A De Giorgi conjecture on the regularity of minimizers of Cartesian area in 1D
该研究证明了当有界开区间上的$g$的$L^\infty$范数足够小时，含积分项的笛卡尔面积泛函的BV极小值子具有$C^{1,1}$正则性，部分证实了一维余维一的De Giorgi猜想，并将结果推广到各向异性情形。
2025-05-21 math.AP math.CA
Some connections between results and problems of De Giorgi, Moser and Bangert
利用Bangert定理，我们证明了一个刚性结果，它表明了Bangert对Moser型椭圆被积函数提出的一个问题，在没有自相交的极小解的情况下，是如何与De Giorgi关于相变的一个著名猜想相连接的。
2007-07-23 math.AP
Phase transitions with bounded index: Parallels to De Giorgi's conjecture
本文研究了具有有界指数的相变问题，证明了在高维空间中相变解的刚性行为，并与De Giorgi猜想进行了类比。
2026-02-03 math.AP math.DG
Fractional De Giorgi conjecture in dimension 2 via complex-plane methods
本文利用复平面方法，结合 Farina 方法和 Caffarelli-Silvestre 的 $s$-调和延拓，为二维全指数范围 Allen-Cahn 方程的分数阶 De Giorgi 猜想提供了新证明，并建立了带 Neumann 边界条件的加权椭圆方程有限能量弱解的表示公式。
2025-03-08 math.AP
A necessary condition in a De Giorgi type conjecture for elliptic systems in infinite strips
给定一个有界Lipschitz域$ω\subset\mathbb{R}^{d-1}$和一个下连续函数$W:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}$，该函数在有限集上为零且在无穷远处由一个正常数从下到上有界，证明了每个映射$u:\mathbb{R}\timesω\to\mathbb{R}^N$与\[ \int_{\mathbb{R}\timesω}\big(\lvert\nabla u\rvert^2+W(u)\big)\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d} x_1\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}x'<+\infty\]都有一个极限$u^\pm\in\{W=0\}$为$x_1\to\pm\infty$ .这种收敛在$L^2(ω)$中成立，在$ω$中几乎处处成立。我们还证明了类似的结果，更一般的潜力$W$的情况下，所考虑的地图$u$是发散自由的$\mathbb{R}\timesω$与$ω$是$(d-1)$ -环面和$N=d$。
2019-05-27 math.AP
A free boundary problem inspired by a conjecture of De Giorgi
本文研究了由极小化能量泛函$I(u) = \int |\nabla u|^2 + V(u)$引起的自由边界问题的整体单调解，其中$V(u)$是区间$(-1,1)$的特征函数.该泛函是标量Ginzburg-Landau泛函$J(u) = \int |\nabla u|^2 + W(u)$的近亲，其中$W(u) = (1-u^2)^2/2$是标准双阱势。根据De Giorgi的一个著名猜想，$J$的全局临界点在一个方向上是有界的和单调的，其水平集是超平面，至少在$8$维以下。最近，Del Pino，Kowalczyk和Wei给出了一个由Bjueri，De Giorgi和Giusti（BdGG）建立的$9$维反例的复杂的不动点参数构造，其水平集"跟随”整个极小非平面图.在本文中，我们转向自由边界变量的问题，我们构建类似的例子，这里的优点是，几何透明的相间$\{|u| < 1\}$将包含在一个单位宽度的带周围的BdGG图。此外，我们避免了技术性的Del Pino，Kowalczyk和魏的不动点的论点，通过使用障碍。
2011-10-12 math.AP math.DG
Phase transitions in two-component Bose-Einstein condensates with Rabi frequency (I): The De Giorgi conjecture for the local problem in $\mathbb{R}^{3}$
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
本研究探讨双组分玻色-爱因斯坦凝聚体中的相变问题，通过分析局部问题，证明满足特定条件的解必须是一维的。
2025-12-23 math-ph math.AP math.MP
Modica type gradient estimates for reaction-diffusion equations and a parabolic counterpart of a conjecture of De Giorgi
本文继续研究了在\cite{BG}中提出的非齐次抛物型方程的Modica型梯度估计。首先，我们表明，抛物型极小曲面方程的半线性力项，如果一定的梯度估计满足$t=0$，那么它持有所有以后的时间$t>0$。然后，我们建立类似的结果，反应扩散方程，如\eqref{e0}以下在$\Om \times [0, T]$，其中$\Om$是一个epigraph，使平均曲率的$\partial \Om$是非负的。然后，我们把我们的注意力转移到这样的梯度估计是有效的，没有任何先验信息的估计是否在某个较早的时间。非常值得注意的是（见定理\ref{main3}，定理\ref{main5}和定理\ref{T:ricci}），这对$\Rn \times (-\infty, 0]$和$\Om \times (-\infty, 0]$是正确的，其中$\Om$是满足上述几何假设的上图，对$M \times (-\infty,0]$是正确的，其中$M$是具有非负Ricci张量的连通紧致黎曼流形。作为梯度估计\eqref{mo2}的结果，我们建立了\eqref{e0}的解的刚性结果（见下面的定理\ref{main6}），它是\cite{CGS}中定理5.1的类似物。最后，出于定理\ref{main6}，我们关闭的文件，提出了一个抛物线版本的著名猜想的德乔治也被称为$\ve$版本的伯恩斯坦定理。
2015-03-06 math.AP
Gamma-convergence of integral functionals depending on vector-valued functions over parabolic domains
De Giorgi在1979年指出，如果一个抛物泛函序列Gamma收敛到一个极限泛函，那么相应的梯度流在适当改变时间尺度后也会收敛。本文研究了一类抛物泛函的Gamma收敛性，证明了De Giorgi猜想.
