Longest cycles intersect linearly in highly connected graphs
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心）；Nankai University（南开大学）
本文针对史密斯猜想，证明任意$k$-连通图中两个最长圈至少共享$k/600$个顶点，首次给出线性下界，并采用新结构方法推广至相关路径问题。
2026-09-18 math.CO
Heavy subgraph conditions for longest cycles to be heavy in graphs
设$G$是以$n$为顶点的图。度至少为$n/2$的$G$的顶点称为重点，包含$G$的所有重点的$G$的圈称为重圈。本文刻画了不含重圈的图。对于给定的图$H$，如果$G$的每个与$H$同构的诱导子图都包含两个度和至少为$n$的不相邻顶点，则称$G$是$H$ - \emph{heavy}.我们找到了所有的连通图$S$，使得一个2-连通图$G$是$S$ -重的，意味着$G$的任何最长圈都是重圈.
2011-09-21 math.CO
Longest and shortest cycles in random planar graphs
设$P(n,m)$是从顶点集$\{1, \ldots, n\}$上所有有$m=m(n)$边的可平面图类中随机均匀选取的图.我们研究了当$P(n,m)$.更准确地说，我们确定的最长和最短的周期在$P(n,m)$的临界范围内时，$m=n/2+o(n)$的长度的渐近顺序。此外，我们还描述了当$n^{2/3}\ll m-n/2\ll n$在弱超临界状态下$P(n,m)$的嵌段结构。
2021-04-30 math.CO
A scaling limit for the length of the longest cycle in a sparse random graph
本文讨论了稀疏随机图$G_{n,p},p=c/n$的最长圈的长度。$c$常数。我们证明了对于大的$c$，存在一个函数$f(c)$使得$L_n(c)/n\to f(c)$ a.s.函数$f(c)=1-\sum_{k=1}^\infty p_k(c)e^{-kc}$，其中$p_k$是$k$中的多项式。我们只能明确给出值$p_1,p_2$，尽管我们原则上可以计算任何$p_k$。我们立即看到，最长路径的长度也渐近于$f(c)n$ w. h. p。
2020-01-09 math.CO
Chords of longest cycles passing through a specified small set
本文研究经过指定小集合的最长圈的弦，推广Thomassen和Zhang的相关结果，证明了2-连通立方图、最小度≥4的3-连通图及3-连通平面图中满足特定条件的最长圈必含弦，并扩展了Li和Liu的结果。
2025-02-15 math.CO
Longest cycles in 3-connected hypergraphs and bipartite graphs
在超图的语言中，我们的主要结果是一个Dirac-type界：我们证明了每个具有$ δ(H)\geq \max\{|V(H)|, \frac{|E(H)|+10}{4}\}$的$3$ -连通超图$H$有一个Hamilton Berge圈。这是尖锐和完善的猜想杰克逊从1981年（在语言的二部图）。我们的证明是在二部图的语言，因为每个超图的关联图是二部的。
2020-04-17 math.CO
Proof of a conjecture of Voss on bridges of longest cycles
本文通过将问题归约为圈覆盖问题，完整证明了Voss关于2-连通图最长圈中树状重叠的互不相交桥总长度至多为圈长一半的猜想。
2025-09-08 math.CO
A scaling limit for the length of the longest cycle in a sparse random digraph
