Long cycles in fullerene graphs
D. Král', O. Pangrác, J. -S. Sereni, R. Skrekovski
据推测，每个富勒烯图都是汉密尔顿图。Jendrol和Owens证明了[J.Math.Chem.18（1995），pp. [83- 90]证明了任意n个顶点的富勒烯图都有一个长度至少为4 n/5的圈。在本文中，我们将这个界改进为5 n/6-2/3。
It is conjectured that every fullerene graph is hamiltonian. Jendrol' and Owens proved [J. Math. Chem. 18 (1995), pp. 83--90] that every fullerene graph on n vertices has a cycle of length at least 4n/5. In this paper, we improve this bound to 5n/6-2/3.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
At least half of the leapfrog fullerene graphs have exponentially many Hamilton cycles
富勒烯图是具有五边形和六边形面的3连通立方可平面图。可平面图的蛙跳变换产生给定图的对偶图的结构。如果一个富勒烯图可以通过蛙跳变换从另一个富勒烯图得到，则称该图为蛙跳图。证明了$n=12k-6$顶点上的蛙跳富勒烯图至少有$2^{k}$ Hamilton圈.
Odd cycle transversals and independent sets in fullerene graphs
富勒烯图是一个立方无桥平面图，所有的面都是5和6。我们证明了任意n个顶点的富勒烯图都可以通过删除至多12 n/5个边而成为二部图，并且存在至少n/2- 3 n/5个顶点的独立集.这两个界限都是尖锐的，我们将其极端图。这证明了Doslic和Vukicevic和Daughnovich的作品。本文进一步给出了富勒烯图的独立数的两个定理，以及富勒烯图的最小特征值的一个新的上界。
On Cyclic Edge-Connectivity of Fullerenes
一个图被称为循环$k$ -边连通的，如果至少$k$的边必须被删除，以断开它成两个组件，每个组件包含一个循环。这样的一组$k$边称为循环$k$边割集，如果得到的两个分量中的至少一个引起单个$k$ -循环，则称为平凡循环$k$ -边割集。众所周知，富勒烯，即所有面都是五边形和六边形的3-连通立方可平面图，是循环5-边连通的。本文证明了含有非平凡循环5边割集的富勒烯$F$有两个对映五边形面，即两个对映五边形面的相邻面也是五边形。此外，它表明，$F$有一个Hamilton圈，因此至少$15\cdot 2^{\lfloor \frac{n}{20}\rfloor}$完美匹配，其中$n$是$F$的顺序。
On k-resonant fullerene graphs
一个富勒烯图$F$是一个3-连通的平面三次图，它正好有12个五边形和其余的六边形。令$M$是$F$的完美匹配。如果$C$的边缘交替地出现在$M$内和外，则$F$的循环$C$是$M$ -交替的。如果$F$有一个完美匹配的$M$，使得$\mathcal H$中的所有六边形都是$M$ -交替的，则$F$的不相交六边形的集合$\mathcal H$被称为共振模式（或六重模式）。如果$F$的任意$i$（$0\leq i \leq k$）个不相交六边形形成一个共振模式，则富勒烯图$F$是$k$ -共振的.本文证明了富勒烯图的每一个六边形都是共振的，所有蛙跳富勒烯图都是2-共振的。进一步，我们证明了一个3-共振富勒烯图最多有60个顶点，并构造了所有9个3-共振富勒烯图，它们对每个整数$k>3$都是$k$ -共振的.最后，计算了3-共振富勒烯图的六重多项式。
Number of Matchings of Low Order in (4,6)-Fullerene Graphs
通过研究6-圈的结构分类和一些局部结构性质，得到了（4，6）-富勒烯图中4-匹配数和5-匹配数与六边形面数的关系式，修正了已有的相应错误结果.此外，我们还得到了管状（4，6）-富勒烯中6-匹配数与六方面数的关系式，以及其它（4，6）-富勒烯中6-匹配数与六方面数和双正方形数的关系式。
Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles
本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。
Long cycles in locally expanding graphs, with applications
本文给出了局部扩张图存在长圈的充分条件，并给出了这些条件和技巧在拉姆齐理论、随机图和位置对策中的应用.
