Hamilton and long cycles in $t$-tough graphs with $t>1$
Zh. G. Nikoghosyan
证明了：若$G$是阶为$n$且最小度为$δ$且$t>1$为$t$ -坚韧图，则$G$有一个长度至少为$\min\{n,2δ+4\}$的圈或$G$是Petersen图.
It is proved that if $G$ is a $t$-tough graph of order $n$ and minimum degree $δ$ with $t>1$ then either $G$ has a cycle of length at least $\min\{n,2δ+4\}$ or $G$ is the Petersen graph.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Degree Condition for Dominating Cycles in $t$-tough Graphs with $t>1$
设$G$是一个$t$ -坚韧图，其序为$n$，最小度为$δ$，且有$t>1$ .证明了如果$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈.
Degree Conditions for Dominating Cycles in 1-tough Graphs
我们证明：（i）若$G$是1-坚韧图，其阶为$n$，最小度为$δ$，且有$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈，除非$G$属于一类容易指定的图，且有$κ(G)=2$和$τ(G)=1$ .第二个结果紧接着第一个结果：（ii）如果$G$是一个3-连通1-坚韧图，$δ\ge(n-2)/3$，那么每个最长的圈在$G$是一个控制圈。
Hamiltonian cycles in 3-tough $2K_2$-free graphs
如果一个图不包含两条独立的边作为诱导子图，则称它是无$2K_2$的. Broersma，Patel和Pyatkin证明了每个至少有三个顶点的25-tough $2K_2$ -free图都是Hamilton图.在本文中，我们将该结果中所需的韧性从25提高到3。
Polynomial Length Cycles In Tough Graphs
证明了每个 $n$ 顶点 $15$-坚韧图必含长度为 $\Omega(n^{1/20})$ 的环，给出了多项式下界。
10-tough chordal graphs are Hamiltonian
Chen等人证明了每个18-tough弦图都有一个Hamilton圈[Networks 31（1998），29-38]。改进他们的界限，我们证明了每一个10-坚韧弦图是哈密尔顿（实际上，哈密尔顿连通）。我们使用Aharoni和Haxell的超图推广霍尔定理作为我们的主要工具。
Hamiltonian cycles in tough $(P_2\cup P_3)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，则我们说$G$是$t$ -tough的。确定任意图的韧性是一个NP-难问题。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开的.一个图称为$(P_2\cup P_3)$ -free，如果它不包含任何同构于$P_2\cup P_3$的导出子图，$P_2\cup P_3$是两个顶点不相交的2阶和3阶路的并集。本文证明了至少有三个顶点的15-tough无$(P_2\cup P_3)$图是Hamilton图。
Hamiltonian cycles in 7-tough $(P_3\cup 2P_1)$-free graphs
不完全图$G$的韧性是最大实数$t$，使得对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，并且完全图的韧性被定义为$\infty$。确定给定图的韧性是NP困难的。Chvátal的韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$，使得任何韧性至少为$t_0$的图都是Hamilton的，对于一般图仍然是开放的。一个图称为无$(P_3\cup 2P_1)$的，如果它不包含任何同构于$P_3\cup 2P_1$的导出子图，即$P_3$与两个孤立点的不交并.本文证明了Chvátal关于无$(P_3\cup 2P_1)$图的坚韧性猜想，证明了至少有三个顶点的无7-坚韧$(P_3\cup 2P_1)$图是Hamilton图.
Some conditions for hamiltonian cycles in 1-tough $(K_2 \cup kK_1)$-free graphs
令$k \geq 2$为整数。如果图$G$不包含$K_2 \cup kK_1$作为导出子图，我们称它是$(K_2 \cup kK_1)$ -free图.最近，Shi和Shan证明了所有的$1$ -tough和$2k$ -连通的$(K_2 \cup kK_1)$ -free图都是Hamilton图.本文证明了：每一个最小度至少为$\frac{3(k-1)}{2}$的$1$ -坚韧和$k$ -连通的$(K_2 \cup kK_1)$ -自由图是Hamilton图或Petersen图.
