On De Giorgi Conjecture in Dimension $N \geq 9$
一个著名的猜想，由于德Giorgi指出，任何有界的解决方案的方程$Δu + (1-u^2) u = 0 \hbox{in} \R^N $与$\pp_{y_N}u >0$必须是这样的，其水平集$\{u=\la\}$都是超平面，{\em \bf至少}为维度PDMATHAMR。长期以来，人们一直认为存在$N\ge 9$的反例。基于Benneri，De Giorgi和Giusti在$\R^N$，$N\ge 9$中发现的一个非超平面的极小图$Γ$，我们证明了对于任何小的$α>0$，都存在一个有界解$u_α(y)$，它与$\pp_{y_N}u_α>0$类似于$ \tanh (\frac t{\sqrt{2}}) $，其中$t=t(y)$表示到爆破极小图$Γ_α:= α^{-1}Γ$的符号距离的选择.该解构成了$N\ge 9$的De Giorgi猜想的反例。
2009-03-27 math.AP math.DG
A necessary condition in a De Giorgi type conjecture for elliptic systems in infinite strips
给定一个有界Lipschitz域$ω\subset\mathbb{R}^{d-1}$和一个下连续函数$W:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}$，该函数在有限集上为零且在无穷远处由一个正常数从下到上有界，证明了每个映射$u:\mathbb{R}\timesω\to\mathbb{R}^N$与\[ \int_{\mathbb{R}\timesω}\big(\lvert\nabla u\rvert^2+W(u)\big)\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d} x_1\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}x'<+\infty\]都有一个极限$u^\pm\in\{W=0\}$为$x_1\to\pm\infty$ .这种收敛在$L^2(ω)$中成立，在$ω$中几乎处处成立。我们还证明了类似的结果，更一般的潜力$W$的情况下，所考虑的地图$u$是发散自由的$\mathbb{R}\timesω$与$ω$是$(d-1)$ -环面和$N=d$。
2019-05-27 math.AP
A De Giorgi conjecture on the regularity of minimizers of Cartesian area in 1D
该研究证明了当有界开区间上的$g$的$L^\infty$范数足够小时，含积分项的笛卡尔面积泛函的BV极小值子具有$C^{1,1}$正则性，部分证实了一维余维一的De Giorgi猜想，并将结果推广到各向异性情形。
2025-05-21 math.AP math.CA
Modica type gradient estimates for reaction-diffusion equations and a parabolic counterpart of a conjecture of De Giorgi
本文继续研究了在\cite{BG}中提出的非齐次抛物型方程的Modica型梯度估计。首先，我们表明，抛物型极小曲面方程的半线性力项，如果一定的梯度估计满足$t=0$，那么它持有所有以后的时间$t>0$。然后，我们建立类似的结果，反应扩散方程，如\eqref{e0}以下在$\Om \times [0, T]$，其中$\Om$是一个epigraph，使平均曲率的$\partial \Om$是非负的。然后，我们把我们的注意力转移到这样的梯度估计是有效的，没有任何先验信息的估计是否在某个较早的时间。非常值得注意的是（见定理\ref{main3}，定理\ref{main5}和定理\ref{T:ricci}），这对$\Rn \times (-\infty, 0]$和$\Om \times (-\infty, 0]$是正确的，其中$\Om$是满足上述几何假设的上图，对$M \times (-\infty,0]$是正确的，其中$M$是具有非负Ricci张量的连通紧致黎曼流形。作为梯度估计\eqref{mo2}的结果，我们建立了\eqref{e0}的解的刚性结果（见下面的定理\ref{main6}），它是\cite{CGS}中定理5.1的类似物。最后，出于定理\ref{main6}，我们关闭的文件，提出了一个抛物线版本的著名猜想的德乔治也被称为$\ve$版本的伯恩斯坦定理。
2015-03-06 math.AP
On the extensions of the De Giorgi approach to nonlinear hyperbolic equations
在这次演讲中，我们概述了De Giorgi方法对一般二阶非线性双曲型方程的扩展。我们首先介绍了E. De Giorgi（De Giorgi '96）及其E. Serra and P. Tilli（Serra&Tilli '12）.然后，我们讨论了这个想法的第一个扩展（Serra和Tilli '16），旨在研究一类广泛的齐次方程。最后，我们宣布进一步扩展到非齐次方程，由作者与P. Tilli合作获得（Tentarelli&Tilli '17）。
2018-04-05 math.AP
Phase transitions with bounded index: Parallels to De Giorgi's conjecture
本文研究了具有有界指数的相变问题，证明了在高维空间中相变解的刚性行为，并与De Giorgi猜想进行了类比。
2026-02-03 math.AP math.DG
Gamma-convergence of integral functionals depending on vector-valued functions over parabolic domains
De Giorgi在1979年指出，如果一个抛物泛函序列Gamma收敛到一个极限泛函，那么相应的梯度流在适当改变时间尺度后也会收敛。本文研究了一类抛物泛函的Gamma收敛性，证明了De Giorgi猜想.