讨论了稀疏随机有向图$D_{n,p},p=c/n$中最长有向圈的长度$\vec{L}_{c,n}$，其中$c$为$c$常数.我们证明了对于大的$c$，存在一个函数$\vec{f}(c)$使得$\vec{L}_{c,n}/n\to \vec{f}(c)$ a.s.函数$\vec{f}(c)=1-\sum_{k=1}^\infty p_k(c)e^{-kc}$，其中$p_k$是$c$中的多项式。我们只能显式地给出值$p_1,p_2$，尽管我们原则上可以计算任何$p_k$。
2020-01-17 math.CO
Intersections of longest cycles in vertex-transitive and highly connected graphs
针对顶点传递图和高度连通图中最长圈交集问题，提出纯组合方法强化现有界，证明k-连通图中最长圈交集顶点数达Ω(k^(2/3))，解决Babai问题并引入新构造方法。
2025-08-24 math.CO
All longest cycles intersect in partial 3-trees
我们证明了所有的最长圈相交于2-连通部分3-树。
2021-03-09 cs.DM math.CO
Longest Induced Cycles on Cayley Graphs
本文研究了酉Cayley图$X_n = Cay(\mathbb Z_n; U_n)$的最长诱导圈的长度，其中$U_n$是$\mathbb Z_n$的单位群.使用剩余模的素数划分$n$，我们介绍了一个表示的顶点，减少了一个纯粹的组合问题比较字符串的符号。这种表示使我们能够证明，每个素数划分$n$的多重性，甚至每个素数的值（如果足够大）对$X_n$中最长诱导循环的长度没有影响。我们还看到，如果$n$有$r$不同的素因子，$X_n$总是包含一个长度为$2^r+2$的诱导循环，从而提高了Berrealitia和Giudici的$r \ln r$界。此外，我们推广我们的结果$X_n$的完全$k_i$ -部图的合取，其中$k_i$不需要是有限的，也酉凯莱图的任何商的戴德金整环。
2004-12-08 math.CO
Intersecting longest paths in chordal graphs
我们考虑弦图中与每条最长路径相交所需的最小顶点集的大小。这样的集合被称为最长路径断面。证明了若$ω(G)$是弦图$G$的团数，则存在至多$4\lceil\frac{ω(G)}{5}\rceil$阶的断面.我们还考虑了类似的问题，最长的周期，并表明，如果$G$是一个2-连通弦图，然后有一个横截相交的所有最长的周期的顺序至多$2\lceil\frac{ω(G)}{3}\rceil$。
2020-12-14 math.CO
Transversals of Longest Cycles in Partial $k$-Trees and Chordal Graphs
设$lct(G)$是2-连通图$G$中与每个最长圈相交的顶点集的最小基数。我们表明，$lct(G)\leq k-1$，如果$G$是一个部分$k$树和$lct(G)\leq \max \{1, {ω(G){-}3}\}$，如果$G$是弦，其中$ω(G)$是在$G$的最大团的基数。这些结果意味着所有的最长圈都相交于2-连通系列平行图和3-树。
2019-12-27 cs.DM math.CO
Regular graphs with few longest cycles
出于工作的Haythorpe，Alassen和作者表明，存在一个积极的常数$c$，使有一个无限的家庭4-经常4-连通图，每个包含确切的$c$哈密尔顿周期。我们补充这一点，证明了同样的结论适用于平面4-正则3-连通图，虽然它不适用于平面4-正则4-连通图的Brinkmann和Van Cleemput的结果，它适用于4-正则图的连通度2与常数$144 < c$，我们相信是最小的所有哈密尔顿4-正则图的足够大的顺序。然后证明了对每个非负整数$k$，在$26 + 6k$顶点上存在一个5-正则图，该图具有$2^{k+10} \cdot 3^{k+3}$ Hamilton圈，从而否定了Haythorpe的一个猜想.证明了对每一个$d \ge 3$，都存在一个无限族的最小度为$d$的Hamilton 3-连通图，其Hamilton圈数有界.证明了如果3-正则图$G$有唯一的最长圈$C$，则$G - E(C)$的至少两个分支在$C$上有奇数个顶点，并且存在恰好有两个这样的分支的3-正则图.