Hamiltonian cycles in 7-tough $(P_4\cup P_1)$-free graphs
研究7-坚韧无$(P_4\cup P_1)$图的哈密顿圈问题，核心方法是用非对称分离准则和共图覆盖引理取代原框架中的最终割分析，主要贡献是将相关图为哈密顿图的坚韧度界限从23提高到7。
Hamiltonian cycles in $ 15 $-tough ($ P_{3}\cup 3P_{1} $)-free graphs
本文证明每个15-坚韧的$(P_{3}\cup 3P_{1})$-自由图都具有哈密顿圈，从而在更一般的禁用诱导子图条件下证实了Chvátal关于坚韧图哈密顿性的猜想。
Long Cycles in 1-tough Graphs
1952年，Dirac证明了每一个具有最小度$δ$的2-连通图要么是哈密尔顿图，要么包含一个长度至少为$2δ$的圈。1986年，Bauer和Schmeichel在附加的1-tough条件下，将约束$2δ$扩大为$2δ+2$，1-tough条件是图是哈密尔顿图的另一个更自然的必要条件。事实上，当$n\equiv 1(mod\ 3)$时，对于$n$顶点上的图，$2δ+2$的界是尖锐的。在本文中，我们提出了最终版本的结果是尖锐的每个$n$：每个1-tough图要么是哈密尔顿或包含一个周期的长度至少$2δ+2$时，$n\equiv 1(mod\ 3)$，至少$2δ+3$时，$n\equiv 2(mod\ 3)$或$n\equiv 1(mod\ 4)$，至少$2δ+4$，否则。
Toughness Bounds for Fractional Hamiltonicity and Resistance Positivity
本文通过构造非哈密顿弦生成超图，结合弦图的哈密顿性定理，证明10-韧性图为分数哈密顿图，进而证实Devriendt关于10-韧性图为电阻正图的猜想，同时构造出韧性接近3/2的非电阻非负图。
Disconnected Forbidden Subgraphs, Toughness and Hamilton Cycles
1974年，Goodman和Hedetniemi证明了任何2-连通无$(K_{1,3},K_{1,3}+e)$图都是Hamilton图。这一结果在附加连通性条件下给出了各种禁止连通子图对和禁止连通子图三重图的其他哈密尔顿性条件。1997年证明了2-连通图中的单个禁止连通子图$R$只能生成一类平凡的具有$R=P_3$的哈密顿图（完全图）。本文证明了：如果$R$是不连通的，则一个禁止子图$R$可以生成一个非平凡的哈密顿图类：$(\ast1)$：每个无$(K_1\cup P_2)$的图都是Hamilton图或属于一个定义良好的非哈密顿图类; $(\ast2)$：每个无1-tough $(K_1\cup P_3)$的图都是Hamilton图.我们证明了每个1-tough $(K_1\cup P_4)$ -free图是Hamilton图，每个1-tough $P_4$ -free图是Hamilton图
Toughness, hamiltonicity and spectral radius in graphs
研究图中Hamilton圈的存在性是图论中的一个经典问题。通过结合韧性和谱条件，我们可以从另一个角度考虑Chvátal猜想：什么是谱条件，以保证存在的哈密尔顿圈之间的$t$ -坚韧图？首先给出$1$ -tough图的答案，即如果$ρ(G)\geqρ(M_{n})$，则$G$包含一个Hamilton圈，除非$G\cong M_{n}$，其中$M_{n}=K_{1}\nabla K_{n-4}^{+3}$和$K_{n-4}^{+3}$是由$3K_{1}\cup K_{n-4}$通过在$3K_{1}$和$K_{n-4}$之间添加三条独立边而得到的图. Brouwer韧性定理指出，每个$d$ -正则连通图总是有$t(G)>\frac{d}λ-1$，其中$λ$是邻接矩阵的第二大绝对特征值。本文利用图的谱半径推广了这一结果，即分别给出了一个图是1-坚韧的最小度$δ$和$t$ -坚韧的谱条件.
Hamiltonian cycles in 2-tough $2K_2$-free graphs
如果图$G$不包含$2K_2$作为诱导子图，则称它为无$2K_2$图。在2014年，Broersma，Patel和Pyatkin证明了每个至少有三个顶点的25-tough $2K_2$ -free图是Hamilton图。最近，Shan通过证明3-tough而不是25-tough就足够了来改进这个结果。本文证明了Gao和Pasechnik证明的至少有三个顶点的2-tough $2K_2$ -free图是Hamilton图。
The relation between Hamiltonian and $1$-tough properties of the Cartesian product graphs
图的哈密尔顿性与坚韧性之间的关系是一个长期的研究问题。本文研究了图$G_1$和$G_2$的笛卡儿积图$G_1\square G_2$的哈密尔顿性，满足$G_1$是可迹的，且$G_2$与一个路因子连通.设Pn是序$n$的路，$H$是连通的二部图.在一定的$n$要求下，我们证明了以下三个陈述是等价的：（i）$P_n\square H$是Hamilton的;（ii）$P_n\square H$是$1$ -tough的;（iii）$H$有路径因子.
