Counting w-coprime S-integers and S-integral ideals in positive characteristic
本文结合解析方法、Riemann-Roch定理和Weil定理，在正特征函数域中计数互质w-的S-整数和S-整理想。
2026-06-24 math.NT
On Sequences Containing at Most 4 Pairwise Coprime Integers
令$f(n,k)$是不超过$n$的正整数的最大数目，从中不能选择$k+1$成对互质整数，并且令$E(n,k)$是不超过$n$并且可以被$p_1, p_2,..., p_k$中的至少一个整除的正整数的集合，其中$p_i$是$i$的第一个素数。1962年，P. Erd \H证明了$f(n,k)=|E(n,k)|$适用于所有$n\ge p_k$。1973年，S. L. G. Choi证明了这个猜想对$k=3$是正确的。在1994年，Ahlswede和Kachatrian反驳了对$k=212$的猜想。本文证明了：对于$n\ge 49$，若A（n，4）是一个不超过$n$的正整数集合，且不能从中选出5个两两互质整数和$|A(n,4)|\ge |E(n,4)|$，则有$A(n,4)=E(n,4)$ .特别地，该猜想对于k=4是正确的。提出了一些有待进一步研究的问题和建议。
2011-09-30 math.NT
On a conjecture of Erdős about sets without $k$ pairwise coprime integers
设$\mathbb{Z}^{+}$是正整数的集合。令$C_{k}$表示$\mathbb{Z}^{+}$的所有子集，使得它们都不包含$k + 1$成对互质整数和$C_k(n)=C_k\cap \{1,2,\ldots,n\}$。令$f(n, k) = \text{max}_{A \in C_{k}(n)}|A|$，其中$|A|$表示集合$A$的元素的数目。令$E_k(n)$是不超过$n$的正整数的集合，这些正整数可被至少一个素数$p_{1}, \dots{}, p_{k}$整除，其中$p_{i}$表示第$i$个素数。在1962年，Erdibs为每一个$n \ge p_{k}$定义了$f(n, k) = |E(n,k)|$。最近Chen和Zhou证明了关于这个猜想的一些结果。本文解决了Chen和Zhou的一个公开问题，并证明了关于该猜想的几个相关结果。
2017-05-16 math.NT
Inhomogeneous approximation with coprime integers and lattice orbits
我们得到的变种的经典Minkowski定理的非齐次逼近，我们还要求解决方案$p, q$互质整数。我们把这个问题与实平面上的格点轨道的密度指数联系起来。
2011-10-25 math.DS math.NT
Distribution of the k-regular partition function modulo composite integers M
令$b_k(n)$表示自然数$n$的$k-$正则分块。本文研究了$b_k(n)$模复合整数$M$与$6$互质的性质.特别地，我们证明了对于任意$k-$正则分割函数$b_k(n)$和与$6$互质的整数$M$，存在无穷多个$b_k(n)$模$M$的Ramanujan型同余.