2022-01-27 math.CO
An approximation algorithm for the longest cycle problem in solid grid graphs
虽然实格图的哈密尔顿性是多项式时间可判定的，但这类图的最长圈问题的复杂性仍然是一个未知数。本文通过提出一个线性时间常数因子近似算法，证明了实网格图中的最长圈问题在APX中。更准确地说，我们的算法找到一个周期的长度至少为$\frac{2n}{3}+1$在2-连接$n$ -节点的固体网格图。关键词：最长圈，哈密尔顿圈，近似算法，立体网格图。
2015-02-25 cs.DM cs.DS math.CO
Improved asymptotic upper bounds for the minimum number of pairwise distinct longest cycles in regular graphs
本文改进正则哈密顿图中两两不同最长圈数量的渐近上界，证明 Haythorpe 猜想在渐近意义上不成立，并证明非哈密顿 2-连通正则图的该不变量可被常数界定。
2023-10-26 math.CO
Decomposing various graphs into short even-length cycles
证明了在满足明显的必要条件、每个圈的长度至多为最小部分的大小、最长圈至多为第二长圈的三倍的情况下，完全二部图可以分解为任意指定长度的圈。然后，我们使用这个结果得到的结果不完整的甚至循环系统的孔和分解的完整的多部图成周期的均匀甚至长度。
2012-04-16 math.CO
Longest cycles and Dirac-type results in highly connected graphs
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Nankai University（南开大学）
本文证明了Bondy关于k连通图中最长圈外路径长度不超过k-1的猜想对所有足够大的图成立，并给出了一个Dirac型定理以给出k连通图中最长圈长度的下界。
2026-06-02 math.CO
Longest cycles in sparse random digraphs
稀疏随机图和有向图中的长路和长圈是20世纪80年代研究的热点。Frieze在1986年证明了具有$p=c/n$的随机图$\cG(n,p)$在除最多$(1+ε)ce^{-c}n$点外的所有点上都有高概率的圈，其中$ε=ε(c)\to 0$为$c\to\infty$ .由于顶点的度为1，因此对未覆盖顶点的数量的估计基本上是紧的。然而，对于随机有向图$\cD(n,p)$，没有严格的结果是已知的，最佳估计是远离相应下界的$c/2$的因子。在这项工作中，我们关闭了这个差距，并表明，随机有向图$\cD(n,p)$与$p=c/n$有一个圈包含所有，但$(2+ε)e^{-c}n$顶点w.h.p.，其中$ε=ε(c)\to 0$为$c\to\infty$。这本质上是紧的，因为w.h.p.这样的随机有向图包含具有零入度或出度的$(2e^{-c}-o(1))n$顶点。
2011-02-15 math.CO
An improved lower bound on the length of the longest cycle in random graphs
本文给出了二项随机图$G(n,(1+ε)/n)$的最长圈长度的一个新的下界，该图对所有$ε=ε(n)$都成立w.h.p.，使得$ε^3n\to \infty$ .在$ε\leq ε_0$的情况下，对于某个足够小的常数$ε_0$，该界限等于$1.581ε^2n$，其改进了Luczak给出的$4ε^2n/3$的当前最佳下界。
2022-08-14 cs.DS math.CO
On longest non-Hamiltonian Cycles in Digraphs with the Conditions of Bang-Jensen, Gutin and Li
设$D$是$n\geq 4$上的强有向图.在[2，J. Graph Theory 22（2）（1996）181-187）]中，J. Bang-Jensen，G. Gutin和H. Li证明了如下定理：如果对每对具有公共内邻点的不邻顶点$x, y$，（*）$d(x)+d(y)\geq 2n-1$和$min \{d(x), d(y)\}\geq n-1$，或对每对具有公共内邻点或公共外邻点的不邻顶点$x, y$，（**）$min \{d^+(x)+ d^-(y),d^-(x)+ d^+(y)\}\geq n$，则$D$是Hamilton的.本文证明了：（i）若$D$满足条件（*）且$D$的最小半度至少为2，或（ii）若$D$不是有向圈且满足条件（**），则要么$D$包含一个长为$n-1$的圈，要么$n$是偶数且$D$同构于完全二部有向图或同构于完全二部有向图减一条弧.