Hamiltonicity of 3-tough $(K_2 \cup 3K_1)$-free graphs
Chvátal在1973年证明了存在一些常数$t$使得所有至少有三个顶点的$t$ -tough图都是Hamilton图。虽然这个猜想已经在一些特殊的图类中得到了证明，但它在一般情况下仍然是开放的。我们称一个图是$(K_2 \cup 3K_1)$ -free的，如果它不包含同构于$K_2 \cup 3K_1$的诱导子图，其中$K_2 \cup 3K_1$是一条边和三个孤立点的不交并.本文证明了每一个至少有三个顶点的3-tough $(K_2 \cup 3K_1)$ -free图都是Hamilton图。
Degree sequence condition for Hamiltonicity in tough graphs
本文证明了关于t-坚固图存在哈密顿回路的猜想，解决了t≥4的情况，通过两个新结果实现了证明。
Hamiltonicity of $1$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
给定一个图$H$，如果$G$不包含作为导出子图的$H$，则图$G$是无$H$的.对于正实数$t$，称一个非完全图$G$是$t$ -tough的，如果对$G$的每个点割$S$，$|S|$与$G-S$的分支数之比至少为$t$ .一个完整的图被称为$t$ -tough，对于任何$t>0$都是如此。Chvátal的坚韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton的，一般来说仍然是开放的。Chvátal和Erdös \cite{CE}证明了，对任意整数$k\ge 1$，每个至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.根据Chvátal-Erdös定理，Shi和Shan证明了对任意整数$k\ge 4$，每个至少有三个顶点的$4$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图，并提出了对任意整数$k\ge 1$，任意$1$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图的猜想.在本文中，我们证实了这个猜想，并进一步证明，如果$k\ge 3$，那么条件“$2k$ -连通”可以减弱为“$2(k-1)$ -连通”。作为直接结果，对于任何整数$k\ge 3$，每个$…
Toughness and prism-hamiltonicity of $P_4$-free graphs
图$G$上的\emph{prism}是乘积$G \Box K_2$，即，通过取$G$的两个副本并添加通过边连接每个顶点的两个副本的完美匹配而获得的图。图$G$称为\emph{prism-hamiltonian}，如果它有一个哈密尔顿棱柱。Jung证明了每个至少有三个顶点的$1$ -tough $P_4$ -free图都是Hamilton图.在本文中，我们将这一点扩展到观察到，$k \geq 1$的$P_4$ -自由图有一个生成\emph{$k$-walk}（闭行走使用每个顶点在最多$k$倍）当且仅当它是$\frac{1}{k}$ -强硬。作为我们的主要结果，我们证明了对于$P_4$ -free图类，是棱镜-Hamilton图、有生成$2$ -行走图和是$\frac{1}{2}$ -坚韧图这三个性质是等价的。
Hamiltonian cycles and Hamiltonian paths in $2k$-connected, $1$-tough and $(P_{3}\cup kP_{1})$-free graphs
本文针对k≥2，证明了2k-连通、1-坚韧且不含(P₃∪kP₁)子图的图必为哈密顿图，(2k+1)-连通、坚韧度大于1且不含(P₃∪kP₁)子图的图必为哈密顿连通图。
An update on non-Hamiltonian $\frac{5}{4}$-tough maximal planar graphs
研究了极大可平面图中最长圈的短性，改进了Harant和Owens [Discrete Math.147（1995），301- 305]提出的$\frac{5}{4}$ -tough极大可平面图类的短性指数的上界.此外，我们提出了两个推广的类似结果的Tkáloves认为$1$ -强硬的最大可平面图[离散数学。154（1996），321- 328];我们注意到，这些推广之一，给出了一个紧的上界。我们修正了第一篇论文中使用的一个有问题的论点。
A note on hamiltonian cycles in $4$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.我们说$G$是$t$ -tough的，如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少是$t$。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开放的。对于任意给定的整数$k\ge 1$，如果$G$不包含$P_2$和$k$孤立点的不交并作为导出子图，则图$G$是$(P_2\cup kP_1)$自由的.本文证明了至少有三个顶点的4-坚韧$2k$ -连通无$(P_2\cup kP_1)$图是Hamilton图.这个结果在某种意义上是经典的Chvátal-Erdés定理的“推广”，该定理证明了至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.