Long cycles have the edge-Erdős-Pósa property
证明了长圈集具有边-Erdibs-Pósa性质：对于每个固定整数$\ell\ge 3$和每个$k\in\mathbb{N}$，每个图$G$要么包含长度至少为$\ell$（长圈）的$k$边不相交圈，要么包含长度为$O(k^2\log k + \ell k)$的边集$X$，使得$G-X$不包含任何长圈.这回答了Birmelé、Bondy和Reed的一个问题（Combinatorica 27（2007），135- 145）。
On the girth and connectivity of cubic graphs with a unique longest cycle
该研究证明存在无穷多族围长为5的2-连通非哈密顿三次图，且这类图都包含唯一最长环，为三次图的结构性质研究提供了新结论。
On Longest Cycle $C$ of a graph $G$ via Structures of $G-C$
给出了图$G$的最长圈长$C$的两个精确下界，分别用$\overline{p}$和$\overline{c}$表示，并结合最小度$δ$：（1）$|C|\geq(\overline{p}+2)(δ-\overline{p})$和（2）$|C|\geq(\overline{c}+1)(δ-\overline{c}+1)$ .
Chords of longest cycles in graphs with large circumferences
本文证明了对于具有大周长的图，Thomassen 和 Harvey 关于最长圈弦的猜想均成立，并推广至包含线性森林的最长圈情形。
A long cycle theorem involving Fan-type degree condition and neighborhood intersection
在这篇短文中，我们给出了图中长圈存在的一个新的充分条件，该条件涉及Fan-型度条件和邻域交。
Large monochromatic components and long monochromatic cycles in random hypergraphs
将Gyárfás和Füredi关于$r$ -着色完全$k$ -一致超图的最大单色分支的结果推广到随机超图的情形.我们还研究了$r$着色随机超图中的长单色松散圈。特别地，我们得到了Gyárfás，Sárközy和Szemerédi关于$2$ -着色完全$k$ -一致超图中最长单色松弛圈的一个结果的随机模拟.
In absence of long chordless cycles, large tree-width becomes a local phenomenon
我们证明了，对于所有的$\ell$和$s$，每一个图的足够大的树宽度包含一个完全二部图$K_{s,s}$或长度大于$\ell$的无弦圈。
Longer cycles in vertex transitive graphs
在1979年Babai发现了一个聪明的论点，以证明每一个连通的顶点传递图上的$n \ge 3$顶点包含一个周期的长度至少$\sqrt{3n}$。在这里，我们修改他的方法表明，这样的图必须包含一个周期的长度至少$(1 - o(1))n^{3/5}$。
Long mutation cycles
本文研究了图中的突变循环，针对任意固定的 $n\ge 4$，构造了涉及 $n$ 顶点箭图的任意长突变循环，并证明这些循环无法被短突变循环铺砌。
A note on long cycles in sparse random graphs
令$L_{c,n}$表示$G(n,{c}/{n})$中最长循环的大小，$c>1$为常数。我们证明存在连续函数$f(c)$，使得$ L_{c,n}/n \to f(c)$ a.s.对于$c\geq 20$，从而将作者和Frieze的结果推广到更小的$c$值。此后，对于$c\geq 20$，我们确定$G(n,c/n)$包含其最短和最长循环长度之间的每个长度的循环的概率极限为$n\to \infty$。
Heavy subgraph conditions for longest cycles to be heavy in graphs
设$G$是以$n$为顶点的图。度至少为$n/2$的$G$的顶点称为重点，包含$G$的所有重点的$G$的圈称为重圈。本文刻画了不含重圈的图。对于给定的图$H$，如果$G$的每个与$H$同构的诱导子图都包含两个度和至少为$n$的不相邻顶点，则称$G$是$H$ - \emph{heavy}.我们找到了所有的连通图$S$，使得一个2-连通图$G$是$S$ -重的，意味着$G$的任何最长圈都是重圈.