2012-09-20 math.CO
Degree Conditions for Dominating Cycles in 1-tough Graphs
我们证明：（i）若$G$是1-坚韧图，其阶为$n$，最小度为$δ$，且有$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈，除非$G$属于一类容易指定的图，且有$κ(G)=2$和$τ(G)=1$ .第二个结果紧接着第一个结果：（ii）如果$G$是一个3-连通1-坚韧图，$δ\ge(n-2)/3$，那么每个最长的圈在$G$是一个控制圈。
2012-02-13 math.CO
On two conjectures about the intersection of longest paths and cycles
本文研究k-连通图中最长圈与最长路径的相交猜想，证明最长圈公共顶点数下界并在特定参数范围证实Smith猜想，还通过归约关联两类猜想并在特定k范围验证Hippchen猜想。
2023-10-05 cs.DM math.CO
A note on long cycles in sparse random graphs
令$L_{c,n}$表示$G(n,{c}/{n})$中最长循环的大小，$c>1$为常数。我们证明存在连续函数$f(c)$，使得$ L_{c,n}/n \to f(c)$ a.s.对于$c\geq 20$，从而将作者和Frieze的结果推广到更小的$c$值。此后，对于$c\geq 20$，我们确定$G(n,c/n)$包含其最短和最长循环长度之间的每个长度的循环的概率极限为$n\to \infty$。
2023-02-28 math.CO
Decomposing $K_{u+w}-K_u$ into cycles of various lengths
证明了在满足明显的必要条件下，带洞的完全图$K_{u+w}-K_u$可分解为任意长度的圈，每个圈的长度至多为$\min(u,w)$，且最长圈的长度至多为第二长圈的3倍.这推广了现有的结果分解成均匀长度的周期的完全图与洞，并补充工作分解成周期的任意指定长度的完全图，完全多重图和完全多部图。
2016-03-12 math.CO
An Improved Bound for Smith's Longest Cycles Conjecture via a Forbidden Subdivision
Columbia University（哥伦比亚大学）
本研究针对k≥2的k-连通图的Smith最长圈猜想，结合拉姆齐理论细化与计算机搜索，将其边界从Ω(k^(2/3))改进至Ω(k^(8/11))。
2026-09-01 cs.DM math.CO
A Note on Grünbaum's Conjecture about Longest Cycles and Paths
Faculty of Science and Technology, Keio University（庆应义塾大学理工学部）；Faculty of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息学部）；School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis & Applications (Ministry of Education), Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院，非线性分析与应用教育部重点实验室）
本文研究了Grünbau关于最长环和路径猜想的空集问题，通过建立图类的最大度数上界，证明了在特定条件下这些图类为空，支持了Grünbau的猜想。
2026-02-23 math.CO
Expansion, long cycles, and complete minors in supercritical random subgraphs of the hypercube
类似于二项式随机图$G(d+1,p)$的情况，已知$d$维超立方体的随机子图的行为，其中我们以概率$p$独立地包括每个边，我们用$Q^d_p$表示，在$p=\frac{1}{d}$的临界值附近经历相变。更准确地说，标准论证表明，显著低于$p$的这个值，概率趋于1，如$d \to \infty$（简称whp），这个图的所有分量都有$O(d)$阶，而Ajtai，Komlós和Szemerédi表明，显著高于这个值，在\emph{supercritical regime}中，whp有一个唯一的$Θ\left(2^d\right)$阶的“巨型”分量。在$G(d+1,p)$更多的是已知的复杂结构的随机图出现在这个超临界状态。例如，已知在该体系中，whp $G(d+1,p)$包含长度为$Ω(d)$的路径和圈，以及$Ω\left(\sqrt{d}\right)$阶的完全子式。本文在$Q^d_p$中得到了类似的结果。特别是，我们表明，对于超临界$p$，即，当$p=\frac{1+ε}{d}$为正常数$ε$时，whp $Q^d_p$包含长度为$Ω\left(\frac{2^d}{d^3(\log d)^3} \right)$的圈和$Ω\left(\frac{2^{\frac{d}{2}}}{d^3(\log d)^3 }\right)$阶的完全子式。为了证明这些结果，我们表明，whp的$Q^d_p$…
2021-12-01 math.CO
Dominating cycles and forbidden pairs containing a path of order 5
一个圈是一个图是控制的，如果图的每条边都与圈的一个顶点关联。本文研究了一类保证控制圈存在的禁止对的刻画，得到了以下两个结果：（1）每个$2$ -连通无$\{P_{5}, K_{4}^{-}\}$图都含有一个最长的控制圈. (ii)每一个$2$ -连通无$\{P_{5}, W^{*}\}$图都含有一个最长圈，它是控制圈.这里，$P_{5}$是$5$阶的路径，$K_{4}^{-}$是从$4$阶的完全图通过去除一个边而获得的图，而$W^{*}$是从两个三角形和一个边通过识别每个三角形中的一个顶点而获得的图。
2015-02-10 math.CO
Transversals of Longest Paths and Cycles
设G是n阶图。设lpt（G）是G的顶点集X的最小基数，使得X与G的每条最长路相交，并类似地对圈而不是路定义lct（G）.本文证明了：当G是连通图时，lpt（G）\leq ceiling（n/4-n^{2/3}/90），当G是2-连通图时，lct（G）\leq ceiling（n/3-n^{2/3}/36），当G是连通圆弧图时，\lpt（G）\leq 3.我们的界限lct（G）改进了早先的结果，Rumassen和我们的界限圆弧图涉及到早先的声明Balister \emph{et al.}的参数包含一个差距。此外，我们还证明了可平面图和有界树宽图的lpt（G）的上界。
2013-02-22 cs.DM math.CO
Large cycles in 4-connected graphs
对于具有最小度$δ$和连通度$κ$的4-连通图$G$，要么含有长度至少为$4δ-κ-4$的圈，要么$G$中的最长圈是控制圈.