2022-12-09 math.NT
Coprime matchings
证明了对于正的常数$c$，当区间在$[n]$中且其长度为$>c(\log n)^2$时，两个偶数长度相同的正整数区间之间存在匹配，且对应的两对互质.这改进了Bohman和Peng最近的结果。正如在他们的论文中一样，这个结果也可以应用于孤独的跑步者猜想。
2021-11-13 math.NT
Distribution in coprime residue classes of polynomially-defined multiplicative functions
本文研究多项式定义的可乘函数在互素剩余类中的分布，建立了模数大范围一致条件下的等分布结果，并证明欧拉函数值在特定模数下渐近等分布。
2023-05-30 math.NT
Complete Subgraphs of the Coprime Hypergraph of Integers III: Construction
利用点集$\{1,2,\dots,n\}$和超边集$\{\{v_1,v_2,\dots,v_{k+1}\}\subseteq\{1,2,\dots,n\}:\gcd(v_1,v_2,\dots,v_{k+1})=1\}$定义了$n$顶点上的整数互质超图$CHI_k(n)$.在这篇文章中，我们提出了如何在$CHI_k(n)$中构造极大子图的想法。这延续了作者早期的工作，其中涉及这些子图的大小和结构性质的界限。我们成功的情况下$k\in\{1,2,3\}$和$k\geq 4$有前途的想法。
2017-08-12 math.CO math.NT
On numbers $n$ with polynomial image coprime with the $n$th term of a linear recurrence
设$F$是一个整数线性递归，$G$是一个在有理数上分裂的整数值多项式，$h$是一个正整数.另外，令$\mathcal{A}_{F,G,h}$是所有自然数$n$的集合，使得$\gcd(F(n), G(n)) = h$。证明了$\mathcal{A}_{F,G,h}$具有自然密度。此外，假设$F$是非退化的，$G$没有固定的因子，我们证明了$\mathbf{d}(\mathcal{A}_{F,G,1}) = 0$当且仅当$\mathcal{A}_{F,G,1}$是有限的。
2018-05-14 math.NT
On factorizations into coprime parts
令$f(n)$和$g(n)$是将$n$分解为大于1的整数的无序和有序因式分解的数目。令$F(n)$和$G(n)$具有因子互质的附加限制。对所有实数$β$，我们建立了$F(n)^β$和$G(n)^β$直到$x$的和的渐近界;对所有负数$β$，我们建立了$f(n)^β$和$g(n)^β$的渐近界.
2021-02-01 math.NT
On a problem of Arnold: the average multiplicative order of a given integer
对于g，n互质整数，设lg（n）表示g模n的乘法阶.受Arnold猜想的启发，我们研究了n <= x范围内与g互质且x趋于无穷大时l_g（n）的平均值。假设广义黎曼假设，我们表明，这个平均值基本上是一样大的平均卡迈克尔lambda函数。当p <= x时，我们还确定了l_g（p）的平均值在素数上的渐近性.
2011-08-25 math.NT
Coprime-Universal Quadratic Forms
给定素数 $p>3$，本文刻画了对 $p$ 是 coprime-universal 的正定整二次型，推广了 $290$ 定理，并在 GRH 下证明了特定情况，最后探讨了等差数列的表示问题。
2024-06-03 math.NT
On the asymptotic density of $k$-tuples of positive integers with pairwise non-coprime components
本文利用多变量算术函数卷积方法，研究分量两两不互素及含指定数量互素对的正整数 $k$ 元组计数，给出渐近公式并回答、推广前人结果。
2024-12-06 math.CO math.NT
Discriminants of number fields and surjectivty of trace homomorphism on rings of integers
本文给出了数域$K$的整数环上迹算子满射性的最基本的判定准则。此外，我们引入了一个易于状态尚未未知的满射性标准，仅依赖于$K$的$n$度的素分解和判别式$d_K$的无平方部分。
2019-10-25 math.NT
Coprime Mappings and Lonely Runners