2003-01-15 math.AP
On stable solutions for boundary reactions: a De Giorgi-type result in dimension 4+1
我们证明了\[ (-Δ)^{1/2} u + f(u) =0 \qquad \mbox{in }\mathbb R^3\]的每一个有界稳定解都是一个一维轮廓，即，对于某些$e\in \mathbb S^2$，我们得到了$u(x)= ϕ(e\cdot x)$，其中$ϕ:\mathbb R\to \mathbb R$是一维非减有界稳定解。这证明了半拉普拉斯算子在$4$维上的De Giorgi猜想。等价地，我们给出了一个积极的回答德乔治猜想边界反应$\mathbb R^{d+1}_+=\mathbb R^{d+1}\cap \{x_{d+1}\geq 0\}$时$d = 4$，通过证明所有的临界点的$$ \int_{\{x_{d+1\geq 0}\}} \frac12 |\nabla U|^2 \,dx\, dx_{d+1} + \int_{\{x_{d+1}=0\}} \frac 1 4 (1-U^2)^2 \,dx $$是单调的$\mathbb R^d$（即，直到旋转，$\partial_{x_d} U>0$）是一维的。我们的结果类似于$\mathbb R^3$中的稳定嵌入极小曲面是平面的事实。注意，经典Allen-Cahn方程的稳定解的相应结果（即当半拉普拉斯算子被经典拉普拉斯算子取代时）仍然是开放的。
2017-05-08 math.AP
On the sharp Hölder exponent in the De Giorgi--Nash--Moser theory
Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, University of Cambridge（剑桥大学纯数学与统计数学系）
本文构造了三维及以上空间中具有可测系数的均匀椭圆方程的解，其Hölder指数α=exp(-c_n K)，证明了除二维情形外，Bombieri-Giusti Harnack不等式得到的Hölder指数对椭圆率常数K的依赖是最优的。
2026-08-27 math.AP
A free boundary problem inspired by a conjecture of De Giorgi
本文研究了由极小化能量泛函$I(u) = \int |\nabla u|^2 + V(u)$引起的自由边界问题的整体单调解，其中$V(u)$是区间$(-1,1)$的特征函数.该泛函是标量Ginzburg-Landau泛函$J(u) = \int |\nabla u|^2 + W(u)$的近亲，其中$W(u) = (1-u^2)^2/2$是标准双阱势。根据De Giorgi的一个著名猜想，$J$的全局临界点在一个方向上是有界的和单调的，其水平集是超平面，至少在$8$维以下。最近，Del Pino，Kowalczyk和Wei给出了一个由Bjueri，De Giorgi和Giusti（BdGG）建立的$9$维反例的复杂的不动点参数构造，其水平集"跟随”整个极小非平面图.在本文中，我们转向自由边界变量的问题，我们构建类似的例子，这里的优点是，几何透明的相间$\{|u| < 1\}$将包含在一个单位宽度的带周围的BdGG图。此外，我们避免了技术性的Del Pino，Kowalczyk和魏的不动点的论点，通过使用障碍。
2011-10-12 math.AP math.DG
Phase transitions in two-component Bose-Einstein condensates with Rabi frequency (I): The De Giorgi conjecture for the local problem in $\mathbb{R}^{3}$
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
本研究探讨双组分玻色-爱因斯坦凝聚体中的相变问题，通过分析局部问题，证明满足特定条件的解必须是一维的。
2025-12-23 math-ph math.AP math.MP
De Giorgi's approach to hyperbolic Cauchy problems: the case of nonhomogeneous equations
本文推广了E. Serra and P. Tilli，in [Serra&Tilli '12，Serra&Tilli '16]，concerning an original conjecture by E. De Giorgi（[De Giorgi '96，De Giorgi '06]）关于散焦非线性波动方程Cauchy问题的纯极小化方法。准确地说，我们展示了如何扩展的技术开发的Serra和Tilli齐次双曲型非线性偏微分方程的非齐次的情况下，从而证明的想法，德Giorgi产量实际上是一个有效的方法来调查一般的双曲型方程。