2009-06-27 math.CO
Small hitting sets for longest paths and cycles
该研究受经典图论问题与猜想启发，运用结构图论方法，改进了图中击中所有最长路径、最长环的最小顶点集规模的相关界，并推进了顶点传递图中路径与环最大长度的猜想研究。
2025-08-04 math.CO
Longest Cycle above Erdős-Gallai Bound
1959年，Erdés和Gallai证明了平均顶点度为ad（G）\geq 2的图G中存在一个长度至少为ad（G）的圈.我们给出了一个算法，对k个\geq 0，时间2^{O（k）} n^{O（1）}判定一个2-连通n-顶点图G是否包含一个长度至少为ad（G）+k的圈.这解决了几篇论文中明确提到的一个公开问题。我们的算法的主要成分是新的图论结果有趣的自己。
2022-02-07 cs.DM cs.DS math.CO
Longest cycles in vertex-transitive and highly connected graphs
本文证明了关于最长圈的新引理，改进了顶点传递图中最长圈长度下界至Ω(n^(13/21))，以及r-连通图中任意两个最长圈相交顶点数下界至Ω(r^(5/8))，推进了三个古老猜想的研究。
2025-10-28 cs.DM math.CO
A note on the distribution of the sum of lengths of the initial longest increasing sequences in cycles of random permutations
本文研究随机排列各循环中 ILIS 长度之和 $s_n$，在 Mansour 的期望与方差结果基础上，证明其适当归一化后随 $n\to\infty$ 弱收敛至标准正态分布。
2025-09-30 math.CO
A Degree Condition for Dominating Cycles in $t$-tough Graphs with $t>1$
设$G$是一个$t$ -坚韧图，其序为$n$，最小度为$δ$，且有$t>1$ .证明了如果$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈.
2012-01-07 math.CO
My Research Visiting Card in Hamiltonian Graph Theory
我们提出了18个确切的类似物的六个著名的基本定理（由于狄拉克，纳什-威廉姆斯和荣格）在哈密顿图理论提供替代组合物的图形不变量。在定理1-3中，我们分别用最小度$δ$，连通度$κ$和参数$\bar{p}$，$\bar{c}$（$G\backslash C$中的最长路和最长圈的长度）给出了图$G$的最长圈长度$C$的三个下界.这些界限在涉及$\bar{p}$和$\bar{c}$作为参数的区域中没有类似物。在定理11和12中，我们给出了广义圈的两个Dirac型结果，包括一些基本结果（关于Hamilton和控制圈）作为特例。连通性不变量$κ$作为参数出现在一些基本结果和它们的精确类似物中（定理3-10）按以下时间顺序：1972（Chvátal和Erdös），1981年a（Nikoghosyan），1981年b（Nikoghosyan），1985年a（Nikoghosyan），1985年b（Nikoghosyan），2000（Nikoghosyan），2005（Lu，Liu，Tian），2009（Nikoghosyan），2009a（Yamashita），2009b（Yamashita），2011a（Nikoghosyan），2011b（Nikoghosyan）.
2012-04-09 math.CO
Long paths and cycles in random subgraphs of graphs with large minimum degree
对于图$G$和图$p\in [0,1]$，设$G_p$是由图$G$通过以概率$1-p$相互独立地删除每条边而产生的。随机图模型$(K_n)_p$无疑是研究最多的随机图模型，也称为$G(n,p)$ -模型。我们发现，几个结果的最长路径/周期的长度自然地转化为$G_p$，如果$G$是一个任意的最小度至少$n-1$图。对于一个常数$c$，我们表明，渐近几乎肯定的最长路径的长度至少是$(1-(1+ε(c))ce^{-c})n$为某些功能$ε(c)\to 0$ $c\to \infty$，和最长的周期的长度是至少$(1-O(c^{- \frac{1}{5}}))n$。第一个结果是渐近最佳可能的。这推广了$G(n,p)$ -模型中关于随机图的最长路/圈长度的几个已知结果.