对于$x$实数，令$ \{ x \}$为$x$的小数部分（即$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor $）。孤独奔跑者猜想可以表述如下：对于任何$n$正整数$ v_1 < v_2 < \dots < v_n $，存在一个实数$t$使得$ 1/(n+1) \le \{ v_i t\} \le n/(n+1) $对于$ i = 1, \dots, n$。在本文中，我们证明，如果$ ε>0 $和$n$是足够大（相对于$ε$），那么这样的$t$存在的任何收集的正整数$ v_1 < v_2 < \dots < v_n$，使$ v_n < (2-ε)n$。这是一个近似版本的自然下一步的研究孤独的跑步者猜想提出的陶。在我们的证明的关键成分是互质映射的结果。令$A$和$B$是整数集合。一个双射$ f:A \to B$是互质映射，如果$ a $和$f(a)$对于每个$ a \in A$都互质。证明了如果$A,B \subset [n]$是长度为$2m$的区间，其中$ m = e^{ Ω({(\log\log n)}^2)}$则存在从$A$到$B$的互质映射.我们不认为这一结果是尖锐的。
2021-09-20 math.CO math.NT
Three integers arising from Bézout's identity and resultants of integer polynomials
South China Normal University（华南师范大学）；Central South University（中南大学）
本文研究了由贝祖恒等式、两个互质整数多项式的余式及简化余式自然产生的三个整数，建立了新的整除关系，并提出两个猜想。
2026-04-15 math.NT
On certain arithmetic functions involving exponential divisors
整数$d$被称为$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}>1$的指数除数，如果$d=\prod_{i=1}^r p_i^{c_i}$，其中$c_i \mid a_i$对于每个$1\le i \le r$。具有相同素因子的整数$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, m=\prod_{i=1}^r p_i^{b_i}>1$称为指数互质，如果对每个$1\le i\le r$都有$(a_i,b_i)=1$。研究了一类含指数因子和指数互质整数的算术函数的渐近性质。
2009-10-10 math.NT
On the Density of Coprime Reductions of Elliptic Curves
Fordham University（福特汉姆大学）；Wake Forest University（维克森林大学）；University of Delaware（特拉华大学）；Concordia University（康考迪亚大学）
研究非CM椭圆曲线在良好约简素数p下，其阶数互质的自然密度，提出猜想并证明相关级数收敛及近似欧拉乘积展开。
2026-05-10 math.NT
Bézout coefficients of coprime numbers approximate quadratic Bézier curves
Centro de Investigación en Matemáticas, Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo（墨西哥伊达尔戈自治大学数学研究中心）；Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学理学院）
本文证明，对于非负整数点 $(p,q)$（$p\ eq q$），由三点定义的二次 Bézier 曲线近似于由邻域内互素数 Bézout 系数构成的线段族的包络。
2026-09-11 math.NT
Congruences for sums of powers of an integer
对于互质正整数$q$和$e$，令$m(q,e)$表示最小正整数$t$，使得存在$q$的$t$幂之和，其可被$e$整除。我们证明了$m(q.e)$的上界，并调查的情况下，$m(q,e)$是“大”。我们还特别注意$e$是素数幂的情况。
2022-04-20 math.NT
Pairwise non-coprimality of triples
如果$\gcd(a_i,a_j) \ne 1$对所有$1 \le i <j \le k$都是，我们说$(a_1,...,a_k)$是两两非互质的。令$a_1,a_2,a_3$是小于$H$的正整数。得到了两两非互质的$(a_1,a_2,a_3)$个数的渐近公式。随机选取的无界正整数三元组两两非互质的概率约为17.4%。设$φ(n)$为欧拉函数。我们还给出了一个上界的误差项的渐近公式$\sum_{n=1}^H (φ(n)/n)^m$的$m \ge 2$和$H \rightarrow \infty$。
2014-05-07 math.NT
Explicit Evaluation of Double Gauss Sums
给出了双高斯和$\displaystyle G(a,b,c;S;p^n):=\sum_{x,y=0}^{p^n-1} e^{2πi S(ax^2+bxy+cy^2)/p^n}$的显式计算，其中$a, b, c$是整数，使得$\gcd(a,b,c)=1$，$p$是素数，$n$是正整数，$S$是与$p$互质的整数.