2003-01-15 math.AP
De Giorgi type results for equations with nonlocal lower-order terms
对于具有非零漂移的半线性椭圆型方程，De Giorgi猜想在二维空间中不成立，一般情况下，当$q=(0,-c)$对$c\neq 0$时，$$ Δu+ q\cdot \nabla u+f(u)=0 \ \ \text{in } \ \ \mathbb R^2, $$成立.这个方程出现在本生灯火焰的模型中。本生火焰通常由两种火焰组成：扩散火焰和预混火焰。在这篇文章中，我们证明了De Giorgi型结果，和稳定性猜想，为以下的本地-非本地对应的上述方程（与非本地预混火焰）在二维，$$Δu + c L[u] + f(u)=0 \quad \text{in} \ \ \mathbb R^n, $$当$L$是一个非本地运营商，$f\in C^1(\mathbb R)$和$c\in\mathbb R^+$。此外，我们提供了一个先验估计上述方程，当$n\ge 1$，与各种跳跃内核。算子$Δ+cL$是概率论中跳跃扩散过程的无穷小生成元。
2019-05-30 math.AP math.PR
On the sharp Hölder exponent in the De Giorgi--Nash--Moser theory
Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, University of Cambridge（剑桥大学纯数学与统计数学系）
本文构造了三维及以上空间中具有可测系数的均匀椭圆方程的解，其Hölder指数α=exp(-c_n K)，证明了除二维情形外，Bombieri-Giusti Harnack不等式得到的Hölder指数对椭圆率常数K的依赖是最优的。
2026-08-27 math.AP
Reverse approximation of gradient flows as Minimizing Movements: a conjecture by De Giorgi
考虑Hilbert空间$\mathbb H$中由连续可微函数$ϕ:\mathbb H \to \mathbb R$生成的梯度流\begin{equation} \label{eq:81} \tag{$\star$} u'(t)=-\nablaϕ(u(t)),\quad t\ge 0;\quad u(0)=u_0, \end{equation}的Cauchy问题，并利用De Giorgi极小化运动方法研究了（$\star$）解的逆逼近.我们证明了如果$\mathbb H$有有限维且$ϕ$是下二次有界的（特别是如果$ϕ$是Lipschitz），则对于每个解$u$，（$\star$）（其可具有无限数目的解）存在以Lipschitz范数收敛到$ϕ$的扰动$ϕ_τ:\mathbb H \to \mathbb R \ (τ>0)$，使得$u$可通过由$Φ(τ,U,V):=\frac 1{2τ}|V-U|^2+ ϕ_τ(V)$的递归最小化产生的最小化运动方案来近似：\begin{equation} \label{eq:abstract} \tag{$\star\star$} U_τ^n\in \operatorname{argmin}_{V\in \mathbb H} Φ(τ,U_τ^{n-1},V)\quad n\in\mathbb N, \quad U_τ^0:=u_0. \end{equa…
2017-11-20 math.AP math.CA
Phase transitions in two-component Bose-Einstein condensates with Rabi frequency (II): The De Giorgi conjecture for the nonlocal problem in $\mathbb{R}^{2}$ or $\mathbb{R}^{3}$
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
本文研究了两组分玻色-爱因斯坦凝聚体的非局部问题，证明了在特定条件下单调解必须为一维，并扩展了De Giorgi型定理到新的非局部耦合系统。
2025-11-21 math-ph math.AP math.MP
Stable De Giorgi conjecture of the Allen--Cahn equation in $\mathbb{R}^3$
Beijing Technology and Business University（北京工商大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Wuhan University（武汉大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Yunnan Normal University（云南师范大学）