2017-09-26 math.AP math.FA
De Giorgi type results for equations with nonlocal lower-order terms
对于具有非零漂移的半线性椭圆型方程，De Giorgi猜想在二维空间中不成立，一般情况下，当$q=(0,-c)$对$c\neq 0$时，$$ Δu+ q\cdot \nabla u+f(u)=0 \ \ \text{in } \ \ \mathbb R^2, $$成立.这个方程出现在本生灯火焰的模型中。本生火焰通常由两种火焰组成：扩散火焰和预混火焰。在这篇文章中，我们证明了De Giorgi型结果，和稳定性猜想，为以下的本地-非本地对应的上述方程（与非本地预混火焰）在二维，$$Δu + c L[u] + f(u)=0 \quad \text{in} \ \ \mathbb R^n, $$当$L$是一个非本地运营商，$f\in C^1(\mathbb R)$和$c\in\mathbb R^+$。此外，我们提供了一个先验估计上述方程，当$n\ge 1$，与各种跳跃内核。算子$Δ+cL$是概率论中跳跃扩散过程的无穷小生成元。
2019-05-30 math.AP math.PR
De Giorgi type results for elliptic systems
考虑椭圆方程组Δu = \nabla H（u）\ \\text{in} \ \ \mathbf{R}^N，其中$u:\mathbf{R}^N\to \mathbf{R}^m$和$H\in C^2(\mathbf{R}^m)$，证明了在非线性$H$的各种条件下，至少在低维情况下，只要$u_i$的每个分量在一个方向上单调，解$u=(u_i)_{i=1}^m$必然是一维的.就像在2维（Ghoussoub-Gui）和3维（Ambrosio-Cabré）中证明经典的De Giorgi猜想一样，关键步骤是线性系的Liouville定理。我们还给出了一个扩展的几何庞加莱不等式系统，并用它来建立德乔治型结果稳定的解决方案，以及额外的刚性属性，说明解决方案的各个组成部分的梯度必须是平行的。我们引入并利用{ \it一个可定向系统}的概念，这似乎是处理三个或更多方程的系统的关键。对于这样的系统，变分意义下的稳定解的概念与点态（或谱）稳定性的概念一致。
2012-04-23 math.AP
Reverse approximation of gradient flows as Minimizing Movements: a conjecture by De Giorgi
考虑Hilbert空间$\mathbb H$中由连续可微函数$ϕ:\mathbb H \to \mathbb R$生成的梯度流\begin{equation} \label{eq:81} \tag{$\star$} u'(t)=-\nablaϕ(u(t)),\quad t\ge 0;\quad u(0)=u_0, \end{equation}的Cauchy问题，并利用De Giorgi极小化运动方法研究了（$\star$）解的逆逼近.我们证明了如果$\mathbb H$有有限维且$ϕ$是下二次有界的（特别是如果$ϕ$是Lipschitz），则对于每个解$u$，（$\star$）（其可具有无限数目的解）存在以Lipschitz范数收敛到$ϕ$的扰动$ϕ_τ:\mathbb H \to \mathbb R \ (τ>0)$，使得$u$可通过由$Φ(τ,U,V):=\frac 1{2τ}|V-U|^2+ ϕ_τ(V)$的递归最小化产生的最小化运动方案来近似：\begin{equation} \label{eq:abstract} \tag{$\star\star$} U_τ^n\in \operatorname{argmin}_{V\in \mathbb H} Φ(τ,U_τ^{n-1},V)\quad n\in\mathbb N, \quad U_τ^0:=u_0. \end{equa…
2017-11-20 math.AP math.CA
Global Stable Solutions to the Free Boundary Allen--Cahn and Bernoulli Problems in 3D are One-Dimensional
Universität Basel（巴塞尔大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文证明三维自由边界Allen--Cahn方程的稳定De Giorgi猜想，并推论四维单调解情形，核心是分类三维单相Bernoulli全局稳定解。
2026-09-28 math.AP
A negative answer to a one-dimensional symmetry problem in the Heisenberg group
De Giorgi证明了Ginzburg-Landau方程的有界单调解在超平面上是常数，本文证明了在Heisenberg群中这一猜想在中心方向上不成立.