A note on a degree sum condition for long cycles in graphs
我们猜想一个2-连通图$G$的阶为$n$，其中对每对不邻顶点$x$和$y$有$d(x)+d(y)\geq n-k$，除非$G$是二部图，且$n-k$是奇数，否则它包含一个长为$k<n/2$（$k<n/2$）的圈.这推广到长周期的一个众所周知的度和条件的矿石汉密尔顿。该猜想对$k=1$成立。
Longest cycles and longest chordless cycles in $2$-connected graphs
本文研究了2连通图中最长环与无弦环的关系，提出猜想等价于Harvey猜想，并证明该猜想在特定图类中成立。
Longest Path and Cycle Transversals in Chordal Graphs
本文研究弦图中最长路径与最长圈横截集的大小上界，证明连通弦图的最长路径横截集为 O(log²n)，2-连通弦图的最长圈横截集为 O(log n)，并给出由叶度界定的构造。
Longest cycles intersect linearly in highly connected graphs
本文针对史密斯猜想，证明任意$k$-连通图中两个最长圈至少共享$k/600$个顶点，首次给出线性下界，并采用新结构方法推广至相关路径问题。
Long cycles in Hamiltonian graphs
我们证明了，如果一个$n$ -顶点图的最低程度至少$3$包含一个哈密顿圈，那么它包含另一个周期的长度$n-o(n)$，这意味着，特别是一个著名的猜想希恩从1975年渐近成立。我们的方法，结合建设性的，基于偏序集的技术和非建设性的，基于奇偶校验的参数，可能是独立的利益。
Long Cycle Factorizations : Bijective Computation in the General Case
本文研究了对称群中长圈的有序分解数的计算问题，其中因子的个数是任意的，并且给出了因子的圈结构。Jackson（1988）利用对称群的不可约特征标理论导出了这些数的生成级数的第一个封闭形式表达式。由于一个直接双射，我们计算出一个类似的公式，并提供了第一个纯粹的组合评价这些生成系列。
Hamilton and long cycles in $t$-tough graphs with $t>1$
证明了：若$G$是阶为$n$且最小度为$δ$且$t>1$为$t$ -坚韧图，则$G$有一个长度至少为$\min\{n,2δ+4\}$的圈或$G$是Petersen图.
The Ramsey number of a long even cycle versus a star
当$\ell$和$n=O(\ell^{10/9})$较大时，我们找到了Ramsey数$R(C_{2\ell},K_{1,n})$的精确值。我们的结果与Turán数$ex(N, C_{2\ell})$的行为密切相关，对于偶数圈，其长度随$N$快速增长。
Decomposing various graphs into short even-length cycles
证明了在满足明显的必要条件、每个圈的长度至多为最小部分的大小、最长圈至多为第二长圈的三倍的情况下，完全二部图可以分解为任意指定长度的圈。然后，我们使用这个结果得到的结果不完整的甚至循环系统的孔和分解的完整的多部图成周期的均匀甚至长度。
A versatile combinatorial approach of studying products of long cycles in symmetric groups
在对称群中，对满足一定条件的置换分解或置换三元组的研究有着悠久的历史。一个特别有趣的情况是当两个涉及的排列是长循环时，已经获得了许多令人惊讶的简单公式。在这里，我们组合枚举的产品有一个给定的周期类型和分离某些元素的长周期对，延伸几条线的研究，我们得到一般的数量关系。作为结果，以统一的方式，我们恢复了许多期望简单组合证明的结果，包括Boccara（1980），Zagier（1995），Stanley（2011），Féray和Vassilieva（2012）以及Hultman（2014）的结果。我们还获得了一些新的结果。特别是，在给定集合的划分的情况下，我们第一次获得了集合上长循环对数量的显式公式，使得长循环的积不会混合来自划分的不同块的元素，并且具有独立规定的数量。对于每个元素块的循环数。作为应用，我们得到了关于任意偶置换分解为长圈的新的显式公式和计算强分离概率的第一个非平凡显式公式，解决了Stanley（2010）的一个公开问题.
