Elliptic regularization of the isometric immersion problem
Michael T. Anderson
我们介绍了一个椭圆正则化的PDE系统表示等距浸入的表面在$\mathbb R^{3}$。正则化是几何的，并且具有自然变分解释。
We introduce an elliptic regularization of the PDE system representing the isometric immersion of a surface in $\mathbb R^{3}$. The regularization is geometric, and has a natural variational interpretation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Isometric immersions and applications
该研究介绍等距浸入的经典问题，梳理其多方面研究进展的历史脉络，并阐述其在数学物理、数学材料科学领域的新旧应用。
Corrugated Versus Smooth Uniqueness and Stability of Negatively Curved Isometric Immersions
我们证明了嵌入到$\mathbb{R}^3$中的负曲波纹二维浸入类中的光滑等距浸入的唯一性。我们使用的主要工具是相对熵的方法在设置的Gauss-Codazzi系统的微分几何。结果使我们能够比较也两个解决方案的高斯-Codazzi系统，对应于一个光滑的和$C^{1,1}$等距浸入不一定是相同的度量和证明连续依赖的度量和初始数据在$L^2$方面的第第二基本型。
The Weyl problem of isometric immersions revisited
本文重新审视魏尔的等距浸入问题，提出全局$C^{1,1}$等距浸入的充分条件，并推广了海因茨和波戈列夫的经典定理。
Isometric Immersion of Complete Surfaces with Slowly Decaying Negative Gauss Curvature
二维黎曼流形或曲面在三维欧几里得空间中的等距浸入是微分几何中的一个基本问题。当Gauss曲率为负时，本文通过第二基本型的Gauss-Codazzi系统，研究了等距浸入问题.证明了当Gauss曲率满足可积性条件时，即使Gauss曲率在无穷远处衰减很慢，曲面在三维欧几里得空间中仍有全局光滑等距浸入.证明的新思想是基于对Gauss-Codazzi系统的Riemann不变量的衰变性质的新观察。加权黎曼不变量的介绍和比较原则适用于适当选择的控制功能。
Isometric Immersions via Compensated Compactness for Slowly Decaying Negative Gauss Curvature and Rough Data
本文利用补偿紧性方法研究了具有负Gauss曲率的二维黎曼流形到三维欧几里得空间的等距浸入问题。以前的应用程序的方法，这个问题需要衰减的顺序$t^{-4}$的高斯曲率。在这里，我们表明，红$t^{-2-δ/2}$的衰减，其中$δ\in(0,4)$足够。
Asymptotic rigidity of codimension-1 isometric immersions via quantitative estimates
本文通过定量估计方法，证明了二维等距浸入的渐近刚性，采用欧几里得方法获得简单证明，结果具有独立价值。
A Nash-Kuiper theorem for isometric immersions in a high codimension
本文研究高余维等距浸入问题，在局部情形下将短浸入逼近的Hölder正则性从θ∈(0,1/(n+2))改进到奇数维的θ∈(0,1/n)和偶数维的θ∈(0,1/(n+1))，并建立了显式C^{1}估计。
Rigidity and regularity of co-dimension one Sobolev isometric immersions
证明了$n$维域到$R^{n+1}$的$W^{2,2}$等距浸入的可展性和$C^{1,1/2}$正则性.作为一个结论，我们表明，任何这样的Sobolev等距可以近似光滑等距的$W^{2,2}$强规范，提供的域是$C^1$和凸。当Sobolev正则性弱于$W^{2,2}$时，这两个结果都不成立.