2001-08-29 math.AP
Phase transitions in two-component Bose-Einstein condensates with Rabi frequency (II): The De Giorgi conjecture for the nonlocal problem in $\mathbb{R}^{2}$ or $\mathbb{R}^{3}$
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
本文研究了两组分玻色-爱因斯坦凝聚体的非局部问题，证明了在特定条件下单调解必须为一维，并扩展了De Giorgi型定理到新的非局部耦合系统。
2025-11-21 math-ph math.AP math.MP
Stable De Giorgi conjecture of the Allen--Cahn equation in $\mathbb{R}^3$
Beijing Technology and Business University（北京工商大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Wuhan University（武汉大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Yunnan Normal University（云南师范大学）
证明$\mathbb{R}^3$中Allen--Cahn方程的有界稳定整体解必为一维，进而推出$\mathbb{R}^4$中完整De Giorgi猜想成立；方法是将稳定性条件归结为零集上的弱稳定性条件并利用Gauss-Bonnet公式构造矛盾。
2026-09-21 math.AP math.DG
Non-perturbative approach to the Bourgain-Spencer conjecture in stochastic homogenization
针对随机均匀化中Bourgain-Spencer猜想此前仅能在小椭圆率微扰区域证明的问题，提出基于类Schwartz分布平稳校正子的非微扰方法，在高斯系数场下借助Malliavin演算证明了猜想一半的最优精度。
2023-05-01 math.AP math.PR
Global minimizers of the Allen-Cahn equation in dimension $n\geq 8$
证明了Allen-Cahn方程在$8$及以上维数下的整体极小解的存在性.更确切地说，给定任何严格面积最小化的劳森锥，存在全局极小点，其节点集渐近于锥。作为Jerison-Monneau程序的结果，我们建立了不同于Bézerie-De Giorgi-Giusti极小图的De Giorgi猜想的许多反例的存在性。
2016-06-16 math.AP math.DG
Some remarks on the classification of global solutions with asymptotically flat level sets
我们简化了\cite{S1}的一些技术步骤，其中解决了De Giorgi的一个猜想。为了完整性，我们使文件自包含和重新证明的分类某些整体有界解的半线性方程的类型$$\triangle u=W'(u),$$，其中$W$是一个双阱势。
2016-10-11 math.AP
Oscillations in wave map systems and homogenization of the Einstein equations in symmetry
在1989年，Burnett指出，在适当的假设下，爱因斯坦真空方程的高振荡解的极限是Einstein-mass-Vlasov系统的解。Huneau-Luk（arXiv：1907.10743）在最近的一次突破中，给出了U（1）对称性和椭圆规范中猜想的证明。它们还需要控制度量分量的四阶导数。在本文中，我们给出了一个精简的证明，一个更强的结果，并在伯内特的原始猜想的精神，我们删除了需要控制的高阶导数。我们的方法也适用于一般的波图方程。
2021-07-02 gr-qc math.AP
Characterizations of diffusion matrices in homogenization of elliptic equations in nondivergence-form
本文刻画了非散度形式线性椭圆方程周期均匀化中产生 $\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ 最优 $L^\infty$ 收敛率的扩散矩阵，证实了相关猜想，并给出了二维对角矩阵的完整刻画及高维研究。