On products of long cycles: short cycle dependence and separation probabilities
给出了对称群中圈乘的各种结果。我们的第一个结果是Boccara（1980）定理的推广：在$n$符号上的对称群中，将奇置换写成$n$ -圈和$n-1$ -圈的乘积的方法的数目与所选择的置换无关。我们给出了一些不同的方法，我们的概括。一个部分证明使用归纳法，我们也适用于其他问题。特别地，我们给出了一个公式的分布的数量的周期在所有产品的周期的固定长度。另一个应用与Bernardi，Du，Morales和Stanley（2014）引入的最近的置换分离概率概念有关。
Long monochromatic even cycles in 3-edge-coloured graphs of large minimum degree
我们证明了对于每个$η>0$，存在$n_0$使得对于每个偶数$n$，$n\ge n_0$，和每个具有$(2+η)n$顶点和最小度至少为$(7/4+4η)n$的图$G$，$G$的边的每个着色都有三种颜色，结果是长度为$n$的单色圈.
Long cycles in subgraphs of (pseudo)random directed graphs
本文研究了随机和伪随机有向图关于具有长有向圈的弹性。对于每一个$0 < γ< 1/2$，我们找到一个常数$c=c(γ)$，使得以下成立。设$G=(V,E)$是$n$顶点上的（伪）随机有向图，$G'$是$G$的一个有$(1/2+γ)|E|$边的子图.则$G'$包含长度至少为$(c-o(1))n$的有向环。此外，存在$G$的具有$(1/2+γ-o(1))|E|$边的子图$G''$，其不包含长度至少为$cn$的圈。
Long rainbow cycles and Hamiltonian cycles using many colors in properly edge-colored complete graphs
本文证明了两个关于适当边有色图中圈的结果。首先，我们对Alon，Pokrovskiy和Sudakov最近的突破性工作做了一个小的改进，证明了$G$在至少$n - O(\log n \sqrt{n})$顶点上有彩虹圈，从而证明了每个在$n$顶点上的适当边着色的完全图$G$在至少$n - O(n^{3/4})$顶点上有彩虹圈.其次，通过修改Hatami和Shor给出的拉丁方部分断面长度的下界，证明了每一个正常着色的完全图都有一个Hamilton圈，其中至少有$n - O((\log n)^2)$不同的颜色出现.对于大的$n$，这是对Andersen的$n - \sqrt{2n}$的先前最佳已知下界的改进。
Longest and shortest cycles in random planar graphs
设$P(n,m)$是从顶点集$\{1, \ldots, n\}$上所有有$m=m(n)$边的可平面图类中随机均匀选取的图.我们研究了当$P(n,m)$.更准确地说，我们确定的最长和最短的周期在$P(n,m)$的临界范围内时，$m=n/2+o(n)$的长度的渐近顺序。此外，我们还描述了当$n^{2/3}\ll m-n/2\ll n$在弱超临界状态下$P(n,m)$的嵌段结构。
The Connected Bipartite Turán Problem for Long Cycles and Paths
本文针对Caro等人提出的连通二部图极值边数问题，精确确定了不含特定长度路径的连通二部图的极值边数与结构，还建立了不含长环的2-连通二部图的精确结构，并应用结果简洁证明了经典定理。
The Structure of Hypergraphs without long Berge cycles
本文研究了不含Berge圈的$r$ -一致超图的结构，证明了对于$k \leq r$，不含Berge圈的$k$-一致超图具有一些特殊的子结构.特别地，我们确定了这类超图的极值数，对$k=r$时的极值给出了肯定的回答，并对Kostochka-Luo最近的一个结果给出了一个简单的解决方案，当$k < r$ .