Isometric Immersions and Compensated Compactness
微分几何中的一个基本问题是刻画二维黎曼流形${\mathcal M}^2$上的内禀度量，它可以实现为$\R^3$的等距浸入。这个问题可以表述为一个混合椭圆-双曲型非线性偏微分方程组的初值和/或边值问题，其数学理论在很大程度上是不完整的。在本文中，我们开发了一个通用的方法，它结合了一个补偿紧性框架的Gauss-Codazzi系统的平衡定律的流体动力学制定，以处理$\R^3$等距浸入的初始和/或边值问题。这里形成的补偿紧性框架是一个自然的配方，以确保弱连续性的Gauss-Codazzi系统的近似解，从而产生等距实现的二维表面在$\R^3$。作为这种方法的第一个应用，我们研究了具有严格负高斯曲率的二维黎曼流形的等距浸入问题。证明了二维流形在满足给定初始条件的$\R^3$中存在$C^{1,1}$等距浸入.不
Branch points and non-density for finite-bending isometric immersions of hyperbolic surfaces
该研究明确了负曲率曲面的W²,²等距浸入的分支点性质，证明其指数稳定且无法由C²等距浸入逼近，从而得出C²等距浸入在有限弯曲等距浸入中不稠密的结论。
Rigidity of codimension-1 isometric immersions in complete manifolds
研究了完备流形中余维数为1的等距浸入的渐进行为，通过弹性能量趋于零的浸入序列，证明其子序列收敛于等距浸入，扩展了Alpern等人结果，避免了Young测度的使用。
Isometric immersions of warped products
我们提供的条件下的等距浸入的（翘曲）产品的流形到一个空间型必须是（翘曲）产品的等距浸入。
On the Existence of $C^{1,1}$ Isometric Immersions of Several Classes of Negatively Curved Surfaces Into $\mathbb{R}^3$
证明了曲面$(\mathcal{M},g)$上的几类度量到三维欧几里得空间$\mathbb{R}^3$中的$C^{1,1}$等距浸入的存在性，其中度量$g$具有严格负曲率.这些包括标准的双曲平面、广义螺旋线型度量和广义Enneper度量。我们的证明是基于双曲守恒律中的补偿紧性和不变区域的方法，以及对几何量（高斯曲率，度量分量等）的一些观察。负弯曲的表面。
$C^{1,α}$ isometric extensions
本文考虑等距浸入的柯西问题。更精确地说，给定余维1子流形的光滑等距浸入，我们通过凸积分的方法构造了任意$α<\frac{1}{n(n+1)+1}$的$C^{1,α}$等距扩张。
The geometry of $C^{1,α}$ flat isometric immersions
本文证明平坦平面区域到$\mathbb R^3$的$c^{1,2/3}$（含$α>2/3$的$C^{1,α}$）等距浸入必可展，并借助弱第二基本形式、Gauss-Codazzi-Mainardi方程与退化Monge-Ampère极弱解结果完成论证。
Full flexibility of isometric immersions of metrics with low Hölder regularity in Poznyak theorem's dimension
该研究证明了在低Hölder正则性条件下，二维度量可被浸入到R⁴中，并展示了其完全灵活性，对比了不同浸入空间下的正则性结果。
Flexibility of Codimension One $C^{1,θ}$ Isometric Immersions
本文改进了 $C^{1,θ}$ 等距浸入的最优指数，通过凸积分方案和频率尺度分析，实现了对短浸入的均匀近似。
Existence of isometric immersions into nilpotent Lie groups
建立了单连通黎曼流形到两步幂零李群的等距浸入存在的充要条件.这包括浸入$H$类型组的情况。
A note on a conjecture of Gromov about non-free isometric immersions
推广了G. D'Ambra和A. Loi对M.Gromov关于等距浸入通过非自由映射的猜想的证明。
A Nash-Kuiper theorem for isometric immersions beyond Borisov's exponent
本文将 Nash–Kuiper 柔性结果推广到超越 Borisov 指数的 $C^{1,α}$ 等距浸入，并通过新型波纹构造、分部积分和误差代数分解改进凸积分证明。
Isometric immersions with flat normal bundle between space forms
本文研究了具有负曲率的空间型等距浸入到外曲率为负的空间型中的第二基本型的性质。如果浸入具有平坦法丛，我们证明了它的第二基本型是指数增长的。
Developments of curves with respect to symmetric tensors and existence of isometric immersions with prescribed second fundamental form