2022-01-14 math.AP
One-dimensional symmetry for integral systems in two dimensions
本文的目的是证明二维非局部积分方程组$$ L(u_i) = H_i(u) \quad \text{in} \ \ \mathbb R^2 , $$的稳定解的De Giorgi型结果，其中$u=(u_i)_{i=1}^m$对$u_i: \mathbb R^n\to \mathbb R$，$H=(H_i)_{i=1}^m$是一般非线性项.对于某些核$K$，算子$L$由$$L(u_i (x)):= \int_{\mathbb R^2} [u_i(x) - u_i(z)] K(z-x) dz,$$给出。这个想法是应用线性刘维尔定理的商的偏导数，就像在证明经典的德乔治猜想在较低的维度。由于没有与上述算子相关的Caffarelli-Silvestre局部扩张问题，我们通过某些积分估计直接处理这个问题。
2015-06-10 math.AP
Stable solutions of the Allen--Cahn equation in dimension three are one-dimensional
Universität Basel（巴塞尔大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文证明三维空间中 Allen--Cahn 方程的有界稳定解均为一维，从而验证了四维空间中 De Giorgi 猜想的正确性。
2026-09-25 math.AP
Harmonic approximation and improvement of flatness in a singular perturbation problem
本文研究了De Giorgi型猜想，即在$\mathbb{R}^n$中，对所有$n\geq 2$，两分量椭圆型方程组整体解的一维对称性问题.我们证明，如果解$(u,v)$在无穷远处线性增长，那么它是一维的，即仅取决于一个变量。主要成分是一个改进的平坦度估计，这是通过调和近似技术适应奇异摄动的情况下实现的。
2014-01-15 math.AP
A symmetry result for the Ornstein-Uhlenbeck operator
1978年E. De Giorgi提出了一个关于椭圆型方程Δu= F '（u）有界解的一维对称性的猜想，这些解在某个方向上是单调的.本文证明了方程Δu - <x，Du> = F '（u）的类似命题，其中Laplacian算子由Ornstein-Uhlenbeck算子代替.我们的定理在对周围空间的维数没有任何限制的情况下成立，这使得我们能够通过极限过程在无限维中得到类似的结果。
2012-04-24 math.AP
Multiband homogenization of metamaterials in real-space: Higher-order nonlocal models and scattering at external surfaces
本工作发展了一种超材料的动态均匀化方法。它发现一个近似的宏观均匀化方程的常系数提出的空间和时间，但由此产生的均匀化方程是高阶的空间和时间。均匀化方程可用于求解具有宏观非均匀性的任意非周期宏观尺度几何形状（例如由多种不同超材料组成或具有外部边界的物体）上的初边值问题。首先，考虑单个频带，高阶空间导数导致均匀材料和超材料之间的边界处的附加连续性条件。这些方法提供了一维和二维波散射的预测，与精确的精细尺度解很好地匹配;与其他方法相比，它们提供了一个在广泛频率范围内有效的单一方程，易于应用，并且计算速度更快。接下来，考虑具有带隙的两个带的设置。均匀化方程也有高阶时间导数。值得注意的是，均匀化模型提供了一个单一的方程，是有效的两个频带和带隙。连续性条件被应用到波在边界处的散射，并显示出良好的协议与精确的精细尺度解。利用最高时间导数的阶数与所考虑的带数成正比，证明了齐次方程在无限带极限下的时间非局部结构。这表明，在更细的长度和时间尺度上的时间均匀化是通过考虑色散关系中的较高波段来进行的，这是宏观空间和时间非局域性出现的一种机制，时间非局域性的程度与所考虑的波段数量有关。
2022-06-22 math.AP
Energy estimates and 1-D symmetry for nonlinear equations involving the half-Laplacian