An Ore-type condition for hamiltonicity in tough graphs
设$G$是一个在$n\ge 3$顶点上的$t$ -坚韧图，对于某些$t>0$ . Bauer等人在1995年指出，如果$G$的最小次数大于$\frac{n}{t+1}-1$，则$G$是Hamilton的。在矿型哈密顿条件下，仅研究了当$t$介于1和2之间时的问题。本文证明了如果$G$的任意两个不相邻顶点的度和大于$\frac{2n}{t+1}+t-2$，则$G$是Hamilton的.
Hamilton cycles in tough $(2P_2 \cup P_1)$-free graphs
本文针对 Chvátal 坚韧图 Hamilton 性猜想遗留的禁图情形，证明至少三个顶点的11-坚韧 $(2P_2\cup P_1)$-无关图必为 Hamilton 图。
Hamiltonian cycles in tough $(P_4 \cup P_1)$-free graphs
本文证明了每个至少有三个顶点的23-坚韧$(P_4\cup P_1)$自由图都是哈密顿图，解决了Broersma关于Chvátal猜想在该类图上的问题。
A spectral condition for Hamilton cycles in tough bipartite graphs
本文针对平衡二分图，给出了谱半径的尖锐条件，以保证在二分韧性至少为1时图中存在哈密顿圈，解决了文献中提出的问题。
Non-Hamiltonian $\frac{3}{2}$-Tough Plane Triangulations
该研究否定了Hao等人提出的‘度数为3的顶点两两距离至少3的3/2-坚韧平面三角剖分是哈密顿图’的问题，证明了存在满足任意长距离条件的此类非哈密顿图，明确哈密顿圈的障碍源于局部构型而非其邻近性。
On the Hamiltonicity, traceability and toughness of complements of line graphs
本文通过最长环方法证明了线图补图的Hamilton性特征化，并指出某些特定图如K_5的补图为彼得森图。
Long Cycles in 2-Connected Tough Graphs
本文证实了Broersma等人关于2-连通坚韧图周长下界的猜想，证明其周长至少为对数阶，方法结合Win的生成树定理与树深度界。
Long paths and toughness of k-trees and chordal planar graphs
我们证明了韧性大于$\frac{k}{3}$的$k$树对于$k \geq 3$是Hamilton连通的. (In特别地，韧性大于$1$的弦可平面图是哈密尔顿连通的。）这改进了Broersma et al.（2007）的结果，并推广了Böhme et al.（1999）的结果。另一方面，我们提出的图的最长路径是短的。即，我们构造了$1$ -坚韧弦可平面图和$1$ -坚韧平面$3$ -树，并证明了该类的短指数分别为$0$，至多$\log_{30}{22}$.两者都提高了Böhme等人的边界。此外，该构造提供了韧性大于$1$的$k$树（对于$k \geq 4$）。
A Sharp Bound for the Circumference in $t$-tough graphs with $t>1$
证明了：若$G$是阶为$n$且最小度为$δ$且$t>1$为$t$ -坚韧图，则$G$有一个长度至少为$\min\{n,2δ+5\}$的圈或$G$是Petersen图.