本文提出关于对称张量的曲线展开概念，证明了一般环境中给定第二基本形式的等距浸入的存在性，并给出几何构造方法。
Some recent developments on isometric immersions via compensated compactness and gauge transforms
本文通过补偿紧致性和规范变换技术，探讨了低正则性下等距浸入问题的分析发展，包括高斯-科达齐-里希方程的弱连续性和子流形理论基本定理。
Extrinsic curvature of codimension one isometric immersions with Hölder continuous derivatives
证明了：如果$n$是偶数，$(M,g)$是紧致的$n$维黎曼流形，其Pfuman形式是体积形式的正倍数，且$y\in C^{1,α}(M;\mathbb{R}^{n+1})$是与$n/(n+1)< α\leq 1$的等距浸入，则$y(M)$是有界外曲率曲面.证明了这一点，表明外在曲率，定义通过一个适当的拉回的体积形式上的$n$ -球通过高斯映射，是相同的内在曲率，定义的Pfidian形式。后一个事实是以积分恒等式的形式陈述的布劳威尔度的高斯映射，这是经典的$C^2$功能，但新的$n>2$在目前的背景下，低的规律性。
Existence of semiglobal $W^{2,p}$-isometric immersions for negatively curved surface metrics with unbounded second fundamental form
研究具有负高斯曲率的曲面到三维欧氏空间等距浸入的存在性，将高斯 - 科达齐方程转化为双曲守恒律，运用相关理论建立\(W^{2,p}\)-等距浸入存在性，构造出的浸入第二基本形式无界但\(L^p\)可积。
Isometric Immersions with Controlled Curvatures
我们用$C^\infty$-光滑等距浸入$f_δ:X^m\to Y^N$和曲率$curv(f_δ) < \frac {\sqrt 3}δ$，对于$δ\to 0$，用$C^\infty$ -光滑等距浸入$f_δ:X^m\to Y^N$，对$N>>m^2/2$，用$δ$-逼近黎曼流形$f_0:X^m\to Y^N$之间的严格短（例如常数）映射
Uniqueness of isometric immersions with the same mean curvature
受广义相对论中的拟局部质量问题的启发，研究了在翘曲的积空间中具有相同中曲率的等距浸入的刚性。作为我们主要结果的一个推论，空间Schwarzschild流形或AdS-Schwarzschild流形中的两个星形超曲面如果等距且具有相同的中曲率，则它们只相差一个旋转.如果用$σ_2$ -曲率条件代替中曲率条件，我们也给出了类似的结果.
Rigidity of isometric immersions into the light cone
本文证明了维数为$n-1$的黎曼流形在$n\geq 3$的$n-1$维Minkowski、de Sitter和anti-de Sitter时空的光锥中的等距浸入的刚性.
On totally umbilical isometric immersions with a special kind of Liouville metric in the R3 space
这篇短文的目的是研究在等温参数化和调和度量下R^3中存在全脐等距浸入的可能性。
Extensions of isometric immersions and Cartan-Ambrose-Hicks theorem based on submanifolds
本文基于子流形建立Cartan-Ambrose-Hicks定理，研究等距浸入的一般延拓问题，并给出延拓的几何构造。
Smoothability of $L^p$-connections on bundles and isometric immersions with $W^{2,p}$-regularity
该研究解决了低正则性联络的光滑逼近问题，并将其应用于刻画容许W^{2,p}等距浸入但不容许光滑等距浸入的黎曼流形度量，推进了等距浸入的正则性理论。
On the estimates of warping functions on isometric immersions
利用\cite{P1}的结果，通过改变目标流形为几种类型的黎曼流形：常空间型和Hermite对称空间，得到了等距浸入的翘曲函数的一些估计.我们处理平等的情况下，并获得其应用。最后，我们给出了一些开放的问题。
Finding Conformal and Isometric Immersions of Surfaces
我们介绍了一个家庭的旋量领域的变分泛函紧黎曼曲面$M$，可以用来找到接近共形浸入的$M$到$\mathbb{R}^3$在一个规定的定期同伦类。数值实验表明，通过适当的限制，这些泛函的最小化也可以产生分段光滑等距浸入$M$上的一个指定的黎曼度量。