Proof of a conjecture of Voss on bridges of longest cycles
本文通过将问题归约为圈覆盖问题，完整证明了Voss关于2-连通图最长圈中树状重叠的互不相交桥总长度至多为圈长一半的猜想。
Longest cycles in 3-connected hypergraphs and bipartite graphs
在超图的语言中，我们的主要结果是一个Dirac-type界：我们证明了每个具有$ δ(H)\geq \max\{|V(H)|, \frac{|E(H)|+10}{4}\}$的$3$ -连通超图$H$有一个Hamilton Berge圈。这是尖锐和完善的猜想杰克逊从1981年（在语言的二部图）。我们的证明是在二部图的语言，因为每个超图的关联图是二部的。
Towards a conjecture of Birmelé-Bondy-Reed on the Erdős-Pósa property of long cycles
Birmelé，Bondy和Reed的一个猜想指出，对于任意整数$\ell\geq 3$，每个不存在两个长度至少为$\ell$的顶点不相交圈的图$G$包含一个至多为$\ell$的顶点集，该顶点集满足所有长度至少为$\ell$的圈.他们表明存在这样一组至多$2\ell+3$顶点。Meierling、Rautenbach和Sasse将其改进为$5\ell/3+29/2$。在这里，我们提出了一个证明，表明在最多$3\ell/2+7/2$顶点足够。
Signless Laplacian spectral radius of graphs without short cycles or long cycles
本文研究不含短圈或长圈的图的无符号拉普拉斯谱半径极值问题，分别在给定边数和围长的图族、给定边数和周长的图族中，找到了具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一极值图。
Decomposing $K_{u+w}-K_u$ into cycles of various lengths
证明了在满足明显的必要条件下，带洞的完全图$K_{u+w}-K_u$可分解为任意长度的圈，每个圈的长度至多为$\min(u,w)$，且最长圈的长度至多为第二长圈的3倍.这推广了现有的结果分解成均匀长度的周期的完全图与洞，并补充工作分解成周期的任意指定长度的完全图，完全多重图和完全多部图。
Avoiding long Berge cycles, the missing cases $k=r+1$ and $k = r+2$
Füredi，Kostochka和Luo对所有$k \ge r+3$和$k<r$（和$k=r$，渐近地）确定了不含Berge圈且长度至少为$k$的$r$ -一致超图的最大尺寸.本文解决了剩余的情形：$k=r+1$和$k=r+2$，证明了Füredi，Kostochka和Luo的一个猜想.
Chords of longest cycles passing through a specified small set
本文研究经过指定小集合的最长圈的弦，推广Thomassen和Zhang的相关结果，证明了2-连通立方图、最小度≥4的3-连通图及3-连通平面图中满足特定条件的最长圈必含弦，并扩展了Li和Liu的结果。
Note on Long Directed Cycles in Eulerian Digraphs
本研究针对欧拉有向图中长有向环的长度下界问题，改进了Huang等人此前得出的下界结果，将其从$\sqrt{d}$提升至$\sqrt{2d}-3/2.$。
Matchings in hypercubes extend to long cycles
针对Ruskey-Savage猜想，证明d≥2的d维超立方体图Q_d的每个匹配可扩展为访问至少2/3顶点的环，为超立方体匹配扩展为哈密顿环的猜想提供了部分结果。
Intersections of longest cycles in vertex-transitive and highly connected graphs
针对顶点传递图和高度连通图中最长圈交集问题，提出纯组合方法强化现有界，证明k-连通图中最长圈交集顶点数达Ω(k^(2/3))，解决Babai问题并引入新构造方法。
Avoiding long Berge cycles
设$n\geq k\geq r+3$和$\mathcal H$是$n$ -点$r$ -一致超图.证明了如果$|\mathcal H|> \frac{n-1}{k-2}\binom{k-1}{r}$，则$\mathcal H$包含长度至少为$k$的Berge圈.当$k-2$分裂$n-1$时，这种结合是紧密的。我们还证明了，只有连通的$r$ -一致超图，其中每一个块是完全超图$K^{(r)}_{k-1}$的界限。我们猜想我们的界在$k=r+2$的情况下也成立，但是短圈的情况$k\leq r+1$是不同的。
Avoiding long Berge cycles II, exact bounds for all $n$
设$EG_r(n,k)$表示无长度为$k$或更长Berge圈的$n$ -点$r$ -一致超图的最大边数.在本文的第一部分中，我们找到了$EG_r(n,k)$的精确值，并描述了$k-2$整除$n-1$和$k\geq r+3$时的极超图的结构。本文确定了$EG_r(n,k)$，并刻画了当$k\geq r+4$满足时所有$EG_r(n,k)$的极超图.