A Closure Lemma for tough graphs and Hamiltonian degree conditions
本文提出坚韧图的闭包引理，证明3t-1/2-坚韧图的哈密顿性等价于其t-闭包的哈密顿性，并据此证明Hoàng关于哈密顿度序列的猜想在t=4时成立。
Properties of minimally $t$-tough graphs
一个图$G$是最小$t$ -tough的，如果$G$的韧性是$t$，并且从$G$删除任何边都会降低韧性。Kriesell证明了对每一个极小$1$ -坚韧图，最小度$δ(G)=2$ .我们证明了在每一个极小$1$ -坚韧图$δ(G)\le\frac{n+2}{3}$中.证明了极小$1$ -坚韧无爪图是圈。另一方面，我们证明了对于每个$t \in \mathbb{Q}$，任何图都可以作为诱导子图嵌入到极小$t$ -坚韧图中。
A strengthening of a degree sequence condition for Hamiltonicity in tough graphs
本文推广Chvátal的经典结果，验证了Hoàng提出的哈密顿性度序列猜想在所有t≥4的t-坚韧图中成立，证明基于此前建立的t≥4的坚韧度闭包引理，同时指出该引理在t=1时不成立。
A construction of a $\frac{3}{2}$-tough plane triangulation with no 2-factor
本文通过构造一个没有2-因子的极大$\ rac{3}{2}$-坚韧平面图，填补了坚韧平面图中2-因子存在性问题的最后遗留情况，回答了Owens等人的疑问。
On hamiltonian cycles of 1-tough $(P_{2} \cup kP_{1})$-free graphs
本文研究了1-坚韧且$(P_2 \cup kP_1)$自由的图是否为哈密顿图的问题，证明了当图满足一定条件时，该图是哈密顿图，从而解决了该问题对大图的正确定义。
An Ore-type condition for hamiltonicity in tough graphs and the extremal examples
本文证实了坚韧图中Ore型哈密顿性条件中“+t”项可移除的猜想，并刻画了所有满足临界度和条件但非哈密顿的极值图。
Sufficient conditions for $t$-tough graphs to be Hamiltonian and pancyclic or bipartite
本文针对 $t\geq4$ 的 $t$-坚韧图，利用规模及多种谱半径条件证明 Bondy 元猜想，即 Hamilton 性条件同时蕴含泛圈性或二部结构。
Thinning and sprinkling: from robust sampling to almost Hamiltonicity
本文提出稀疏化-喷洒技术，证明坚韧图等图类的随机子图保持鲁棒性，并据此构造几乎哈密顿圈，解决Chvátal和Lovász的长期猜想。
Edge-dominating cycles, k-walks and Hamilton prisms in $2K_2$-free graphs
我们证明了一个$2K_2$ -free图的边控制圈可以在多项式时间内被找到，这意味着每个1/（k-1）-tough $2K_2$ -free图都有一个k-行走，并且它可以在多项式时间内被找到.对于这类图，这证明了Jackson和Wormald（1990）提出的一个长期存在的猜想。进一步证明了对任意ε>0，每个（1+ε）-tough $2K_2$ -free图都是棱柱-Hamilton图，并给出了相应棱柱中哈密顿圈的有效构造，以及其他一些类似的结果.
Logarithmic Circumference In Tough Graphs
本文证明每个2连通t-坚韧图在满足特定阶数条件时包含长度至少为ℓ的圈，证实了对数周长猜想。
Hamilton Cycles in 10-Tough $(2P_2 \cup P_1)$-Free Graphs
本文证明，每个至少含3个顶点的有限简单10-坚韧度$(2P_2 \bigcup P_1)$-无图都存在哈密顿回路，通过按边的联合邻域大小拆分情形分析完成证明。
Spectral radius, toughness and $k$-factor of graphs
本文研究了连通1-韧性图中k-因子的存在条件，基于谱半径提出并证明了当δ(G)≥k时，存在k≥3的k-因子的充分条件。
A Note on Hamilton Cycles
如果$G$是$n$上的一个以上的坚韧图，且对于给定的$a>0$，$n$具有$δ\ge \frac{n}{2}-a$，且$n$足够大，则$G$是Hamilton图.