Isometric Immersions of the Hyperbolic Plane into the Hyperbolic Space
本文利用定向测地线空间中的零因果曲线参数化了双曲平面到三维双曲空间的等距浸入空间。此外，我们描述了“理想锥”（即，顶点在理想边界上的圆锥）通过它们的中曲率的行为。
Stability of isometric immersions of hypersurfaces
本文研究了黎曼流形超曲面等距浸入在基本形式 $L^p$-扰动下的稳定性，利用 Young 测度方法将先前结果推广到一般目标流形，去除了常曲率假设，并在欧氏目标情形下给出了无先验界的定量稳定性结果。
Compensated Compactness in Banach Spaces and Weak Rigidity of Isometric Immersions of Manifolds
本文在巴拿赫空间中给出了一个补偿紧性定理，该定理的提出最初是由低正则性流形的等距浸入的弱刚性问题所激发的.作为推论，得到了黎曼流形上张量场的一个几何内禀div-curl引理。然后，我们展示了如何利用这个内在的div-curl引理来建立Gauss-Codazzi-Ricci方程的全局弱刚性，Cartan形式，以及相应的黎曼子流形的等距浸入。
Biharmonic isometric immersions into and biharmonic Riemannian submersions from Berger 3-spheres
本文研究了曲面到三维Berger球面的双调和等距浸入和三维Berger球面的双调和黎曼浸入。得到了具有常中曲率的曲面到Berger 3-球面的真双调和等距浸入的分类。我们还给出了Berger 3-球面中真双调和Hopf环面的一个完全分类。对于黎曼浸入，我们证明了从Berger 3-球面到曲面的黎曼浸入是双调和的当且仅当它是调和的。
Triharmonic isometric immersions into a manifold of non-positively constant curvature
三调和映射是两个黎曼流形之间的光滑映射空间中3-能量的临界点。研究了三调和等距浸入到非正常曲率的空间型中。我们证明，如果区域是完备的，并且张力场的4-能量和L^4-范数都是有限的，那么这样的浸入是最小的。
Convexity, Rigidity, and Reduction of Codimension of Isometric Immersions into Space Forms
本文考虑完备连通黎曼流形到非零常曲率空间型的等距浸入。证明了如果这样的嵌入是紧的且具有半定的第二基本型，则它是余维为1的嵌入，它的像有界于一个凸集，并且它是刚性的.这个结果推广了M.做卡莫和E Lima和M.做卡莫和F.警告者它也肯定地解决了一个猜想做卡莫和华纳。对于满足第二基本型更强条件的完全等距浸入，我们建立了类似的结果。本文将Hadamard关于欧氏超曲面的一个经典定理推广到空间型中的等距浸入。在这同一背景下，我们证明了一个存在性定理的超曲面与指定的边界和消失的高斯-克罗内克曲率。最后，我们证明了等距浸入到空间型，这是经常以外的一组全测地点承认减少余维为一。
Isometric immersions of R^2 into R^4 and pertubation of Hopf tori
我们在R^4中产生了一个新的平坦环面族，这是自19世纪比安奇的经典著作以来的第一个。为了构造这些平坦环面（通过对S^3中的某些Hopf环面进行小扰动而得到），我们首先给出了R^2到R^4中具有平坦法丛的所有等距浸入的整体描述。
Isometric Immersions of Space Forms and Soliton Theory
本文利用Loop代数上的一族Lax形式的有限维可积系统来研究空间形式的等距浸入。
The Isometric Immersion of Negatively Curved Surfaces with Finite Total Curvature
本文研究负高斯曲率完备曲面到R^3的全局光滑等距浸入问题，提出由有限全高斯曲率和适当振荡构成的充分条件，通过将Gauss-Codazzi方程重构为带部分阻尼的对称双曲系统，克服了曲率缓慢衰减与振荡的困难，证明了全局光滑解的存在性。
Isometric immersions with singularities between space forms of the same positive curvature
本文给出了空间型凝聚切丛的定义，它是空间型概念的推广。然后，我们将它们在球面上的实现归类为波前，这是O 'Neill和Stiel定理的推广：任何n-球面到具有相同截面曲率的（n+1）-球面的等距浸入都是全测地线。
Isometric immersions in codimension two of warped products into space forms
本文给出了黎曼流形到空间型的翘曲积的余维$k=1, 2$中等距浸入$f\colon L^p\times_ρM^n\to\Q_c^{p+n+k}$的局部分类，并假设$n\geq k+1$和$N^{p+n}=L^p\times_ρM^n$中没有与周围空间型具有相同截面曲率的点，即$c$.