在$\re^n$中建立了分数阶非线性方程$(-Δ)^{1/2} u=f(u)$的整体极小解、单调解和鞍形解的精确能量估计.我们的能量估计适用于每个非线性$f$，并且是尖锐的，因为它们对于一维解是最优的，也就是说，对于仅依赖于一个欧几里得变量的解。作为结果，在$n=3$维，我们推导出每个整体极小和每个单调解的一维对称性。这个结果是De Giorgi关于经典方程$-Δu=f(u)$在$\re^n$中的一维对称性的猜想的类似。
2010-04-16 math.AP
A three-dimensional symmetry result for a phase transition equation in the genuinely nonlocal regime
考虑了非局部Allen-Cahn方程$$ (-Δ)^s u=u-u^3\qquad{\mbox{ in }}{\mathbb{R}}^3,$$在单调性条件$\partial_{x_3}u>0$下和在真正非局部区域中的有界解，其中~ $s\in\left(0,\frac12\right)$ .在极限假设$$ \lim_{x_n\to-\infty} u(x',x_n)=-1\quad{\mbox{ and }}\quad \lim_{x_n\to+\infty} u(x',x_n)=1,$$下，最近证明了~ $u$必然是$1$ D，即它只依赖于一个欧几里德变量。本文的目的是获得类似的结果，而不假设这样的限制条件。这类结果可以看作是著名的恩尼奥·德乔治猜想的非局部对应。
2017-11-05 math.AP
Symmetry properties for solutions of nonlocal equations involving nonlinear operators
我们追求的一维对称性的非线性方程的解决方案，涉及非局部运营商的研究。我们考虑了一个巨大的类的非线性算子，在一个特定的情况下，它涵盖了分数$p-$拉普拉斯算子。类似于经典的De Giorgi猜想，我们建立了Poincaré不等式和线性Liouville定理，给出了一维对称性结果在二维中的两种不同证明.这两种方法都有各自的利益。此外，我们提供了一定的能量估计层的解决方案和Liouville定理稳定的解决方案。大多数的方法和思想适用于当前的文章是适用于非本地运营商的一般内核著名的扩展问题，由Caffarelli和西尔维斯特，不一定是已知的。
2018-07-17 math.AP
Sharp energy estimates for nonlinear fractional diffusion equations
研究了非线性分数阶方程$(-Δ)^s u = f(u)$在$\mathbb{R}^n$中的解，对所有分数$0<s<1$和所有非线性$f$ .对于每一个分数幂$s \in (0,1)$，我们得到了有界全局极小解和有界单调解的精确能量估计。他们是尖锐的，因为他们是最佳的解决方案，只依赖于一个欧几里德变量。作为结果，我们推导出一维对称的有界整体极小和有界单调解的尺寸$n=3$每当$1/2 \leq s < 1$。这个结果是模拟的猜想德乔治一维对称的经典方程$-Δu = f(u)$在$\mathbb{R}^n$。它仍然对$n=3$和$s<1/2$开放，也对$n \geq 4$和所有$s$开放。
2012-07-26 math.AP
Spreading sets and one-dimensional symmetry for reaction-diffusion equations
我们考虑反应扩散方程$\partial_tu=Δu+f(u)$在整个空间$\mathbb{R}^N$和我们感兴趣的大时间动力学范围内的区间$[0,1]$的解决方案，一般无界的初始支持。在假设存在一个以正速度连接$0$和$1$的波前的条件下，讨论了描述解的水平集的大时间整体形状的扩散速度和扩散集的存在性.在任何方向上的扩展速度都表示为Freidlin-Gärtner型公式。这个公式适用于一般假设下的反应和解决方案所产生的初始条件一般无界支持，而大多数早期的结果是关注更具体的反应和compensated或几乎平面的初始条件。然后，我们调查的本地属性的水平集在大的时间。一些平坦化的解决方案的水平集的属性，如果最初支持的子图，将被提出。我们还研究了渐近圆锥形初始条件的特殊情况。对于Fisher-KPP方程，我们基于DeGiorgi关于Allen-Cahn方程定常解的一个猜想，给出了解的$Ω$ -极限集的元素的渐近局部一维和单调对称性.最后，我们提出了一些在时间上的滞后的解决方案的位置相对于一个平面前的最小速度，初始条件是支持子图在无穷大的对数增长的估计。文中还列出了一些相关的问题和有待解决的问题。
2022-07-13 math.AP
Some remarks on the Allen-Cahn equation in $\mathbb{R}^n$