证明$\mathbb{R}^3$中Allen--Cahn方程的有界稳定整体解必为一维，进而推出$\mathbb{R}^4$中完整De Giorgi猜想成立；方法是将稳定性条件归结为零集上的弱稳定性条件并利用Gauss-Bonnet公式构造矛盾。
2026-09-21 math.AP math.DG
Global Stable Solutions to the Free Boundary Allen--Cahn and Bernoulli Problems in 3D are One-Dimensional
Universität Basel（巴塞尔大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文证明三维自由边界Allen--Cahn方程的稳定De Giorgi猜想，并推论四维单调解情形，核心是分类三维单相Bernoulli全局稳定解。
2026-09-28 math.AP
Some remarks on the classification of global solutions with asymptotically flat level sets
我们简化了\cite{S1}的一些技术步骤，其中解决了De Giorgi的一个猜想。为了完整性，我们使文件自包含和重新证明的分类某些整体有界解的半线性方程的类型$$\triangle u=W'(u),$$，其中$W$是一个双阱势。
2016-10-11 math.AP
Smooth geometric evolutions of hypersurfaces
本文研究了欧几里得空间中与几何能量泛函相关的超曲面的梯度流。我们表明，对于特定的泛函依赖于较高的共变导数的曲率，在有限时间内的奇点不会发生在演化过程中。这样的几何泛函与恩尼奥·德·乔治（Ennio De Giorgi）提出的类似泛函有关，后者为它们证明了一个类似的正则性结果。
2001-03-03 math.AP math.DG
Harmonic approximation and improvement of flatness in a singular perturbation problem
本文研究了De Giorgi型猜想，即在$\mathbb{R}^n$中，对所有$n\geq 2$，两分量椭圆型方程组整体解的一维对称性问题.我们证明，如果解$(u,v)$在无穷远处线性增长，那么它是一维的，即仅取决于一个变量。主要成分是一个改进的平坦度估计，这是通过调和近似技术适应奇异摄动的情况下实现的。
2014-01-15 math.AP
A symmetry result for the Ornstein-Uhlenbeck operator
1978年E. De Giorgi提出了一个关于椭圆型方程Δu= F '（u）有界解的一维对称性的猜想，这些解在某个方向上是单调的.本文证明了方程Δu - <x，Du> = F '（u）的类似命题，其中Laplacian算子由Ornstein-Uhlenbeck算子代替.我们的定理在对周围空间的维数没有任何限制的情况下成立，这使得我们能够通过极限过程在无限维中得到类似的结果。
2012-04-24 math.AP
Geometric inequalities and symmetry results for elliptic systems
我们得到了一些Poincaré型公式，我们使用这些公式，结合水平集分析，来检测形式为{eqnarray *}{{array}{ll} div（a）的可能退化椭圆型方程组的单调稳定解的一维对称性。|\nabla使用|）\nabla u）= F_1（u，v），div（b（|\nabla v|）\nabla v）= F_2（u，v），{array}. {eqnarray *}其中$F\in C^{1,1}_{loc}(\R^2)$。我们的设置是非常普遍的，它包括，作为一个特殊的情况下，德乔治的猜想相分离$\R^2$。
2013-02-27 math.AP
Transport distances and geodesic convexity for systems of degenerate diffusion equations
我们引入Wasserstein的动态传输距离之间的向量值的密度在真正的线。标量理论中的迁移率函数被迁移率矩阵取代，该矩阵服从正性和凹性条件。我们的主要动机是将某些非线性抛物型发展方程系统投入到梯度流的变分框架中。在论文的第一部分，我们研究了新的距离类的结构性质，如测地完备性。第二部分主要讨论了$λ$ -测地凸泛函及其$λ$ -压缩梯度流的识别问题。其中一个结果是内能的测地凸性的广义McCann条件。第三部分研究了一类具有漂移的退化扩散方程组的弱解的存在性。即使潜在的能量函数不是测地线凸的。我们的新距离，一个弱解的建设仍然是可能的使用deGiorgi的最小化运动计划。
2014-10-08 math.AP