Minimal isometric immersions into S^2 x R and H^2 x R
对于给定的单连通黎曼曲面Sigma，我们将求Sigma到S^2 x R或H^2 x R的最小等距浸入问题与Sigma上的两个偏微分方程的系统联系起来.证明了S^2 x R或H^2 x R中的常内曲率极小曲面是全测地曲面，或者是H^2 x R中某个极限悬链面的一部分。我们还证明了，如果一个非常曲率黎曼曲面允许一个连续的单参数极小等距浸入族进入S^2 x R或H^2 x R，则所有这些浸入是相伴的。
Isometric immersions of higher codimension into the product ${\mathbf S^k \times H^{n+p-k}}$ of sphere and hyperboloid
本文给出了单连通黎曼流形$(M^n, g)$作为余维为$p\geq 1$的子流形等距浸入球面与双曲面的乘积$S^k\times H^{n+p-k}$的一个充必要条件.
Optimal regularity for the Pfaff system and isometric immersions in arbitrary dimensions
本文证明了具有反对称$L^2$ -系数矩阵的Pfaff方程组在任意维数下解的存在性、唯一性和$W^{1,2}$ -正则性。因此，我们建立了单连通区域上$W^{2,2}$ -等距浸入的存在性与Gauss-Codazzi-Ricci方程的弱可解性之间的等价性.这些结果的规律性假设是尖锐的。作为应用，我们给出了$W^{2,2}_{\rm loc}$ -浸入的一个弱紧性定理.
On the degenerate Weyl problem on isometric immersions
本文研究二维球面等距浸入的退化Weyl问题，在仅非负高斯曲率条件下，分别给出了全局$C^{2,1}$嵌入和$W^{3,p}$浸入的存在性结果，并解决了非退化情形。
The number of constant mean curvature isometric immersions of a surface
在经典曲面理论中，只有很少的已知曲面例子允许非平凡等距变形，更少的是非单连通的。本文研究具有常中曲率H的定向非单连通曲面的浸入x：M \to R ^[3]的等距变形问题。我们证明了M的所有具有常数中曲率H的等距浸入的空间是R^3的模同余，有限或圆。当它是一个圆时，对于浸入x，M中的每个周期都有消失的力，当H不为0时，也有消失的扭矩。本文将极小曲面的刚性结果推广到常中曲率曲面。此外，我们确定封闭的向量值1-形式的周期给力和扭矩。
Isometric immersions of locally conformally Kaehler manifolds
研究了局部共形Kaehler度量到Hopf流形的等距浸入。特别是，我们研究了紧凑的复杂曲面上的霍普夫诱导度量。
Characterizations of umbilic points of isometric immersions in Riemannian and Lorentzian manifolds
给出了任意黎曼流形和洛伦兹流形中子流形脐点的几个刻画。作为结果，我们得到了欧几里得空间中球面和Lorentz-Minkowski空间中双曲空间的新刻画.我们还证明了一个经典结果的洛伦兹版本的嘉当。
Isometric and CR pluriharmonic immersions of three dimensional CR manifolds in Euclidean spaces
利用依赖于CR和伪厄米特结构的双阶微分复形，给出了等距浸入欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中的三维强伪凸伪厄米特CR流形的Weierstrass型整表示刻画.限制在$\mathbb{R}^4$浸入的情况下，我们研究了这种浸入的调和性条件，并给出了CR-多调和浸入的完整分类。
Fractional Sobolev isometric immersions of planar domains
本文研究了平面域在特定分数Sobolev空间下的等距浸入正则性和可展开性，扩展了Sobolev和Hölder情形的结果，并分析了Jacobian行列式的行为。
Isometric immersions of RCD spaces
证明了若RCD空间在欧几里得空间中有正则等距浸入，则该浸入是局部双Lipschitz嵌入映射。这个结果使我们证明了：如果紧致非塌陷RCD空间通过特征映射在欧几里得空间中有等距浸入，则该特征映射是球面的局部双Lipschitz嵌入映射，从而将Takahashi在子流形理论中的一个基本定理推广到非光滑情形.这些结果的应用包括一个拓扑球面定理和拓扑有限性定理，这是新的，甚至封闭的黎曼流形。
