi\big(x,\frac{v}{r}\big)]^{-t}\,dx\bigg)^{\frac{1}{t}}\leqslant c(K) Λ(x_{0},r),\quad r\leqslant v\leqslant K\,λ(r), \e…
Regularity of Weak Solutions of Elliptic and Parabolic Equations with Some Critical or Supercritical Potentials
本文证明了一致椭圆型和抛物型方程$Δu-\frac{A}{|x|^{2+β}}u=0,\,\,(β\geq 0)$，变二阶项系数情形$%% \begin{equation}\label{01} \partial_{i} (a_{ij}(x) \partial_{j}u(x)) - \frac{A}{|x|^{2+β}} u(x) =0\quad (A>0,\quadβ\geq 0), \end{equation} \begin{equation}\label{02} \partial_{i} (a_{ij}(x,t) \partial_{j}u(x,t)) - \frac{A}{|x|^{2+β}} u(x,t)-\partial_{t}u(x,t) =0\quad (A>0,\quadβ\geq 0), \end{equation} with critical or supercritical 0-order term coefficients which are beyond De Giorgi-Nash-Moser's Theory. We also prove, in some special cases, weak solutions are even differentiable. Previously P. Baras and J. A. Goldstein \cit…
Spectral Stability of the $\bar\partial-$Neumann Laplacian: the Kohn-Nirenberg elliptic regularization
本文研究了$\bar\partial$ -NeumannLaplacian算子在Kohn-Nirenberg椭圆正则化下的谱稳定性。我们得到定量估计的稳定性谱的$\bar\partial$ -Neumann拉普拉斯算子时，无论是运营商或潜在的域被扰动。
On the regularity theory for mixed local and nonlocal weighted quasilinear elliptic equations
该研究针对带Muckenhoupt权的混合局部与非局部退化p-拉普拉斯方程，建立了首个系统的局部正则性理论，扩展了相关现有理论框架。
$L^\infty$ estimates for solutions to elliptic equations in the presence of gradient terms
研究含内部和边界轻微次临界非线性项的椭圆问题，其内部非线性项依赖梯度项。用De Giorgi-Nash-Moser迭代等方法，给出仅依赖非线性项、\(u\)的\(H^1(\Omega)\)范数和区域\(\Omega\)的\(L^\infty\)先验估计。
Hyperbolic regularization effects for degenerate elliptic equations
本文研究了退化椭圆方程中Lipschitz解的正则性，通过双曲结构补偿了正则性损失，得出了新的C^1正则性结果。
Higher-dimensional solutions for a nonuniformly elliptic equation
本文证明了$m$维对称性结果，我们称之为$m$ -Liouville定理，对于下列非一致椭圆型方程\begin{eqnarray*}\label{mainequ} - div(γ(\mathbf x') \nabla u(\mathbf x)) =λ(\mathbf x' ) f(u(\mathbf x)) \ \ \text{for}\ \ \mathbf x=(\mathbf x',\mathbf x'')\in\mathbf{R}^d\times\mathbf{R}^{s}=\mathbf{R}^n, \end{eqnarray*}的稳定和单调解，其中$0\le m<n$和$0<λ,γ$是光滑函数，$f\in C^1(\mathbf R)$ .有趣的事实是，权函数$γ(\mathbf x') $上的衰减假设在推导$m$ -刘维定理中起着根本性的作用。我们表明，在一定的假设下的符号的非线性$f$，上述方程满足0-刘维定理。更重要的是，我们证明了对于双势阱非线性，即$f(u)=u-u^3$，上述方程满足$(d+1)$ -Liouville定理。这可以被认为是一个高维对应的著名猜想德Giorgi的艾伦-卡恩方程。值得注意的现象是，$\tanh$函数是Allen-Cahn方程的单调有界解的轮廓，出现在构造高维Liouville定理。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。