针对 Allen-Cahn 方程的高维 De Giorgi 猜想，在 $n\ge 9$ 时给出新结果：对能量极小解假设 $n-7$ 个单调方向可推出一维对称性，并推广至非局部相变及自由边界问题，同时建立无需能量有界性的 Ambrosio-Cabré 定理对应版本。
2026-06-17 math.AP
Min-max formulas and other properties of certain classes of nonconvex effective Hamiltonians
Michigan State University（密歇根州立大学）；University of Wisconsin Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文首次系统研究了某些 coercive 但非凸 Hamilton-Jacobi 方程的周期正则化中出现的有效哈密顿量 $\overline{H}$ 的性质，提出了一种新的稳健分解方法以获得极小-极大公式，并分析了非凸哈密顿量的其他现象，如准凸化和对称性破坏。
2017-01-04 cs.NA math.AP math.NA
Asymptotic one-dimensional symmetry for the Fisher-KPP equation
设$u$是Fisher-KPP方程的解$$ \partial_t u=Δu+f(u),\quad t>0,\ x\in\mathbb{R}^N. $$，我们解决以下问题：$u$是否成为局部平面的$t\to+\infty$？也就是说，$u(t_n,x_n+\cdot)$是否局部一致收敛，直到收敛，朝向一维函数，对于$(0,+\infty)\times\mathbb{R}^N$中的任何序列$((t_n,x_n))_{n\in\mathbb{N}}$，使得$t_n\to+\infty$作为$n\to+\infty$？这个问题是在德乔吉猜想的精神，固定解决方案的艾伦-卡恩方程。答案取决于$u$的初始数据$u_0$。已知当$u_0$的支集有界或位于两个平行半空间之间时，它是肯定的。相反，当$u_0$的支持呈“V”形时，答案是否定的。我们证明了当$u_0$的支撑是一个凸集（另外满足一个均匀的内部球条件），或者更一般地，当它是在一个凸集的有限Hausdorff距离时，$u$是渐近局部平面的.我们实际上是在$u_0$的支持下，在一个更一般的几何假设下得出这个结果的。我们恢复，特别是在文献中已知的上述结果。进一步刻画了$u$渐近局部平面的方向集，并证明了渐近轮廓是单调的。当$u_0$的支持是一个函数的子图与消失的全球平均值时，我们的结果特别适用。
2022-07-13 math.AP
A rigidity result for effective Hamiltonians with $3$-mode periodic potentials
本文继续研究文献[14]中提出的Hamilton-Jacobi方程周期均匀化理论中的一个反问题。设$V_1, V_2 \in C(\mathbb{R}^n)$是两个给定的$\mathbb{Z}^n$ -周期势，$\overline{H}_1, \overline{H}_2$分别是与哈密顿量$\frac{1}{2}|p|^2 + V_1$，$\frac{1}{2}|p|^2+V_2$相关的有效哈密顿量.本文的一个主要结果是，如果维数$n=2$和每个$V_1, V_2$恰好包含$3$互不平行的Fourier模，则对于某些$c\in \mathbb{Q} \setminus\{0\}$和$x_0 \in \mathbb{T}^2$，有$$ \overline H_1\equiv \overline H_2 \quad \iff \quad V_1(x)=V_2\left({x\over c}+x_0\right) \quad \text{ for all } x \in \mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2, $$.当使用$n\geq 3$时，场景稍微微妙一些，并且为任何维度提供了完整的描述。这部分地解决了[14]中的猜想。并讨论了其它一些相关结果和尚待解决的问题。
2017-07-06 math.AP
Renormalization Group Analysis of Nonlinear Diffusion Equations with Periodic Coefficients
Departamento de Matemática - UFMG（乌贝拉巴联邦大学数学系）；Department of Mathematics - University of Wyoming（怀俄明大学数学系）