Isometric immersions and self-similar buckling in Non-Euclidean elastic sheets
撕裂的弹性片的边缘和生长的叶子经常形成一个分层的屈曲模式。在非欧几里德板块理论中，这种复杂的形态可以理解为双曲黎曼度量的低弯曲能等距浸入。基于这个动机，我们研究了带状和圆盘几何中的等距浸入问题。通过求带上双曲型Monge-Ampere方程的显式分片光滑解，证明了在小斜率区域双曲曲面存在周期等距浸入。我们将这些解决方案，以确切的等距浸入，通过重申一个正式的渐近展开。在圆盘几何中，我们构造了具有常负曲率的圆盘的自相似分形等距浸入。在这两个条和光盘几何形状的解决方案定性类似于实验和数值上观察到的图案在撕裂的弹性片，树叶和溶胀水凝胶。对于双曲非欧几里德片，复杂的双曲图案，因此可能在类有限的弯曲能量等距浸入。此外，我们的研究结果确定的等距浸入的可微性（规律性）的程度在确定的非欧弹性片在3-空间的全球结构的关键作用。
Constant mean curvature Isometric Immersions into $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ and related results
在这篇文章中，我们研究了常数中曲率等距浸入到$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}$和$\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$，我们分类这些等距浸入时，表面具有常数的内在曲率。作为应用，我们利用姐妹曲面对应对$3-$维齐次流形$\mathbb{E}(κ, τ)$中具有常内曲率的常中曲率曲面进行分类，利用Torralbo-Urbano对应对$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^2$和$\mathbb{H}^2 \times \mathbb{H}^2$中具有常内曲率的平行中曲率曲面进行分类.值得指出的是，这些分类提供了新的例子。
Partially Isometric Immersions and Free Maps
本文研究了“部分”等距浸入的存在性.对于给定的黎曼流形M，f：M->R^q是TM的某个子丛H上的等距映射。自由映射的概念，这是必要的纳什-格罗莫夫理论的等距浸入，在这里取代的H-自由映射，即地图的限制H是自由的。在欧几里得空间维数q上的适当条件下，我们证明了无H映射是一般的，并且对于q的最小可能值，我们给出了以下三种情形下无H映射的显式表达式：R^2中的1维分布，完全可积系统的拉格朗日分布，特殊类型的泊松括号的哈密顿分布。
A new obstruction to minimal isometric immersions into a real space form
在极小子流形理论中，以下问题是基本的：给定的黎曼流形何时允许（或不允许）极小等距浸入任意维的欧几里得空间型？B.Y. Chen作为他的基本不等式的一个应用[1]。本文得到了该问题的另一个部分解。
Isometric Immersions and the Waving of Flags
本文提出一种几何模型，将旗帜视为满足边界条件的等距浸入，证明其空间为无限维流形，并推导运动方程，类似 Arnold 的流体几何方法。
Local isometric immersions of pseudo-spherical surfaces and k-th order evolution equations
我们考虑一类描述伪球面的发展方程，其形式为u\_t = F（u，$\partial$ u/ $\partial$ x，.，$\partial$ ^k u/ $\partial$ x^k），k $\ge$ 2由Chern-Tenenblat分类。这类方程的特征在于，对于这类方程中的微分方程的每个解，存在对应于曲率为1的二维黎曼度量的性质。我们研究如下问题：给定这样一个度量，在R3中是否存在局部等距浸入，使得曲面的第二基本型的系数依赖于u的有穷级的喷流？通过将我们以前对二阶发展方程的结果推广到k阶方程，我们证明了只有一类方程允许这种等距浸入.我们证明了由解u确定的局部等距浸入的第二基本型的系数是普适的，即，他们独立于你。此外，我们还证明了存在一个由直线构成的曲面参数域的叶理，其性质是曲面的中曲率在等距浸入下沿这些直线的像是常数。
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