关于球的极小子流形的陈省身猜想
On Chern's conjecture for minimal submanifolds of the sphere
AI总结：
本文针对球的极小子流形的陈省身猜想，证明其在n≥3且m≥4、偶n≥4且m≥3的情形不成立，补充了该猜想的反例情形。
AI中文摘要：
陈省身、do Carmo和Kobayashi提出的著名猜想断言，对于n,m≥1，若n维闭子流形以第二基本形式常长度极小浸入于n+m维球面S^{n+m}，其数量曲率取值为离散集合；当n∈{1,2}时该性质对所有余维数成立。本文证明该猜想对所有n≥3且m≥4、以及偶n≥4且m≥3的情形不成立。
英文摘要：
A well-known conjecture of Chern, do Carmo, and Kobayashi asserts that, for $n,m \geq 1$, the scalar curvature of a closed, minimally immersed $n$-submanifold of $\mathbb{S}^{n+m}$ with second fundamental form of constant length takes values in a discrete set. This property holds in every codimension when $n \in \{1,2\}$. We disprove this conjecture for all $n \geq 3$ with $m \geq 4$, and for even $n \geq 4$ with $m \geq 3$.