2016-09-13 math.NT
On a conjecture of Pomerance
我们说k是P-整数，如果第一个与k互质的phi（k）素数形成一个模k的约化剩余系。1980年，Pomerance证明了P-整数集合的有限性，并证明了30是最大的P-整数。我们在黎曼假设的前提下证明了这个猜想。我们进一步证明了不存在介于30和10^11之间的P-整数，也不存在大于10^3500的P-整数。
2011-07-26 math.NT
Character sums over shifted primes
对于整数$q$，设$χ$是本原乘法特征标$\pmod q.$。对于与$q$互质的整数$a$，我们得到了和$$\sum_{n\le N}Λ(n)χ(n+a),$$的一个新的界，其中$Λ(n)$是von Mangoldt函数。这个界改进和推广了Friedlander，Gong和Shparlinski的一个结果
2013-09-24 math.NT
Counting carefree couples
一对自然数（a，b）使得a与b互素且无平方因子，称为无平方因子对。Manfred Schroeder（在他的著作《数论在科学和通信中的应用》中）关于自由偶的一个结果和它的一个变体是用初等解析数论的标准论证建立的。并证明了Schroeder关于两两互质的整数三元组的一个相关猜想。
2014-07-04 math.NT
A Survey on the Ternary Purely Exponential Diophantine Equation $a^x + b^y = c^z$
设$a$，$b$，$c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文研究了三元纯指数丢番图方程$a^x + b^y = c^z$的正整数解$(x,y,z)$的一些未解决的问题及相关工作。
2018-11-09 math.NT
Primes and polygonal numbers
本文证明了多边形数线性组合产生无穷多素数且其倒数和收敛的条件，并指出形如 $am^2+bn^2$ 的素数中存在任意长度的等差数列。
2025-08-10 math.NT
Repeatedly Appending Any Digit to Generate Composite Numbers
我们研究的问题，发现整数$k$，使附加任何数量的副本的基数为10的数字$d$到$k$产生一个合数。特别地，我们证明了存在无穷多个整数互质的所有数字，使重复追加{ \it任何}数字产生一个合数。
2019-03-12 math.NT
A Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文将Gel'fond-Baker方法与初等方法相结合，证明了若方程$\max\{a,b,c\}>5\times 10^{27}$成立，则方程$a^x+b^y=c^z$至多有三个正整数解$(x,y,z)$ .
2017-02-11 math.NT
An Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations II
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文通过分析三元纯指数丢番图方程$a^x+b^y=c^z$解的间隙法则，证明了若$\max\{a,b,c\}\geq 10^{62}$，则方程至多有两个正整数解$(x,y,z)$ .
2018-08-19 math.NT
The Integer group determinants for the Heisenberg group of order $p^3$
建立了$p^3$阶非交换Heisenberg群的整群行列式所满足的一个同余.我们刻画了所有行列式值与$p$互质，给出了$p$的倍数的可整除性条件，并确定了当$p=3$ .我们还为$\mathbb Z_p^2$的$p$划分群行列式的幂提供了新的尖锐条件.对于有限群，整群行列式可以理解为对应于Lind推广的Mahler测度。我们推测的Lind-Mahler措施的离散海森堡群和其他两个无限的非阿贝尔群所产生的对称性的平面和3-空间。
2021-08-10 math.NT
The first elements of the quotient of a numerical semigroup by a positive integer
给定三个两两互质的正整数$a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{Z}^+$，我们证明了存在的关系的第一个元素的集合之间的三个等价物$\frac{\langle a_i,a_j \rangle}{a_k}$，可以为每个$\{i.j,k\}=\{1,2,3\}$。然后我们利用这个结果给出了关于Frobenius数$g(a_1,a_2,a_3)$的Johnson半显式公式的一个改进版本，并且对$a_1,a_2,a_3$的选择没有限制，并且给出了一类特殊的数值半群的显式公式.
2015-04-11 math.NT
On primes in arithmetic progression having a prescribed primitive root. II
设a和f是互素的正整数。设g为整数。在广义黎曼假设（GRH）下，H. W. Lenstra证明了素数p的集合使得p=a（mod f）且g是模p的原根，有自然密度.在这篇笔记中，这个密度是明确评估与欧拉产品的结果。
2007-07-20 math.NT
On the number of solutions of the generalized Ramanujan-Nagell equation $D_{1}x^2+D_{2}^{m}=2^{n+2}$}
设$D_{1}$，$D_{2}$是与min $(D_{1},D_{2})>1$互质的奇数，$N(D_{1},D_{2})$表示方程$D_{1}x^2+D_{2}^{m}=2^{n+2}$的正整数解$(x, m, n)$的个数.本文证明了除$N(3,5)=N(5,3)=4$和$N(13,3)=N(31,97)=3$之外的$N(D_{1},D_{2})\leq 2$.
