AI 中文总结
该研究针对$N\geq 3$的整数，通过积分表示公式和稳定临界点的刚性定理，证明了Beckner不等式成立，从而肯定回答了球面上的广义Chang-Yang猜想。
AI 中文摘要
我们证明：对任意整数$N\geq 3$和$\alpha\geq \frac{1}{2}$，若$u\in H^{\frac{N}{2}}(\mathbb{S}^N)$的质心在原点，则Beckner不等式$\frac{\alpha}{2}\int_{\mathbb{S}^N}u(P_{N}u) dw+(N-1)!\int_{\mathbb{S}^N}u dw-\frac{(N-1)!}{N}\log\int_{\mathbb{S}^N}e^{Nu} dw\geq 0$成立。证明主要基于积分表示公式和稳定临界点的刚性定理，由此对所有整数$N\geq 3$，我们给出了广义Chang-Yang猜想的肯定答案。
英文摘要
We prove that for every integer $N\geq 3$ and $α\geq \frac{1}{2}$, Beckner's inequality \[ \fracα{2}\int_{\mathbb{S}^N}u(P_{N}u) dw+(N-1)!\int_{\mathbb{S}^N}u dw-\frac{(N-1)!}{N}\log\int_{\mathbb{S}^N}e^{Nu} dw\geq 0 \] holds for every $u\in H^{\frac{N}{2}}(\mathbb{S}^N)$ whose center of mass is at the origin. The proof is mainly based on an integral representation formula and a rigidity theorem for stable critical points. Hence, we answer the generalized Chang-Yang conjecture positively for every integer $N\geq 3$.