Long paths and cycles passing through specified vertices under the average degree condition
设$G$是一个具有$k\geq 2$的$k$ -连通图.本文首先证明了：对于$G$中的两个不同顶点$x$和$z$，它包含一条通过其任意$k-2$ {specified}顶点的路径，该路径的长度至少为除$x$和$z$之外的顶点的平均度.利用这个结果，我们证明了：如果$G$有$n$顶点和$m$边，则它包含一个长度至少为$2m/(n-1)$的圈通过它的任何$k-1$指定的顶点.我们的结果推广了范关于长路存在性的一个定理和Erdös和Gallai关于平均度条件下长圈存在性的一个经典定理。
Long cycles through prescribed vertices have the Erdős-Pósa property
我们证明，对于每个图，任何顶点子集$S$，并给定整数$k,\ell$：有$k$不相交的周期长度至少$\ell$，每个包含至少一个顶点从$S$，或顶点集的大小$O(\ell \cdot k \log k)$，满足所有这样的周期。这概括了Fiorini和Hendrickx以及Pontecorvi和Wollan以前的结果。此外，我们描述了我们的主要结果，运行在$O(k \log k \cdot s^2 \cdot (f(\ell) \cdot n+m))$时间，其中$s$表示的基数$S$的算法。
Berge cycles in non-uniform hypergraphs
考虑了不含长Berge圈的集合系统的两个极值问题。首先，我们给出了Dirac型的最小程度的条件，迫使长Berge圈。其次，我们给出了有界周长超图中超边个数的一个上界。在无限多的情况下，这两种结果都是最好的。
A scaling limit for the length of the longest cycle in a sparse random graph
本文讨论了稀疏随机图$G_{n,p},p=c/n$的最长圈的长度。$c$常数。我们证明了对于大的$c$，存在一个函数$f(c)$使得$L_n(c)/n\to f(c)$ a.s.函数$f(c)=1-\sum_{k=1}^\infty p_k(c)e^{-kc}$，其中$p_k$是$k$中的多项式。我们只能明确给出值$p_1,p_2$，尽管我们原则上可以计算任何$p_k$。我们立即看到，最长路径的长度也渐近于$f(c)n$ w. h. p。
Factorizations in Hecke algebras I: long cycle factorizations and Jucys-Murphy elements
本文通过推广Jucys-Murphy元素的分解概念，为A型Iwahori-Hecke代数开创了排列分解理论，给出了对称群中长轮换分解的q-形变，并揭示了q-二项式、q-Catalan和q-Narayana数。
On Relative Length of Long Paths and Cycles in Graphs
令$G$是$n$顶点上的图，$p$是最长路径的阶，$κ$是$G$的连通性。1989年，Bauer，Broersma Li和Veldman证明了：如果$G$是一个2-连通图，且对所有独立顶点的三元组$x,y,z$都有$d(x)+d(y)+d(z)\ge n+κ$，则$G$是哈密尔顿图。在本文中，我们改进了这一结果，降低了下界$n+κ$的$p+κ$。
An improved upper bound on the length of the longest cycle of a supercritical random graph
本文改进了Luczak关于随机图G（n，M）在“超临界相”中最长圈长度的上界，其中M=n/2+s，s=o（n），但n^{2/3}=o（s）.新的上界是（6.958+o（1））s^2/n，当n接近无穷大时概率为1-o（1）。设c=1+2s/n，G（n，p）与G（n，M）之间的等价性意味着G（n，p）的相同结果，其中p=c/n，c接近1，c-1 = omega（n^{-1/3}）.