2013-04-12 math.NT
Congruence ABC implies ABC
Masser和Oesterle的ABC猜想指出，如果（a，b，c）是互质整数且a + b + c = 0，则对于任何e > 0，sup（|a|，|b|，|c|）< c_e（rad（abc））^{1+e}。Oesterle观察到，如果ABC猜想对所有（a，b，c）成立，|abc，则完整的ABC猜想成立。我们推广了这个结果，证明了对于任何整数N，ABC对所有（a，b，c）成立的“同余ABC猜想”，|abc蕴含了完整的ABC猜想。
1999-09-17 math.NT
On the multiplicative order of $a^n$ modulo $n$
设$n$为正整数，$α_n$为算术函数，该算术函数将$a^n$模$n$的乘法阶分配给与$n$互质且在别处为零的每个整数$a$。类似地，令$β_n$将$a^n$模$n$的投射乘法阶分配给与$n$互质的每个整数$a$，并且在其他地方为零。在本文中，我们提出了这两个算术函数的研究。特别地，我们证明了对于具有相同无平方部分的正整数$n_1$和$n_2$，函数$α_{n_1}$和$α_{n_2}$之间以及函数$β_{n_1}$和$β_{n_2}$之间存在精确的关系.这允许我们将$α_n$和$β_n$的确定减少到$n$无平方的情况。这些算术功能最近出现的背景下的一个老问题的Molluzzo，更确切地说，在研究的算术级数产生一个平衡的斯坦豪斯三角形在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$奇。
2016-03-23 math.CO math.NT
Almost universality of a sum of norms
本文考虑一类特殊的整系数整系数多项式，它由互素判别式的阿贝尔数域的一个完全幂和两个范数形式组成。它表明，这样的多项式表示每一个自然数只有1000例外。在估计奇异级数时，采用了圆方法，并以局部类域论为核心。
2015-11-26 math.NT
Deterministic factorization of sums and differences of powers
设$a,b\in \mathbb{N}$是固定的且互质的，使得$a>b$，并且设$N$是形式为$a^n\pm b^n$、$n\in\mathbb{N}$的任意数。本文推广Bostan，Gaudry和Schost的一个结果，证明了可以在表示两个$k$ -位整数相乘的代价的\[ \mathcal{O}(\text{M}_{\text{int}}(N^{1/4}\sqrt{\log N})), \] $\text{M}_{\text{int}}(k)$中计算$N$的素因子分解.这一结果优于目前已知的确定性整数分解的运行时复杂度的一般界。
2015-12-20 math.NT
On the Diophantine equation x^2+7^{alpha}.11^{beta}=y^n
本文给出了丢番图方程x^2+7^{alpha}. 11 ^{beta}=y^n在非负整数x，y，n>=3且x，y互质时的所有解，但α，x为奇数，β为偶数的情况除外.
2012-01-03 math.NT
Invariants de classes : exemples de non-annulation en dimension supérieure
所谓的类不变同态$ψ$测量了有限平坦群方案$G$下torsors的伽罗瓦模结构，它位于与具有核$G$的阿贝尔簇（的Néron模型）之间的同构相关联的共边界映射的图像中。当簇是半稳定约化椭圆曲线且$G$的阶与6互质时，已知同态$ψ$在扭点处为零.本文利用椭圆曲线的Weil限制，对任意素数$p>2$，构造了维数为$p$的交换簇$A$，该簇具有一个同构（核为$μ_p$），其余边界映射为满射.在$A$的秩为零的情况下，$p$的皮卡德群的基础是非平凡的一部分，我们得到的例子中，$ψ$不消失的扭点。
2007-10-05 math.AG math.NT
Reciprocity Relations for Summations of Squares of Floor Functions and Fractional Parts of Fractions
给定正互质整数$a$和$b$以及自然数$h$，我们得到了可用于快速计算$\sum_{i=1}^{h} \{\frac{ib}{a}\}^2$和$\sum_{i=1}^{h} \lfloor \frac{ib}{a} \rfloor^2$等求和的互反关系，其中$\lfloor x \rfloor$和$\{x\}$分别表示地板函数和$x$的小数部分.