2015-12-15 math.CO math.PR
A Lower Bound for the Circumference Involving Connectivity
设$G$是一个图，$C$是$G$中的最长圈，$\overline{p}$，$\overline{c}$分别是$G\backslash C$中的最长路和最长圈的长度.几乎所有的周长下限都基于一个标准的过程：在$G$中选择一个初始循环$C_0$，并试图通过$G\backslash C_0$的结构和与$\overline{p}$、$\overline{c}$和连接$κ$密切相关的$G\backslash C_0$和$G\backslash C_0$之间的连接来扩大它。实际上，在该过程的结果中获得的每个下界在某种程度上或与$κ$、$\overline{p}$、$\overline{c}$相关，但以$κ$、$\overline{p}$、$\overline{c}$的各种特定值的形式，并且主要问题是将这些不变量作为参数包含到这样的界中。本文给出了包含$δ$、$κ$和$\overline{c}$的周长的一个下界，并且这个下界随着$δ$、$κ$和$\overline{c}$的增加而增加.
2009-07-15 math.CO
Bound vertices of longest paths between two vertices in cubic graphs
本文针对Zhan关于k-连通图中两顶点间最长路径含至少k-1个内部绑定顶点的猜想，证明其对2-连通立方图成立，还证明相邻顶点情形下对3-连通立方图成立，进而推导出3-连通立方图最长圈至少有两条弦，推广并加强了Thomassen的相关结果。
2025-04-16 math.CO
Relative Length of Long Paths and Cycles in Graphs
对于图$G$，$n$表示$G$的阶，$p$表示$G$中最长路的阶，而$c$表示最长圈的阶。我们证明了如果$G$是一个2-连通图，使得对于所有独立顶点的三元组$x,y,z$，$d(x)+d(y)+d(z)\ge p+2$，则$c\ge p-1$。这改进了Nash-Williams（在最小度$δ$和阶$n$方面）、Bondy（在度和$σ_{3}$和阶$n$方面）以及Enomoto、Heuvel、Kaneko和Saito（在度和$σ_3$、阶$n$和相对长度$diff(G)=p-c$方面）的结果。
2014-07-01 math.CO
Intersection of Longest Cycle and Largest Bond in 3-Connected Graphs
本文证明了在特定条件下的3-连通图中，最长圈必定与最大键相交，并研究了广义Petersen图的余谱。
2023-10-24 cs.DM math.CO
Large monochromatic components and long monochromatic cycles in random hypergraphs
将Gyárfás和Füredi关于$r$ -着色完全$k$ -一致超图的最大单色分支的结果推广到随机超图的情形.我们还研究了$r$着色随机超图中的长单色松散圈。特别地，我们得到了Gyárfás，Sárközy和Szemerédi关于$2$ -着色完全$k$ -一致超图中最长单色松弛圈的一个结果的随机模拟.
2018-07-26 math.CO
A Note on Large Cycles in Graphs Around Conjectures of Bondy and Jung
给出了任意k-连通图（k= 1，2，.）中广义圈（包括Hamilton圈和控制圈作为特例）的两个新的充分条件.证明了Bondy（1980）著名猜想的正确性，其某些变体显著地改进了给定假设所期望的结果。类似地，对于Jung（2001）提出的反向假设，建立了周长（最长循环的长度）的两个新的下界。
2022-11-26 math.CO
Long Directed Cycles in Vertex-Transitive Digraphs
University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
在图论与群论交叉领域，寻找顶点传递图和有向图中的哈密顿圈是经典问题。本文构造无限多个最长有向圈遗漏至少\(n/12\)个顶点的连通顶点传递有向图，证实相关猜想，还将有向圈长度下限从\(\Omega(n^{1/3})\)提高到\(\Omega(\sqrt n)\) 。
2026-08-20 math.CO
Paths, cycles and sprinkling in random hypergraphs
证明了对任意$2 \le j \le k-1$，$k$ -均匀二项随机超图中最长$j$ -紧圈长度的一个下界。我们首先证明了所需长度的$j$紧路径的存在性。标准的“喷洒”论证不足以表明这条路径可以闭合于一个$j$紧循环--因此我们证明了这条路径有许多扩展，这足以允许喷洒闭合循环。