本文提出基于重整化群的高效数值方法，用于计算自相似动力学，并通过验证周期系数非线性扩散方程长时间行为的猜想，展示了该方法在确定有效扩散系数方面的应用。
2016-09-04 cs.NA math.AP math.NA
Random walk in random environment, corrector equation, and homogenized coefficients: from theory to numerics, back and forth
INRIA Paris-Rocquencourt（法国国家信息与自动化研究所巴黎罗克安古尔分部）；Université Libre de Bruxelles (ULB)（布鲁塞尔自由大学）；INRIA Lille - Nord Europe（法国国家信息与自动化研究所里尔北欧分部）；EPFL - Institut de mathématiques（洛桑联邦理工学院数学研究所）；CMAP École polytechnique（巴黎综合理工学院计算与应用数学中心）
本文研究离散线性椭圆方程随机均质化中有效系数的数值方法及其数值分析，通过校正子方程和随机环境中的随机游走两种方法，比较收敛速率并进行数值验证。
2012-11-08 cs.NA math.AP math.NA
One-dimensional symmetry of positive bounded solutions to the subcubic and cubic nonlinear Schrödinger equation in the half-space in dimensions $N=4,5$
研究半空间Dirichlet问题\[\left\{\begin{array}{ll} -Δv+v=|v|^{p-1}v & \textrm{in}\ \mathbb{R}^N_+, v=c\ \textrm{on}\ \partial\mathbb{R}^N_+, &\lim_{x_N\to \infty}v(x',x_N)=0\ \textrm{uniformly in}\ x'\in\mathbb{R}^{N-1}, \end{array}\right. \]，其中对于某些$N\geq 2$，$\mathbb{R}^N_+=\{x\in \mathbb{R}^N \ : \ x_N>0\}$，$p>1$，$c>0$是常数.最近Fernandez和Weth [Math. Ann.（2021）]证明了存在一个显式数$c_p\in (1,\sqrt{e})$，它只依赖于$p$，使得对于$0<c<c_p$有无穷多个有界正解，而对于$c>c_p$没有有界正解。他们还提出了一个有趣的开放性问题，即在$c = c_p$的情况下，一维解是否是唯一的有界正解。如果$N=2, 3$，我们最近在[Partial Differ.当量ag Appl.（2021）]通过采用低维De Giorgi猜想的证明中的一些想法。在这里，我们首先集中在$1<p<3$的情况下，并证明了这个唯一性属性的尺寸$2\leq …
2022-04-25 math.AP
Wave equations on graded groups and hypoelliptic Gevrey spaces
本论文的总体目标是研究调和分析中的一些经典结果，用非交换环境和亚椭圆算子代替欧氏空间、阿贝尔结构和椭圆Laplace算子。更具体地说，我们考虑分次李群上的次椭圆齐次左不变算子的波动方程，其传播速度与时间相关，是Hölder正则的，甚至更正则。相应的欧几里德问题在80年代得到了广泛的研究，最近Garetto和Ruzhansky在紧李群的情况下得到了一些额外的结果。在Colombini，De Giorgi和Spagnolo的经典结果的基础上，我们建立了尖锐的适定性结果.在这项调查中，结构让人想起Gevrey正则性出现，激发更深入的调查某些类的功能和比较Gevrey类。在本文的后半部分，我们讨论了流形上满足Hörmander条件的向量场平方和所对应的Gevrey空间。这提供了对次拉普拉斯算子的Gevrey亚椭圆性的更深入的理解。已知如果$\mathcal L$是闭流形$M$上的拉普拉斯算子，则在局部坐标中定义的$M$上的标准Gevrey空间$γ^s$可以由以下条件表征：对于某些$D>0$，$\|e^{D\mathcal L^{\frac{1}{2s}}}ϕ\|_{L^2(M)}<\infty$。这一部分的目的是讨论一个猜想，即如果$\mathcal L$是向量场的Hörmander平方和，则类似的特征成立，而Gevrey空间的次拉普拉斯版本只涉及这些向量场。我们证明了这个猜想在一个方向，…
2018-04-11 math.AP math.FA math.GR