2021-07-17 math.NT
On the density of primes in arithmetic progression having a prescribed primitive root
设a，f，g为整数，a与f互质.在广义黎曼假设下，从Hooley和Lenstra的工作可以得出，素数p的集合使得p=a（mod f）且g是原根mod p，具有自然密度。在本文中，我们明确地评估这个密度，并给出这个结果的一些应用。
1999-12-07 math.NT
On the Diophantine equation x^2+2^a.3^b.11^c=y^n
本文给出了丢番图方程x^2 + 2^a.3^b.11^c =y^n在非负整数a，b，c，x，y，n ≥ 3且x，y互质时的所有解.
2012-01-03 math.NT
On (a,b) Pairs in Random Fibonacci Sequences
我们研究随机Fibonacci树，它是一个无限二叉树，在每个节点上的非负整数。根由数字1和一个孩子组成，也是数字1。我们用下面的方法递归地定义树：如果x是y的父树，那么y有两个孩子，即|X-Y| x+y。这棵树是研究伯努瓦Rittaud谁证明了任何一对整数a，b互质出现作为一个父母子女对无限经常。我们扩展他的结果确定的概率，随机无限行走在这棵树包含正好一对（1，1），这是在树根的树。此外，我们给出了严格的上限和下界的出现次数的任何特定互质对（a，b）在任何给定的固定深度的树。
2018-02-28 math.CO math.NT
The integer group determinants for $\mathbb{Z}_p^n$
Center for Communications Research（通信研究中心）；Kansas State University（堪萨斯州立大学）
本文研究 $\mathbb{Z}_p^n$ 的整数群行列式，给出 $p$ 的允许幂次的新条件，证明 $n\leq 5$ 时精确，并完整刻画 $\mathbb{Z}_3^3$。
2026-09-21 math.NT
Number of solutions to a special type of unit equations in two variables
对任意固定互质正整数$a,b$和$c$与$\min\{a,b,c\}>1$，我们证明了方程$a^x+b^y=c^z$在正整数$x,y$和$z$中至多有两个解，但有一种特殊情况恰好有三个解.我们的结果本质上是尖锐的意义上说，有无限多的例子，允许方程有两个解决方案的正整数。从费马方程的公知推广的观点来看，它也被认为是著名的Bennett定理的3变量推广[M. A. Bennett，On some exponential equations of S. S. Pillai，Canad.J.Math.53（2001），no.2，897--922]证明了Pillai型方程$a^x-b^y=c$对任意固定的正整数$a,b$至多有两个正整数解$x$和$y$以及$c$与$\min\{a,b\}>1$。
2020-08-19 math.NT
A characterization of the Frobenius problem and its application to arithmetic progressions
在Frobenius问题中，我们给出了一组互质的正整数$a_1, a_2,...,a_k$，并且对没有用非负整数$x_1, x_2,...,x_k$的线性型$\sum_i a_ix_i$表示的正数NR的集合感兴趣。我们给出了一个函数关系，完全特征的集合NR，并将其应用到的情况下，当数字是在一个等差数列。
2006-06-24 math.NT math.RT
Sum of many dilates
证明了对于任意互质整数$λ_1 , \ldots , λ_k$和任意有限$A \subset \mathbb{Z}$，都有$$|λ_1 \cdot A + \ldots + λ_k \cdot A| \geq (|λ_1| + \ldots + |λ_k|)|A|- C,$$，其中$C$只依赖于$λ_1 , \ldots , λ_k$ .
2015-08-19 math.CO math.NT
On a conjecture of Wilf about the Frobenius number
给定互质正整数$a_1 < ...< a_d$，Frobenius数$F$是不能表示为$a_i$的非负整数组合的最大整数.令$g$表示所有不可表示的正整数的个数：Wilf证明了$d \geq \frac{F+1}{F+1-g}$。我们证明，对于每一个固定值的$\lceil \frac{a_1}{d} \rceil$的猜想成立的所有值的$a_1$是足够大的，是不是整除由一个有限的素数集。我们还提出了一个推广的上下文中的一维局部环和一个问题的平等$d = \frac{F+1}{F+1-g}$。
2015-05-20 math.AC math.CO math.NT