A Fan-type condition for cycles in $1$-tough and $k$-connected $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
本文推广了关于$1$-tough且$(P_2\cup kP_1)$-free图哈密顿性的猜想，提出并证明了一个Fan型定理：在$k$-连通且满足特定距离条件$\mu_{k+1}(G)\geq\frac{7k-6}{5}$时，该图必为哈密顿图或Petersen图。
Connectivity, toughness, and hamiltonicity of simplicial polytopes
针对 $d\ge4$ 的单纯多面体，构造了满足指定连通度、低坚韧度且不可迹的例子，否定了高连通度保证高维多面体哈密顿性的猜想，还得到了短度系数和指数的相关结论。
Hamiltonian prisms on 5-chordal graphs
本文给出了一种在5-弦图的棱柱中寻找一个哈密顿圈的方法，该圈是$(1+ε)$ -艰难的，并给出了一些特殊的条件。
Spectral conditions of pancyclicity for t-tough graphs
本研究围绕图韧性与循环结构的关系，针对t∈{1;2;3}的t-坚韧图，从边数、谱半径和无符号拉普拉斯谱半径角度证实了Bondy提出的哈密顿条件可推泛圈性的元猜想。
On minimally 1-tough $(K_1\cup P_4)$-free graphs
研究极小\(1 -\)坚韧的无\((K_1\cup P_4)\)图，通过刻画其结构，证明了无\((K_1\cup P_4)\)的\(1 -\)坚韧图是哈密顿图的猜想，以及极小\(1 -\)坚韧图有\(2 -\)度顶点的Kriesell猜想对该类图成立。
Minimally tough chordal graphs with toughness at most $1/2$
本文刻画了韧度至多 1/2 的极小坚韧弦图，并由此推出区间图的相应刻画，为图韧度理论提供了完整分类。
Vizing's 2-factor Conjecture Involving Toughness and Maximum Degree Conditions
设$G$是简单图，$Δ(G)$和$χ'(G)$分别表示$G$的最大度和色指数. Vizing证明是$χ'(G)=Δ(G)$或$Δ(G)+1$。如果对$G$的每个真子图$H$，$χ'(G)=Δ+1$和$χ'(H)<χ'(G)$都成立，则称$G$是$Δ$ -临界的. 1968年，Vizing证明了如果$G$是一个$Δ$ -临界图，那么$G$有一个2-因子.设$G$是$n$ -顶点$Δ$ -临界图.证明了如果$Δ(G)\ge n/2$，则$G$有2-因子;如果$Δ(G)\ge 2n/3+12$，则$G$有一个哈密顿循环，因此有2-因子。众所周知，每一个至少有三个顶点的2-坚韧图都有一个2-因子。我们研究了在给定韧性和最大度的条件下，$Δ$临界图中2-因子的存在性。特别地，我们证明了如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，其韧性至少为3/2，最大度至少为$n/3$，则$G$有一个2-因子.此外，我们开发了新的技术，证明存在的2-因子的图。
Degree sequence condition for pancyclicity in tough graphs
本文研究了韧度图中泛圈性的度序列条件，否证了 Hoàng 猜想在 $t=1$ 时成立，并证明了 $t\ge 7$ 时猜想成立。
On Hamilton Cycle Decompositions of Tensor Products of Graphs
$G$的Hamilton分解是将其边集划分为不相交的Hamilton圈。Manikandan和Paulraja证明了：如果$G$和$H$是Hamilton圈可分解的循环图，且其中至少有一个是非二部的，则它们的张量积是Hamilton圈可分解的.本文证明了：如果$G$是具有某些性质的Hamilton圈可分解循环图，$H$是Hamilton圈可分解重图，则它们的张量积是Hamilton圈可分解的.特别地，某些稀疏Hamilton圈可分解循环图的张量积是Hamilton圈可分解的。
Proof of a conjecture of Bauer, Fan and Veldman
对于1-坚韧图$G$，我们定义$σ_3(G) = \min\{°(u) + °(v)+ °(w):$ $\{u, v, w\}$是$\}$和$NC2(G)=\min \{|N(u)\cup N(v)|: d(u,v)=2\}$的独立顶点集. D. Bauer，G. Fan和H. J. Veldman证明了对任意1-坚韧图$σ_3(G)\geq n\geq 3$，$c(G)\geq \min\{n,2NC2(G)\}$是$G$（D. Bauer，G. Fan和H. J. Veldman，具有大邻域并的图的Hamilton性质，离散数学，1991）。他们还证明了圆周的一个更强的上界：$c(G)\geq\min\{n,2NC2(G)+4\}$ .本文证明了这个猜想.
The Hamilton-Waterloo problem for Hamilton cycles and C4k-factors
本文给出了Hamilton圈和C4 k-因子对所有正整数k的Hamilton-Waterloo问题的完全解。
Two Hamiltonian cycles
如果图$G$的线图分解成哈密顿圈，那么什么是$G$？我们将这个问题分解为两个循环来回答。
New Ore-type Conditions for Hamilton Cycles and Spanning Trees with few leaves
给出了Hamilton圈和少叶生成树的新Ore型条件。
Hamilton cycles in infinite cubic graphs
研究B的问题。Mohar等人的研究结果，证明了每一个端度为3的单端Hamilton三次图都含有第二个Hamilton圈.我们还构造了两个例子，表明这一结果并不延伸到给出第三个Hamilton圈，也不延伸到两端的情况。
4-regular 4-connected Hamiltonian graphs with few Hamiltonian cycles
该研究证明了存在哈密顿环数量有界的无穷多族4-正则4-连通哈密顿图，并提出5-正则5-连通情形下是否存在同类图族的开放问题。
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