On Pure Degree Sequence Manipulations Forcing Long Cycles in Graphs
本文提出两类新的纯度数操作，简化了哈密顿充分条件的验证，并给出长圈版本，为图的推广和新思想提供起点。
The threshold probability for long cycles
对于给定的最小度至少为$k$的图$G$，令$G_p$表示以概率$p=p(k)$独立保留每条边所得到的$G$的随机生成子图。证明了如果$p \ge \frac{\log k + \log \log k + ω_k(1)}{k}$，其中$ω_k(1)$是任何趋于无穷大且具有$k$的函数，则$G_p$渐近几乎必然包含一个长度至少为$k+1$的圈.当$G$是以$k+1$为顶点的完全图时，我们的定理与关于二项式随机图中Hamilton圈存在的阈值概率的经典结果一致.
Longest Induced Cycles on Cayley Graphs
本文研究了酉Cayley图$X_n = Cay(\mathbb Z_n; U_n)$的最长诱导圈的长度，其中$U_n$是$\mathbb Z_n$的单位群.使用剩余模的素数划分$n$，我们介绍了一个表示的顶点，减少了一个纯粹的组合问题比较字符串的符号。这种表示使我们能够证明，每个素数划分$n$的多重性，甚至每个素数的值（如果足够大）对$X_n$中最长诱导循环的长度没有影响。我们还看到，如果$n$有$r$不同的素因子，$X_n$总是包含一个长度为$2^r+2$的诱导循环，从而提高了Berrealitia和Giudici的$r \ln r$界。此外，我们推广我们的结果$X_n$的完全$k_i$ -部图的合取，其中$k_i$不需要是有限的，也酉凯莱图的任何商的戴德金整环。
A tight Erdős-Pósa function for long cycles
一个经典的结果Erdés和Pósa说，任何图包含$k$顶点不相交的循环或可以通过删除最多$O(k \log k)$顶点成为无循环的。在这里，我们推广了这个结果，证明了对所有的数字$k$和$l$，并为每个图$G$，要么$G$包含$k$顶点不相交的周期长度至少$l$，或存在一个集$X$的$\mathcal O(kl+k\log k)$，满足所有的周期长度至少$l$在$G$。作为一个推论，任何图$G$的树宽度不包含长度至少为$l$的$k$顶点不相交圈，则树宽度为$\mathcal O(kl+k\log k)$阶。这些结果改进了Birmelé，Bondy和Reed '07以及Fiorini和Herinckx '14的工作，并且在常数因子下是最优的。
Large feedback arc sets, high minimum degree subgraphs, and long cycles in Eulerian digraphs
有向图$G$的最小反馈弧集是一个最小的弧集，去除这些弧使$G$无环。其基数由$β(G)$表示。证明了具有$n$顶点和$m$弧的欧拉有向图具有$β(G) \ge m^2/2n^2+m/2n$，并且这个界对于无穷多个$m, n$是最优的.利用这一结果，我们证明了欧拉有向图包含一个长度至多为$6n^2/m$的圈，并且有一个最小度至少为$m^2/24n^3$的欧拉子图.这两个估计值都紧到一个常数因子。最后，在Bollobás和Scott猜想的启发下，我们还展示了如何在欧拉有向图中找到长圈。
Bijective enumeration of some colored permutations given by the product of two long cycles
令$γ_n$是由$γ_n = (1\ 2\...\ n)$定义的$n$符号上的置换。我们感兴趣的是一个着色排列的计数问题，即$n$的排列$β$，其中从1到$n$的数都用$p$着色，使得同一循环中的两个元素具有相同的颜色.我们表明，着色排列的比例，使$γ_n β^{-1}$是一个很长的周期是由非常简单的比例$\frac{1}{n- p+1}$。我们的证明是双射的，并使用组合对象，如分区超映射和荆棘树。这个公式实际上等价于长循环数$α$的比例，使得$γ_nα$具有$m$循环和大小为$n+1$的斯特林数，这是几位作者以前通过代数方法发现的一种意想不到的联系。此外，我们的双射允许我们用置换的循环类型来改进后一个结果。
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