2021-03-30 math.CO
Cycle packing
在20世纪60年代，Erdés和Gallai证明了n阶图的边集可以划分为O（n）圈和边。他们观察到，通过反复删除最长循环的边缘，可以很容易地得到O（n log n）上界。我们在这个问题上取得了第一个进展，表明O（n log log n）周期和边缘就足够了。我们还证明了随机图和具有线性最小度的图的Erdens-Gallai猜想。
2014-05-22 math.CO
Sublinear Longest Path Transversals
本文证明连通图存在次线性大小的最长路径横贯集，改进前人结果，并推广至2-连通图的最长圈横贯集，回应了相关经典问题。
2023-02-14 cs.DM math.CO
Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles
本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。
2019-02-14 math.CO
The Ramsey number of mixed-parity cycles I
用$R(G_1, G_2, G_3)$表示最小整数$N$，使得对于某个$i\in{1,2,3}$，完全图的边在$N$顶点上的任何三色着色都包含用颜色$i$着色的图$G_i$的单色副本。在一系列的三个文件，其中这是第一，我们考虑的情况下，$G_1, G_2$和$G_3$是循环的混合奇偶校验。具体来说，在本文和后续论文中，我们考虑$R(C_n,C_m,C_{\ell})$，其中$n$和$m$是偶数，而$\ell$是奇数。Figaj和Duczak确定了这种情况下的一个渐近结果，我们对此进行了改进，以给出一个精确的结果。我们证明了$n,m$和$\ell$足够大的$R(C_n,C_m,C_\ell)=\max\{2n+m-3, n+2m-3, \tfrac{1}{2} n +\tfrac{1}{2} m + \ell - 2\}$。在最长圈为偶数长的情况下，本文的证明是完备的。然而，在最长的循环是奇数长度的情况下，我们需要一个额外的技术结果，其证明构成了随后的论文的大部分。
2015-08-28 math.CO
The Hamiltonicity, Hamiltonian Connectivity, and Longest (s, t)-path of L-shaped Supergrid Graphs
超网格图包含网格图和三角网格图作为它们的子图。一般超网格图的Hamilton圈和路问题是NP-完全的。如果一个图包含一个Hamilton圈，则称该图为Hamilton图;如果该图中任意两个不同的顶点之间存在一条Hamilton路，则称该图为Hamilton连通图。本文首先证明，除了一个平凡的条件外，每个L形超网格图总是包含一个Hamilton圈。然后，我们验证了哈密顿连通的L形超网格图，除了一些条件。L形超网格图的哈密尔顿性和哈密尔顿连通性可以用于计算电脑绣花机和3D打印机打印L形物体时的最小迹线。最后，我们给出了一个线性时间算法来计算给定两个不同顶点s和t的L形超网格图的最长（s，t）-路。
2019-05-06 cs.DM math.CO
A Size Upper Bound for Dominating Cycles
最近（作者）证明了，如果$q\leδ^2+δ-1$（arXiv：1107.2201v1），则每一个边数为$δ$且度为最小的图都是Hamilton图.本文对控制圈给出了这个结果的精确模拟：如果$G$是一个2连通图，且$q\le8$当$δ=2$，$q\le (3(δ-1)(δ+2)-1)/2$当$δ\ge3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈.结果在各方面都很明显。
2011-12-12 math.CO
Components and Cycles of Random Mappings
映射$\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,n\}$的每个连通分量包含唯一的循环。最大的这样的组件可以通过延迟微分方程或拉普拉斯逆变换的概率研究。最长的这样的循环同样承认两种方法：我们找到一个（显然是新的）密度公式的长度。一个约束的影响--恰好一个组件存在--也进行了检查。例如，最长循环的平均长度一般是$(0.7824...)\sqrt n$，但对于特殊情况，它是$(0.7978...)\sqrt n$，小于$2\%$的差。
2022-05-11 cs.DM math.CO math.NT
Cyclic structure, vertex degree and number of linear vertices in Minimal Strong Digraphs
本研究针对极小强有向图（MSDs），推导了线性顶点数与顶点度的关系、最长环长度的上界，拓展了其特征多项式系数的界，并证明MSD最长环计算问题为NP-Hard。
2023-11-06 math.CO
